四川省成都市外国语学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
1．（2024高二下·成都期末）设复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，所以，
，
所以，.
故答案为：C.
【分析】先利用复数的运算性质可得，再利用共轭复数的定义结合求模公式即可求解.
2．（2024高二下·成都期末）函数 的单调增区间是（ ）
A． B． C． . D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： .
令 ，解得 ，
故答案为：D.
【分析】
先求积的导数，再令 f′(x)>0，解得 x>2 即可得函数的单调增区间.
3．（2024高二下·成都期末）关于线性回归的描述，有下列命题：
①回归直线一定经过样本点的中心；
②相关系数r越大，线性相关程度越强；
③决定系数越接近1拟合效果越好；
④随机误差平方和越小，拟合效果越好．
其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：①、回归直线一定经过样本点的中心，故①正确；
②、相关系数r的绝对值越接近于1，线性相关性越强，故②错误；
③、决定系数R越接近1拟合效果越好，故③正确；
④、随机误差平方和越小，拟合效果越好，故④正确．
故答案为：C．
【分析】利用回归直线方程定过样本中心点即可判断①；利用相关系数的大小和强弱的关系即可判断②；利用决定系数即可判断③；利用随机误差平方和的意义判断④．
4．（2024高二下·成都期末）设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：已知，
，，
因为函数单调递增，
所以，即.
故答案为：C.
【分析】利用两角差的正弦公式可得，利用二倍角公式可得，，再利用正弦函数的单调性比较大小即可求解．
5．（2024高二下·成都期末）在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：在空间直角坐标系中，，
三角形重心为，所以，，，
所以在上的投影为：，
所以点到直线的距离为：.
故答案为：B
【分析】先利用重心为公式可得，计算出和，再利用投影向量的定义可得，最后利用勾股定理即可求解.
6．（2024高二下·成都期末）已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】B
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由，可知点在抛物线的外部，
设点，满足，即，
则，
由抛物线点的定义可得：，
则，
由于，当三点共线（在之间）时，
取到最小值，
则的最小值为．
故答案为：B.
【分析】结合坐标运算和焦半径公式，转化，数形结合求最值即可.
7．（2024高二下·成都期末）有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ）
A．90 B．150 C．390 D．420
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种，
若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种，
若人都被录用，满足条件的录用情况有种，
由分类加法计数原理可得符合要求的不同的录用情况种数是.
故答案为：C.
【分析】先根据录用的人数分3类，再利用组合和排列的定义分类讨论求解即可.
8．（2024高二下·成都期末）双曲线的左 右焦点分别为，离心率为，右支上一点满足，直线平分，过点作直线的垂线，垂足分别为.设为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线的离心率为，得，解得，
令直线交的延长线交于，直线交于，则，
由平分，且，得，
则，，
显然分别为线段的中点，而是的中点，于是，如图所示：
，即，，
所以的面积.
故答案为：C
【分析】先利用离心率可得，再利用几何图形及双曲线定义可得的面积即可求解.
9．（2024高二下·成都期末）若“，”为假命题，则实数的取值可以为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A,B,C
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：因为“，”为假命题，
所以，恒成立，即在恒成立，
所以且．
令，易知在上是增函数，
所以，所以．
故答案为：ABC．
【分析】先把特称命题转化为全称命题可得在恒成立，令，再利用在是增函数，求出的最大值即可求解.
10．（2024高二下·成都期末）我国5G技术研发试验在2016~2018年进行，分为5G关键技术试验、5G技术方案验证和5G系统验证三个阶段.2020年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升．某手机商城统计了2022年5个月5G手机的实际销量，如下表所示：
月份 2022年1月 2022年2月 2022年3月 2022年4月 2022年5月
月份编号x 1 2 3 4 5
销量y（部） 50 96 a 185 227
若y与x线性相关，且求得回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．与正相关
C．与的相关系数为负数
D．2022年7月该手机商城的5G手机销量约为365部
【答案】A,B
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：A、，，
因为点在回归直线上，所以，
解得，故A正确；
B、从表格数据看，随的增大而增大，所以与正相关，故B正确；
C、因为与正相关，所以与的相关系数为正数，故C错误；
D、2022年7月对应的月份编号，当时，，
所以2022年7月该手机商城的5G手机销量约为部，故D错误．
故答案为：AB
【分析】利用样本中心在回归直线上即可判断A；从表格数据看，y随x的增大而增大即可判断B；利用y与x正相关可得y与x的相关系数为正数即可判断C；将月份编号代入到回归直线即可求解判断D.
11．（2024高二下·成都期末）已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数为周期函数
C．函数为上的偶函数 D．
【答案】A,B
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A、函数为奇函数，则，
令，则，即，故A正确；
B、函数为偶函数，则函数图象关于直线对称；
函数为奇函数，则函数图象关于对称，
故函数是以2周期的周期函数，故B正确；
C、，当时，，即函数在上单调递增，函数图象关于对称，故函数在上单调递减，故函数在上单调递增，
即，则函数不是偶函数，故C错误；
D、，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用特殊值代入即可判断A；利用函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，结合关系式的变换得到函数周期即可判断B；根据导函数判断函数单调性结合关系式和偶函数定义即可判断C；根据函数的关系式和单调性即可判断D.
12．（2024高二下·成都期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为
【答案】
【知识点】集合间关系的判断；充分条件
【解析】【解答】解：解不等式，可得，
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集，
则（不同时取等号），解得，
故实数的取值范围为.
故答案为： .
【分析】由题意可得是对应的集合的真子集，根据真子集关系列式求解即可.
13．（2024高二下·成都期末）若，则的值为 ．
【答案】128
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：令，得．
故答案为：128.
【分析】利用赋值法，令即可求解.
14．（2024高二下·成都期末）若数列满足，（，为常数，则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为 ．
【答案】2
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列为调和数列，所以，为常数，
则数列为等差数列，
由，可得，
则，即，
，则，
．
当且仅当时等号成立，故的最大值为2．
故答案为：2.
【分析】由题意，根据调和数列，可得数列为等差数列，根据等差数列求和公式得，再利用不等式求解即可．
15．（2024高二下·成都期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，，．
（1）求函数的最小值；
（2）若，，，求的面积．
【答案】（1）解： 向量，，
则，
因为，所以，所以当，即时，则有最小值；
（2）解：由，可得，则，，
因为，所以，
由正弦定理，可得则，，
又因为，所以，则，
由余弦定理，可得，
则．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算，结合正弦二倍角公式，辅助角公式化简，再根据正弦函数性质求其最小值即可；
（2）解方程求，由正弦定理可求，再由余弦定理求，根据三角形面积公式求解即可.
（1）．
因为，所以，
所以当，即时，有最小值．
（2）因为，所以，所以，，
因为，所以．
由正弦定理，，
所以，．
又因为，所以，得，
由余弦定理有：，所以．
所以．
16．（2024高二下·成都期末）如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的正弦值．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
由题意可得：，，
因为，，所以，，即四边形是平行四边形，，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：因为平面，平面，所以，
又因为，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
设平面的法向量为，则令，得，
因为，，所以平面，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，则，
，即平面与平面的夹角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由中位线易证明四边形是平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理证明平面即可；
（2）由题易知，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用空间向量法求解即可.
（1）如图所示，连接．
因为，分别是棱，的中点，
所以，
因为，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
则．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为平面，
平面，
所以，
又因为，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题中数据可得，，
，．
设平面的法向量为，
则
令，得．
因为，，
所以平面
平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，
则．
故，
即平面与平面的夹角的正弦值为．
17．（2024高二下·成都期末）某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女生，通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进行体育活动．
（1）请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；
性别 体育活动 合计
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动
男
女
合计
（2）以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差．
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：，其中．
【答案】（1）解：依题意，列出列联表如下：
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计
男 30 20 50
女 40 10 50
合计 70 30 100
零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，
因为，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于.
（2）解：由题意得，经常进行体育活动者的频率为，
所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为，
由题意得，则，
可得，
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3 4
的数学期望为，
的方差为.
【知识点】独立性检验的应用；二项分布
【解析】【分析】（1）先计算卡方，再利用独立性检验思想即可求解；
（2）利用二项分布的分布列与数学期望和方差公式即可求解.
（1）依题意，列出列联表如下：
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计
男 30 20 50
女 40 10 50
合计 70 30 100
零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，
因为，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于.
（2）由题意得，经常进行体育活动者的频率为，
所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为，
由题意得，则，
可得，
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3 4
的数学期望为，
的方差为.
18．（2024高二下·成都期末）已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点．
【答案】（1）解：由椭圆定义可知，，
所以的周长为，所以，
又因为椭圆离心率为，所以，所以，
又，所以椭圆的方程：．
（2）证明：设点，，，，
则直线的方程为，则，
由得，，
所以，
因为，所以，所以，故，
又，
同理，，，
由A，，B三点共线，得，所以，
直线CD的方程为，
由对称性可知，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上，
令得，
，
故直线CD过定点．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义和离心率公式可得，即可求椭圆方程；
（2）设点，，，，的方程为，联立直线与椭圆的方程可得，再利用根与系数关系可得，利用对称性，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上即可得到定点坐标.
（1）由椭圆定义可知，，
所以的周长为，所以，
又因为椭圆离心率为，所以，所以，
又，所以椭圆的方程：．
（2）设点，，，，
则直线的方程为，则，
由得，，
所以，
因为，所以，所以，故，
又，
同理，，，
由A，，B三点共线，得，所以，
直线CD的方程为，
由对称性可知，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上，
令得，
，
故直线CD过定点．
19．（2024高二下·成都期末）定义运算：，已知函数，．
（1）若函数的最大值为0，求实数a的值；
（2）若函数存在两个极值点，，证明：；
（3）证明：．
【答案】（1）解：由题意知：
，
①当时，，在单调递减，不存在最大值．
②当时，由得，
当，；，，
函数的增区间为，减区间为．
，
．
（2）证明：
“函数存在两个极值点，”等价于
“方程有两个不相等的正实数根”；
故，解得．
要证，即证，
，不妨令，故
由得，令
在恒成立，
所以函数在上单调递减，故．
成立．
（3）证明：由（1）知，，即，
当时，
．
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导可得，再分，两类讨论单调性可得最大值即可求解；
（2）先将条件等价于有两个不等的正根可得，再利用判别式非负，以及根与系数关系求出a的范围，要证，即证，
令求导确定函数的单调性即可证明；
（3）利用（1）结论可得则当时，，进而利用裂项相消求和证明即可.
（1）由题意知：
，
①当时，，在单调递减，不存在最大值．
②当时，由得，
当，；，，
函数的增区间为，减区间为．
，
．
（2）
“函数存在两个极值点，”等价于
“方程有两个不相等的正实数根”；
故，解得．
要证，即证，
，不妨令，故
由得，令
在恒成立，
所以函数在上单调递减，故．
成立．
（3）由（1）知，，即，
当时，
．
1 / 1四川省成都市外国语学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
1．（2024高二下·成都期末）设复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·成都期末）函数 的单调增区间是（ ）
A． B． C． . D．
3．（2024高二下·成都期末）关于线性回归的描述，有下列命题：
①回归直线一定经过样本点的中心；
②相关系数r越大，线性相关程度越强；
③决定系数越接近1拟合效果越好；
④随机误差平方和越小，拟合效果越好．
其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024高二下·成都期末）设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·成都期末）在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·成都期末）已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
7．（2024高二下·成都期末）有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ）
A．90 B．150 C．390 D．420
8．（2024高二下·成都期末）双曲线的左 右焦点分别为，离心率为，右支上一点满足，直线平分，过点作直线的垂线，垂足分别为.设为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C．10 D．
9．（2024高二下·成都期末）若“，”为假命题，则实数的取值可以为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
10．（2024高二下·成都期末）我国5G技术研发试验在2016~2018年进行，分为5G关键技术试验、5G技术方案验证和5G系统验证三个阶段.2020年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升．某手机商城统计了2022年5个月5G手机的实际销量，如下表所示：
月份 2022年1月 2022年2月 2022年3月 2022年4月 2022年5月
月份编号x 1 2 3 4 5
销量y（部） 50 96 a 185 227
若y与x线性相关，且求得回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．与正相关
C．与的相关系数为负数
D．2022年7月该手机商城的5G手机销量约为365部
11．（2024高二下·成都期末）已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数为周期函数
C．函数为上的偶函数 D．
12．（2024高二下·成都期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为
13．（2024高二下·成都期末）若，则的值为 ．
14．（2024高二下·成都期末）若数列满足，（，为常数，则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为 ．
15．（2024高二下·成都期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，，．
（1）求函数的最小值；
（2）若，，，求的面积．
16．（2024高二下·成都期末）如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的正弦值．
17．（2024高二下·成都期末）某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女生，通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进行体育活动．
（1）请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；
性别 体育活动 合计
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动
男
女
合计
（2）以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差．
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：，其中．
18．（2024高二下·成都期末）已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点．
19．（2024高二下·成都期末）定义运算：，已知函数，．
（1）若函数的最大值为0，求实数a的值；
（2）若函数存在两个极值点，，证明：；
（3）证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，所以，
，
所以，.
故答案为：C.
【分析】先利用复数的运算性质可得，再利用共轭复数的定义结合求模公式即可求解.
2．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： .
令 ，解得 ，
故答案为：D.
【分析】
先求积的导数，再令 f′(x)>0，解得 x>2 即可得函数的单调增区间.
3．【答案】C
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：①、回归直线一定经过样本点的中心，故①正确；
②、相关系数r的绝对值越接近于1，线性相关性越强，故②错误；
③、决定系数R越接近1拟合效果越好，故③正确；
④、随机误差平方和越小，拟合效果越好，故④正确．
故答案为：C．
【分析】利用回归直线方程定过样本中心点即可判断①；利用相关系数的大小和强弱的关系即可判断②；利用决定系数即可判断③；利用随机误差平方和的意义判断④．
4．【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：已知，
，，
因为函数单调递增，
所以，即.
故答案为：C.
【分析】利用两角差的正弦公式可得，利用二倍角公式可得，，再利用正弦函数的单调性比较大小即可求解．
5．【答案】B
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：在空间直角坐标系中，，
三角形重心为，所以，，，
所以在上的投影为：，
所以点到直线的距离为：.
故答案为：B
【分析】先利用重心为公式可得，计算出和，再利用投影向量的定义可得，最后利用勾股定理即可求解.
6．【答案】B
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由，可知点在抛物线的外部，
设点，满足，即，
则，
由抛物线点的定义可得：，
则，
由于，当三点共线（在之间）时，
取到最小值，
则的最小值为．
故答案为：B.
【分析】结合坐标运算和焦半径公式，转化，数形结合求最值即可.
7．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种，
若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种，
若人都被录用，满足条件的录用情况有种，
由分类加法计数原理可得符合要求的不同的录用情况种数是.
故答案为：C.
【分析】先根据录用的人数分3类，再利用组合和排列的定义分类讨论求解即可.
8．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线的离心率为，得，解得，
令直线交的延长线交于，直线交于，则，
由平分，且，得，
则，，
显然分别为线段的中点，而是的中点，于是，如图所示：
，即，，
所以的面积.
故答案为：C
【分析】先利用离心率可得，再利用几何图形及双曲线定义可得的面积即可求解.
9．【答案】A,B,C
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：因为“，”为假命题，
所以，恒成立，即在恒成立，
所以且．
令，易知在上是增函数，
所以，所以．
故答案为：ABC．
【分析】先把特称命题转化为全称命题可得在恒成立，令，再利用在是增函数，求出的最大值即可求解.
10．【答案】A,B
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：A、，，
因为点在回归直线上，所以，
解得，故A正确；
B、从表格数据看，随的增大而增大，所以与正相关，故B正确；
C、因为与正相关，所以与的相关系数为正数，故C错误；
D、2022年7月对应的月份编号，当时，，
所以2022年7月该手机商城的5G手机销量约为部，故D错误．
故答案为：AB
【分析】利用样本中心在回归直线上即可判断A；从表格数据看，y随x的增大而增大即可判断B；利用y与x正相关可得y与x的相关系数为正数即可判断C；将月份编号代入到回归直线即可求解判断D.
11．【答案】A,B
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A、函数为奇函数，则，
令，则，即，故A正确；
B、函数为偶函数，则函数图象关于直线对称；
函数为奇函数，则函数图象关于对称，
故函数是以2周期的周期函数，故B正确；
C、，当时，，即函数在上单调递增，函数图象关于对称，故函数在上单调递减，故函数在上单调递增，
即，则函数不是偶函数，故C错误；
D、，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用特殊值代入即可判断A；利用函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，结合关系式的变换得到函数周期即可判断B；根据导函数判断函数单调性结合关系式和偶函数定义即可判断C；根据函数的关系式和单调性即可判断D.
12．【答案】
【知识点】集合间关系的判断；充分条件
【解析】【解答】解：解不等式，可得，
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集，
则（不同时取等号），解得，
故实数的取值范围为.
故答案为： .
【分析】由题意可得是对应的集合的真子集，根据真子集关系列式求解即可.
13．【答案】128
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：令，得．
故答案为：128.
【分析】利用赋值法，令即可求解.
14．【答案】2
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列为调和数列，所以，为常数，
则数列为等差数列，
由，可得，
则，即，
，则，
．
当且仅当时等号成立，故的最大值为2．
故答案为：2.
【分析】由题意，根据调和数列，可得数列为等差数列，根据等差数列求和公式得，再利用不等式求解即可．
15．【答案】（1）解： 向量，，
则，
因为，所以，所以当，即时，则有最小值；
（2）解：由，可得，则，，
因为，所以，
由正弦定理，可得则，，
又因为，所以，则，
由余弦定理，可得，
则．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算，结合正弦二倍角公式，辅助角公式化简，再根据正弦函数性质求其最小值即可；
（2）解方程求，由正弦定理可求，再由余弦定理求，根据三角形面积公式求解即可.
（1）．
因为，所以，
所以当，即时，有最小值．
（2）因为，所以，所以，，
因为，所以．
由正弦定理，，
所以，．
又因为，所以，得，
由余弦定理有：，所以．
所以．
16．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
由题意可得：，，
因为，，所以，，即四边形是平行四边形，，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：因为平面，平面，所以，
又因为，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
设平面的法向量为，则令，得，
因为，，所以平面，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，则，
，即平面与平面的夹角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由中位线易证明四边形是平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理证明平面即可；
（2）由题易知，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用空间向量法求解即可.
（1）如图所示，连接．
因为，分别是棱，的中点，
所以，
因为，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
则．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为平面，
平面，
所以，
又因为，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题中数据可得，，
，．
设平面的法向量为，
则
令，得．
因为，，
所以平面
平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，
则．
故，
即平面与平面的夹角的正弦值为．
17．【答案】（1）解：依题意，列出列联表如下：
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计
男 30 20 50
女 40 10 50
合计 70 30 100
零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，
因为，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于.
（2）解：由题意得，经常进行体育活动者的频率为，
所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为，
由题意得，则，
可得，
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3 4
的数学期望为，
的方差为.
【知识点】独立性检验的应用；二项分布
【解析】【分析】（1）先计算卡方，再利用独立性检验思想即可求解；
（2）利用二项分布的分布列与数学期望和方差公式即可求解.
（1）依题意，列出列联表如下：
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计
男 30 20 50
女 40 10 50
合计 70 30 100
零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，
因为，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于.
（2）由题意得，经常进行体育活动者的频率为，
所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为，
由题意得，则，
可得，
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3 4
的数学期望为，
的方差为.
18．【答案】（1）解：由椭圆定义可知，，
所以的周长为，所以，
又因为椭圆离心率为，所以，所以，
又，所以椭圆的方程：．
（2）证明：设点，，，，
则直线的方程为，则，
由得，，
所以，
因为，所以，所以，故，
又，
同理，，，
由A，，B三点共线，得，所以，
直线CD的方程为，
由对称性可知，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上，
令得，
，
故直线CD过定点．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义和离心率公式可得，即可求椭圆方程；
（2）设点，，，，的方程为，联立直线与椭圆的方程可得，再利用根与系数关系可得，利用对称性，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上即可得到定点坐标.
（1）由椭圆定义可知，，
所以的周长为，所以，
又因为椭圆离心率为，所以，所以，
又，所以椭圆的方程：．
（2）设点，，，，
则直线的方程为，则，
由得，，
所以，
因为，所以，所以，故，
又，
同理，，，
由A，，B三点共线，得，所以，
直线CD的方程为，
由对称性可知，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上，
令得，
，
故直线CD过定点．
19．【答案】（1）解：由题意知：
，
①当时，，在单调递减，不存在最大值．
②当时，由得，
当，；，，
函数的增区间为，减区间为．
，
．
（2）证明：
“函数存在两个极值点，”等价于
“方程有两个不相等的正实数根”；
故，解得．
要证，即证，
，不妨令，故
由得，令
在恒成立，
所以函数在上单调递减，故．
成立．
（3）证明：由（1）知，，即，
当时，
．
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导可得，再分，两类讨论单调性可得最大值即可求解；
（2）先将条件等价于有两个不等的正根可得，再利用判别式非负，以及根与系数关系求出a的范围，要证，即证，
令求导确定函数的单调性即可证明；
（3）利用（1）结论可得则当时，，进而利用裂项相消求和证明即可.
（1）由题意知：
，
①当时，，在单调递减，不存在最大值．
②当时，由得，
当，；，，
函数的增区间为，减区间为．
，
．
（2）
“函数存在两个极值点，”等价于
“方程有两个不相等的正实数根”；
故，解得．
要证，即证，
，不妨令，故
由得，令
在恒成立，
所以函数在上单调递减，故．
成立．
（3）由（1）知，，即，
当时，
．
1 / 1
