贵州省安顺市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测考试数学试题
1．（2024高二下·安顺期末）已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024高二下·安顺期末）函数在点处的切线倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·安顺期末）下列说法正确的是（ ）
A．某班共有学生50人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取容量为5的样本，若样本中男生有2人，则该班女生共有20人
B．数据，，，，，，，的第80百分位数为8
C．线性回归分析中，样本相关系数的绝对值越大，成对样本数据的线性相关性越强
D．线性回归模型分析中，模型的决定系数越小，模型的拟合效果越好
4．（2024高二下·安顺期末）已知函数的导函数为，且满足，则的最大值为（ ）
A． B．0 C． D．1
5．（2024高二下·安顺期末）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（ ）
A．21种 B．27种 C．30种 D．42种
6．（2024高二下·安顺期末）你正在做一道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为；而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是，那么这一刻，你答对这道选择题的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·安顺期末）的展开式中各项系数和为32，则展开式中含的项是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·安顺期末）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·安顺期末）集合，.若，则实数可取值（ ）
A． B． C． D．0
10．（2024高二下·安顺期末）已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．在上是增函数 D．，使得
11．（2024高二下·安顺期末）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是（ ）
A．曲线关于坐标原点对称
B．曲线上的点到原点的最大距离为
C．四叶草曲线所围的区域面积大于
D．四叶草曲线恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
12．（2024高二下·安顺期末）经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）之间的关系近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如表：
15 16 18 19 22
102 98 115 120
若由表中样本数据求得线性回归方程为，则实数 .
13．（2024高二下·安顺期末）函数的所有极值之和为 .
14．（2024高二下·安顺期末）已知椭圆和双曲线在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为，在方向上的投影向量为，则椭圆的离心率为 ；双曲线的渐近线方程为 .
15．（2024高二下·安顺期末）若数列是等差数列，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前99项和.
16．（2024高二下·安顺期末）由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每300年灭绝一种，兽类平均每8000年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的1000倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表：
性别 保护动物意识 合计
强 弱
男性 30 70 100
女性 60 40 100
合计 90 110 200
（1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？
（2）将表中求得的频率视为概率，现从该市女性市民（人数足够多）中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次.记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．（2024高二下·安顺期末）五面体为直三棱柱截去一个三棱锥后得到的几何体，，，为的中点，为线段的中点.点满足上.
（1）若，求实数的值；
（2）若是线段的中点，求平面与平面夹角的正弦值.
18．（2024高二下·安顺期末）如图，在斜坐标系中，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：
（1）若斜坐标系中，，且，求实数的值；
（2）若斜坐标系中，，求向量，的夹角的余弦值.
19．（2024高二下·安顺期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为.当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
（1）求与的导数；
（2）证明：在上恒成立；
（3）求的零点.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
的虚部为1.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和复数的乘除法运算法则，从而得出复数z，再结合复数的虚部的定义，从而得出复数z的虚部.
2．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
设在点处的切线倾斜角为，
则，
由，
则.
故答案为：A.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式以及直线的倾斜角的取值范围，从而得出函数在点处的切线倾斜角.
3．【答案】C
【知识点】分层抽样方法；回归分析；样本相关系数r及其数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，按性别采用分层随机抽样的方法抽取容量为5的样本，
若样本中男生有2人，
则样本中女生有3人，该班女生共有人，故A错误；
对于B，因为数据2，3，3，5，7，8，10，12，共8个，，
所以该组数据的第80百分位数为10，故B错误；
对于C，在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越大，成对样本数据的线性相关性越强，
故C正确；
对于D，在线性回归模型分析中，模型的决定系数越小，模型的拟合效果越差，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分层抽样的定义，百分位数的定义，相关系数定义、决定系数的定义，从而逐项判断找出说法正确的选项．
4．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：由，
求导得，
令，则，则，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
故答案为：C
【分析】先求导，再代入求出的值，从而得出函数的解析式，再结合二次函数求最值的方法，从而得出函数的最大值.
5．【答案】D
【知识点】排列及排列数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，则不同的插入方式有42种.
故答案为：D.
【分析】根据定序问题求解即可．
6．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；全概率公式
【解析】【解答】解：依题意，
由全概率公式，得答对这道选择题的概率为.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和全概率公式以及对立事件求概率公式，从而列式计算得出这一刻，你答对这道选择题的概率.
7．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：令，则
，解得，
对，有，
则，
故展开式中含的项是.
故答案为：A.
【分析】利用赋值法，令，可得的值，再利用二项式定理求出展开式的通项公式，从而得出展开式中含的项.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，
求导得，
则函数在上单调递减，
则，
则，
因此；
令，
求导得，
则函数在上单调递增，
则，
则，
因此，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用指数函数的性质可得，再构造函数和，再结合导数判断函数单调性的方法，从而证出，进而比较出a，b，c的大小.
9．【答案】B,C
【知识点】空集；交集及其运算
【解析】【解答】解：对于D，依题意，，
由，得，
解得且，故D错误，
对于A，当时，此时，，故A错误；
对于B，当时，此时，，故B正确；
对于C，当时，此时，，故C正确.
故答案为：BC.
【分析】利用一元二次不等式求出集合A，再利用集合的元素的互异性，从而求出实数的取值范围，再结合交集的运算法则和空集的定义，从而得出实数a可能的取值.
10．【答案】A,B,C
【知识点】存在量词命题；函数单调性的判断与证明；函数的值；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A：因为，
所以，故A正确；
对于B：因为，
所以，故B正确；
对于C：当增大时，也增大，
所以在上是增函数，故C正确；
对于D：因为，，
当时，，所以，
又因为，
所以，
所以；
当时，，
则，
又因为，
所以不成立，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由正态分布可得，可判断出选项A；结合正态分布的性质计算可得，可判断出选项B；易得在上是增函数，可判断出选项C；当时，，，可判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面内两点间距离公式的应用；圆与圆锥曲线的综合；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A：若点在上，
则亦在上，
所以曲线关于坐标原点对称，故A正确；
对于B：若，，，
则，
则，当且仅当时等号成立，
所以，曲线上的点到原点的最大距离为，故B正确；
对于C：由选项B知，
则曲线在圆内部，
所以，圆的面积为，
则叶草曲线所围的区域面积不大于，故C错误；
对于D：由选项B知，
则，，
则当、为整数时，只有、，此时满足曲线，
所以，四叶草曲线只经过1个整点，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】由点在曲线上，点亦在曲线上，则判断出选项A；利用基本不等式求最值的方法结合两点间距离公式，则判断出选项B；由选项B知曲线在圆内部，则计算出该圆面积，则判断出选项C；由选项B知、的取值范围，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】115
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：依题意，
则，，
所以，线性回归方程为，
则，
所以.
故答案为：115.
【分析】根据已知条件和回归直线必过样本的中心点，从而列式得出实数m的值.
13．【答案】4
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，
求导得，
由，得或；
由，得或，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极大值；
当时，取得极小值，
所以函数的所有极值之和为.
故答案为：4.
【分析】利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的极值，再相加得出函数的所有极值之和.
14．【答案】；
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设椭圆的半焦距为，
则，，①
因为在方向上的投影向量为，点在第一象限，
所以点的横坐标为，
代入椭圆的方程得，
又因为点在双曲线上，
所以，②
由①②解得，，
所以椭圆的离心率为；
则双曲线的渐近线方程为.
故答案为：；.
【分析】设椭圆的半焦距为，则，由点的横坐标得，代入双曲线方程得，则，，再利用椭圆的离心率公式和双曲线的渐近线方程，从而得出椭圆的离心率和双曲线的渐近线方程.
15．【答案】（1）解：在等差数列中，，
则公差，
因此，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式得出公差的值，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用裂项相消求和得出数列的前99项和.
（1）等差数列中，，则公差，因此，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
所以.
16．【答案】（1）解：零假设H0：保护动物意识的强弱与性别无关，
由表中数据计算，
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错的概率不大于0.01.
（2）解：从该市女性市民中抽到1人“保护动物意识强”的概率为，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
则
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）将表格中的数据代入公式求出χ2的值，再与临界值对比，从而认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错的概率不大于0.01.
（2）利用已知条件求出随机变量X的所有可能取值，再结合二项分布求概率公式得出对应的概率，从而列出随机变量X的分布列，再利用数学期望公式得出随机变量X的数学期望．
（1）零假设H0：保护动物意识的强弱与性别无关，
由表中数据计算，
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错的概率不大于0.01.
（2）从该市女性市民中抽到1人“保护动物意识强”的概率为，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望.
17．【答案】（1）解：以点C为坐标原点，直线CA，CB，分别为轴，
建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，，
则，，，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
解得.
（2）解：因为P是线段AC的中点，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，，所以，
显然平面的一个法向量为，
设平面ABC与平面PBF的夹角为，
则
所以，
则平面ABC与平面PBF夹角的正弦值为.
【知识点】用空间向量研究二面角；运用诱导公式化简求值；平面向量加、减运算的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据已知条件，以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合向量共线的坐标表示和向量加法的坐标表示，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出实数的值.
（2）利用（1）中坐标系结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式，从而得出平面ABC与平面PBF夹角的正弦值.
（1）以点C为坐标原点，直线CA，CB，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
，，
所以，，
因为，所以，
所以，
因为，则，
解得；
（2）因为P是线段AC的中点，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则有，，即，
显然平面的一个法向量为，
设平面ABC与平面PBF的夹角为，
则，
所以，
即平面ABC与平面PBF夹角的正弦值为.
18．【答案】（1）解：依题意，，
由，
得，
由，得，
则，
整理得，
所以.
（2）解：由（1）知，，
由，
得，
则
所以，向量，的夹角的余弦值为：.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）由和已知条件，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的运算律，从而建立方程求解得出实数m的值.
（2）由（1）知，，利用数量积的运算律求出，再利用数量积求向量夹角的公式，从而得出向量，的夹角的余弦值.
（1）依题意，，由，得，
由，得，即，
整理得，所以.
（2）由（1）知，，由，得，
则，
，
，
所以向量，的夹角的余弦值.
19．【答案】（1）解：，.
（2）证明：构造函数，，
由（1）知，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
则在上单调递增，
则，
所以在上恒成立.
（3）解：由，
则，
令，
则，
令，
则，
令，
则，
当时，由（2）可知，，
则，
令，
则，故在内单调递增；
则，故在上单调递增；
则，故在上单调递增；
则，故在上单调递增；
则，故在上单调递增，
由
且定义域为，
则为奇函数，
由，
则在上单调递增，
所以，具有唯一零点.
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题；导数的四则运算；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用导数运算法则得出与的导数.（2）构造函数后，再利用导数判断其单调性，从而得出函数的最值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而证出在上恒成立.
（3）多次求导最终判断函数在内单调递增，再结合奇函数的定义得到为奇函数，再利用可得具有唯一零点.
（1），；
（2）构造函数，，
由（1）知，，
当且仅当，即时，等号成立，
故在上单调递增，则，
故在上恒成立，即得证；
（3）由，则，
令，则，
令，则，
令，则，
当时，由（2）可知，，
则，
令，则，故在内单调递增，
则，故在上单调递增，
则，故在上单调递增，
则，故在上单调递增，
则，故在上单调递增，
由，
且定义域为，则为奇函数，
由，则在上单调递增，
故具有唯一零点.
1 / 1贵州省安顺市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测考试数学试题
1．（2024高二下·安顺期末）已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
的虚部为1.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和复数的乘除法运算法则，从而得出复数z，再结合复数的虚部的定义，从而得出复数z的虚部.
2．（2024高二下·安顺期末）函数在点处的切线倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
设在点处的切线倾斜角为，
则，
由，
则.
故答案为：A.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式以及直线的倾斜角的取值范围，从而得出函数在点处的切线倾斜角.
3．（2024高二下·安顺期末）下列说法正确的是（ ）
A．某班共有学生50人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取容量为5的样本，若样本中男生有2人，则该班女生共有20人
B．数据，，，，，，，的第80百分位数为8
C．线性回归分析中，样本相关系数的绝对值越大，成对样本数据的线性相关性越强
D．线性回归模型分析中，模型的决定系数越小，模型的拟合效果越好
【答案】C
【知识点】分层抽样方法；回归分析；样本相关系数r及其数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，按性别采用分层随机抽样的方法抽取容量为5的样本，
若样本中男生有2人，
则样本中女生有3人，该班女生共有人，故A错误；
对于B，因为数据2，3，3，5，7，8，10，12，共8个，，
所以该组数据的第80百分位数为10，故B错误；
对于C，在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越大，成对样本数据的线性相关性越强，
故C正确；
对于D，在线性回归模型分析中，模型的决定系数越小，模型的拟合效果越差，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分层抽样的定义，百分位数的定义，相关系数定义、决定系数的定义，从而逐项判断找出说法正确的选项．
4．（2024高二下·安顺期末）已知函数的导函数为，且满足，则的最大值为（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：由，
求导得，
令，则，则，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
故答案为：C
【分析】先求导，再代入求出的值，从而得出函数的解析式，再结合二次函数求最值的方法，从而得出函数的最大值.
5．（2024高二下·安顺期末）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（ ）
A．21种 B．27种 C．30种 D．42种
【答案】D
【知识点】排列及排列数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，则不同的插入方式有42种.
故答案为：D.
【分析】根据定序问题求解即可．
6．（2024高二下·安顺期末）你正在做一道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为；而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是，那么这一刻，你答对这道选择题的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；全概率公式
【解析】【解答】解：依题意，
由全概率公式，得答对这道选择题的概率为.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和全概率公式以及对立事件求概率公式，从而列式计算得出这一刻，你答对这道选择题的概率.
7．（2024高二下·安顺期末）的展开式中各项系数和为32，则展开式中含的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：令，则
，解得，
对，有，
则，
故展开式中含的项是.
故答案为：A.
【分析】利用赋值法，令，可得的值，再利用二项式定理求出展开式的通项公式，从而得出展开式中含的项.
8．（2024高二下·安顺期末）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，
求导得，
则函数在上单调递减，
则，
则，
因此；
令，
求导得，
则函数在上单调递增，
则，
则，
因此，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用指数函数的性质可得，再构造函数和，再结合导数判断函数单调性的方法，从而证出，进而比较出a，b，c的大小.
9．（2024高二下·安顺期末）集合，.若，则实数可取值（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B,C
【知识点】空集；交集及其运算
【解析】【解答】解：对于D，依题意，，
由，得，
解得且，故D错误，
对于A，当时，此时，，故A错误；
对于B，当时，此时，，故B正确；
对于C，当时，此时，，故C正确.
故答案为：BC.
【分析】利用一元二次不等式求出集合A，再利用集合的元素的互异性，从而求出实数的取值范围，再结合交集的运算法则和空集的定义，从而得出实数a可能的取值.
10．（2024高二下·安顺期末）已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．在上是增函数 D．，使得
【答案】A,B,C
【知识点】存在量词命题；函数单调性的判断与证明；函数的值；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A：因为，
所以，故A正确；
对于B：因为，
所以，故B正确；
对于C：当增大时，也增大，
所以在上是增函数，故C正确；
对于D：因为，，
当时，，所以，
又因为，
所以，
所以；
当时，，
则，
又因为，
所以不成立，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由正态分布可得，可判断出选项A；结合正态分布的性质计算可得，可判断出选项B；易得在上是增函数，可判断出选项C；当时，，，可判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2024高二下·安顺期末）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是（ ）
A．曲线关于坐标原点对称
B．曲线上的点到原点的最大距离为
C．四叶草曲线所围的区域面积大于
D．四叶草曲线恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
【答案】A,B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面内两点间距离公式的应用；圆与圆锥曲线的综合；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A：若点在上，
则亦在上，
所以曲线关于坐标原点对称，故A正确；
对于B：若，，，
则，
则，当且仅当时等号成立，
所以，曲线上的点到原点的最大距离为，故B正确；
对于C：由选项B知，
则曲线在圆内部，
所以，圆的面积为，
则叶草曲线所围的区域面积不大于，故C错误；
对于D：由选项B知，
则，，
则当、为整数时，只有、，此时满足曲线，
所以，四叶草曲线只经过1个整点，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】由点在曲线上，点亦在曲线上，则判断出选项A；利用基本不等式求最值的方法结合两点间距离公式，则判断出选项B；由选项B知曲线在圆内部，则计算出该圆面积，则判断出选项C；由选项B知、的取值范围，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．（2024高二下·安顺期末）经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）之间的关系近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如表：
15 16 18 19 22
102 98 115 120
若由表中样本数据求得线性回归方程为，则实数 .
【答案】115
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：依题意，
则，，
所以，线性回归方程为，
则，
所以.
故答案为：115.
【分析】根据已知条件和回归直线必过样本的中心点，从而列式得出实数m的值.
13．（2024高二下·安顺期末）函数的所有极值之和为 .
【答案】4
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，
求导得，
由，得或；
由，得或，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极大值；
当时，取得极小值，
所以函数的所有极值之和为.
故答案为：4.
【分析】利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的极值，再相加得出函数的所有极值之和.
14．（2024高二下·安顺期末）已知椭圆和双曲线在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为，在方向上的投影向量为，则椭圆的离心率为 ；双曲线的渐近线方程为 .
【答案】；
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设椭圆的半焦距为，
则，，①
因为在方向上的投影向量为，点在第一象限，
所以点的横坐标为，
代入椭圆的方程得，
又因为点在双曲线上，
所以，②
由①②解得，，
所以椭圆的离心率为；
则双曲线的渐近线方程为.
故答案为：；.
【分析】设椭圆的半焦距为，则，由点的横坐标得，代入双曲线方程得，则，，再利用椭圆的离心率公式和双曲线的渐近线方程，从而得出椭圆的离心率和双曲线的渐近线方程.
15．（2024高二下·安顺期末）若数列是等差数列，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前99项和.
【答案】（1）解：在等差数列中，，
则公差，
因此，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式得出公差的值，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用裂项相消求和得出数列的前99项和.
（1）等差数列中，，则公差，因此，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
所以.
16．（2024高二下·安顺期末）由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每300年灭绝一种，兽类平均每8000年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的1000倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表：
性别 保护动物意识 合计
强 弱
男性 30 70 100
女性 60 40 100
合计 90 110 200
（1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？
（2）将表中求得的频率视为概率，现从该市女性市民（人数足够多）中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次.记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：零假设H0：保护动物意识的强弱与性别无关，
由表中数据计算，
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错的概率不大于0.01.
（2）解：从该市女性市民中抽到1人“保护动物意识强”的概率为，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
则
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）将表格中的数据代入公式求出χ2的值，再与临界值对比，从而认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错的概率不大于0.01.
（2）利用已知条件求出随机变量X的所有可能取值，再结合二项分布求概率公式得出对应的概率，从而列出随机变量X的分布列，再利用数学期望公式得出随机变量X的数学期望．
（1）零假设H0：保护动物意识的强弱与性别无关，
由表中数据计算，
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错的概率不大于0.01.
（2）从该市女性市民中抽到1人“保护动物意识强”的概率为，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望.
17．（2024高二下·安顺期末）五面体为直三棱柱截去一个三棱锥后得到的几何体，，，为的中点，为线段的中点.点满足上.
（1）若，求实数的值；
（2）若是线段的中点，求平面与平面夹角的正弦值.
【答案】（1）解：以点C为坐标原点，直线CA，CB，分别为轴，
建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，，
则，，，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
解得.
（2）解：因为P是线段AC的中点，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，，所以，
显然平面的一个法向量为，
设平面ABC与平面PBF的夹角为，
则
所以，
则平面ABC与平面PBF夹角的正弦值为.
【知识点】用空间向量研究二面角；运用诱导公式化简求值；平面向量加、减运算的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据已知条件，以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合向量共线的坐标表示和向量加法的坐标表示，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出实数的值.
（2）利用（1）中坐标系结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式，从而得出平面ABC与平面PBF夹角的正弦值.
（1）以点C为坐标原点，直线CA，CB，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
，，
所以，，
因为，所以，
所以，
因为，则，
解得；
（2）因为P是线段AC的中点，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则有，，即，
显然平面的一个法向量为，
设平面ABC与平面PBF的夹角为，
则，
所以，
即平面ABC与平面PBF夹角的正弦值为.
18．（2024高二下·安顺期末）如图，在斜坐标系中，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：
（1）若斜坐标系中，，且，求实数的值；
（2）若斜坐标系中，，求向量，的夹角的余弦值.
【答案】（1）解：依题意，，
由，
得，
由，得，
则，
整理得，
所以.
（2）解：由（1）知，，
由，
得，
则
所以，向量，的夹角的余弦值为：.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）由和已知条件，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的运算律，从而建立方程求解得出实数m的值.
（2）由（1）知，，利用数量积的运算律求出，再利用数量积求向量夹角的公式，从而得出向量，的夹角的余弦值.
（1）依题意，，由，得，
由，得，即，
整理得，所以.
（2）由（1）知，，由，得，
则，
，
，
所以向量，的夹角的余弦值.
19．（2024高二下·安顺期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为.当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
（1）求与的导数；
（2）证明：在上恒成立；
（3）求的零点.
【答案】（1）解：，.
（2）证明：构造函数，，
由（1）知，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
则在上单调递增，
则，
所以在上恒成立.
（3）解：由，
则，
令，
则，
令，
则，
令，
则，
当时，由（2）可知，，
则，
令，
则，故在内单调递增；
则，故在上单调递增；
则，故在上单调递增；
则，故在上单调递增；
则，故在上单调递增，
由
且定义域为，
则为奇函数，
由，
则在上单调递增，
所以，具有唯一零点.
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题；导数的四则运算；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用导数运算法则得出与的导数.（2）构造函数后，再利用导数判断其单调性，从而得出函数的最值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而证出在上恒成立.
（3）多次求导最终判断函数在内单调递增，再结合奇函数的定义得到为奇函数，再利用可得具有唯一零点.
（1），；
（2）构造函数，，
由（1）知，，
当且仅当，即时，等号成立，
故在上单调递增，则，
故在上恒成立，即得证；
（3）由，则，
令，则，
令，则，
令，则，
当时，由（2）可知，，
则，
令，则，故在内单调递增，
则，故在上单调递增，
则，故在上单调递增，
则，故在上单调递增，
则，故在上单调递增，
由，
且定义域为，则为奇函数，
由，则在上单调递增，
故具有唯一零点.
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