（基础篇）2024-2025学年下学期小学数学人教版五年级暑假分层作业第八单元《数学广角--找次品》（含解析）

（基础篇）2024-2025学年下学期小学数学人教版五年级暑假分层作业第八单元《数学广角--找次品》
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．有5个螺帽，其中一个是次品，次品轻一些。编号后用天平来找次品，结果如下图，可以推断出（ ）一定是正品。
A．只有⑤ B．①②③ C．③④⑤ D．①②⑤
2．要在6个外观完全一样的黄球中，找出质量稍重的1个次品。用天平称，要保证2次能找出次品。第一次分，比较合适的分法是（ ）。
A．分成3份，分别是2，2，2 B．分成3份，分别是1，2，3
C．分成3份，分别是1，1，4 D．分成4份，分别是1，1，1，3
3．有26瓶水，其中25瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。假如用天平称，至少称（ ）次能保证找出这瓶盐水。
A．2 B．3 C．4 D．5
4．有12个零件，其中11个同样重，另一个轻一些。用天平称至少称（ ）次能保证找出这个零件。
A．3 B．4 C．5
二、填空题
5．有7盒饼于，其中有1盒少2块。至少用天平称( )次，才能找出这盒饼干。
6．妈妈买了7瓶质量相同的水果糖，其中一瓶被妹妹吃了几颗，用天平至少称( )次能保证找出这瓶水果糖。
7．在27枚金币中，有一枚质量稍轻的假金币，如果用天平称，至少( )次才能保证找出这枚假金币。
8．有15袋盐，其中有1袋质量不足，轻一些，至少称( )次才能保证找出这袋轻的盐。
9．一箱酱油有19瓶，其中18瓶质量相同，另外一瓶轻一些，用天平称，至少称( )次才能保证找到这瓶质量轻的酱油。
三、判断题
10．如果10个零件中有一个次品（次品的质量轻一些），要保证找到次品，至少要称3次。( )
11．从十件相同物品中，九件完全一样，一件稍轻；要找出轻的物品，至少要用天平称3次才能保证找出来。( )
12．81瓶口香糖中混有1瓶略轻的口香糖，用天平称，至少称5次一定可以找到那瓶略轻的口香糖。( )
13．有13个乒乓球，其中有12个质量相同，另有一个较轻，如果用天平称，至少称3次保证能找出这个较轻的乒乓球。( )
四、解答题
14．有10瓶钙片，其中一瓶少了3片，用天平称，至少称几次能确保找出少了3片的那一瓶？请你设计一个方案。
15．有10个同样的乒乓球，其中有一个次品较轻。用天平称一称，至少称几次就一定能找出这个次品？
《（基础篇）2024-2025学年下学期小学数学人教版五年级暑假分层作业第八单元《数学广角--找次品》》参考答案
题号 1 2 3 4
答案 D A B A
1．D
【分析】5个螺帽里有一个较轻的次品，放在天平的两端，有较轻螺帽的那一端会上升，只有一个次品，可以推断③和④里面必然有一个是次品；所以也就间接的推断出①②⑤这三个肯定是正品。
【详解】根据分析得，③和④之间一定有一个是次品，①②⑤一定是正品。
故答案为：D
【点睛】此题的解题关键是利用天平平衡的原理推断出结果。
2．A
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】由分析可得：要在6个外观完全一样的黄球中，找出质量稍重的1个次品。用天平称，要保证2次能找出次品。第一次分，比较合适的分法是分成3份，分别是2，2，2。
故答案为：A
3．B
【分析】把26瓶分成9，9，8三份，第一次称确定次品在哪一份中；再把次品所在平均分成三份，第二次称确定次品在哪一份；把次品所在的那一份平均分成3份，第三次称，确定次品所在。
【详解】把25瓶水分成（9、9、8）三组；
第一次称天平两边各放9瓶，有两种情况：如果天平平衡，则没称的那8瓶里有一瓶略重一些的；如果天平不平衡，则较重的那一端的9瓶里有一瓶略重一些的。
天平不平衡的情况下：第二次称把较重的9瓶分成（3、3、3）三组，天平两边各放3瓶，有两种情况：
①如果天平平衡则没称的3瓶里有一瓶略重一些的，第三次称把没称的3瓶分成（1、1、1）三组，天平不平衡，较重的那一端的1瓶是略重一些的；如果天平平衡则没称的1瓶是略重一些的；
②如果天平不平衡，则较重的那一端的3瓶里有一瓶略重一些的，第三次称把较重的3瓶分成（1、1、1）三组，天平两边各放1瓶，如果天平平衡则没称的1瓶是略重一些的，如果天平不平衡则较重的那一端的1瓶是略重一些的。
天平平衡的情况下：第二次称把没称的8瓶分成（3、3、2）三组，天平两边各放3瓶，如果天平平衡则没称的2瓶里有一瓶略重一些的，如果天平不平衡，则较重的那一端的3瓶里有一瓶略重一些的。第三次称把较重的3瓶或者没称的2瓶分成（1、1、1）三组，天平两边各放1瓶，如果天平平衡则没称的1瓶是略重一些的，如果天平不平衡则较重的那一端的1瓶是略重一些的。
所以至少称3次能保证找出这瓶盐水。
故答案为：B
4．A
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将12个零件分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡都可确定次品在其中4个；将4个分成（1、1、2），称（1、1），只考虑最不利的情况，平衡，次品在2个中；再称1次即可确定次品，共3次。
故答案为：A
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
5．2/两/二
【分析】把7盒儿饼干分成3组，即3盒、3盒、1盒。
先在天平的两边分别放上3盒，如果平衡，则剩下的1盒就是少几块那一盒。
如果不平衡，那么天边低的那一端的3盒再分成l盒、1盒、l盒，在天平的两端分别放上l盒，如果平衡，剩下的那一盒就是少几块的那一盒，如果不平衡，那么天平低的那一端就是少几块的那一盒。
【详解】根据分析得，有7盒饼干，其中有1盒少2块，如果用天平称，至少称2次能保证可以找出这盒饼干。
【点睛】本题考查了找次品的方法。掌握称的方法是解答本题的关键。
6．2
【分析】将7瓶水果糖分组，考虑最不利的情况，利用天平的平衡性称出质量轻的一瓶。
【详解】将质量轻的一瓶当作次品。
第一次，将7瓶水果糖分成（3，3，1）三份，将（3，3）两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；
第二次，将含有次品的3瓶，分成（1，1，1）三份，将其中两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；
由此可找到轻的一瓶。
所以用天平至少称2次能保证找出这瓶水果糖。
【点睛】利用天平的平衡原理解决问题，解答时注意，分组时是从中任意取3瓶，体现公平性。
7．3/三
【分析】第一次，把27枚金币分成3份：9枚、9枚、9枚，取两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有次品的那份分成3份：3枚、3枚、3枚，取两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第三次，取含有次品的一份（3枚），取2枚分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品是未取的那枚，若天平不平衡，则较轻的为次品，据此即可找到次品。
【详解】在27枚金币中，有一枚质量稍轻的假金币，如果用天平称，至少3次才能保证找出这枚假金币。
【点睛】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键，待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。
8．3
【分析】根据找次品的方法，逐渐缩小次品的所在范围，直到找出这袋较轻的盐。
【详解】第一次：将15袋盐平均分成3份，每份5袋，任选两份放在天平的两端，如果平衡，那么未称重的一份含有次品，如果不平衡，哪边较轻哪边含有次品；
第二次：把含有次品的5袋盐分成3份，前2份各2袋盐，后1份1袋盐，将前2份放在天平的两端，如果平衡，那么未称重的一袋是次品，如果不平衡，哪边较轻哪边含有次品；
第三次：将含有次品的2袋盐放在天平两端，哪边较轻哪边就是次品。
所以，至少称3次才能保证找出这袋轻的盐。
【点睛】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。
9．3
【分析】首先，将19瓶酱油分成6瓶、6瓶、7瓶三份。第一次称重，将两份6瓶的分别放在天平两端，如果天平平衡，则轻的那瓶在7瓶的那份中；如果天平不平衡，则轻的那瓶在天平上升的那端。
若在7瓶的那份中，第二次称重，将7瓶分成2瓶、2瓶、3瓶三份，将两份2瓶的分别放在天平两端，如果天平平衡，则轻的那瓶在3瓶的那份中；如果天平不平衡，则轻的那瓶在天平上升的那端。
若在3瓶的那份中，第三次称重，将其中两瓶分别放在天平两端，如果天平平衡，则剩下的那瓶是轻的；如果天平不平衡，则轻的那瓶在天平上升的那端。若在2瓶的那份中，第三次称重，将这两瓶分别放在天平两端，轻的那瓶在天平上升的那端。
若第一次称重后，轻的那瓶在6瓶的那份中，第二次称重，将6瓶分成2瓶、2瓶、2瓶三份，任取两份分别放在天平两端，如果天平平衡，则轻的那瓶在剩下的2瓶中；如果天平不平衡，则轻的那瓶在天平上升的那端。第三次称重，将含有轻的那瓶的2瓶分别放在天平两端，轻的那瓶在天平上升的那端，据此解答。
【详解】综上分析所述，至少称3次才能保证找到这瓶质量轻的酱油。
10．√
【分析】把10个零件分成3份，即（3，3，4）﹔第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的4个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4个零件分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一个；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；最后把有次品的2个零件分成（1，1），第三次称，天平两边各放1个，次品就是较轻的那一个。所以至少称3次保证就一定能找出次品。
【详解】
根据分析得，
用天平至少称3次就能保证把这个次品找出来。
故答案为：√
【点睛】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
11．√
【分析】第一次，把10件物品分成3份：3件、3件、4件，取3件的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的物品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有较轻物品的一份（3件或4件），取2件分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的物品在未取的一份中，若天平不平衡，则天平较高的一端为较轻的物品；
第三次，取含有较轻物品的两件分别放在天平两侧，即可找到轻的物品。
【详解】从十件相同物品中，九件完全一样，一件稍轻；要找出轻的物品，至少要用天平称3次才能保证找出来，说法正确；
故答案为：√。
【点睛】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键，待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。
12．×
【分析】第一次：把81瓶口香糖分成（27、27、27）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第二次：把有次品的27瓶分成（9、9、9）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第三次：把含有次品的那一组再分为（3、3、3）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第四次：把含有次品的那一组再分为（1、1、1）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品。
【详解】由分析可知：要找出81瓶中那瓶略轻的口香糖，如果用天平称，至少称4次能保证找出这瓶略轻的口香糖。
故答案为：×
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
13．√
【分析】找次品的方法：一般是把待测物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的，使其中的2份相同，第3份尽量与这两份相同，再称其中的2份，根据天平平衡、不平衡进行判断，如果不能找出次品，继续把含有次品的份数再分成3份，方法同上，直到找出次品。
找次品的公式计算规律：
2～3个物品称1次；
4～9个物品称2次；
10～27个物品称3次；
28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。
……
【详解】13在10～27个之间，由分析可知，10～27个物品至少称3次。
所以原题说法正确。
故答案为：√
14．3；见详解
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此设计方案即可。
【详解】答：方案设计如下：把10瓶钙片分成3份，即（3，3，4）；第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的3瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的4瓶中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4瓶钙片分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一瓶；如果天平平衡，次品在剩下的2瓶中；最后把有次品的2瓶钙片分成（1，1），第三次称，天平两边各放1瓶，次品就是较轻的那一瓶。所以至少称3次能确保找出少了3片的那一瓶。
【点睛】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。
15．3次
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】经分析得：将10个同样的乒乓球分成3份：3，3，4；第一次称重，在天平两边各放3个，手里留4个。
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的4个分为2份：2，2，在天平两边各放2个，次品在上升的天平托盘中。接下来，将这2个分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。
（2）如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘的3个中，从这3个中取出2个，在天平两边各放1个，若平衡，则没称的那个是次品；若不平衡，则上升的那个是次品。
故至少称3次能保证找出次品。
答：至少称3次能保证找出次品。
【点睛】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
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