（进阶篇）2024-2025学年下学期小学数学人教版五年级暑假分层作业第八单元《数学广角--找次品》（含解析）

（进阶篇）2024-2025学年下学期小学数学人教版五年级暑假分层作业第八单元《数学广角--找次品》
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．有8瓶同样的钙片，其中1瓶被吃了2片。要找出这瓶比较轻的钙片，如果用天平称，下面（ ）种分法比较合理。
A． B． C．
2．桌上有8个球，编号分别是①至⑧，其中有7个球一样重，另外一个球轻一些。为了找出轻球，晶晶用天平称了两次，结果如下图。由此，可以知道轻球是（ ）。
A．⑧ B．⑥ C．④ D．②
3．桌上有8个球，编号分别是①至⑧，其中有6个球一样重，另外两个球都轻一些。为了找出轻球，小乐用天平称了三次，结果如下：
第一次：①②比③④轻；
第二次：⑤⑥比⑦⑧轻；
第三次：①③⑤与②④⑧一样重。
那么，两个轻球分别是（ ）号。
A．①和⑤ B．②和⑥ C．②和⑤ D．①和⑥
4．有11袋糖果，其中10袋质量相同，另外1袋略轻一些，至少称（ ）次能保证找出质量较轻的糖果。
A．2 B．3 C．4 D．5
5．至少称3次，就可以保证从零件中找到那一个次品，零件个数的范围是（ ）。
A．2个~3个 B．4个~9个 C．10个~27个 D．不能确定
6．土笋冻是福建泉州的特色小吃，是一种由特有产品加工而成的冻品。李阿姨有28包土笋冻，其中27包质量相同，另有1包轻一些。如果用天平称，至少称（ ）次才能保证找出这包土笋冻。
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．有11盒饼干，其中1盒质量稍重。如果第一次在天平左右两边都放4盒，天平平衡，那么接下来要从( )盒中找出这盒饼干。
8．有7盒规格为50根/盒的曲别针，其中6盒是正品，有1盒少装了2根。如果用天平称，至少称( )次可以保证找出这盒曲别针。
9．灰太狼用1瓶变形药水（质量比纯净水要稍重一点）偷换了羊村的24瓶纯净水中的1瓶，聪明的喜羊羊至少要称( )次，才能保证找出这瓶变形药水。
10．端午节，李阿姨包了15个粽子，其中有一个粽子没有放肉，比其他粽子略轻一些，如果用天平称，至少称( )次才能保证找到这个粽子。
11．泉州市德化县是千年古县、世界陶瓷之都，德化陶瓷款式异彩纷呈。李老板新进了81件同样型号的德化陶瓷杯，其中80件质量相同，1件质量偏轻。如果用没有砝码的天平称，至少要称( )次，才能保证找出这件质量偏轻的陶瓷杯。
三、判断题
12．从十件相同物品中，九件完全一样，一件稍轻；要找出轻的物品，至少要用天平称3次才能保证找出来。( )
13．16个零件中有一个次品，这个次品比其他零件稍轻，用天平至少称4次能保证找出这个次品。( )
四、解答题
14．有10瓶钙片，其中一瓶少了3片，用天平称，至少称几次能确保找出少了3片的那一瓶？请你设计一个方案。
15．8个零件中有一个是次品（次品轻一些），如果用天平称，至少称几次保证能找出次品？
16．小丽买来3盒巧克力，其中的一盒为次品（可能比其他两盒轻一些，也可能比其他两盒重一些），小丽说：“我用天平称，至少称一次就能保证找出这盒次品”。小丽说得对不对？
17．有21袋棒棒糖，其中有1袋质量稍轻一些，是次品。
（1）如果用天平称，至少称几次可以保证找出次品？请写出主要过程。
（2）称一次有可能找出次品吗？为什么？
《（进阶篇）2024-2025学年下学期小学数学人教版五年级暑假分层作业第八单元《数学广角--找次品》》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B C B C D
1．B
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么比较轻的钙片在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么比较轻的钙片在天平上翘的一组里面，依次找出比较轻的钙片所在的组，直到最后找出这瓶钙片，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【详解】
由上可知，这种分法比较合理。
故答案为：B
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
2．B
【分析】根据图可知，①＋②＝③＋④，②＋⑤＝⑦＋⑧，由此即可知道①、②、③、④、⑤、⑦、⑧这7个球的重量相同，由此即可判断出轻球是剩余的那个。
【详解】由分析可知：
①、②、③、④、⑤、⑦、⑧这7个球的重量相同，所以轻球是⑥
故答案为：B
3．C
【分析】根据前两次的结果，可知①、②、⑤、⑥中至少有两个是轻的。根据第三次结果，①③⑤与②④⑧一样重，那么前后应各有一个轻点的球，对比第一次和第二次的结果，可以推断出②和⑤是轻的。
【详解】根据第一次称得的结果可知：①和②中至少有一个是轻的；
根据第二次称得的结果可知：⑤和⑥中至少有一个是轻的；
根据第三次称得的结果可知：①、②、⑤中只能是⑤和②较轻，天平才平衡。
所以，两个轻球编号分别是②和⑤。
故答案为：C
【点睛】本题考查了找次品，有一定逻辑推理能力，掌握天平找次品的方法是解题的关键。
4．B
【分析】把11袋糖果，分成4，4，3三份，第一次称，确定次品所在的那一份；再把次品所在的那一份平均分成三份，第二次称，确定次品所在；第三次称，找出质量较轻的糖果。
【详解】有11袋糖果，其中10袋质量相同，另外1袋略轻一些，至少称3次能保证找出质量较轻的糖果。
故答案为：B
【点睛】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的计算方法。
5．C
【分析】把27个零件分成9个，9个，9个的三份，第一次：把其中两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品即在未取的9个零件中（按照下面方法继续操作），若不平衡，则次品在天平秤较高端的9个零件中；第二次：把天平秤较高端的9个零件分成3个，3个，3个的三份，把其中两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品即在未取的个零件中（按照下面方法继续操作），若不平衡，则次品在天平秤较高端的3个零件中；第三次：从天平秤较高端的3个零件中，任取2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那个零件即为次品，若不平衡，天平秤较高端的零件即为次品，所以取值范围最大是27，据此解答即可。
【详解】A．2个～3个，称一次就可以找到次品；
B．4个～9个，称两次就可以找到次品；
C．至少称3次，就可以保证从零件中找到那一个次品，零件个数的范围是10个～27个。
故答案为：C
6．D
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】将28包分成3份：9，9，10；第一次称重，在天平两边各放9包，手里留10包；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的10包分为3，3，4，在天平两边各放3包，手里留4包，
a.如果天平平衡，则次品在手里4包中，接下来，将手里的4包分为1，1，2，在天平两边各放1包，手里留2包，
①如果天平平衡，则次品在手里的2包，将这2包分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；
②如果天平不平衡，则次品在升起的一边；
b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3包中，
接下来，将这3包分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1包，手里留1包，称重第三次就可以鉴别出次品。
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的9包中，将这9包分成三份：3，3，3，在天平两边各放3包，手里留3包，
a.如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的3包中，
接下来，将这3包分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1包，手里留1包，称重第三次就可以鉴别出次品。
b.如果天平平衡，则次品在手中的3包中。
接下来，将这3包分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1包，手里留1包，称重第三次就可以鉴别出次品。
综上可得：至少称4次能就能保证可以找出这一包。
故答案为：D
【点睛】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
7．3
【分析】根据题意，将有11盒饼干分成了3组（4，4，3），如果第一次在天平左右两边都放4盒，天平平衡，那么质量较重的那一盒在剩下的3盒中，所以接下来要从3盒中找出这盒饼干；据此解答。
【详解】根据分析，11－4－4＝3（盒）
所以，如果第一次在天平左右两边都放4盒，天平平衡，那么接下来要从（3）盒中找出这盒饼干。
【点睛】此题考查了找次品的知识内容，结合条件计算即可，属于基础题。
8．2/两/二
【分析】将7盒曲别针分组，考虑最不利的情况，利用天平的平衡性称出质量较轻的一盒。
【详解】将质量轻的一盒当作次品。
第一次，将7盒曲别针分成（3，3，1）三份，将（3，3）两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；
第二次，将含有次品的3盒，分成（1，1，1）三份，将其中两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；由此可找到轻的一盒。
综上，在7盒曲别针中有一盒次品，如果用天平称，至少称2次可以保证找出这盒曲别针。
【点睛】利用天平的平衡原理解决问题，解答时注意，分组时是从中任意取3盒，体现公平性。
9．3
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】经分析得：
将24瓶分成3份：8，8，8；第一次称重，在天平两边各放8瓶，手里留8瓶；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的8瓶分为3，3，2，在天平两边各放3瓶，手里留2瓶，
a.如果天平平衡，则次品在手里2瓶中，接下来，将这2瓶分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；
b.如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘的3瓶中。
接下来，将这3瓶分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1瓶，手里留1瓶，称重第三次就可以鉴别出次品。
（2）如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘的8瓶中，将这8瓶分成三份：3，3，2，在天平两边各放3瓶，手里留2瓶，
a.如果天平不平衡，则找到次品在下降的天平托盘的3瓶中，
接下来，将这3瓶分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1瓶，手里留1瓶，称重第三次就可以鉴别出次品。
b.如果天平平衡，则次品在手中的2瓶中，再称一次就可以鉴别出次品。
故至少称3次能就能保证可以找出这一瓶。
【点睛】本题考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
10．3
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。据此解答。
【详解】第一次分组称重
把15个粽子分成5个、5个、5个三组。把其中的两组放在天平两端，如果天平平衡，没有放肉的粽子就在没称的那5个中；如果天平不平衡，较轻的那5个中就有没有放肉的粽子。
第二次分组称重
如果第一次称重后确定较轻的粽子在5个那组中，把这5个粽子分成2个、2个、1个三组。把两份2个的分别放在天平两端，如果天平平衡，没有放肉的粽子就是剩下的那1个；如果天平不平衡，较轻的那2个中就有没有放肉的粽子。
第三次称重
如果第二次称重后确定较轻的粽子在2个那组中，把这1个粽子分别放在天平两端，较轻的那个就是没有放肉的粽子。
因此如果用天平称，至少称3次才能保证找到这个粽子。
11．4
【分析】在找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品时称量的次数最少。先把81件平均分成3组，每组27件，通过称量1次可找出次品所在的组；再把次品所在组的27件平均分成3组，每组9件，通过称量1次可找出次品所在的组；再把次品所在组的9件平均分成3组，每组3件，通过称量1次可找出次品所在的组；再把次品所在组的3件平均分成3组，每组1件，通过称量1次可找出次品。即至少要称4次，才能保证找出这件质量偏轻的陶瓷杯。
【详解】81＝3×3×3×3＝34
所以至少要称4次，才能保证找出这件质量偏轻的陶瓷杯。
【点睛】测n次可以从[（n－1）个3相乘的积＋1]个物品到（n个3相乘的积）个物品之中找出次品。因为每次称量，都可以把待测物品平均分成三组，确定次品在其中一组当中。
12．√
【分析】第一次，把10件物品分成3份：3件、3件、4件，取3件的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的物品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有较轻物品的一份（3件或4件），取2件分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的物品在未取的一份中，若天平不平衡，则天平较高的一端为较轻的物品；
第三次，取含有较轻物品的两件分别放在天平两侧，即可找到轻的物品。
【详解】从十件相同物品中，九件完全一样，一件稍轻；要找出轻的物品，至少要用天平称3次才能保证找出来，说法正确；
故答案为：√。
【点睛】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键，待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。
13．×
【分析】用天平称重找质量较轻的零件时，先把零件数量分成尽可能平均的三组，先称数量相同的两组，如果天平平衡那么次品在剩下一组零件里边，如果天平不平衡那么次品在天平上翘一端的零件里边，依次用天平称重，最后即可找出质量较轻的零件。
【详解】
综上所述，用天平至少称3次能保证找出这个次品。
故答案为：×
【点睛】熟练掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
14．3；见详解
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此设计方案即可。
【详解】答：方案设计如下：把10瓶钙片分成3份，即（3，3，4）；第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的3瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的4瓶中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4瓶钙片分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一瓶；如果天平平衡，次品在剩下的2瓶中；最后把有次品的2瓶钙片分成（1，1），第三次称，天平两边各放1瓶，次品就是较轻的那一瓶。所以至少称3次能确保找出少了3片的那一瓶。
【点睛】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。
15．2次
【分析】将这些零件尽可能平均分成3份，可以分成（3，3，2）；将（3，3）两份用天平称，如果平衡，次品在没称的2个内，再称一次没称的2个，轻的为次品；如果（3，3）两份不平衡，次品在轻的一边，将3个零件平均分成3份（1个、1个、1个），再用天平称，如果称前两个天平平衡，那么另一个是次品；如果不平衡，轻的是次品；据此解答。
【详解】把8个零件分成三份：（3，3，2）
第一次：取（3，3）分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在剩下未称的2个中，若天平不平衡，取较轻的3个分成（1，1，1）继续称量；
第二次：若天平平衡，剩下未称的2个分成（1，1），次品为轻的那个零件；若天平不平衡，取较轻的3个分成（1，1，1），称前两个天平平衡，那么另一个是次品，如果不平衡，轻的是次品。
答：至少称2次保证能找出次品。
16．不对
【分析】如图示，第一种情况，看图1，天平称红色和绿色的巧克力，天平是平衡的，可以确定没有次品。第二种情况，看图2，红色和绿色一起称，天平向红色这边倾斜，仍然不知道哪个才是次品，第三种情况，看图3，蓝色和绿色一起称，天平向蓝色这边倾斜，结合前面2种情况，绿色比红色和蓝色都要轻，据此判断，绿色巧克力是次品。
图1 图2 图3
【详解】根据题意，小丽说的至少称一次就能保证找出这盒次品，因为不确定哪个是次品至少要称2次，才能找到次品，所以小丽说的不对。
答：小丽说的不对。
17．（1）3次；过程见详解
（2）有可能；原因见详解
【分析】（1）找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
（2）极端情况下，称一次有可能找出次品，即次品刚好是其中的1袋的情况。
【详解】（1）将21袋分成（7、7、7），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，称（7、7），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中7袋；将7袋分成（2、2、3），称（2、2），平衡，次品在3袋中；将3袋分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次。
答：至少称3次可以保证找出次品。
（2）称一次有可能找出次品。天平两端各放10袋，平衡，则剩下的1袋就是次品；或者任取2袋，天平两端各放1袋，不平衡，天平高的一端就是次品。
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