苏科版新版数学七年级上册 教学课件 6.3 相交线（49张PPT）

(共49张PPT)
第六章 平面图形的初步认识 6.3
相交线
苏科版（2024）七年级上册数学课件
01
学习目标
03
课堂练习
02
新课讲解
04
课后总结
目录
学习目标
第一部分
PART 01
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01 理解对顶角的概念与性质
03 理解垂线段的性质，会表示并计算点到直线的距离
学习目标
02 理解垂线的概念以及垂直公理
新课讲解
第二部分
PART 02
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小学里，我们已经认识了相交线。
如图，过一点可以画出无数条相交的直线，
那么，如何描述这些相交线的位置关系呢
O
这些相交线相交于点O。
新课讲解
对顶角
问题——将两根细木条钉在一起，可以形成哪些角
这些角之间有什么关系
相邻的两个角互补
相对的两个角相等
新课讲解
对顶角
两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角。
如图，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4也是对顶角。
新课讲解
思考——如图，∠1和∠3，∠2和∠4分别有怎样的数量关系？
解：∵∠1，∠3都是∠2的补角，
∴∠1=∠3（同角的补角相等）；
同理，可以得到∠2=∠4。
新课讲解
对顶角的性质
于是，我们得到如下结论：
两直线相交，对顶角相等。
新课讲解
尝试——如图，直线AB、CD、EF相交于点O。图中有多少对对顶角 请分别把它们表示出来。
【分析】6对
AB与CD相交：∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC；
AB与EF相交：∠AOE与∠BOF，∠AOF与∠BOE；
CD与EF相交：∠COE与∠DOF，∠COF与∠DOE。
新课讲解
例1、下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
B
例题讲解
例2、(1)如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC:∠AOD=2:3，则∠BOD等于（　　）
A．36° B．72° C．60° D．75°
B
【分析】
∵∠AOC:∠AOD=2:3，∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOC=180°×=72°，
∴∠BOD=∠AOC=72°。
例题讲解
例2、(2)若∠1与∠2互余，∠3与∠2互补，∠4与∠3是对顶角，则∠4与∠1的数量关系是（　　）
A．∠1=∠4 B．∠4+∠1=90°
C．∠1-∠4=90° D．∠4-∠1=90°
【分析】∵∠1与∠2互余，∠3与∠2互补，∠4与∠3是对顶角，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=180°，∠4=∠3，
∴∠3-∠1=90°，
∴∠4-∠1=90°。
D
例题讲解
例2、(3)两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(2x-10)°和(110-x)°，则x=__________。
【分析】
两条直线相交所成的四个角中，对顶角相等，相邻角互补，
由题意可得：(2x-10)°=(110-x)°或(2x-10)°+(110-x)°=180°，
解得：x=40或x=80。
40或80
例题讲解
例3、如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE:∠EOC=2:3，OF平分∠BOE。
(1)若∠BOD=65°，求∠BOE；(2)若∠AOE=∠BOF-10°，求∠COE。
【分析】(1)∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD=65°，
∵∠AOE:∠EOC=2:3，
∴∠AOE=∠AOC=26°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-26°=154°；
例题讲解
例3、如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE:∠EOC=2:3，OF平分∠BOE。
(1)若∠BOD=65°，求∠BOE；(2)若∠AOE=∠BOF-10°，求∠COE。
(2)设∠AOE=2x，∠EOC=3x，
∵∠AOE=∠BOF-10°，∴∠BOF=4x+20°，
∵OF平分∠BOE，∴∠BOE=2∠BOF=8x+40°，
∴∠AOE+∠BOE=2x+8x+40°=180°，解得：x=14°，
∴∠COE=3x=42°。
例题讲解
如图，转动细木条b，
∠1和∠2的大小关系如何变化
O
a
b
2
1
一开始∠1<∠2，后来∠1>∠2。
我感觉细木条b转动到某个位置时，∠1=∠2。
新课讲解
垂直
当∠1=∠2时，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠2=90°。
O
a
b
2
1
我感觉细木条b转动到某个位置时，∠1=∠2。
新课讲解
如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。
垂线
如图，两条直线互相垂直，
记作“a⊥b”或“AB⊥CD”，垂足是O。
A
B
C
D
a
b
O
定义解读：这里的垂直，指的是相交垂直。
新课讲解
思考——若两条直线互相垂直，那么两条直线一定相交吗？
不一定，有可能异面垂直！
a
b
O
初中阶段只学习相交垂直，即在同一个平面内的垂直
新课讲解
如图，如果∠1=90°，那么a⊥b。
a
b
O
1
如果a⊥b，那么∠1=90°。
新课讲解
尝试——1.已知直线a与直线a外的一点P。根据图中提供的方法，过点P画直线a的垂线，这样的垂线能画几条
有且只有1条
a
a
a
b
P
P
P
新课讲解
2.如图，过直线a上的一点Q，画直线a的垂线，
这样的垂线能画几条
a
Q
a
Q
a
b
Q
有且只有1条
新课讲解
垂直公理
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
通过实践，人们总结出如下基本事实：
公理详解：
①“在同一平面内”是前提；
②“过一点”可以是过已知直线外一点，也可以是过已知直线上一点。
新课讲解
思考——若缺少了“在同一平面内”是前提，会出现怎样的情况呢？
P
a
直线b和c都符合要求，即过一点不止有一条直线与已知直线垂直。
如图，过点P作直线a的垂线。
c
b
新课讲解
练一练——画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线。如图，分别过点A、D画BC的垂线，垂足分别为E、F。
新课讲解
例1、如图，直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥AB，∠EOD=25°，则∠AOC=__________。
【分析】
∵EO⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∴∠AOC=180°-25°-90°=155°-90°=65°。
65°
例题讲解
例2、已知三条射线OA，OB，OC，OA⊥OC，∠AOB=60°，则∠BOC等于____________。
【分析】如图1，
∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-60°=30°；
如图2，∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，
∴∠BOC=∠AOC+∠AOB=90°+60°=150°；
综上，∠BOC的度数为30°或150°。
30°或150°
例题讲解
例3、如图，过点P作线段AB的垂线，垂足在（　　）
A．线段AB上 B．线段AB的延长线上
C．线段AB的反向延长线上 D．直线AB外
【分析】如图，垂足在线段AB的延长线上。
B
例题讲解
我们知道，两点之间的距离是两点之间线段的长度，
那么，如何测量一个点到一条直线的距离呢
问题——在跳远比赛中，裁判员怎样测量跳远成绩
起跳线l
新课讲解
垂线段
如图，裁判员将皮尺的起始端固定在点P，拉紧皮尺，使皮尺PO⊥l，垂足为O，线段PO的长度就是运动员所跳的距离。
起跳线l
Q
新课讲解
如图，过直线l外一点P作l的垂线，垂足为O，线段PO叫作点P到直线l的垂线段。
l
O
P
新课讲解
尝试——如图，把一根橡皮筋的一端固定在点P处，另一端Q沿直线l左右移动。在移动过程中，观察线段PQ长度的变化，你有什么发现
l
Q
P
当PQ⊥l时，PQ长度最短。
新课讲解
垂线段的性质
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
l
O
P
O1
O2
O3
新课讲解
点到直线的距离
eg：如图，垂线段PO的长度就是点P到直线l的距离。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离。
l
O
P
新课讲解
探究——如图，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度.
1.能否找到点M，使点M到直线m的距离为2个单位长度 这样的点有多少个
m
n
能，这样的点有无数个。
新课讲解
2.能否找到点N，使点N到直线m，n的距离分别为2个、1个单位长度 这样的点有多少个
m
n
能，这样的点有4个。
探究——如图，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度.
新课讲解
3.能否找到点P，使点P到直线m，n的距离相等 这样的点有多少个
m
n
探究——如图，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度.
能，这样的点有无数个。
新课讲解
例1、如图，计划把河水引到水池A中，可以先引AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，则能使所开的渠最短，这样设计的依据是（　　）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．过两点有且只有一条直线
A
例题讲解
例2、(1)如图，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，线段CD的长度是（　　）
A．点A到BC的距离
B．点B到AC的距离
C．点C到AB的距离
D．点D到AC的距离
C
例题讲解
例2、(2)如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，图中能用现有字母表示的线段中，长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有________条。
【分析】如图，线段BC的长是点B到AC的距离，
线段AC的长是点A到BC的距离，
线段CD的长是点C到AB的距离，
线段BD的长是点B到CD的距离，
线段AD的长是点A到CD的距离，
故图中能表示点到直线距离的线段共有5条。
5
例题讲解
课堂练习
第三部分
PART 03
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例3、(1)点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线m的距离为（　　）
A．4cm B．2cm
C．小于2cm D．不大于2cm
D
课堂练习
例3、(2)如图，CD⊥AB，垂足是点D，AC=8，BC=6，CD=4，点E是线段AB上的一个动点（包括端点），连接CE，那么CE的长为整数值的线段有（　　）
A．3条 B．8条 C．7条 D．5条
【分析】∵CD⊥AB，垂足是点D，AC=8，BC=6，CD=4，
∴CE长的范围是4≤CE≤8，
当点E由A向B运动时，CE的整数值线段长度分别为：8、7、6、5、4、5、6，共7条。
C
课堂练习
课后总结
第四部分
PART 04
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对顶角：
两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角。
对顶角的性质：
两直线相交，对顶角相等。
垂线：
如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。
垂直公理：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
课后总结
垂线段的性质：
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离。
课后总结
第六章 平面图形的初步认识 6.3
相交线
苏科版（2024）七年级上册数学课件