课时分层作业(三十九)
1．C [选项C中“时间”为确定的值，故不是随机变量．]
2．A [正面向上的次数是随机变量X，其取值是0，1，故选A．]
3．B [由于取到白球试验结束，那么取球次数可以是1，2，3，…，7，故选B．]
4．A [由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是 6，7，8，9四位数字的不同排列，故有＝24种．]
5．C [“ξ＝5”表示前4次均未击中目标．]
6．一颗骰子是1点，另一颗是6点，或一颗骰子是2点，另一颗是3点
7．0，1 [X可能取值有两种，即0，1．]
8．0，1，2
9．解：X＝6表示的试验结果是“射击了6次，前5次都未击中目标，第6次击中目标”．
10．解：(1)ξ可能取的值为0，1，2，3．
(2){ξ＝1}表示的事件：第一次取得次品，第二次取得正品．
11．C [“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6．]
12．C [X的所有可能取值有1×2，1×3，1×4，1×5，2×3，2×4，2×5，3×4，3×5，4×5，共10个．]
13．BCD [两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数，故A错误，BCD正确．]
14．3，2，1，0 300分，100分，－100分，－300分 [可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．]
15．解：ξ可能取值为0，1，2，3，4，5．
“ξ＝0”表示在第一盏信号灯前停下：
“ξ＝1”表示通过了一盏信号灯，在第2盏信号灯前停下：
“ξ＝2”表示通过了两盏信号灯，在第3盏信号灯前停下：
“ξ＝3”表示通过了三盏信号灯，在第4盏信号灯前停下：
“ξ＝4”表示通过了四盏信号灯，在第5盏信号灯前停下：
“ξ＝5”表示在途中没有停下，直达目的地．
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第六章 概率
§2 离散型随机变量及其分布列
2.1 随机变量
学习任务 核心素养
1．理解随机变量的含义．
2．了解随机变量与函数的区别与联系．(重点)
3．会用随机变量描述随机现象．(重点、难点) 1．通过对随机变量有关概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助用随机变量描述随机现象，培养数学建模素养．
1．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵数为X，则X取什么数字？
2．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？
必备知识·情境导学探新知
随机变量
(1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个__________表示．在这个对应关系下，____随着________的变化而变化．像这种取值随着________变化而变化的量称为随机变量．
(2)表示：随机变量常用字母____________等表示．
确定的数值
数值
试验结果
试验结果
X，Y，ξ，η
思考 任何随机试验的结果都可以用数字表示吗？
[提示] 可以．实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系，根据问题的需要选择相应数字．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个． ( )
(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量． ( )
(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量． ( )
(4)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值． ( )
√
√
√
√
2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用X表示甲的得分，则X＝3表示( )
A．甲赢三局
B．甲赢一局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
√
D [由题意得X＝3有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．]
3．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有____种．
21
4．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，则ξ的可能取值为________．
0，1，2
关键能力·合作探究释疑难
类型1 随机变量的概念
【例1】 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中2026年5月1日的旅客数量；
(2)2025年5月1日到12月1日期间所查酒驾的人数；
(3)2026年6月1日上海到北京的某次动车到北京站的时间；
(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．
[思路点拨] 判断所给的量是否随试验结果的变化而变化，发生变化的是随机变量．
[解] (1)旅客人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)所查酒驾的人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．
反思领悟 1．解答本题主要是运用随机变量的定义，透彻理解定义是解此类题的关键．
2．随机变量X满足三个特征：
(1)可以用数来表示；
(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；
(3)在试验之前不能确定取何值．
[跟进训练]
1．下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)任意掷一枚质地均匀的硬币5次，出现正面向上的次数；
(2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；
(3)标准大气压下，水沸腾的温度．
[解] (1)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0，1，2，3，4，5，而且出现哪种结果是随机的，因此是随机变量．
(2)投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)标准大气压下，水沸腾的温度100 ℃是定值，所以不是随机变量．
类型2 用随机变量表示随机试验的结果
【例2】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
[思路点拨] 分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果
[解] (1)设所需的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…，10，11，
X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，…，11．
(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3，4，5，…，11．
X＝3，表示取出标有1，2的两张卡片；
X＝4，表示取出标有1，3的两张卡片；
X＝5，表示取出标有2，3或标有1，4的两张卡片；
……
X＝11，表示取出标有5，6的两张卡片．
反思领悟 1．解答此类问题，关键是要弄清题意，第(1)问中，X＝1，2，…，11所表示的结果不需要分别列出来，引入变量i，可写成X＝i．
2．在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意随机变量的一个值表示多个试验结果的情况，不能遗漏某些试验结果．
[跟进训练]
2．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ；
(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟．
[解] (1)ξ可取3，4，5．
ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；
ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；
ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5．
(2)ξ的可能取值为区间[0，59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间．
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．下列变量中，不是随机变量的是( )
A．一射击手射击一次命中的环数
B．某个人的属相随年龄的变化
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
B [属相是出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．故选B．]
2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是
( )
A．取到产品的件数 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
√
C [取到次品的件数可能为0，1，2是随机的，可作为随机变量．]
3．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是( )
A．两枚都是4点
B．一枚1点，另一枚3点
C．两枚都是2点
D．一枚是1点，另一枚是3点；或者两枚都是2点
√
D [由于抛掷1枚骰子，可能出现的点数是1，2，3，4，5，6这6种情况之一，而X表示抛掷2枚骰子所得到的点数之和，所以X＝4＝1＋3＝2＋2表示的随机试验结果是：1枚是1点，另1枚是3点；或者2枚都是2点．]
4．一串钥匙有5把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数ξ的最大可能取值为________．
4 [因为只有5把钥匙，最多只需试验4次，故ξ≤4．]
4
5．(教材P197例2改编)甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．
[解] 根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．
1．随机变量可将随机试验的结果数量化．
2．随机变量与函数的异同点：
随机变量 函数
相同点 都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域
不同点 把试验结果映射为实数，即随机变量的自变量是试验结果 把实数映射为实数，即函数的自变量是实数
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
课时分层作业(三十九) 随机变量
一、选择题
1．下列不是随机变量的是( )
A．从编号为1～10号的小球中随意取一个小球的编号
B．从早晨7：00到中午12：00某人上班的时间
C．A，B两地相距a km，以v km/h的速度从A到达B的时间
D．某十字路口一天中经过的轿车辆数
C [选项C中“时间”为确定的值，故不是随机变量．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
12
13
14
15
2．抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是( )
A．出现正面向上的次数
B．掷硬币的次数
C．出现正面向上的概率
D．出现反面向上的概率
√
A [正面向上的次数是随机变量X，其取值是0，1，故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
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14
15
3．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放回地从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )
A．1，2，3，…，6
B．1，2，3，…，7
C．0，1，2，…，5
D．1，2，…，5
√
B [由于取到白球试验结束，那么取球次数可以是1，2，3，…，7，故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为( )
A．24 B．20
C．18 D．12
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
12
13
14
15
5．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )
A．第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标
D．第4次击中目标
√
C [“ξ＝5”表示前4次均未击中目标．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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12
13
14
15
二、填空题
6．抛掷两颗骰子，所得点数之积记为X，则X＝6表示的随机试验的结果是_____________________________________________________
____．
一颗骰子是1点，另一颗是6点，或一颗骰子是2点，另一颗是3点
题号
2
1
3
4
5
6
8
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12
13
14
15
7．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则X的值可以是______．
0，1 [X 可能取值有两种，即0，1．]
0，1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
8．10件产品中有2件次品，从中任取2件，其中次品数ξ的所有可能取值是________．
0，1，2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
三、解答题
9．连续向一目标射击，直到命中目标为止，所需要的射击次数为X，写出X＝6所表示的试验结果．
[解] X＝6表示的试验结果是“射击了6次，前5次都未击中目标，第6次击中目标”．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
12
13
14
15
10．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ．
(1)写出ξ的所有可能取值；
(2)写出{ξ＝1}所表示的事件．
[解] (1)ξ可能取的值为0，1，2，3．
(2){ξ＝1}表示的事件：第一次取得次品，第二次取得正品．
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
12
13
14
15
11．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( )
A．ξ＝4 B．ξ＝5
C．ξ＝6 D．ξ≤5
C [“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6．]
题号
2
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3
4
5
6
8
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13
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15
12．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能取值的个数是( )
A．6 B．7
C．10 D．25
√
C [X的所有可能取值有1×2，1×3，1×4，1×5，2×3，2×4，2×5，3×4，3×5，4×5，共10个．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
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11
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13
14
15
13．(多选题)将一枚均匀骰子掷两次，能作为随机变量的是( )
A．两次掷得的点数
B．两次掷得的点数之和
C．两次掷得的最大点数
D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数之差
√
√
√
BCD [两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数，故A错误，BCD正确．]
题号
2
1
3
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5
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8
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11
12
13
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15
14．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲正确回答的题数X的所有可能取值是___________．选手甲回答这三个问题的总得分Y的所有可能取值是_________________________________．
3，2，1，0 300分，100分，－100分，－300分 [可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．]
3，2，1，0
300分，100分，－100分，－300分
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
15．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．
[解] ξ可能取值为0，1，2，3，4，5．
“ξ＝0”表示在第一盏信号灯前停下；
“ξ＝1”表示通过了一盏信号灯，在第2盏信号灯前停下；
“ξ＝2”表示通过了两盏信号灯，在第3盏信号灯前停下；
“ξ＝3”表示通过了三盏信号灯，在第4盏信号灯前停下；
“ξ＝4”表示通过了四盏信号灯，在第5盏信号灯前停下；
“ξ＝5”表示在途中没有停下，直达目的地．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15§2 离散型随机变量及其分布列
2.1 随机变量
学习任务 核心素养
1．理解随机变量的含义． 2．了解随机变量与函数的区别与联系．(重点) 3．会用随机变量描述随机现象．(重点、难点) 1．通过对随机变量有关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助用随机变量描述随机现象，培养数学建模素养．
1．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵数为X，则X取什么数字？
2．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？
随机变量
(1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示．在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化．像这种取值随着试验结果变化而变化的量称为随机变量．
(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．
任何随机试验的结果都可以用数字表示吗？
[提示] 可以．实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系，根据问题的需要选择相应数字．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个． ( )
(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量． ( )
(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量． ( )
(4)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用X表示甲的得分，则X＝3表示( )
A．甲赢三局
B．甲赢一局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
D [由题意得X＝3有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．]
3．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．
[答案] 21
4．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，则ξ的可能取值为________．
[答案] 0，1，2
类型1 随机变量的概念
【例1】 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中2026年5月1日的旅客数量；
(2)2025年5月1日到12月1日期间所查酒驾的人数；
(3)2026年6月1日上海到北京的某次动车到北京站的时间；
(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．
[思路点拨] 判断所给的量是否随试验结果的变化而变化，发生变化的是随机变量．
[解] (1)旅客人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)所查酒驾的人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．
1．解答本题主要是运用随机变量的定义，透彻理解定义是解此类题的关键．
2．随机变量X满足三个特征：
(1)可以用数来表示；
(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；
(3)在试验之前不能确定取何值．
[跟进训练]
1．下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)任意掷一枚质地均匀的硬币5次，出现正面向上的次数；
(2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；
(3)标准大气压下，水沸腾的温度．
[解] (1)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0，1，2，3，4，5，而且出现哪种结果是随机的，因此是随机变量．
(2)投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)标准大气压下，水沸腾的温度100 ℃是定值，所以不是随机变量．
类型2 用随机变量表示随机试验的结果
【例2】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
[思路点拨] 分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果
[解] (1)设所需的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…，10，11，
X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，…，11．
(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3，4，5，…，11．
X＝3，表示取出标有1，2的两张卡片；
X＝4，表示取出标有1，3的两张卡片；
X＝5，表示取出标有2，3或标有1，4的两张卡片；
……
X＝11，表示取出标有5，6的两张卡片．
1．解答此类问题，关键是要弄清题意，第(1)问中，X＝1，2，…，11所表示的结果不需要分别列出来，引入变量i，可写成X＝i．
2．在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意随机变量的一个值表示多个试验结果的情况，不能遗漏某些试验结果．
[跟进训练]
2．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ；
(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟．
[解] (1)ξ可取3，4，5．
ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；
ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；
ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5．
(2)ξ的可能取值为区间[0，59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间．
1．下列变量中，不是随机变量的是( )
A．一射击手射击一次命中的环数
B．某个人的属相随年龄的变化
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
B [属相是出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．故选B．]
2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
C [取到次品的件数可能为0，1，2是随机的，可作为随机变量．]
3．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是( )
A．两枚都是4点
B．一枚1点，另一枚3点
C．两枚都是2点
D．一枚是1点，另一枚是3点；或者两枚都是2点
D [由于抛掷1枚骰子，可能出现的点数是1，2，3，4，5，6这6种情况之一，而X表示抛掷2枚骰子所得到的点数之和，所以X＝4＝1＋3＝2＋2表示的随机试验结果是：1枚是1点，另1枚是3点；或者2枚都是2点．]
4．一串钥匙有5把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数ξ的最大可能取值为________．
4 [因为只有5把钥匙，最多只需试验4次，故ξ≤4．]
5．(教材P197例2改编)甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．
[解] 根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．
1．随机变量可将随机试验的结果数量化．
2．随机变量与函数的异同点：
随机变量 函数
相同点 都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域
不同点 把试验结果映射为实数，即随机变量的自变量是试验结果 把实数映射为实数，即函数的自变量是实数
课时分层作业(三十九) 随机变量
一、选择题
1．下列不是随机变量的是( )
A．从编号为1～10号的小球中随意取一个小球的编号
B．从早晨7：00到中午12：00某人上班的时间
C．A，B两地相距a km，以v km/h的速度从A到达B的时间
D．某十字路口一天中经过的轿车辆数
C [选项C中“时间”为确定的值，故不是随机变量．]
2．抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是( )
A．出现正面向上的次数
B．掷硬币的次数
C．出现正面向上的概率
D．出现反面向上的概率
A [正面向上的次数是随机变量X，其取值是0，1，故选A．]
3．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放回地从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )
A．1，2，3，…，6
B．1，2，3，…，7
C．0，1，2，…，5
D．1，2，…，5
B [由于取到白球试验结束，那么取球次数可以是1，2，3，…，7，故选B．]
4．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为( )
A．24 B．20
C．18 D．12
A [由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是 6，7，8，9四位数字的不同排列，故有＝24种．]
5．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )
A．第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标
D．第4次击中目标
C [“ξ＝5”表示前4次均未击中目标．]
二、填空题
6．抛掷两颗骰子，所得点数之积记为X，则X＝6表示的随机试验的结果是________．
[答案] 一颗骰子是1点，另一颗是6点，或一颗骰子是2点，另一颗是3点
7．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则X的值可以是________．
0，1 [X可能取值有两种，即0，1．]
8．10件产品中有2件次品，从中任取2件，其中次品数ξ的所有可能取值是________．
[答案] 0，1，2
三、解答题
9．连续向一目标射击，直到命中目标为止，所需要的射击次数为X，写出X＝6所表示的试验结果．
[解] X＝6表示的试验结果是“射击了6次，前5次都未击中目标，第6次击中目标”．
10．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ．
(1)写出ξ的所有可能取值；
(2)写出{ξ＝1}所表示的事件．
[解] (1)ξ可能取的值为0，1，2，3．
(2){ξ＝1}表示的事件：第一次取得次品，第二次取得正品．
11．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( )
A．ξ＝4 B．ξ＝5
C．ξ＝6 D．ξ≤5
C [“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6．]
12．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能取值的个数是( )
A．6 B．7
C．10 D．25
C [X的所有可能取值有1×2，1×3，1×4，1×5，2×3，2×4，2×5，3×4，3×5，4×5，共10个．]
13．(多选题)将一枚均匀骰子掷两次，能作为随机变量的是( )
A．两次掷得的点数
B．两次掷得的点数之和
C．两次掷得的最大点数
D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数之差
BCD [两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数，故A错误，BCD正确．]
14．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲正确回答的题数X的所有可能取值是________．选手甲回答这三个问题的总得分Y的所有可能取值是________________．
3，2，1，0 300分，100分，－100分，－300分 [可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．]
15．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．
[解] ξ可能取值为0，1，2，3，4，5．
“ξ＝0”表示在第一盏信号灯前停下；
“ξ＝1”表示通过了一盏信号灯，在第2盏信号灯前停下；
“ξ＝2”表示通过了两盏信号灯，在第3盏信号灯前停下；
“ξ＝3”表示通过了三盏信号灯，在第4盏信号灯前停下；
“ξ＝4”表示通过了四盏信号灯，在第5盏信号灯前停下；
“ξ＝5”表示在途中没有停下，直达目的地．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)§2 离散型随机变量及其分布列
2.1 随机变量
学习任务 核心素养
1．理解随机变量的含义． 2．了解随机变量与函数的区别与联系．(重点) 3．会用随机变量描述随机现象．(重点、难点) 1．通过对随机变量有关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助用随机变量描述随机现象，培养数学建模素养．
1．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵数为X，则X取什么数字？
2．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？
随机变量
(1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个__________表示．在这个对应关系下，____随着________的变化而变化．像这种取值随着________变化而变化的量称为随机变量．
(2)表示：随机变量常用字母__________等表示．
任何随机试验的结果都可以用数字表示吗？
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1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个． ( )
(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量． ( )
(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量． ( )
(4)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值． ( )
2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用X表示甲的得分，则X＝3表示( )
A．甲赢三局
B．甲赢一局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
3．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．
4．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，则ξ的可能取值为________．
类型1 随机变量的概念
【例1】 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中2026年5月1日的旅客数量；
(2)2025年5月1日到12月1日期间所查酒驾的人数；
(3)2026年6月1日上海到北京的某次动车到北京站的时间；
(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．
[思路点拨] 判断所给的量是否随试验结果的变化而变化，发生变化的是随机变量．
[尝试解答] ________________________________________________________
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1．解答本题主要是运用随机变量的定义，透彻理解定义是解此类题的关键．
2．随机变量X满足三个特征：
(1)可以用数来表示；
(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；
(3)在试验之前不能确定取何值．
[跟进训练]
1．下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)任意掷一枚质地均匀的硬币5次，出现正面向上的次数；
(2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；
(3)标准大气压下，水沸腾的温度．
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类型2 用随机变量表示随机试验的结果
【例2】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
[思路点拨] 分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果
[尝试解答] ________________________________________________________
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1．解答此类问题，关键是要弄清题意，第(1)问中，X＝1，2，…，11所表示的结果不需要分别列出来，引入变量i，可写成X＝i．
2．在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意随机变量的一个值表示多个试验结果的情况，不能遗漏某些试验结果．
[跟进训练]
2．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ；
(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟．
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1．下列变量中，不是随机变量的是( )
A．一射击手射击一次命中的环数
B．某个人的属相随年龄的变化
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
3．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是( )
A．两枚都是4点
B．一枚1点，另一枚3点
C．两枚都是2点
D．一枚是1点，另一枚是3点；或者两枚都是2点
4．一串钥匙有5把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数ξ的最大可能取值为________．
5．(教材P197例2改编)甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．
[尝试解答] ________________________________________________________
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1．随机变量可将随机试验的结果数量化．
2．随机变量与函数的异同点：
随机变量 函数
相同点 都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域
不同点 把试验结果映射为实数，即随机变量的自变量是试验结果 把实数映射为实数，即函数的自变量是实数
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(三十九) 随机变量
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．下列不是随机变量的是( )
A．从编号为1～10号的小球中随意取一个小球的编号
B．从早晨7：00到中午12：00某人上班的时间
C．A，B两地相距a km，以v km/h的速度从A到达B的时间
D．某十字路口一天中经过的轿车辆数
2．抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是( )
A．出现正面向上的次数
B．掷硬币的次数
C．出现正面向上的概率
D．出现反面向上的概率
3．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放回地从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )
A．1，2，3，…，6
B．1，2，3，…，7
C．0，1，2，…，5
D．1，2，…，5
4．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为( )
A．24 B．20
C．18 D．12
5．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )
A．第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标
D．第4次击中目标
二、填空题
6．抛掷两颗骰子，所得点数之积记为X，则X＝6表示的随机试验的结果是________．
7．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则X的值可以是________．
8．10件产品中有2件次品，从中任取2件，其中次品数ξ的所有可能取值是________．
三、解答题
9．连续向一目标射击，直到命中目标为止，所需要的射击次数为X，写出X＝6所表示的试验结果．
10．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ．
(1)写出ξ的所有可能取值；
(2)写出{ξ＝1}所表示的事件．
11．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( )
A．ξ＝4 B．ξ＝5
C．ξ＝6 D．ξ≤5
12．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能取值的个数是( )
A．6 B．7
C．10 D．25
13．(多选题)将一枚均匀骰子掷两次，能作为随机变量的是( )
A．两次掷得的点数
B．两次掷得的点数之和
C．两次掷得的最大点数
D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数之差
14．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲正确回答的题数X的所有可能取值是________．选手甲回答这三个问题的总得分Y的所有可能取值是________________．
15．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．
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