2.2 离散型随机变量的分布列
学习任务 核心素养
1．了解离散型随机变量及分布列的概念．(重点) 2．掌握离散型随机变量的分布列的求法．(难点) 1．通过对离散型随机变量及分布列的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助求离散型随机变量的分布列，培养数学运算素养．
1．掷一枚骰子，所得点数为X，X是离散型随机变量吗？X可取哪些数字？X取不同的值时，其概率分别是多少？
2．由问题1所得到的结论，能求出P(2＜X≤4)吗？
1．离散型随机变量
取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量X的分布列
(1)定义：若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作：P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…)①，把①式列成如下表：
X＝xi x1 x2 … xn …
P(X＝xi) p1 p2 … pn …
上述表或①式称为离散型随机变量X的分布列．
如果随机变量X的分布列为上述表或①式，我们称随机变量X服从这一分布列，并记作X～．
(2)性质：
在离散型随机变量X的分布列中，
①pi>0(i＝1，2，…，n，…)；
②p1＋p2＋…＋pn＋…＝1．
3．伯努利试验
若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p，每次“失败”的概率均为1－p，则称这样的试验为伯努利试验．
4．两点分布
如果随机变量X的分布列如表：
X 1 0
P p q
其中0＜p＜1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0－1分布或伯努利分布)．
两点分布不仅是最简单的，也是最重要的概率分布模型，在实际生活中有着广泛的应用．
在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为什么为1
[提示] 因为离散型随机变量所有取值对应的事件之和是必然事件，所以所有概率之和为1．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数． ( )
(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和． ( )
(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是( )
A．
ξ －1 0 1
P 0.3 0.4 0.4
B．
ξ 1 2 3
P 0.4 0.7 －0.1
C．
ξ －1 0 1
P 0.3 0.4 0.3
D．
ξ 1 2 3
P 0.3 0.1 0.4
[答案] C
3．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)＝________．
[设10个球中有白球m个，
则＝1－，
解得m＝5．P(X＝2)＝＝．]
类型1 离散型随机变量的判定
【例1】 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某超市5月份每天的销售额；
(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；
(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位ξ．
[解] (1)某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．
(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
(3)不是离散型随机变量，水位在(0，29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．
判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法
(1)明确随机试验的所有可能结果；
(2)将随机试验的试验结果数量化；
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
[跟进训练]
1．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数；
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(3)某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度．
[解] (1)只要取出一张卡片，便有一个号码，因此被取出的卡片可能的号数可以一一列出，是离散型随机变量．
(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球．即其结果可以一一列出，是离散型随机变量．
(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．
类型2 离散型随机变量的分布列
【例2】 为检测某产品的质量，现抽取5件该产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：
编号 1 2 3 4 5
x 169 178 166 177 180
y 75 80 77 70 81
如果产品中的微量元素x，y满足x≥177且y≥79时，该产品为优等品．
现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数X的分布列．
[解] 由题意可得5件抽测产品中有2件优等品，则X的可能取值为0，1，2．
P(X＝0)＝＝0.3，P(X＝1)＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.1，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.3 0.6 0.1
求离散型随机变量分布列的一般步骤
(1)确定X的所有可能取值xi(i＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义；
(2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…)；
(3)写出分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验．
[跟进训练]
2．一袋中装有5个球，编号分别为1，2，3，4，5．在袋中同时取3个球，以X表示取出3个球中的最小号码，写出随机变量X的分布列．
[解] 随机变量X的可能取值为1，2，3．
当X＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2，3，4，5的4个球中取，故有P(X＝1)＝＝＝；
当X＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3，4，5的3个球中取，故有P(X＝2)＝＝；
当X＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4，5的2个球，故有P(X＝3)＝＝．因此，X的分布列为
X 1 2 3
P
类型3 离散型随机变量分布列的性质
【例3】 设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1，2，3，4，5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P；
(3)求P．
[思路点拨] (1)先求出X的分布列，再根据分布列的性质确定a．(2)、(3)中的概率利用互斥事件的概率公式结合分布列求解即可．
[解] 依题意，随机变量X的分布列为
X＝i
P(X＝i) a 2a 3a 4a 5a
(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝．
(2)法一：P＝P＋P＋P＝＝．
法二：P＝1－P＝1－＝．
(3)因为
故P＝P＋P＋P＝＝．
1．随机变量的取值不一定是整数，它的取值一般来源于实际问题，并有特定的含义．
2．随机变量在某一范围内取值的概率等于在这一范围内取每个值的概率之和．
[跟进训练]
3．已知随机变量X的分布列，求随机变量Y＝X2的分布列．
X＝i －2 －1 0 1 2 3
P(X＝i)
[解] 由于Y＝X2对于X的不同取值－2，2及－1，1，Y分别取相同的值4与1，即Y取4这个值的概率为X取－2与2的概率与合并的结果，Y取1这个值的概率为X取－1与1的概率与合并的结果，故Y的分布列为
Y＝i 0 1 4 9
P(Y＝i)
类型4 离散型随机变量分布列的应用
【例4】 袋中装有标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列；
(3)计算介于20分到40分之间的概率．
[解] (1)法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，
则P(A)＝．
法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件．
因为P(B)＝
所以P(A)＝1－P(B)＝1－．
(2)由题意，X所有可能的取值为2，3，4，5．
P(X＝2)＝；
P(X＝3)＝；
P(X＝4)＝；
P(X＝5)＝．
所以随机变量X的分布列为
X 2 3 4 5
P
(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＝．
离散型随机变量分布列问题融合了排列、组合，古典概型、互斥事件、对立事件的概率等知识，是较强的综合应用．
[跟进训练]
4．如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2．现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为ξ．
求：(1)随机变量ξ的分布列；
(2)ξ≥8的概率．
[解] (1)由已知得ξ的取值为7，8，9，10，
∵P(ξ＝7)＝
P(ξ＝8)＝
P(ξ＝9)＝
P(ξ＝10)＝
∴ξ的分布列为
ξ 7 8 9 10
P
(2)法一：P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝＝．
法二：P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－＝．
1．如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y( )
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
[答案] D
2．若随机变量X的分布列如下，则m的值是( )
X＝i 1 2 3
P(X＝i) m
A． B．
C． D．
B [由分布列的性质得m>0，且＋m＝1，故m＝．]
3．设随机变量X的分布列如下，则下列各式中正确的是( )
X －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.1 0.2 0.4
A．P(X＝1)＝0.1 B．P(X＞－1)＝1
C．P(X＜3)＝1 D．P(X＜0)＝0
A [根据分布列知只有A正确．]
4．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n，若P(ξ<4)＝0.3，则n的值为________．
10 [由条件知，ξ取1，2，3，…，n时的概率均为．
又∵ξ<4时，n＝1，2，3，且P(ξ<4)＝0.3，∴＝0.3即n＝10．]
5．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求X的分布列．
[解] (1)由题意，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，故随机变量X的分布列如下表：
X 0 1
P
(2)P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝，故随机变量X的分布列如下表：
X 0 1
P
1．离散型随机变量的可能取值为有限个或可列举的无限个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出．
2．求离散型随机变量的分布列时应注意以下几点
(1)确定离散型随机变量的分布列的关键是搞清X取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．
(2)在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样可以减少运算量，也可利用分布列的性质验证分布列是否正确．
课时分层作业(四十) 离散型随机变量的分布列
一、选择题
1．若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[1，2]
C．(1，2] D．(1，2)
C [由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2]．]
2．袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3，现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X＝3)＝( )
A． B．
C． D．
D [X＝3第一种情况表示1个3，P1＝＝，第二种情况表示2个3，P2＝＝，所以P(X＝3)＝P1＋P2＝＝．故选D．]
3．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1，2，…，则P(2<ξ≤4)＝( )
A． B．
C． D．
A [2<ξ≤4时，ξ＝3，4．∴P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＝．]
4．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)
B [由分布列的性质得P(x1≤ξ≤x2)＝P(ξ≤x2)＋P(ξ≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．]
5．袋中装有一些大小相同的球，其中标号为1号的球1个，标号为2号的球2个，标号为3号的球3个……，标号为n号的球n个．现从袋中任取一球，所得号数为随机变量X，若P(X＝n)＝0.2，则n＝( )
A．7 B．8
C．9 D．10
C [由题意可知，所有球的个数为1＋2＋3＋…＋n＝，由古典概型的概率公式可得P(X＝n)＝＝＝0.2，解得n＝9．故选C．]
二、填空题
6．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X(单位：克)，如果P(X＜10)＝0.3，P(10≤X≤30)＝0.4，那么P(X＞30)＝________．
0.3 [根据随机变量分布列的性质，可知P(X＜10)＋P(10≤X≤30)＋P(X＞30)＝1，故P(X＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3．]
7．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1
P 1－2q q2
则q＝________．
1－ [由分布列的性质知
∴q＝1－．]
8．由于电脑故障，随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.□5 0.10 0.1□ 0.20
根据该表可知X取奇数值时的概率为________．
0.6 [由概率和为1知，最后一位数字和的个位必为零，∴P(X＝5)＝0.15，从而P(X＝3)＝0.25．
∴P(X为奇数)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6．]
三、解答题
9．设随机变量X的分布列为P(X＝m)＝，m＝2，3，4，5，其中k为常数，求P(log23[解] 由分布列的性质可知：
P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝1，
即＝1，
解得k＝，
所以P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
又∵1所以P(log2310．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y表示经销一件该商品的利润．求Y的分布列．
[解] Y的可能取值为200元，250元，300元．
P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4，P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2．
故Y的分布列为
Y 200 250 300
P 0.4 0.4 0.2
11．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为( )
A． B．
C． D．
C [X＝4表示取出的3个球为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝＝．]
12．设随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)＝( )
A． B．
C． D．
B [根据分布列的性质得出：＋m＋＝1，所以m＝，随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝．故选B．]
13．(多选题)如果ξ是一个离散型随机变量，则真命题是( )
A．ξ取每一个可能值的概率都是正实数
B．ξ取所有可能值的概率之和为1
C．ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和
D．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
ABC [根据离散型随机变量的特点易知D是假命题．]
14．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505 g的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为质量超过505 g的产品数量，求Y的分布列．
[解] (1)根据频率分布直方图可知，质量超过505 g的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12(件)．
(2)随机变量Y的可能取值为0，1，2，且P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝．
所以随机变量Y的分布列为
Y 0 1 2
P
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(四十)
1．C [由随机变量X的分布列知：P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X2．D [X＝3第一种情况表示1个3，P1＝，第二种情况表示2个3，P2＝，所以P(X＝3)＝P1＋P2＝．故选D．]
3．A [2<ξ≤4时，ξ＝3，4．∴P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝．]
4．B [由分布列的性质得P(x1≤ξ≤x2)＝P(ξ≤x2)＋P(ξ≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．]
5．C [由题意可知，所有球的个数为1＋2＋3＋…＋n＝，由古典概型的概率公式可得P(X＝n)＝＝0.2，解得n＝9．故选C．]
6．0．3 [根据随机变量分布列的性质，可知P(X<10)＋P(10≤X≤30)＋P(X>30)＝1，故P(X>30)＝1－0.3－0.4＝0.3．]
7．1－ [由分布列的性质知
．]
8．0．6 [由概率和为1知，最后一位数字和的个位必为零，
∴P(X＝5)＝0.15，从而P(X＝3)＝0.25．
∴P(X为奇数)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6．]
9．解：由分布列的性质可知：
P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝1，
即＝1，解得k＝，
所以P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝，
P(X＝5)＝，
又∵110．解：Y的可能取值为200元，250元，300元．
P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4，
P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2．
故Y的分布列为
Y 200 250 300
P 0.4 0.4 0.2
11．C [X＝4表示取出的3个球为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝．]
12．B [根据分布列的性质得出：＝1，所以m＝，随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝．
故选B．]
13．ABC [根据离散型随机变量的特点易知D是假命题．]
14．解：(1)根据频率分布直方图可知，质量超过505 g的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12(件)．
(2)随机变量Y的可能取值为0，1，2，且P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝．
所以随机变量Y的分布列为
Y 0 1 2
P
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共64张PPT)
第六章 概率
§2 离散型随机变量及其分布列
2.2 离散型随机变量的分布列
学习任务 核心素养
1．了解离散型随机变量及分布列的概念．(重点)
2．掌握离散型随机变量的分布列的求法．(难点) 1．通过对离散型随机变量及分布列的概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助求离散型随机变量的分布列，培养数学运算素养．
1．掷一枚骰子，所得点数为X，X是离散型随机变量吗？X可取哪些数字？X取不同的值时，其概率分别是多少？
2．由问题1所得到的结论，能求出P(2＜X≤4)吗？
必备知识·情境导学探新知
1．离散型随机变量
取值能够____________的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量X的分布列
(1)定义：若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作：P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…)①，把①式列成如下表：
X＝xi x1 x2 … xn …
P(X＝xi) p1 p2 … pn …
一一列举出来
3．伯努利试验
若在某个试验中，每次试验只有两个________的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为___，每次“失败”的概率均为_____，则称这样的试验为伯努利试验．
相互对立
p
1－p
4．两点分布
如果随机变量X的分布列如表：
其中0＜p＜1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0－1分布或伯努利分布)．
两点分布不仅是最简单的，也是最重要的概率分布模型，在实际生活中有着广泛的应用．
X 1 0
P p q
思考 在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为什么为1
[提示] 因为离散型随机变量所有取值对应的事件之和是必然事件，所以所有概率之和为1．
×
√
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数． ( )
(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和． ( )
(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1． ( )
√
2．下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是( )
A．
ξ －1 0 1
P 0.3 0.4 0.4
B．
ξ 1 2 3
P 0.4 0.7 －0.1
C．
D．
ξ －1 0 1
P 0.3 0.4 0.3
ξ 1 2 3
P 0.3 0.1 0.4
√
关键能力·合作探究释疑难
类型1 离散型随机变量的判定
【例1】 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某超市5月份每天的销售额；
(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；
(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位ξ．
[解] (1)某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．
(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
(3)不是离散型随机变量，水位在(0，29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．
反思领悟 判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法
(1)明确随机试验的所有可能结果；
(2)将随机试验的试验结果数量化；
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
[跟进训练]
1．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数；
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(3)某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度．
[解] (1)只要取出一张卡片，便有一个号码，因此被取出的卡片可能的号数可以一一列出，是离散型随机变量．
(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球．即其结果可以一一列出，是离散型随机变量．
(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．
类型2 离散型随机变量的分布列
【例2】 为检测某产品的质量，现抽取5件该产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：
编号 1 2 3 4 5
x 169 178 166 177 180
y 75 80 77 70 81
如果产品中的微量元素x，y满足x≥177且y≥79时，该产品为优等品．
现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数X的分布列．
X 0 1 2
P 0.3 0.6 0.1
反思领悟 求离散型随机变量分布列的一般步骤
(1)确定X的所有可能取值xi(i＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义；
(2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…)；
(3)写出分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验．
[跟进训练]
2．一袋中装有5个球，编号分别为1，2，3，4，5．在袋中同时取3个球，以X表示取出3个球中的最小号码，写出随机变量X的分布列．
X 1 2 3
P
[思路点拨] (1)先求出X的分布列，再根据分布列的性质确定a．(2)、(3)中的概率利用互斥事件的概率公式结合分布列求解即可．
[解] 依题意，随机变量X的分布列为
X＝i
P(X＝i) a 2a 3a 4a 5a
反思领悟 1．随机变量的取值不一定是整数，它的取值一般来源于实际问题，并有特定的含义．
2．随机变量在某一范围内取值的概率等于在这一范围内取每个值的概率之和．
[跟进训练]
3．已知随机变量X的分布列，求随机变量Y＝X2的分布列．
X＝i －2 －1 0 1 2 3
P(X＝i)
Y＝i 0 1 4 9
P(Y＝i)
类型4 离散型随机变量分布列的应用
【例4】 袋中装有标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列；
(3)计算介于20分到40分之间的概率．
所以随机变量X的分布列为
X 2 3 4 5
P
反思领悟 离散型随机变量分布列问题融合了排列、组合，古典概型、互斥事件、对立事件的概率等知识，是较强的综合应用．
[跟进训练]
4．如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2．现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为ξ．
求：(1)随机变量ξ的分布列；
(2)ξ≥8的概率．
∴ξ的分布列为
ξ 7 8 9 10
P
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y( )
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
2．若随机变量X的分布列如下，则m的值是( )
√
X＝I 1 2 3
P(X＝i) m
3．设随机变量X的分布列如下，则下列各式中正确的是( )
√
A．P(X＝1)＝0.1 B．P(X＞－1)＝1
C．P(X＜3)＝1 D．P(X＜0)＝0
X －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.1 0.2 0.4
A [根据分布列知只有A正确．]
4．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n，若P(ξ<4)＝0.3，则n的值为________．
10
X 0 1
P
X 0 1
P
1．离散型随机变量的可能取值为有限个或可列举的无限个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出．
2．求离散型随机变量的分布列时应注意以下几点
(1)确定离散型随机变量的分布列的关键是搞清X取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．
(2)在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样可以减少运算量，也可利用分布列的性质验证分布列是否正确．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
课时分层作业(四十) 离散型随机变量的分布列
一、选择题
1．若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[1，2]
C．(1，2] D．(1，2)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
C [由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2]．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
4．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)
√
B [由分布列的性质得P(x1≤ξ≤x2)＝P(ξ≤x2)＋P(ξ≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
5．袋中装有一些大小相同的球，其中标号为1号的球1个，标号为2号的球2个，标号为3号的球3个……，标号为n号的球n个．现从袋中任取一球，所得号数为随机变量X，若P(X＝n)＝0.2，则n＝( )
A．7 B．8
C．9 D．10
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
二、填空题
6．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X(单位：克)，如果P(X＜10)＝0.3，P(10≤X≤30)＝0.4，那么P(X＞30)＝________．
0.3 [根据随机变量分布列的性质，可知P(X＜10)＋P(10≤X≤30)＋P(X＞30)＝1，故P(X＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3．]
0.3
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
7．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1
P 1－2q q2
则q＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
8．由于电脑故障，随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：
根据该表可知X取奇数值时的概率为________．
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.□5 0.10 0.1□ 0.20
0.6 [由概率和为1知，最后一位数字和的个位必为零，∴P(X＝5)＝0.15，从而P(X＝3)＝0.25．
∴P(X为奇数)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6．]
0.6
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
10．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y表示经销一件该商品的利润．求Y的分布列．
X 1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
[解] Y的可能取值为200元，250元，300元．
P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4，P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2．
故Y的分布列为
Y 200 250 300
P 0.4 0.4 0.2
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
12．设随机变量X的分布列为
√
X 1 2 3 4
P m
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
X 1 2 3 4
P
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
13．(多选题)如果ξ是一个离散型随机变量，则真命题是( )
A．ξ取每一个可能值的概率都是正实数
B．ξ取所有可能值的概率之和为1
C．ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和
D．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
√
ABC [根据离散型随机变量的特点易知D是假命题．]
√
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
14．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505 g的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为质量超过
505 g的产品数量，求Y的分布列．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
Y 0 1 2
P课时分层作业(四十) 离散型随机变量的分布列
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共101分
一、选择题
1．若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[1，2]
C．(1，2] D．(1，2)
2．袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3，现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X＝3)＝( )
A． B．
C． D．
3．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1，2，…，则P(2<ξ≤4)＝( )
A． B．
C． D．
4．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)
5．袋中装有一些大小相同的球，其中标号为1号的球1个，标号为2号的球2个，标号为3号的球3个……，标号为n号的球n个．现从袋中任取一球，所得号数为随机变量X，若P(X＝n)＝0.2，则n＝( )
A．7 B．8
C．9 D．10
二、填空题
6．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X(单位：克)，如果P(X＜10)＝0.3，P(10≤X≤30)＝0.4，那么P(X＞30)＝________．
7．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1
P 1－2q q2
则q＝________．
8．由于电脑故障，随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.□5 0.10 0.1□ 0.20
根据该表可知X取奇数值时的概率为________．
三、解答题
9．设随机变量X的分布列为P(X＝m)＝，m＝2，3，4，5，其中k为常数，求P(log2310．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y表示经销一件该商品的利润．求Y的分布列．
11．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为( )
A． B．
C． D．
12．设随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)＝( )
A． B．
C． D．
13．(多选题)如果ξ是一个离散型随机变量，则真命题是( )
A．ξ取每一个可能值的概率都是正实数
B．ξ取所有可能值的概率之和为1
C．ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和
D．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
14．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505 g的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为质量超过505 g的产品数量，求Y的分布列．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2 离散型随机变量的分布列
学习任务 核心素养
1．了解离散型随机变量及分布列的概念．(重点) 2．掌握离散型随机变量的分布列的求法．(难点) 1．通过对离散型随机变量及分布列的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助求离散型随机变量的分布列，培养数学运算素养．
1．掷一枚骰子，所得点数为X，X是离散型随机变量吗？X可取哪些数字？X取不同的值时，其概率分别是多少？
2．由问题1所得到的结论，能求出P(2＜X≤4)吗？
1．离散型随机变量
取值能够____________的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量X的分布列
(1)定义：若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作：P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…)①，把①式列成如下表：
X＝xi x1 x2 … xn …
P(X＝xi) p1 p2 … pn …
上述表或①式称为离散型随机变量X的分布列．
如果随机变量X的分布列为上述表或①式，我们称随机变量X服从这一分布列，并记作X～．
(2)性质：
在离散型随机变量X的分布列中，
①pi>0(i＝1，2，…，n，…)；
②p1＋p2＋…＋pn＋…＝1．
3．伯努利试验
若在某个试验中，每次试验只有两个________的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为_，每次“失败”的概率均为____，则称这样的试验为伯努利试验．
4．两点分布
如果随机变量X的分布列如表：
X 1 0
P p q
其中0＜p＜1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0－1分布或伯努利分布)．
两点分布不仅是最简单的，也是最重要的概率分布模型，在实际生活中有着广泛的应用．
在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为什么为1
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数． ( )
(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和． ( )
(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1． ( )
2．下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是( )
A．
ξ －1 0 1
P 0.3 0.4 0.4
B．
ξ 1 2 3
P 0.4 0.7 －0.1
C．
ξ －1 0 1
P 0.3 0.4 0.3
D．
ξ 1 2 3
P 0.3 0.1 0.4
3．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)＝________．
类型1 离散型随机变量的判定
【例1】 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某超市5月份每天的销售额；
(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；
(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位ξ．
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法
(1)明确随机试验的所有可能结果；
(2)将随机试验的试验结果数量化；
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
[跟进训练]
1．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数；
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(3)某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型2 离散型随机变量的分布列
【例2】 为检测某产品的质量，现抽取5件该产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：
编号 1 2 3 4 5
x 169 178 166 177 180
y 75 80 77 70 81
如果产品中的微量元素x，y满足x≥177且y≥79时，该产品为优等品．
现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数X的分布列．
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
求离散型随机变量分布列的一般步骤
(1)确定X的所有可能取值xi(i＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义；
(2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…)；
(3)写出分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验．
[跟进训练]
2．一袋中装有5个球，编号分别为1，2，3，4，5．在袋中同时取3个球，以X表示取出3个球中的最小号码，写出随机变量X的分布列．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型3 离散型随机变量分布列的性质
【例3】 设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1，2，3，4，5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P；
(3)求P．
[思路点拨] (1)先求出X的分布列，再根据分布列的性质确定a．(2)、(3)中的概率利用互斥事件的概率公式结合分布列求解即可．
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．随机变量的取值不一定是整数，它的取值一般来源于实际问题，并有特定的含义．
2．随机变量在某一范围内取值的概率等于在这一范围内取每个值的概率之和．
[跟进训练]
3．已知随机变量X的分布列，求随机变量Y＝X2的分布列．
X＝i －2 －1 0 1 2 3
P(X＝i)
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型4 离散型随机变量分布列的应用
【例4】 袋中装有标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列；
(3)计算介于20分到40分之间的概率．
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
离散型随机变量分布列问题融合了排列、组合，古典概型、互斥事件、对立事件的概率等知识，是较强的综合应用．
[跟进训练]
4．如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2．现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为ξ．
求：(1)随机变量ξ的分布列；
(2)ξ≥8的概率．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y( )
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
2．若随机变量X的分布列如下，则m的值是( )
X＝i 1 2 3
P(X＝i) m
A． B．
C． D．
3．设随机变量X的分布列如下，则下列各式中正确的是( )
X －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.1 0.2 0.4
A．P(X＝1)＝0.1 B．P(X＞－1)＝1
C．P(X＜3)＝1 D．P(X＜0)＝0
4．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n，若P(ξ<4)＝0.3，则n的值为________．
5．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求X的分布列．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．离散型随机变量的可能取值为有限个或可列举的无限个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出．
2．求离散型随机变量的分布列时应注意以下几点
(1)确定离散型随机变量的分布列的关键是搞清X取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．
(2)在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样可以减少运算量，也可利用分布列的性质验证分布列是否正确．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)