3.2 离散型随机变量的方差
学习任务 核心素养
1．理解离散型随机变量的方差的意义．(重点) 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(难点) 1．通过对离散型随机变量的方差的学习，培养数学抽象素养． 2．借助求离散型随机变量的方差，培养数学运算素养．
我们已经知道可以利用随机变量的均值来刻画随机变量取值的集中趋势，那么如何刻画随机变量取值的波动大小呢？
1．方差及标准差的定义
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(1)方差DX＝．
(2)标准差σX＝．
2．方差的性质
D(aX＋b)＝____．
(1)随机变量的方差和样本的方差是一个常数还是随机变量？
(2)随着样本容量的增加，样本的方差与总体方差有什么关系？
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1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量的取值越稳定． ( )
(2)若X是常数，则DX＝0． ( )
(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量与其期望的平均偏离程度． ( )
(4)若Y＝2X＋1，则DY＝4DX＋1． ( )
2．已知X的分布列为
X 1 2 3 4
P
则DX的值为( )
A． B．
C． D．
3．已知X的分布列为
X 0 1 2
P
设Y＝2X＋3，则DY＝________．
4．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则DX＝________．
类型1 求离散型随机变量的方差
【例1】 【链接教材P208例5】
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差．
[尝试解答] ________________________________________________________
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求离散型随机变量的方差的步骤
(1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果．
(2)求出随机变量取各个值的概率．
(3)列出分布列．
(4)利用公式EX＝xipi求出随机变量的期望EX．
(5)代入公式DX＝(xi－EX)2pi，求出方差DX．
[跟进训练]
1．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为．在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望和方差．
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类型2 方差的性质
【例2】 已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.2 a 0.2 0.1
求EX，DX，D(－2X－3)．
[尝试解答] ________________________________________________________
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方差的性质
(1)D(aX＋b)＝a2DX．
(2)方差也可以用公式DX＝E(X2)－(EX)2计算(可由DX＝(xi－EX)2pi展开得到)．
[跟进训练]
2．已知η的分布列为
η 0 10 20 50 60
P
(1)求η的方差及标准差；
(2)设Y＝2η－Eη，求DY．
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类型3 方差的实际应用
【例3】 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y的分布列如下：
X 1 2 3
P a 0.1 0.6
Y 1 2 3
P 0.3 b 0.3
(1)求a，b的值；
(2)计算X，Y的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．
[尝试解答] ________________________________________________________
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利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
(1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．
(2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．
(3)下结论：依据均值和方差的意义作出结论．
[跟进训练]
3．有甲、乙两种钢筋，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度指标如下：
X甲 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
X乙 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中X甲，X乙分别表示A，B两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120．试比较甲、乙两种钢筋哪一种质量较好．
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1．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于( )
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1) D．m(1－m)
2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为( )
A．EX＝0，DX＝1 B．EX＝，DX＝
C．EX＝0，DX＝ D．EX＝，DX＝1
3．设X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1A． B．
C．3 D．
4．随机变量ξ的分布列如下表，且Eξ＝1.1，则Dξ＝________．
ξ 0 1 x
P p
5．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：
降水量X X<300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900
工期延误天数Y 0 2 6 10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
(1)工期延误天数Y的均值与方差；
(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
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1．解决离散型随机变量的均值与方差，关键在于找出随机变量的特点，求出其分布列后直接按定义求解．
2．对于应用题，必须对实际问题进行具体分析，先求出概率分布列、均值、方差，再对具体问题进行分析，作出决策．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(四十二)
1．B [∵EX是一个常数，∴E(X－EX)＝EX－EX＝0．]
2．B [∵EX＝1×0.4＋2×0.2＋3×0.4＝2，∴DX＝0.4×(1－2)2＋0.2×(2－2)2＋0.4×(3－2)2＝0.8．]
3．D [由于p＋q＝1，所以q＝1－p．从而EX＝0×p＋1×q＝q＝1－p，DX＝[0－(1－p)]2p＋[1－(1－p)]2q＝(1－p)2p＋p2(1－p)＝p－p2．]
4．C [工人甲生产出次品数ξ的期望和方差分别为：
Eξ＝0×＝0.7，Dξ＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81．
工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：
Eη＝0×＝0.7，Dη＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.61．
由Eξ＝Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dξ>Dη，可见乙的技术比较稳定．]
5．A [在分布列中概率的和为1，则a＋＝1，a＝．
∵Eξ＝2，∴＝2．
∴m＝6－2n．
∴Dξ＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝×(n－2)2＋×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2．
∴n＝2时，Dξ取最小值0．]
6． [由题意得2b＝a＋c①，a＋b＋c＝1②，c－a＝③，
以上三式联立解得a＝，b＝，c＝，故Dξ＝．]
7． [∵EX＝1×，
∴DX＝，∴D．]
8． [X的分布列为
X 1 3 5
P
则EX＝1×，DX＝．]
9．解：∵0.2＋0.3＋a＋0.2＝1，∴a＝0.3．
∴EX＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.3＋3×0.2＝1.5．
∴DX＝(0－1.5)2×0.2＋(1－1.5)2×0.3＋(2－1.5)2×0.3＋(3－1.5)2×0.2＝1.05．∴D(2X－3)＝4DX＝4.2．
10．A [由分布列性质，得x＋y＝0.5．
又Eξ＝，得2x＋3y＝，可得
Dξ＝．]
11．A [X的所有可能取值为0，1，3，
X＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，
所以P(X＝0)＝：
X＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，
所以P(X＝1)＝：
X＝3表示三位学生全坐对了，只有1种情况，所以P(X＝3)＝．
所以X的分布列为
X 0 1 3
P
所以EX＝0×＝1，DX＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1．]
12． [因为X的取值为0，1，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝1－，所以EX＝0×，DX＝．]
13．解：(1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得EX＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4．
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
EY＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．
因为57.6>54.4，即EY>EX，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(四十二) 离散型随机变量的方差
说明：选择题每题5分，填空题每题5分，本试卷共85分
一、选择题
1．若X是一个随机变量，则E(X－EX)的值为( )
A．无法求 B．0
C．EX D．2EX
2．已知随机变量X的分布列是
X 1 2 3
P 0.4 0.2 0.4
则DX等于( )
A．0 B．0.8
C．2 D．1
3．若随机变量X的分布列为
X 0 1
P p q
其中p∈(0，1)，则( )
A．EX＝p，DX＝p3
B．EX＝p，DX＝p2
C．EX＝q，DX＝q2
D．EX＝1－p，DX＝p－p2
4．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ，η，ξ和η的分布列如下：
ξ 0 1 2
P
η 0 1 2
P
甲、乙两名工人的技术水平较好的为( )
A．一样好 B．甲
C．乙 D．无法比较
5．若随机变量ξ的分布列为P(ξ＝m)＝，P(ξ＝n)＝a，若Eξ＝2，则Dξ的最小值等于( )
A．0 B．2
C．4 D．无法计算
二、填空题
6．随机变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P a b c
其中a＋c＝2b，若Eξ＝，则Dξ＝________．
7．若X的分布列为
X 1 2 3 4
P
则D＝________．
8．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1，2，3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________．
三、解答题
9．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.2 0.3 a 0.2
求EX，DX，D(2X－3)．
10．已知随机变量ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P 0.5 x y
若Eξ＝，则Dξ＝( )
A． B．
C． D．1
11．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X，则( )
A．EX＝1，DX＝1 B．EX＝2，DX＝1
C．EX＝1，DX＝2 D．EX＝2，DX＝2
12．已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量X，则EX＝________，DX＝________．
13．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
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3.2 离散型随机变量的方差
第六章 概率
§3 离散型随机变量的均值与方差
学习任务 核心素养
1．理解离散型随机变量的方差的意义．(重点)
2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(难点) 1．通过对离散型随机变量的方差的学习，培养数学抽象素养．
2．借助求离散型随机变量的方差，培养数学运算素养．
我们已经知道可以利用随机变量的均值来刻画随机变量取值的集中趋势，那么如何刻画随机变量取值的波动大小呢？
必备知识·情境导学探新知
1．方差及标准差的定义
设离散型随机变量X的分布列为
(1)方差DX＝_____________．
(2)标准差σX＝_____．
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
2．方差的性质
D(aX＋b)＝______．
思考 (1)随机变量的方差和样本的方差是一个常数还是随机变量？
(2)随着样本容量的增加，样本的方差与总体方差有什么关系？
[提示] (1)随机变量的方差是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的方差是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的．
(2)随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体方差．
a2DX
×
√
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量的取值越稳定． ( )
(2)若X是常数，则DX＝0． ( )
(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量与其期望的平均偏离程度． ( )
(4)若Y＝2X＋1，则DY＝4DX＋1． ( )
√
×
2．已知X的分布列为
X 1 2 3 4
P
√
3．已知X的分布列为
设Y＝2X＋3，则DY＝________．
X 0 1 2
P
4．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则DX＝________．
X 6 9 12
P
3.36
关键能力·合作探究释疑难
类型1 求离散型随机变量的方差
【例1】 【链接教材P208例5】
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差．
ξ 0 1 2 3 4
P
[解] 掷出点数X的分布列如表6－16：
表6－16
X 1 2 3 4 5 6
P
ξ 0 1 2
P
类型2 方差的性质
【例2】 已知随机变量X的分布列为
求EX，DX，D(－2X－3)．
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.2 a 0.2 0.1
[解] ∵0.2＋0.2＋a＋0.2＋0.1＝1，∴a＝0.3．
∴EX＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8．
DX＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56．D(－2X－3)＝4DX＝6.24．
[跟进训练]
2．已知η的分布列为
(1)求η的方差及标准差；
(2)设Y＝2η－Eη，求DY．
η 0 10 20 50 60
P
类型3 方差的实际应用
【例3】 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y的分布列如下：
X 1 2 3
P a 0.1 0.6
(1)求a，b的值；
(2)计算X，Y的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．
Y 1 2 3
P 0.3 b 0.3
[解] (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，得a＝0.3．
0.3＋b＋0.3＝1，得b＝0.4．
(2)EX＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，
EY＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
DX＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，
DY＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6．
由于EX＞EY，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但DX＞DY，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．
反思领悟 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
(1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．
(2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．
(3)下结论：依据均值和方差的意义作出结论．
[跟进训练]
3．有甲、乙两种钢筋，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度指标如下：
X甲 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中X甲，X乙分别表示A，B两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120．试比较甲、乙两种钢筋哪一种质量较好．
X乙 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
[解] EX甲＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，EX乙＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125．
又DX甲＝(110－125)2×0.1＋(120－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(135－125)2×0.2＝50，
DX乙＝(100－125)2×0.1＋(115－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(145－125)2×0.2＝165．
由EX甲＝EX乙可知，甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度是相等的，且平均抗拉强度都不低于120．但由于DX甲学习效果·课堂评估夯基础
√
D [随机变量ξ的分布列为：
所以Eξ＝0×(1－m)＋1×m＝m．所以Dξ＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．]
ξ 0 1
P 1－m m
√
A [由题意知，随机变量X的分布列为
X －1 1
P
√
4．随机变量ξ的分布列如下表，且Eξ＝1.1，则Dξ＝________．
ξ 0 1 x
P p
0.49
5．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
(1)工期延误天数Y的均值与方差；
(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
降水量X X<300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900
工期延误天数Y 0 2 6 10
[解] (1)由已知条件和概率的加法公式有
P(X<300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，
P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2．
P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1．
所以Y的分布列为
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
1．解决离散型随机变量的均值与方差，关键在于找出随机变量的特点，求出其分布列后直接按定义求解．
2．对于应用题，必须对实际问题进行具体分析，先求出概率分布列、均值、方差，再对具体问题进行分析，作出决策．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
课时分层作业(四十二) 离散型随机变量的方差
一、选择题
1．若X是一个随机变量，则E(X－EX)的值为( )
A．无法求 B．0
C．EX D．2EX
B [∵EX是一个常数，∴E(X－EX)＝EX－EX＝0．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．已知随机变量X的分布列是
√
则DX 等于( )
A．0 B．0.8
C．2 D．1
B [∵EX＝1×0.4＋2×0.2＋3×0.4＝2，∴DX＝0.4×(1－2)2＋0.2×(2－2)2＋0.4×(3－2)2＝0.8．]
X 1 2 3
P 0.4 0.2 0.4
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
3．若随机变量X的分布列为
√
其中p∈(0，1)，则( )
A．EX＝p，DX＝p3
B．EX＝p，DX＝p2
C．EX＝q，DX＝q2
D．EX＝1－p，DX＝p－p2
X 0 1
P p q
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
D [由于p＋q＝1，所以q＝1－p．从而EX＝0×p＋1×q＝q＝1－p，DX＝[0－(1－p)]2p＋[1－(1－p)]2q＝(1－p)2p＋p2(1－p)＝p－p2．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
4．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ，η，ξ和η的分布列如下：
ξ 0 1 2
P
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
甲、乙两名工人的技术水平较好的为( )
A．一样好 B．甲
C．乙 D．无法比较
√
η 0 1 2
P
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
二、填空题
6．随机变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P a b c
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
7．若X的分布列为
X 1 2 3 4
P
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
8．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1，2，3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________．
X 1 3 5
P
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
三、解答题
9．已知随机变量X的分布列为
求EX，DX，D(2X－3)．
X 0 1 2 3
P 0.2 0.3 a 0.2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解] ∵0.2＋0.3＋a＋0.2＝1，∴a＝0.3．
∴EX＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.3＋3×0.2＝1.5．
∴DX＝(0－1.5)2×0.2＋(1－1.5)2×0.3＋(2－1.5)2×0.3＋(3－1.5)2×0.2＝1.05．
∴D(2X－3)＝4DX＝4.2．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
10．已知随机变量ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P 0.5 x y
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
11．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X，则( )
A．EX＝1，DX＝1
B．EX＝2，DX＝1
C．EX＝1，DX＝2
D．EX＝2，DX＝2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
X 0 1 3
P
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
13．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解] (1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得EX＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4．
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
所以Y的分布列为
EY＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．
因为57.6＞54.4，即EY＞EX，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.483.2 离散型随机变量的方差
学习任务 核心素养
1．理解离散型随机变量的方差的意义．(重点) 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(难点) 1．通过对离散型随机变量的方差的学习，培养数学抽象素养． 2．借助求离散型随机变量的方差，培养数学运算素养．
我们已经知道可以利用随机变量的均值来刻画随机变量取值的集中趋势，那么如何刻画随机变量取值的波动大小呢？
1．方差及标准差的定义
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(1)方差DX＝．
(2)标准差σX＝．
2．方差的性质
D(aX＋b)＝a2DX．
(1)随机变量的方差和样本的方差是一个常数还是随机变量？
(2)随着样本容量的增加，样本的方差与总体方差有什么关系？
[提示] (1)随机变量的方差是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的方差是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的．
(2)随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体方差．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量的取值越稳定． ( )
(2)若X是常数，则DX＝0． ( )
(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量与其期望的平均偏离程度． ( )
(4)若Y＝2X＋1，则DY＝4DX＋1． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．已知X的分布列为
X 1 2 3 4
P
则DX的值为( )
A． B．
C． D．
C [由表格可求得，EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝，EX2＝12×＋22×＋32×＋42×＝，∴DX＝＝．]
3．已知X的分布列为
X 0 1 2
P
设Y＝2X＋3，则DY＝________．
[由条件可知EX＝0×＋1×＋2×＝1，
∴DX＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝，∴DY＝D(2X＋3)＝22×DX＝4×＝．]
4．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则DX＝________．
3．36 [由题知X＝6，9，12．
P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝．
∴X的分布列为
X 6 9 12
P
∴EX＝6×＋9×＋12×＝7.8，
DX＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36．]
类型1 求离散型随机变量的方差
【例1】 【链接教材P208例5】
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差．
[解] 由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝＝．
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
所以Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，Dξ＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75．
【教材原题·P208例5】
例5 随机抛掷一枚均匀的骰子，求掷出的点数X的方差和标准差(结果精确到0.01)．
[解] 掷出点数X的分布列如表6－16：
表6－16
X 1 2 3 4 5 6
P
EX＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5；
DX＝(1－3.5)2×＋(2－3.5)2×＋(3－3.5)2×＋(4－3.5)2×＋(5－3.5)2×＋(6－3.5)2×
＝≈2.92；
σX＝≈1.71．
求离散型随机变量的方差的步骤
(1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果．
(2)求出随机变量取各个值的概率．
(3)列出分布列．
(4)利用公式EX＝xipi求出随机变量的期望EX．
(5)代入公式DX＝(xi－EX)2pi，求出方差DX．
[跟进训练]
1．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为．在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望和方差．
[解] 乙投篮的次数ξ的取值为0，1，2．
P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝．
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
Eξ＝0×＋1×＋2×＝，
Dξ＝＝．
类型2 方差的性质
【例2】 已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.2 a 0.2 0.1
求EX，DX，D(－2X－3)．
[解] ∵0.2＋0.2＋a＋0.2＋0.1＝1，∴a＝0.3．
∴EX＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8．
DX＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56．D(－2X－3)＝4DX＝6.24．
方差的性质
(1)D(aX＋b)＝a2DX．
(2)方差也可以用公式DX＝E(X2)－(EX)2计算(可由DX＝(xi－EX)2pi展开得到)．
[跟进训练]
2．已知η的分布列为
η 0 10 20 50 60
P
(1)求η的方差及标准差；
(2)设Y＝2η－Eη，求DY．
[解] (1)∵Eη＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，∴Dη＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，∴ση＝＝8．
(2)∵Y＝2η－Eη，
∴DY＝D(2η－16)＝22Dη＝4×384＝1 536．
类型3 方差的实际应用
【例3】 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y的分布列如下：
X 1 2 3
P a 0.1 0.6
Y 1 2 3
P 0.3 b 0.3
(1)求a，b的值；
(2)计算X，Y的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．
[解] (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，得a＝0.3．
0．3＋b＋0.3＝1，得b＝0.4．
(2)EX＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，
EY＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
DX＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，
DY＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6．
由于EX＞EY，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但DX＞DY，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
(1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．
(2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．
(3)下结论：依据均值和方差的意义作出结论．
[跟进训练]
3．有甲、乙两种钢筋，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度指标如下：
X甲 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
X乙 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中X甲，X乙分别表示A，B两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120．试比较甲、乙两种钢筋哪一种质量较好．
[解] EX甲＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，EX乙＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125．
又DX甲＝(110－125)2×0.1＋(120－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(135－125)2×0.2＝50，
DX乙＝(100－125)2×0.1＋(115－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(145－125)2×0.2＝165．
由EX甲＝EX乙可知，甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度是相等的，且平均抗拉强度都不低于120．但由于DX甲1．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于( )
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1) D．m(1－m)
D [随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1
P 1－m m
所以Eξ＝0×(1－m)＋1×m＝m．所以Dξ＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．]
2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为( )
A．EX＝0，DX＝1 B．EX＝，DX＝
C．EX＝0，DX＝ D．EX＝，DX＝1
A [由题意知，随机变量X的分布列为
X －1 1
P
所以EX＝(－1)×＋1×＝0，DX＝×(－1－0)2＋×(1－0)2＝1．]
3．设X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1A． B．
C．3 D．
C [由题意得P(X＝x1)＋P(X＝x2)＝1，所以随机变量X只有x1，x2两个取值，
所以
解得x1＝1，x2＝2或x1＝，x2＝舍去，所以x1＋x2＝3，故选C．]
4．随机变量ξ的分布列如下表，且Eξ＝1.1，则Dξ＝________．
ξ 0 1 x
P p
0.49 [由随机变量分布列的性质求得p＝，由Eξ＝0×＋1×x＝1.1，得x＝2．Dξ＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49．]
5．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：
降水量X X<300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900
工期延误天数Y 0 2 6 10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
(1)工期延误天数Y的均值与方差；
(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
[解] (1)由已知条件和概率的加法公式有
P(X<300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，
P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2．
P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1．
所以Y的分布列为
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
于是，EY＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，DY＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8．
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8．
(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，
又P(300≤X＜900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6．
由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝＝＝．
故在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是．
1．解决离散型随机变量的均值与方差，关键在于找出随机变量的特点，求出其分布列后直接按定义求解．
2．对于应用题，必须对实际问题进行具体分析，先求出概率分布列、均值、方差，再对具体问题进行分析，作出决策．
课时分层作业(四十二) 离散型随机变量的方差
一、选择题
1．若X是一个随机变量，则E(X－EX)的值为( )
A．无法求 B．0
C．EX D．2EX
B [∵EX是一个常数，∴E(X－EX)＝EX－EX＝0．]
2．已知随机变量X的分布列是
X 1 2 3
P 0.4 0.2 0.4
则DX等于( )
A．0 B．0.8
C．2 D．1
B [∵EX＝1×0.4＋2×0.2＋3×0.4＝2，∴DX＝0.4×(1－2)2＋0.2×(2－2)2＋0.4×(3－2)2＝0.8．]
3．若随机变量X的分布列为
X 0 1
P p q
其中p∈(0，1)，则( )
A．EX＝p，DX＝p3
B．EX＝p，DX＝p2
C．EX＝q，DX＝q2
D．EX＝1－p，DX＝p－p2
D [由于p＋q＝1，所以q＝1－p．从而EX＝0×p＋1×q＝q＝1－p，DX＝[0－(1－p)]2p＋[1－(1－p)]2q＝(1－p)2p＋p2(1－p)＝p－p2．]
4．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ，η，ξ和η的分布列如下：
ξ 0 1 2
P
η 0 1 2
P
甲、乙两名工人的技术水平较好的为( )
A．一样好 B．甲
C．乙 D．无法比较
C [工人甲生产出次品数ξ的期望和方差分别为：
Eξ＝0×＋1×＋2×＝0.7，Dξ＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81．
工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：
Eη＝0×＋1×＋2×＝0.7，Dη＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.61．
由Eξ＝Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dξ>Dη，可见乙的技术比较稳定．]
5．若随机变量ξ的分布列为P(ξ＝m)＝，P(ξ＝n)＝a，若Eξ＝2，则Dξ的最小值等于( )
A．0 B．2
C．4 D．无法计算
A [在分布列中概率的和为1，则a＋＝1，a＝．
∵Eξ＝2，∴＝2．
∴m＝6－2n．
∴Dξ＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝×(n－2)2＋×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2．
∴n＝2时，Dξ取最小值0．]
二、填空题
6．随机变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P a b c
其中a＋c＝2b，若Eξ＝，则Dξ＝________．
[由题意得2b＝a＋c①，a＋b＋c＝1②，c－a＝③，以上三式联立解得a＝，b＝，c＝，故Dξ＝．]
7．若X的分布列为
X 1 2 3 4
P
则D＝________．
[∵EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
∴DX＝×＝，∴D＝DX＝．]
8．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1，2，3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________．
[X的分布列为
X 1 3 5
P
则EX＝1×＋3×＋5×＝，DX＝．]
三、解答题
9．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.2 0.3 a 0.2
求EX，DX，D(2X－3)．
[解] ∵0.2＋0.3＋a＋0.2＝1，∴a＝0.3．
∴EX＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.3＋3×0.2＝1.5．
∴DX＝(0－1.5)2×0.2＋(1－1.5)2×0.3＋(2－1.5)2×0.3＋(3－1.5)2×0.2＝1.05．
∴D(2X－3)＝4DX＝4.2．
10．已知随机变量ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P 0.5 x y
若Eξ＝，则Dξ＝( )
A． B．
C． D．1
A [由分布列性质，得x＋y＝0.5．
又Eξ＝，得2x＋3y＝，可得
Dξ＝＝．]
11．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X，则( )
A．EX＝1，DX＝1 B．EX＝2，DX＝1
C．EX＝1，DX＝2 D．EX＝2，DX＝2
A [X的所有可能取值为0，1，3，
X＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，
所以P(X＝0)＝＝；
X＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，
所以P(X＝1)＝＝；
X＝3表示三位学生全坐对了，只有1种情况，所以P(X＝3)＝＝．
所以X的分布列为
X 0 1 3
P
所以EX＝0×＋1×＋3×＝1，DX＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1．]
12．已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量X，则EX＝________，DX＝________．
[因为X的取值为0，1，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－＝，所以EX＝0×＋1×＝，DX＝＝．]
13．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
[解] (1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得EX＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4．
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
EY＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．
因为57.6＞54.4，即EY＞EX，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．
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