课时分层作业(四十五) 正态分布
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共102分
一、选择题
1．设两个正态分布(σ1>0)和(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
2．若随机变量X～N(μ，σ2)，且EX＝3，DX＝1，则P(0
A．0.021 5 B．0.723
C．0.215 D．0.64
3．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝( )
A．0.025 B．0.050
C．0.950 D．0.975
4．设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)，则c＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．某厂生产的零件直径ξ～N(10，0.22)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9 cm和9.3 cm，则可认为( )
A．上午生产情况未见异常，下午生产情况出现了异常
B．上午生产情况出现了异常，而下午生产情况正常
C．上、下午生产情况均是正常
D．上、下午生产情况均出现了异常
二、填空题
6．设X～N(0，1)，且P(X≤1.623)＝p，那么P(X>1.623)＝________．
7．随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(22.5)＝________．
8．已知正态分布总体落在区间(0.2，＋∞)的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x)在x＝________时达到最高点．
三、解答题
9．设X～N(2，4)，试求下列概率：
(1)P(210．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．
(1)试问此次参赛学生的总人数约为多少？
(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约有多少人？
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4．
11．(多选题)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则( )
(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)
A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5
C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8
12．(多选题)若随机变量ξ～N(0，1)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，下列等式成立有( )
A．φ(－x)＝1－φ(x)
B．φ(2x)＝2－φ(x)
C．P(|ξ|＜x)＝2φ(x)－1
D．P(|ξ|＞x)＝2φ(x)
13．若随机变量ξ～N(2，σ2)，且P(ξ>3)＝0.158 7，则P(ξ>2)＝________；P(ξ>1)＝________．
14．某投资商制订了两个投资方案，准备选择其中一个．已知这两个投资方案的利润x(万元)分别服从正态分布N(8，32)和N(7，12)．该投资商要求“利润超过5万元”的概率尽量的大，他应该选择哪一个方案？
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(四十五)
1．A [曲线y＝f(x)关于直线x＝μ对称，显然μ1<μ2，σ越大曲线越“矮胖”，反之，σ越小，曲线越“高瘦”，故σ1<σ2．]
2．A [由EX＝μ＝3，DX＝σ2＝1，∴X~N(3，1)，
又P(μ－3σ∴P(03．C [∵ξ~N(0，1)，∴P(ξ<－1.96)＝P(ξ>1.96)＝0.025．
∴P(|ξ|<1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－0.050＝0.950．]
4．B [∵ξ~N(2，9)，P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)．
又∵P(ξ>c＋1)＝P(ξ∴c＝2．]
5．A [3σ原则：(10－3×0.2，10＋3×0.2]，即(9.4，10.6]，9.9∈(9.4，10.6]，9.3 (9.4，10.6]，所以，上午生产情况未见异常，下午生产情况出现了异常．]
6．1－p [∵X~N(0，1)，∴μ＝0，∴P(X>1.623)＝1－P(X≤1.623)＝1－p．]
7．0．14 [由题意可知，P(X>2)＝0.5，故P(X>2.5)＝P(X>2)－P(28．0．2 [由已知P(X>0.2)＝P(X≤0.2)＝0.5，
所以正态曲线关于x＝0.2对称．由正态曲线性质得x＝μ＝0.2时达到最高点．]
9．解：(1)P(2(2)P(－210．解：(1)设参赛学生的成绩为X，因为X~N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10．
则P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(50＝[1－P(μ－2σ因此，此次参赛学生的总人数约为526人．
(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝[1－P(60＝[1－P(μ－σ因此，此次竞赛成绩为优的学生约有83人．
11．BC [依题意可知，＝2.1，s2＝0.01，
所以Y~N(2.1，0.12)，
故P(Y>2)＝P(Y>2.1－0.1)＝P(Y<2.1＋0.1)≈0.841 3>0.5，C正确，D错误：
因为X~N(1.8，0.12)，所以P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)，因为P(X<1.8＋0.1)≈0.841 3，
所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，而P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)1.8＋0.1)<0.2，B正确，A错误．故选BC．]
12．AC [因为随机变量ξ~N(0，1)，所以正态曲线关于ξ＝0对称．
因为φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，根据曲线的对称性可得，φ(－x)＝1－φ(x)，故A正确：因为φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2－φ(x)＝2－P(ξ≤x)，所以φ(2x)≠2－φ(x)，故B错误：根据图象的对称性可得P(|ξ|x)＝2[1－φ(x)]≠2φ(x)，故D错误．故选AC．]
13．0．5 0.841 3 [∵随机变量ξ~N(2，σ2)，∴正态曲线关于x＝2对称，∴P(ξ>2)＝0.5：
∵P(ξ>3)＝0.158 7，∴P(ξ>1)＝P(ξ<3)＝1－0.158 7＝0.841 3．]
14．解：①当选择X~N(8，32)的方案时，μ＝8，σ＝3．
∴P(8－3∴P(X>5)＝＋P(5即选择X~N(8，32)的方案时，利润超过5万元的概率为0.841 3．
②当选择X~N(7，12)的方案时，μ'＝7，σ'＝1．
∴P(7－2×1∴P(X>5)＝＋P(5即选择X~N(7，12)的方案时，利润超过5万元的概率为0.977 2．
综上可得，选择X~N(7，12)的方案时，利润超过5万元的概率大，即投资商应选X~N(7，12)方案．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)§5 正态分布
学习任务 核心素养
1．了解连续型随机变量的概念以及连续型随机变量的分布密度函数．(重点) 2．认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．(重点) 1．通过对正态分布的学习，培养逻辑推理素养． 2．借助对正态曲线的应用，培养数学运算素养．
1．离散型随机变量的取值有何特点？如何刻画离散型随机变量取值的分布规律？
2．一件产品的使用寿命是否为随机变量？它能一一列举出来吗？
1．正态分布
在频率分布直方图中，为了了解得更多，图中的区间应分得更细，如果将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的____________，这条曲线对应的函数称为X的____________．由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象，对应的分布密度函数解析式为
φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，
其中实数μ，σ(σ＞0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称________，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为________．
它有两个重要的参数：均值μ和方差σ2(σ>0)，通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的________．
2．正态曲线满足的性质
(1)正态曲线有如下性质
①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线是单峰的，关于直线____对称．
③曲线的最高点位于____处．
④当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线．
(2)正态曲线的特点
①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
②当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越____．
(3)3σ原则
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈_________，
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈_________，
P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈_________．
正态分布密度函数中μ与σ的意义分别是什么？
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1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与标准差． ( )
(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的． ( )
(3)正态曲线可以关于y轴对称． ( )
(4)正态曲线的“高瘦”与“矮胖”只与σ的大小有关． ( )
2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤c)＝P(X＞c)，则c＝( )
A．0 B．σ
C．－μ D．μ
3．已知正态分布密度函数为f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值为________，标准差为________．
4．一台机床生产一种尺寸为10 mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下(单位：mm)：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1，如果机床生产零件的尺寸Y服从正态分布，则正态分布密度函数解析式为________．
类型1 正态曲线
【例1】 如图是一条正态曲线，试根据该图象写出其正态分布密度曲线的函数解析式，求出总体随机变量的均值和方差．
[思路点拨] 给出一条正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的均值、标准差以及解析式．
[尝试解答] ________________________________________________________
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1．用待定系数法求正态分布密度曲线的函数表达式，关键是确定参数μ与σ的值．
2．当x＝μ时，正态分布密度函数取得最大值，即f(μ)＝，注意该式在解题中的运用．
[跟进训练]
1．如图是σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )
A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
类型2 正态分布下的概率计算
【例2】 在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为________．
[思路点拨] 由题意知，正态曲线关于x＝1对称，而区间(0，1)与区间(1，2)关于x＝1对称，故由正态曲线性质得X在区间(0，1)和(1，2)上取值的概率相等．
[尝试解答] ________________________________________________________
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1．解答此题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化．
2．正态分布在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ(2)利用P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)，P(X[跟进训练]
2．设ξ～N(1，22)，试求：(1)P(－1<ξ≤3)；(2)P(3<ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)．
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类型3 正态分布的应用
【例3】 设在一次数学考试中，某班学生的分数服从X～N(110，202)，且知满分150分，这个班的学生共54人．求这个班在这次数学考试中及格(不低于90分)的人数和130分以上的人数．
[思路点拨] 要求及格的人数，即要求出P(90≤X≤150)，而求此概率需将问题化为正态分布中几种特殊值的概率形式，然后利用对称性求解．
[尝试解答] ________________________________________________________
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正态曲线的应用及求解策略
解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．
[跟进训练]
3．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50，102)，求他在(30，60]分内赶到火车站的概率．
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1．下列变量中，是连续型随机变量的是( )
A．投掷五枚硬币出现的正面次数
B．某工厂生产的某种零件的长度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之差
D．某人的手机在一周内接到的电话次数
2．在正态分布总体服从N(μ，σ2)中，其参数μ，σ分别是这个总体的( )
A．方差与标准差
B．期望与方差
C．期望与标准差
D．标准差与期望
3．设随机变量X～N(0，1)，则P(X<0)＝________．
4．(源自人教B版教材)假设某个地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170(单位：cm，下同)，标准差为10．在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：
(1)不高于170的概率；
(2)在区间[160，180]内的概率；
(3)不高于180的概率．
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1．类比函数的性质，结合正态分布密度曲线的特点掌握正态分布曲线的性质．
2．求正态分布在给定区间上的概率问题时，要将所给区间化为已知其概率的区间．
3．由正态分布的对称性知：若ξ～N(μ，σ2)，则P(ξ>μ)＝P(ξ<μ)＝0.5．
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学习任务 核心素养
1．了解连续型随机变量的概念以及连续型随机变量的分布密度函数．(重点) 2．认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．(重点) 1．通过对正态分布的学习，培养逻辑推理素养． 2．借助对正态曲线的应用，培养数学运算素养．
1．离散型随机变量的取值有何特点？如何刻画离散型随机变量取值的分布规律？
2．一件产品的使用寿命是否为随机变量？它能一一列举出来吗？
1．正态分布
在频率分布直方图中，为了了解得更多，图中的区间应分得更细，如果将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X的分布密度函数．由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象，对应的分布密度函数解析式为
φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，
其中实数μ，σ(σ＞0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线．
它有两个重要的参数：均值μ和方差σ2(σ>0)，通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．
2．正态曲线满足的性质
(1)正态曲线有如下性质
①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称．
③曲线的最高点位于x＝μ处．
④当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线．
(2)正态曲线的特点
①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
②当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．
(3)3σ原则
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4，
P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4．
正态分布密度函数中μ与σ的意义分别是什么？
[提示] μ表示随机变量的平均水平，σ是衡量随机变量的总体波动大小．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与标准差． ( )
(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的． ( )
(3)正态曲线可以关于y轴对称． ( )
(4)正态曲线的“高瘦”与“矮胖”只与σ的大小有关． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤c)＝P(X＞c)，则c＝( )
A．0 B．σ
C．－μ D．μ
[答案] D
3．已知正态分布密度函数为f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值为________，标准差为________．
[答案] 0
4．一台机床生产一种尺寸为10 mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下(单位：mm)：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1，如果机床生产零件的尺寸Y服从正态分布，则正态分布密度函数解析式为________．
φ(x)＝x∈R [由题意得μ＝(10.2＋10.1＋10＋9.8＋9.9＋10.3＋9.7＋10＋9.9＋10.1)＝10，σ2＝[(10.2－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋(9.7－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2]＝0.03，即μ＝10，σ2＝0.03．所以Y的正态分布密度函数的解析式为φ(x)＝x∈R．]
类型1 正态曲线
【例1】 如图是一条正态曲线，试根据该图象写出其正态分布密度曲线的函数解析式，求出总体随机变量的均值和方差．
[思路点拨] 给出一条正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的均值、标准差以及解析式．
[解] 从正态曲线的图象可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为，
所以μ＝20，＝，解得σ＝．
于是正态分布密度曲线的函数解析式为
φμ，σ(x)＝x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2．
1．用待定系数法求正态分布密度曲线的函数表达式，关键是确定参数μ与σ的值．
2．当x＝μ时，正态分布密度函数取得最大值，即f(μ)＝，注意该式在解题中的运用．
[跟进训练]
1．如图是σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )
A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
D [当μ＝0，σ＝1时，正态分布密度函数φ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，当x＝0时，取得最大值，所以σ2＝1，即σ2＝1，由正态曲线的特点知：当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮小”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3，故选D．]
类型2 正态分布下的概率计算
【例2】 在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为________．
[思路点拨] 由题意知，正态曲线关于x＝1对称，而区间(0，1)与区间(1，2)关于x＝1对称，故由正态曲线性质得X在区间(0，1)和(1，2)上取值的概率相等．
0.8 [∵X～N(1，σ2)，
∴正态曲线关于x＝1对称．
∴P(1∴P(0 1．解答此题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化．
2．正态分布在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ(2)利用P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)，P(X[跟进训练]
2．设ξ～N(1，22)，试求：(1)P(－1<ξ≤3)；(2)P(3<ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)．
[解] ∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2．
(1)P(－1<ξ≤3)＝P(1－2<ξ≤1＋2)＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 6．
(2)∵P(3<ξ≤5)＝P(－3<ξ≤－1)，
∴P(3<ξ≤5)＝[P(－3<ξ≤5)－P(－1<ξ≤3)]＝[P(1－4<ξ≤1＋4)－P(1－2<ξ≤1＋2)]＝[P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)]≈(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9．
(3)∵P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)，
∴P(ξ≥5)＝[1－P(－3<ξ≤5)]
＝[1－P(1－4<ξ≤1＋4)]
＝[1－P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)]
≈(1－0.954 4)＝0.022 8．
类型3 正态分布的应用
【例3】 设在一次数学考试中，某班学生的分数服从X～N(110，202)，且知满分150分，这个班的学生共54人．求这个班在这次数学考试中及格(不低于90分)的人数和130分以上的人数．
[思路点拨] 要求及格的人数，即要求出P(90≤X≤150)，而求此概率需将问题化为正态分布中几种特殊值的概率形式，然后利用对称性求解．
[解] ∵X～N(110，202)，∴μ＝110，σ＝20，
∴P(110－20∴130 正态曲线的应用及求解策略
解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．
[跟进训练]
3．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50，102)，求他在(30，60]分内赶到火车站的概率．
[解] ∵X～N(50，102)，
∴μ＝50，σ＝10．
∴P(301．下列变量中，是连续型随机变量的是( )
A．投掷五枚硬币出现的正面次数
B．某工厂生产的某种零件的长度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之差
D．某人的手机在一周内接到的电话次数
B [B中的变量的取值不能一一列出，所以它是连续型随机变量，而A、C、D中的变量均是离散型随机变量．]
2．在正态分布总体服从N(μ，σ2)中，其参数μ，σ分别是这个总体的( )
A．方差与标准差
B．期望与方差
C．期望与标准差
D．标准差与期望
C [由正态分布概念可知C正确．]
3．设随机变量X～N(0，1)，则P(X<0)＝________．
[由正态分布曲线的对称性知P(X<0)＝．]
4．(源自人教B版教材)假设某个地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170(单位：cm，下同)，标准差为10．在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：
(1)不高于170的概率；
(2)在区间[160，180]内的概率；
(3)不高于180的概率．
[解] 设该学生的身高为X，由题意可知X～N(170，102)．
(1)易知P(X≤170)＝0.5．
(2)因为均值为170，标准差为10，而160＝170－10，180＝170＋10，所以
P(160≤X≤180)＝P(|X－170|≤10)≈0.682 6．
(3)由概率的加法公式可知
P(X≤180)＝P(X<170)＋P(170≤X≤180)．
又由(2)以及正态曲线的对称性可知
P(170≤X≤180)＝P(160≤X≤180)≈×0.682 6＝0.341 3，
因此P(X≤180)＝P(X<170)＋P(170≤X≤180)
≈0.5＋0.341 3＝0.841 3．
1．类比函数的性质，结合正态分布密度曲线的特点掌握正态分布曲线的性质．
2．求正态分布在给定区间上的概率问题时，要将所给区间化为已知其概率的区间．
3．由正态分布的对称性知：若ξ～N(μ，σ2)，则P(ξ>μ)＝P(ξ<μ)＝0.5．
课时分层作业(四十五) 正态分布
一、选择题
1．设两个正态分布(σ1>0)和(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
A [曲线y＝f(x)关于直线x＝μ对称，显然μ1<μ2，σ越大曲线越“矮胖”，反之，σ越小，曲线越“高瘦”，故σ1<σ2．]
2．若随机变量X～N(μ，σ2)，且EX＝3，DX＝1，则P(0A．0.021 5 B．0.723
C．0.215 D．0.64
A [由EX＝μ＝3，DX＝σ2＝1，∴X～N(3，1)，
又P(μ－3σ3．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝( )
A．0.025 B．0.050
C．0.950 D．0.975
C [∵ξ～N(0，1)，∴P(ξ<－1.96)＝P(ξ>1.96)＝0.025．
∴P(|ξ|<1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－0.050＝0.950．]
4．设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)，则c＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [∵ξ～N(2，9)，P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)．
又∵P(ξ>c＋1)＝P(ξ∴c＝2．]
5．某厂生产的零件直径ξ～N(10，0.22)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9 cm和9.3 cm，则可认为( )
A．上午生产情况未见异常，下午生产情况出现了异常
B．上午生产情况出现了异常，而下午生产情况正常
C．上、下午生产情况均是正常
D．上、下午生产情况均出现了异常
A [3σ原则：(10－3×0.2，10＋3×0.2]，即(9.4，10.6]，9.9∈(9.4，10.6]，9.3 (9.4，10.6]，所以，上午生产情况未见异常，下午生产情况出现了异常．]
二、填空题
6．设X～N(0，1)，且P(X≤1.623)＝p，那么P(X>1.623)＝________．
1－p [∵X～N(0，1)，∴μ＝0，∴P(X>1.623)＝1－P(X≤1.623)＝1－p．]
7．随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(22.5)＝________．
0.14 [由题意可知，P(X>2)＝0.5，故P(X>2.5)＝P(X>2)－P(28．已知正态分布总体落在区间(0.2，＋∞)的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x)在x＝________时达到最高点．
0.2 [由已知P(X>0.2)＝P(X≤0.2)＝0.5，
所以正态曲线关于x＝0.2对称．由正态曲线性质得x＝μ＝0.2时达到最高点．]
三、解答题
9．设X～N(2，4)，试求下列概率：
(1)P(2[解] (1)P(2(2)P(－210．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．
(1)试问此次参赛学生的总人数约为多少？
(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约有多少人？
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4．
[解] (1)设参赛学生的成绩为X，
因为X～N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10．
则P(X≥90)＝P(X≤50)
＝[1－P(50＜X＜90)]
＝[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]≈×(1－0.954 4)＝0.022 8，12÷0.022 8≈526(人)．
因此，此次参赛学生的总人数约为526人．
(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝[1－P(60＜X＜80)]＝[1－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]≈×(1－0.682 6)＝0.158 7，526×0.158 7≈83(人)．
因此，此次竞赛成绩为优的学生约有83人．
11．(多选题)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则( )
(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)
A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5
C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8
BC [依题意可知，＝2.1，s2＝0.01，
所以Y～N(2.1，0.12)，
故P(Y>2)＝P(Y>2.1－0.1)＝P(Y<2.1＋0.1)≈0.841 3>0.5，C正确，D错误；
因为X～N(1.8，0.12)，
所以P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)，
因为P(X<1.8＋0.1)≈0.841 3，
所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，而P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)1.8＋0.1)<0.2，B正确，A错误．故选BC．]
12．(多选题)若随机变量ξ～N(0，1)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，下列等式成立有( )
A．φ(－x)＝1－φ(x)
B．φ(2x)＝2－φ(x)
C．P(|ξ|＜x)＝2φ(x)－1
D．P(|ξ|＞x)＝2φ(x)
AC [因为随机变量ξ～N(0，1)，所以正态曲线关于ξ＝0对称．
因为φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，根据曲线的对称性可得，φ(－x)＝1－φ(x)，故A正确；因为φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2－φ(x)＝2－P(ξ≤x)，所以φ(2x)≠2－φ(x)，故B错误；根据图象的对称性可得P(|ξ|＜x)＝2φ(x)－1，故C正确；P(|ξ|＞x)＝2[1－φ(x)]≠2φ(x)，故D错误．故选AC．]
13．若随机变量ξ～N(2，σ2)，且P(ξ>3)＝0.158 7，则P(ξ>2)＝________；P(ξ>1)＝________．
0.5 0.841 3 [∵随机变量ξ～N(2，σ2)，∴正态曲线关于x＝2对称，∴P(ξ>2)＝0.5；
∵P(ξ>3)＝0.158 7，∴P(ξ>1)＝P(ξ<3)＝1－0.158 7＝0.841 3．]
14．某投资商制订了两个投资方案，准备选择其中一个．已知这两个投资方案的利润x(万元)分别服从正态分布N(8，32)和N(7，12)．该投资商要求“利润超过5万元”的概率尽量的大，他应该选择哪一个方案？
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ[解] ①当选择X～N(8，32)的方案时，μ＝8，σ＝3．
∴P(8－3∴P(X＞5)＝＋P(5即选择X～N(8，32)的方案时，利润超过5万元的概率为0.841 3．
②当选择X～N(7，12)的方案时，μ′＝7，σ′＝1．
∴P(7－2×1综上可得，选择X～N(7，12)的方案时，利润超过5万元的概率大，即投资商应选X～N(7，12)方案．
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第六章 概率
§5 正态分布
学习任务 核心素养
1．了解连续型随机变量的概念以及连续型随机变量的分布密度函数．(重点)
2．认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．(重点) 1．通过对正态分布的学习，培养逻辑推理素养．
2．借助对正态曲线的应用，培养数学运算素养．
1．离散型随机变量的取值有何特点？如何刻画离散型随机变量取值的分布规律？
2．一件产品的使用寿命是否为随机变量？它能一一列举出来吗？
必备知识·情境导学探新知
1．正态分布
在频率分布直方图中，为了了解得更多，图中的区间应分得更细，如果将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的____________，这条曲线对应的函数称为X的____________．由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象，对应的分布密度函数解析式为
分布密度曲线
分布密度函数
其中实数μ，σ(σ＞0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称________，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为________．
它有两个重要的参数：均值μ和方差σ2(σ>0)，通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的________．
正态分布
正态曲线
正态分布
2．正态曲线满足的性质
(1)正态曲线有如下性质
①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线是单峰的，关于直线_____对称．
③曲线的最高点位于_____处．
④当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线．
x＝μ
x＝μ
(2)正态曲线的特点
①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
②当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越____．
集中
(3)3σ原则
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈_________，
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈_________，
P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈_________．
思考 正态分布密度函数中μ与σ的意义分别是什么？
[提示] μ表示随机变量的平均水平，σ是衡量随机变量的总体波动大小．
0.682 6
0.954 4
0.997 4
√
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与标准差． ( )
(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的． ( )
(3)正态曲线可以关于y轴对称． ( )
(4)正态曲线的“高瘦”与“矮胖”只与σ的大小有关． ( )
×
√
√
2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤c)＝P(X＞c)，则c＝( )
A．0 B．σ
C．－μ D．μ
√
0
4．一台机床生产一种尺寸为10 mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下(单位：mm)：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1，如果机床生产零件的尺寸Y服从正态分布，则
正态分布密度函数解析式为__________________________．
关键能力·合作探究释疑难
类型1 正态曲线
【例1】 如图是一条正态曲线，试根据该图象写出其正态分布密度曲线的函数解析式，求出总体随机变量的均值和方差．
[思路点拨] 给出一条正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的均值、标准差以及解析式．
[跟进训练]
1．如图是σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )
A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
√
类型2 正态分布下的概率计算
【例2】 在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为________．
[思路点拨] 由题意知，正态曲线关于x＝1对称，而区间(0，1)与区间(1，2)关于x＝1对称，故由正态曲线性质得X在区间(0，1)和(1，2)上取值的概率相等．
0.8
0.8 [∵X～N(1，σ2)，
∴正态曲线关于x＝1对称．
∴P(1∴P(0反思领悟 1．解答此题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化．
2．正态分布在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ(2)利用P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)，P(X[跟进训练]
2．设ξ～N(1，22)，试求：(1)P(－1<ξ≤3)；(2)P(3<ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)．
类型3 正态分布的应用
【例3】 设在一次数学考试中，某班学生的分数服从X～N(110，202)，且知满分150分，这个班的学生共54人．求这个班在这次数学考试中及格(不低于90分)的人数和130分以上的人数．
[思路点拨] 要求及格的人数，即要求出P(90≤X≤150)，而求此概率需将问题化为正态分布中几种特殊值的概率形式，然后利用对称性求解．
反思领悟 正态曲线的应用及求解策略
解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．
[跟进训练]
3．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50，102)，求他在(30，60]分内赶到火车站的概率．
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．下列变量中，是连续型随机变量的是( )
A．投掷五枚硬币出现的正面次数
B．某工厂生产的某种零件的长度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之差
D．某人的手机在一周内接到的电话次数
B [B中的变量的取值不能一一列出，所以它是连续型随机变量，而A、C、D中的变量均是离散型随机变量．]
2．在正态分布总体服从N(μ，σ2)中，其参数μ，σ分别是这个总体的
( )
A．方差与标准差
B．期望与方差
C．期望与标准差
D．标准差与期望
√
C [由正态分布概念可知C正确．]
3．设随机变量X～N(0，1)，则P(X<0)＝________．
4．(源自人教B版教材)假设某个地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170(单位：cm，下同)，标准差为10．在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：
(1)不高于170的概率；
(2)在区间[160，180]内的概率；
(3)不高于180的概率．
1．类比函数的性质，结合正态分布密度曲线的特点掌握正态分布曲线的性质．
2．求正态分布在给定区间上的概率问题时，要将所给区间化为已知其概率的区间．
3．由正态分布的对称性知：若ξ～N(μ，σ2)，则P(ξ>μ)＝P(ξ<μ)＝0.5．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
课时分层作业(四十五) 正态分布
A [曲线y＝f (x)关于直线x＝μ对称，显然μ1<μ2，σ越大曲线越“矮胖”，反之，σ越小，曲线越“高瘦”，故σ1<σ2．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．若随机变量X～N(μ，σ2)，且EX＝3，DX＝1，则P(0( )
A．0.021 5 B．0.723
C．0.215 D．0.64
√
A [由EX＝μ＝3，DX＝σ2＝1，∴X～N(3，1)，
又P(μ－3σ题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
3．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝( )
A．0.025 B．0.050
C．0.950 D．0.975
√
C [∵ξ～N(0，1)，∴P(ξ<－1.96)＝P(ξ>1.96)＝0.025．
∴P(|ξ|<1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－0.050＝0.950．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
4．设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)，则c＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
√
B [∵ξ～N(2，9)，P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)．
又∵P(ξ>c＋1)＝P(ξ∴c＝2．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
5．某厂生产的零件直径ξ～N(10，0.22)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9 cm和9.3 cm，则可认为( )
A．上午生产情况未见异常，下午生产情况出现了异常
B．上午生产情况出现了异常，而下午生产情况正常
C．上、下午生产情况均是正常
D．上、下午生产情况均出现了异常
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
12
13
14
A [3σ原则：(10－3×0.2，10＋3×0.2]，即(9.4，10.6]，9.9∈(9.4，10.6]，9.3 (9.4，10.6]，所以，上午生产情况未见异常，下午生产情况出现了异常．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
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13
14
二、填空题
6．设X～N(0，1)，且P(X≤1.623)＝p，那么P(X >1.623)＝_______．
1－p [∵X～N(0，1)，∴μ＝0，∴P(X >1.623)＝1－P(X≤1.623)＝1－p．]
1－p
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
12
13
14
7．随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(2P(X >2.5)＝________．
0.14 [由题意可知，P(X >2)＝0.5，故P(X >2.5)＝P(X >2)－P(20.14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
8．已知正态分布总体落在区间(0.2，＋∞)的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x)在x＝________时达到最高点．
0.2 [由已知P(X>0.2)＝P(X≤0.2)＝0.5，
所以正态曲线关于x＝0.2对称．由正态曲线性质得x＝μ＝0.2时达到最高点．]
0.2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
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11
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13
14
三、解答题
9．设X～N(2，4)，试求下列概率：
(1)P(2题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
10．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．
(1)试问此次参赛学生的总人数约为多少？
(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约有多少人？
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
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14
题号
2
1
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√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
2
1
3
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5
6
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11
12
13
14
题号
2
1
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11
12
13
14
12．(多选题)若随机变量ξ～N(0，1)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，下列等式成立有( )
A．φ(－x)＝1－φ(x)
B．φ(2x)＝2－φ(x)
C．P(|ξ|＜x)＝2φ(x)－1
D．P(|ξ|＞x)＝2φ(x)
√
√
题号
2
1
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4
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12
13
14
AC [因为随机变量ξ～N(0，1)，所以正态曲线关于ξ＝0对称．
因为φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，根据曲线的对称性可得，φ(－x)＝1－φ(x)，故A正确；因为φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2－φ(x)＝2－P(ξ≤x)，所以φ(2x)≠2－φ(x)，故B错误；根据图象的对称性可得P(|ξ|＜x)＝2φ(x)－1，故C正确；P(|ξ|＞x)＝2[1－φ(x)]≠2φ(x)，故D错误．故选AC．]
题号
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13．若随机变量ξ～N(2，σ2)，且P(ξ>3)＝0.158 7，则P(ξ>2)＝________；P(ξ>1)＝________．
0.5 0.841 3 [∵随机变量ξ～N(2，σ2)，∴正态曲线关于x＝2对称，∴P(ξ>2)＝0.5；
∵P(ξ>3)＝0.158 7，∴P(ξ>1)＝P(ξ<3)＝1－0.158 7＝0.841 3．]
0.5
0.841 3
题号
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14．某投资商制订了两个投资方案，准备选择其中一个．已知这两个投资方案的利润x(万元)分别服从正态分布N(8，32)和N(7，12)．该投资商要求“利润超过5万元”的概率尽量的大，他应该选择哪一个方案？
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ题号
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