课时分层作业(四十四)
1．C [组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为．]
2．B [由已知得ξ的可能取值为0，1，2．
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，
∴P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝．]
3．D [P(X＝3)＝．]
4．A [由题意知所求概率为P＝．]
5．B [恰有2个是好的的概率为P＝．]
6． [X＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P(X＝1)＝．]
7． [有两人会说日语的概率为．]
8． [设抽取的2件产品中次品的件数为X，
则P(X＝k)＝(k＝0，1，2)．
∴P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝．]
9．解：X可以取1，2，3．P(X＝1)＝：
P(X＝2)＝：P(X＝3)＝．
所以X的分布列为
X＝k 1 2 3
P(X＝k)
该考生合格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝．
10．解：(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为＝1 225．
选出2人使用版本相同的方法数为＝350．
故2人使用版本相同的概率为P＝．
(2)X可取0，1，2，∵P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝．
∴X的分布列为
X＝k 0 1 2
P(X＝k)
11．A [∵随机变量X服从参数N＝10，M＝3，n＝2的超几何分布，∴EX＝．]
12．(1)0，1，2，3 (2) [(1)由于只选取了3个球，因此随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，3．
(2)由超几何分布概率计算公式知，P(Z＝2)＝．]
13．解：(1)由频率分布直方图得：轻度拥堵的路段个数是(0.1＋0.2)×1×20＝6：中度拥堵的路段个数是(0.3＋0.2)×1×20＝10．
(2)X的可能取值为0，1，2，3．
则P(X＝0)＝：P(X＝1)＝：P(X＝2)＝：P(X＝3)＝．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(四十四) 超几何分布
说明：选择题每题5分，填空题每题5分，本试卷共95分
一、选择题
1．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为( )
A．
2．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取两个，其中白球的个数记为ξ，则下列概率中等于的是( )
A．P(0＜ξ≤2) B．P(ξ≤1)
C．P(ξ＝2) D．P(ξ＝1)
3．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝( )
A． B．
C． D．
4．设袋中有80个球，其中40个红球，40个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中任取两球，则所取的两球同色的概率为( )
A． B．
C． D．
5．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么等于( )
A．恰有1个是坏的的概率
B．恰有2个是好的的概率
C．4个全是好的的概率
D．至多有2个是坏的的概率
二、填空题
6．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X＝1)＝________．
7．某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有2人会说日语的概率为________．
8．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取2件，其中出现次品的概率为________．
三、解答题
9．在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，求该考生答对试题数X的分布列，并求该考生合格的概率．
10．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如表所示：
版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版
人数 20 15 5 10
(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；
(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为X，求随机变量X的分布列．
11．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的件数，则EX＝( )
A． B．
C． D．1
12．盒中共有10个球，其中有4个红球，3个黄球和3个白球，这些球除颜色外其他完全相同．
(1)若用随机变量Y表示任选3个球中红球的个数，则Y的可能取值为________．
(2)若用随机变量Z表示任选5个球中白球的个数，则P(Z＝2)＝________．
13．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2)畅通；T∈[2，4)基本畅通；T∈[4，6)轻度拥堵；T∈[6，8)中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示：
(1)这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？
(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)4.2 超几何分布
学习任务 核心素养
1．理解超几何分布及其推导过程．(重点) 2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(重点、难点) 1．通过对超几何分布的学习，培养数学建模素养． 2．通过对超几何分布的应用，培养数学运算素养．
已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X表示取得的次品数．
1．X可能取哪些值？
2．“X＝1”表示的试验结果是什么？P(X＝1)等于什么？
3．如何求P(X＝k)(k＝0，1，2)？
1．超几何分布的概念
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么
P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}．其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋．
若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的__________．
2．超几何分布的期望(均值)
若随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，即X～H(N，M，n)，则均值EX＝．
设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中逐个抽取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数．
(1)如果每次抽取后不放回，那么随机变量X服从什么分布？
(2)如果每次抽取后放回，那么随机变量X服从什么分布？
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1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在超几何分布中，取出的n件产品中次品的件数的最小值一定是0． ( )
(2)在超几何分布中，取出的n件产品中次品的件数的最大值一定是n． ( )
(3)若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则p(X＝k)＝． ( )
(4)已知在8件产品中有3件次品，5件正品，现从中任取2件，用X表示取得的正品数，则X不服从超几何分布． ( )
2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是( )
A． B．
C． D．
3．设8件产品中，有2件次品，现从中抽取4件，用X表示抽得次品的件数，则X服从参数为________(即定义中的N，M，n)的超几何分布．
类型1 求超几何分布的分布列
【例1】 某班从6名干部中(其中男生4人，女生2人)选3人参加学校的义务劳动．设所选3人中女生人数为X，求X的分布列．
[思路点拨] 写出X的可能取值→求出每个X对应的概率→写出分布列．
[尝试解答] ________________________________________________________
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[母题探究]
本例中若所选3人中男生人数为X，其他条件不变，求X的分布列．
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1．解答本题易出现P(X＝k)算错或列表时X＝k与P(X＝k)的位置不对应的错误．
2．求超几何分布的分布列，关键是求得P(X＝k)的值，而求其值，就要先分清N，M和n的值．
类型2 利用超几何分布模型求相应事件的概率
【例2】 在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件．
求：(1)2件都是合格品的概率；
(2)2件都是次品的概率；
(3)1件是合格品， 1件是次品的概率．
[思路点拨] 解答本题可根据超几何分布公式求解．
[尝试解答] ________________________________________________________
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1．解答本题第(3)问时，也可利用前两问的结果，借助其对立事件来求，即P(A3)＝1－P(A2)－P(A1)＝．
2．应用超几何分布的概率公式时，要正确确定M、N、n、k，同时要避免不必要的重复计算．
[跟进训练]
1．某种彩票的开奖是从1，2，…，36中任意选出7个基本号码，凡购买的彩票上的7个号码中有4个或4个以上基本号码就中奖，基本号码个数的多少，中奖的等级如表，
含有基本号码个数 4 5 6 7
中奖等级 四等奖 三等奖 二等奖 一等奖
求至少中三等奖的概率．
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类型3 超几何分布的综合应用
【例3】 在某次展会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观，在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A片区，3个场馆分布在B片区，3个场馆分布在C片区．由于参观的人很多，在进入每个场馆前都需排队等候，已知A片区的每个场馆的排队时间为2小时，B片区和C片区的每个场馆的排队时间都为1小时．参观前小红突然接到公司通知，要求她一天后务必返回，于是小红决定从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观．
(1)求小红每个片区都参观1个场馆的概率；
(2)设小红排队时间总和为X(小时)，求随机变量X的分布列．
[尝试解答] ________________________________________________________
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1．本例(2)按所等时间分两类时X并不服从超几何分布，但A片区参观场馆的个数服从超几何分布．它们之间存在着对应关系．
2．解决这类问题的关键是要根据题目中所给条件与超几何分布的概念，确定所求问题是否服从超几何分布．
[跟进训练]
2．一袋中有x(x∈N＋)个红球、3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．
(1)当x＝3时，求取出的2个球颜色都相同的事件的概率；
(2)当x＝3时，设X表示取出的2个球中红球的个数，求X的分布列；
(3)如果取出的2个球颜色不相同的事件概率小于，求x的最小值．
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1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是( )
A． B．
C． D．
2．一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为的事件是( )
A．没有白球 B．至少有一个白球
C．至少有一个红球 D．至多有一个白球
3．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．若用随机变量X表示任选4个球中红球的个数，则X服从超几何分布，其参数为( )
A．N＝9，M＝4，n＝4 B．N＝9，M＝5，n＝5
C．N＝13，M＝4，n＝4 D．N＝14，M＝5，n＝5
4．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．则该批产品被接收的概率为______(结果用最简分数表示)．
5．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列．
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解决超几何分布问题的关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
(2)在超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同m时的概率P(X＝m)，从而求出X的分布列．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)4.2 超几何分布
学习任务 核心素养
1．理解超几何分布及其推导过程．(重点) 2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(重点、难点) 1．通过对超几何分布的学习，培养数学建模素养． 2．通过对超几何分布的应用，培养数学运算素养．
已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X表示取得的次品数．
1．X可能取哪些值？
2．“X＝1”表示的试验结果是什么？P(X＝1)等于什么？
3．如何求P(X＝k)(k＝0，1，2)？
1．超几何分布的概念
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么
P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}．其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋．
若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布．
2．超几何分布的期望(均值)
若随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，即X～H(N，M，n)，则均值EX＝．
设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中逐个抽取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数．
(1)如果每次抽取后不放回，那么随机变量X服从什么分布？
(2)如果每次抽取后放回，那么随机变量X服从什么分布？
[提示] (1)X～H(N，M，n)；(2)X～B．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在超几何分布中，取出的n件产品中次品的件数的最小值一定是0． ( )
(2)在超几何分布中，取出的n件产品中次品的件数的最大值一定是n． ( )
(3)若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则p(X＝k)＝． ( )
(4)已知在8件产品中有3件次品，5件正品，现从中任取2件，用X表示取得的正品数，则X不服从超几何分布． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是( )
A． B．
C． D．
B [由题意10件产品中有2件次品，故所求概率为P＝＝．]
3．设8件产品中，有2件次品，现从中抽取4件，用X表示抽得次品的件数，则X服从参数为________(即定义中的N，M，n)的超几何分布．
[答案] 8，2，4
类型1 求超几何分布的分布列
【例1】 某班从6名干部中(其中男生4人，女生2人)选3人参加学校的义务劳动．设所选3人中女生人数为X，求X的分布列．
[思路点拨] 写出X的可能取值→求出每个X对应的概率→写出分布列．
[解] X的所有可能取值为0，1，2，由题意得：
P(X＝0)＝P(X＝1)＝
P(X＝2)＝．
∴X的分布列为
X＝k 0 1 2
P(X＝k)
[母题探究]
本例中若所选3人中男生人数为X，其他条件不变，求X的分布列．
[解] X的所有可能取值为1，2，3，由题意得：
P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝．
∴X的分布列为
X＝k 1 2 3
P(X＝k)
1．解答本题易出现P(X＝k)算错或列表时X＝k与P(X＝k)的位置不对应的错误．
2．求超几何分布的分布列，关键是求得P(X＝k)的值，而求其值，就要先分清N，M和n的值．
类型2 利用超几何分布模型求相应事件的概率
【例2】 在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件．
求：(1)2件都是合格品的概率；
(2)2件都是次品的概率；
(3)1件是合格品， 1件是次品的概率．
[思路点拨] 解答本题可根据超几何分布公式求解．
[解] 从100件产品中任取2件可能出现的结果数，就是从100个元素中任取2个元素的组合数，由于任意抽取，这些结果出现的可能性相等，
∴＝4 950为基本事件总数．
(1)100件产品中有95件合格品，取到2件合格品的结果数，就是从95个元素中任取2个的组合数，记“任取2件都是合格品”为事件A1，那么事件A1的概率为P(A1)＝＝．
(2)由于在100件产品中有5件次品，取到2件次品的结果数为，记“任取2件都是次品”为事件A2，那么事件A2的概率为P(A2)＝＝．
(3)记“任取2件，1件是合格品，1件是次品”为事件A3，而取到1件合格品，1件次品的结果数为，那么事件A3的概率为P(A3)＝＝．
1．解答本题第(3)问时，也可利用前两问的结果，借助其对立事件来求，即P(A3)＝1－P(A2)－P(A1)＝．
2．应用超几何分布的概率公式时，要正确确定M、N、n、k，同时要避免不必要的重复计算．
[跟进训练]
1．某种彩票的开奖是从1，2，…，36中任意选出7个基本号码，凡购买的彩票上的7个号码中有4个或4个以上基本号码就中奖，基本号码个数的多少，中奖的等级如表，
含有基本号码个数 4 5 6 7
中奖等级 四等奖 三等奖 二等奖 一等奖
求至少中三等奖的概率．
[解] 设X为选出的7个号码中含有基本号码的个数，P(X≥5)＝P(X＝5)＋P(X＝6)＋P(X＝7)＝≈0.001 05，∴至少中三等奖的概率为0.001 05．
类型3 超几何分布的综合应用
【例3】 在某次展会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观，在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A片区，3个场馆分布在B片区，3个场馆分布在C片区．由于参观的人很多，在进入每个场馆前都需排队等候，已知A片区的每个场馆的排队时间为2小时，B片区和C片区的每个场馆的排队时间都为1小时．参观前小红突然接到公司通知，要求她一天后务必返回，于是小红决定从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观．
(1)求小红每个片区都参观1个场馆的概率；
(2)设小红排队时间总和为X(小时)，求随机变量X的分布列．
[解] (1)从10个场馆中随机选定3个场馆，基本事件的总数为＝120，设“小红每个片区都参观1个场馆”为事件D，其中所包含的基本事件的个数为＝36．由于每个基本事件发生的可能性是相等的，所以P(D)＝＝．
即小红每个片区都参观1个场馆的概率是．
(2)随机变量X可能取得的值为3，4，5，6．
P(X＝3)＝
P(X＝4)＝
P(X＝5)＝
P(X＝6)＝．
∴随机变量X的分布列为
X＝k 3 4 5 6
P(X＝k)
1．本例(2)按所等时间分两类时X并不服从超几何分布，但A片区参观场馆的个数服从超几何分布．它们之间存在着对应关系．
2．解决这类问题的关键是要根据题目中所给条件与超几何分布的概念，确定所求问题是否服从超几何分布．
[跟进训练]
2．一袋中有x(x∈N＋)个红球、3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．
(1)当x＝3时，求取出的2个球颜色都相同的事件的概率；
(2)当x＝3时，设X表示取出的2个球中红球的个数，求X的分布列；
(3)如果取出的2个球颜色不相同的事件概率小于，求x的最小值．
[解] (1)当x＝3时，设“取出的2个球颜色都相同”为事件A，P(A)＝＝，即取出的2球颜色都相同的事件概率为．
(2)当x＝3时，X可取0，1，2，
∵P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝．
∴X的概率分布列为
X＝k 0 1 2
P(X＝k)
(3)设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B，则P(B)＝<，∴x2－6x＋2>0，
∴x>3＋或x<3－，且x∈N＋，
∴x的最小值为6．
1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是( )
A． B．
C． D．
C [根据题意知该问题服从超几何分布，∴P＝＝．]
2．一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为的事件是( )
A．没有白球 B．至少有一个白球
C．至少有一个红球 D．至多有一个白球
B [表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．]
3．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．若用随机变量X表示任选4个球中红球的个数，则X服从超几何分布，其参数为( )
A．N＝9，M＝4，n＝4 B．N＝9，M＝5，n＝5
C．N＝13，M＝4，n＝4 D．N＝14，M＝5，n＝5
A [由超几何分布的定义可知N，M，n分别为9，4，4．]
4．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．则该批产品被接收的概率为______(结果用最简分数表示)．
[以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝2，n＝5，
∴该批产品被接收的概率为：P(X≤1)＝＝．]
5．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列．
[解] X的可能取值是1，2，3，
P(X＝1)＝；P(X＝2)＝；P(X＝3)＝．
故X的分布列为
X 1 2 3
P
解决超几何分布问题的关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
(2)在超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同m时的概率P(X＝m)，从而求出X的分布列．
课时分层作业(四十四) 超几何分布
一、选择题
1．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为( )
A．
C [组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为．]
2．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取两个，其中白球的个数记为ξ，则下列概率中等于的是( )
A．P(0＜ξ≤2) B．P(ξ≤1)
C．P(ξ＝2) D．P(ξ＝1)
B [由已知得ξ的可能取值为0，1，2．
P(ξ＝0)＝P(ξ＝1)＝P(ξ＝2)＝
∴P(ξ1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝．]
3．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝( )
A． B．
C． D．
D [P(X＝3)＝＝．]
4．设袋中有80个球，其中40个红球，40个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中任取两球，则所取的两球同色的概率为( )
A． B．
C． D．
A [由题意知所求概率为P＝＝．]
5．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么等于( )
A．恰有1个是坏的的概率
B．恰有2个是好的的概率
C．4个全是好的的概率
D．至多有2个是坏的的概率
B [恰有2个是好的的概率为P＝＝．]
二、填空题
6．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X＝1)＝________．
[X＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P(X＝1)＝＝．]
7．某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有2人会说日语的概率为________．
[有两人会说日语的概率为＝．]
8．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取2件，其中出现次品的概率为________．
[设抽取的2件产品中次品的件数为X，
则P(X＝k)＝(k＝0，1，2)．
∴P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝．]
三、解答题
9．在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，求该考生答对试题数X的分布列，并求该考生合格的概率．
[解] X可以取1，2，3．P(X＝1)＝；
P(X＝2)＝；P(X＝3)＝．
所以X的分布列为
X＝k 1 2 3
P(X＝k)
该考生合格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝．
10．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如表所示：
版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版
人数 20 15 5 10
(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；
(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为X，求随机变量X的分布列．
[解] (1)从50名教师中随机选出2名的方法数为＝1 225．
选出2人使用版本相同的方法数为＝350．
故2人使用版本相同的概率为P＝＝．
(2)X可取0，1，2，∵P(X＝0)＝P(X＝1)＝P(X＝2)＝．
∴X的分布列为
X＝k 0 1 2
P(X＝k)
11．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的件数，则EX＝( )
A． B．
C． D．1
A [∵随机变量X服从参数N＝10，M＝3，n＝2的超几何分布，∴EX＝＝＝．]
12．盒中共有10个球，其中有4个红球，3个黄球和3个白球，这些球除颜色外其他完全相同．
(1)若用随机变量Y表示任选3个球中红球的个数，则Y的可能取值为________．
(2)若用随机变量Z表示任选5个球中白球的个数，则P(Z＝2)＝________．
(1)0，1，2，3 (2) [(1)由于只选取了3个球，因此随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，3．
(2)由超几何分布概率计算公式知，P(Z＝2)＝＝．]
13．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2)畅通；T∈[2，4)基本畅通；T∈[4，6)轻度拥堵；T∈[6，8)中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示：
(1)这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？
(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列．
[解] (1)由频率分布直方图得：轻度拥堵的路段个数是(0.1＋0.2)×1×20＝6；中度拥堵的路段个数是(0.3＋0.2)×1×20＝10．
(2)X的可能取值为0，1，2，3．
则P(X＝0)＝；P(X＝1)＝；P(X＝2)＝；P(X＝3)＝．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
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第六章 概率
§4 二项分布与超几何分布
4.2 超几何分布
学习任务 核心素养
1．理解超几何分布及其推导过程．(重点)
2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(重点、难点) 1．通过对超几何分布的学习，培养数学建模素养．
2．通过对超几何分布的应用，培养数学运算素养．
已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X表示取得的次品数．
1．X 可能取哪些值？
2．“X＝1”表示的试验结果是什么？P(X＝1)等于什么？
3．如何求P(X＝k)(k＝0，1，2)？
必备知识·情境导学探新知
超几何分布
2．超几何分布的期望(均值)
若随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，即X～H(N，M，n)，则均值EX＝____．
思考 设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中逐个抽取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数．
(1)如果每次抽取后不放回，那么随机变量X服从什么分布？
(2)如果每次抽取后放回，那么随机变量X服从什么分布？
×
×
×
×
√
3．设8件产品中，有2件次品，现从中抽取4件，用X表示抽得次品的件数，则X服从参数为_____________(即定义中的N，M，n)的超几何分布．
8，2，4
关键能力·合作探究释疑难
类型1 求超几何分布的分布列
【例1】 某班从6名干部中(其中男生4人，女生2人)选3人参加学校的义务劳动．设所选3人中女生人数为X，求X的分布列．
[思路点拨] 写出X的可能取值→求出每个X对应的概率→写出分布列．
X＝k 0 1 2
P(X＝k)
[母题探究]
本例中若所选3人中男生人数为X，其他条件不变，求X的分布列．
X＝k 1 2 3
P(X＝k)
反思领悟 1．解答本题易出现P(X＝k)算错或列表时X＝k与P(X＝k)的位置不对应的错误．
2．求超几何分布的分布列，关键是求得P(X＝k)的值，而求其值，就要先分清N，M和n的值．
类型2 利用超几何分布模型求相应事件的概率
【例2】 在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件．
求：(1)2件都是合格品的概率；
(2)2件都是次品的概率；
(3)1件是合格品，1件是次品的概率．
[思路点拨] 解答本题可根据超几何分布公式求解．
[跟进训练]
1．某种彩票的开奖是从1，2，…，36中任意选出7个基本号码，凡购买的彩票上的7个号码中有4个或4个以上基本号码就中奖，基本号码个数的多少，中奖的等级如表，
求至少中三等奖的概率．
含有基本号码个数 4 5 6 7
中奖等级 四等奖 三等奖 二等奖 一等奖
类型3 超几何分布的综合应用
【例3】 在某次展会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观，在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A片区，3个场馆分布在B片区，3个场馆分布在C片区．由于参观的人很多，在进入每个场馆前都需排队等候，已知A片区的每个场馆的排队时间为2小时，B片区和C片区的每个场馆的排队时间都为1小时．参观前小红突然接到公司通知，要求她一天后务必返回，于是小红决定从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观．
(1)求小红每个片区都参观1个场馆的概率；
(2)设小红排队时间总和为X(小时)，求随机变量X的分布列．
X＝k 3 4 5 6
P(X＝k)
反思领悟 1．本例(2)按所等时间分两类时X并不服从超几何分布，但A片区参观场馆的个数服从超几何分布．它们之间存在着对应关系．
2．解决这类问题的关键是要根据题目中所给条件与超几何分布的概念，确定所求问题是否服从超几何分布．
X＝k 0 1 2
P(X＝k)
学习效果·课堂评估夯基础
√
√
3．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．若用随机变量X表示任选4个球中红球的个数，则X服从超几何分布，其参数为( )
A．N＝9，M＝4，n＝4 B．N＝9，M＝5，n＝5
C．N＝13，M＝4，n＝4 D．N＝14，M＝5，n＝5
√
A [由超几何分布的定义可知N，M，n分别为9，4，4．]
4．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．则该批产品被接收的概率为______(结果用最简分数表示)．
5．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列．
X 1 2 3
P
解决超几何分布问题的关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
(2)在超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同m时的概率P(X＝m)，从而求出X的分布列．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
课时分层作业(四十四) 超几何分布
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
二、填空题
6．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X＝1)＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
7．某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有2人会说日语的概率为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
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12
13
8．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取2件，其中出现次品的概率为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
三、解答题
9．在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，求该考生答对试题数X的分布列，并求该考生合格的概率．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
X＝k 1 2 3
P(X＝k)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
10．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如表所示：
(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；
(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为X，求随机变量X的分布列．
版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版
人数 20 15 5 10
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
X＝k 0 1 2
P(X＝k)
√
题号
2
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9
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11
12
13
题号
2
1
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9
10
11
12
13
12．盒中共有10个球，其中有4个红球，3个黄球和3个白球，这些球除颜色外其他完全相同．
(1)若用随机变量Y表示任选3个球中红球的个数，则Y的可能取值为______________．
(2)若用随机变量Z表示任选5个球中白球的个数，则P(Z＝2)＝________．
0，1，2，3
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
13．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2)畅通；T∈[2，4)基本畅通；T∈[4，6)轻度拥堵；T∈[6，8)中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示：
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
(1)这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？
(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列．
题号
2
1
3
4
5
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9
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11
12
13
题号
2
1
3
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12
13
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
