§1 空间直角坐标系
1.1 点在空间直角坐标系中的坐标
学习任务 核心素养
1．了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念．(重点) 2．会在空间直角坐标系中用三元有序实数组刻画空间中点的位置．(重点、难点) 1．通过对空间直角坐标系的有关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助在空间直角坐标系中点的位置的刻画，培养直观想象与逻辑推理素养．
飞机在空中飞行时，只给飞机在地面的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？再给出高度，能确定飞机的位置吗？在空间中，如何确定点的位置？
1．空间直角坐标系的建立
(1)空间直角坐标系：
过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：_____________，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz．
(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：
①伸出右手，让四指与大拇指垂直．
②四指先指向_轴正方向．
③让四指沿____方向旋转90°指向y轴正方向．
④______的指向即为z轴正方向．
(3)有关名称
如图所示，
①点_叫作坐标原点．
②_________统称为坐标轴．
③通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面．______确定的平面记作xOy平面，______确定的平面记作yOz平面，______确定的平面记作xOz平面．
2．空间直角坐标系中点的坐标
(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用唯一的一个______________来表示．
(2)三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)．x叫作点P的__坐标，y叫作点P的__坐标，z叫作点P的__坐标．
(3)空间直角坐标系中：点与三元有序实数组________．
如何确定空间中点P的坐标？
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1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是的形式． ( )
(2)空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是的形式． ( )
(3)空间直角坐标系中，点(1，，2)关于yOz平面的对称点为(－1，，2)． ( )
(4)空间直角坐标系中，点(1，，2)关于坐标原点O的对称点为(－1，－，－2)． ( )
2．点A(2，0，3)在空间直角坐标系中的位置是( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．yOz平面上
类型1 根据点的坐标确定点的位置
【例1】 在空间直角坐标系中，作出点M(2，－6，4)．
[尝试解答] ________________________________________________________
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1．先确定点(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置．
2．以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．
[跟进训练]
1．在空间直角坐标系中作出点M(2，3，4)．
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类型2 已知点的位置写出点的坐标
【例2】 已知棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′，建立如图所示的不同空间直角坐标系．试分别写出正方体各顶点的坐标．
(1) (2)
[尝试解答] ________________________________________________________
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[母题探究]
把本例中正方体的棱长变为，且建立如图所示的空间直角坐标系，求正方体各顶点的坐标．
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1．已知点M的位置，求其坐标的方法
作MM′垂直平面xOy，垂足为M′，求M′的x轴坐标，y轴坐标，即点M的x轴坐标，y轴坐标，再求点M在z轴上投影的z轴坐标，即点M的z轴坐标，于是得到点M的坐标(x，y，z)．
2．在空间直角坐标系中，三条坐标轴和三个坐标平面上的点的坐标形式如下表所示．其中x，y，z∈R．
分类 坐标轴 坐标平面
x轴 y轴 z轴 xOy平面 yOz平面 xOz平面
坐标形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
类型3 空间中点的对称问题
关于点对称
【例3】 点M关于点(a，b，c)的对称点的坐标为________．
[思路点拨] 类比平面直角坐标系中点的对称问题来求解，其中线段的对称中心是线段的中点．
[尝试解答] ________________________________________________________
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关于坐标轴对称
【例4】 求点M(a，b，c)关于坐标轴的对称点的坐标．
[思路点拨] 从分析对称点的性质入手．
[尝试解答] ________________________________________________________
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关于坐标平面对称
【例5】 求点M(a，b，c)关于坐标平面的对称点的坐标．
[思路点拨] 从分析对称点的性质入手．
[尝试解答] ________________________________________________________
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1．关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点：
2．点的对称可简单记为“关于谁对称，谁不变，其他的变为相反数；关于原点对称，都变”．
[跟进训练]
2．在空间直角坐标系中，点P与Q(1，－1，－1)两点间的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于xOz平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
3．点M(a，b，c)关于原点的对称点的坐标为________．
4．在空间直角坐标系中，点P1关于xOy平面的对称点为点P2，点P2关于yOz平面的对称点为点P3，点P3关于zOx平面的对称点为点P4，则点P4的坐标为________．
1．点Q(0，0，3)的位置是( )
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在z轴上 D．在面xOy内
2．点A(－3，1，5)，点B(4，3，1)的中点坐标是( )
A． B．
C．(－12，3，5) D．
3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点P在直线DB1上，则x，y，z所满足的条件是( )
A． B．
C． D．x＝y＝z
4．点P1(－1，1，4)关于坐标平面yOz对称的点为P2，则点P2关于坐标平面xOy的对称点P3的坐标为________．
5．在平行四边形ABCD中，已知点A(1，0，0)，B(3，1，2)，C(0，－2，1)，求D点坐标．
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1．确定空间定点M的坐标的步骤
(1)过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于P，Q和R．
(2)确定P，Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x，y和z．
(3)得出点M的坐标为(x，y，z)．
2．已知M点坐标为(x，y，z)确定点M位置的步骤
(1)在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，y和z的点P，Q，R．
(2)过P，Q，R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面．
(3)三个平面的唯一交点就是M．
3．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是(1)要根据图形对称性建立空间直角坐标系；(2)要使尽量多的点落在坐标轴上．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(十八)
1．B [由于x＝z＝0，y＝2，∴P在y轴上．]
2．B [设点P在面xOz的投影为P'，则|PP'|＝|b|．]
3．D [两个点关于x轴对称，那么这两个点的横坐标不变，纵坐标与竖坐标均互为相反数，故有λ＝2，7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，∴λ＝2，μ＝10，v＝7．]
4．D [由空间点的坐标的定义，知点Q 的坐标为(1，，0)．]
5．B [DD1C1C所在的平面平行于xOz面，且与xOz面的距离为2，上面任意一点的纵坐标都是－2，而横、竖坐标可取任意实数．]
6．(0，2，1) [∵C(0，2，0)，|CN|＝1，∴N(0，2，1)．]
7．(2，0，0) (0，3，0) (0，0，4) [P(2，3，4)在x轴上的投影为(2，0，0)，在y轴上的投影为(0，3，0)，在z轴上的投影为(0，0，4)．]
8．④
9．解：因为OB'与BD'相交于点Q，
所以点Q在xOy平面内的投影应为OB与AC的交点，
所以Q的坐标为．
同理可知点Q在xOz平面内的投影也应为AD'与OA'的交点，所以点Q的坐标为．
10．解：长方体的对称中心为坐标原点O，
∵顶点A(－2，－3，－1)．
∴A关于原点的对称点C1的坐标为(2，3，1)．
又∵C与C1关于坐标平面xOy对称，
∴C(2，3，－1)．而A1与C关于原点对称，
∴A1(－2，－3，1)．又∵C与D关于坐标平面yOz对称，
∴D(－2，3，－1)．
∵B与C关于坐标平面xOz对称，
∴B(2，－3，－1)．又∵B1与B关于坐标平面xOy对称，
∴B1(2，－3，1)．
同理，D1(－2，3，1)．
综上知长方体其他七个顶点的坐标为C1(2，3，1)，C(2，3，－1)，A1(－2，－3，1)，B(2，－3，－1)，B1(2，－3，1)，D(－2，3，－1)，D1(－2，3，1)．
11．B [点P(3，4，5) 与Q(3，4，－5) 两点的横、纵坐标相同，而竖坐标互为相反数，所以两点关于xOy平面对称．]
12．D [(2，2，z)表示过点(2，2，0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线．]
13．(－2，0，－3) (2，－4，3) [点M在xOz平面上的投影为(－2，0，－3)，点M(－2，4，－3)关于原点对称的坐标为(2，－4，3)．]
14．解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系．
∵点E在z轴上，且为D1D的中点，
∴点E坐标为．
过F作FM⊥AD，FN⊥DC，
则|FM|＝|FN|＝，故点F坐标为．
∵点G在y轴上，又|GD|＝，∴点G坐标为．
过H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点，
故|HK|＝，|CK|＝，
∴|DK|＝，故点H的坐标为．
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说明：选择题每题5分，填空题每题5分，本试卷共100分
一、选择题
1．点P(0，2，0)在( )
A．x轴上 B．y轴上
C．xOy平面内 D．yOz平面内
2．点P(a，b，c)到坐标平面xOz的距离是( )
A．|a| B．|b|
C．|c| D．以上都不对
3．已知点A(2，3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值分别为( )
A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5
B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5
C．λ＝2，μ＝10，v＝8
D．λ＝2，μ＝10，v＝7
4．点P(1，)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为( )
A．(0，0，) B．(0，)
C．(1，0，) D．(1，，0)
5．长方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，且AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则DD1C1C所在平面上点的坐标形式是( )
A．(0，－2，－1) B．(x，－2，z)
C．(－3，－2，－1) D．(－3，y，z)
二、填空题
6．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则CC1中点N的坐标为________．
7．写出点P(2，3，4)在三条坐标轴上的投影的坐标________，________，________．
8．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：
①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题
9．如图，在棱长为a的正方体OABC-D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标．
10．如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心为坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
11．在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)与Q(3，4，－5)两点间的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于xOy平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
12．设z为任一实数，则点(2，2，z)表示的图形是( )
A．z轴
B．与平面xOy平行的一直线
C．平面xOy
D．与平面xOy垂直的一直线
13．在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影的坐标是________，点M(－2，4，－3)关于原点对称的点的坐标是________．
14．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．
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第三章 空间向量与立体几何
§1 空间直角坐标系
1.1 点在空间直角坐标系中的坐标
学习任务 核心素养
1．了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念．(重点)
2．会在空间直角坐标系中用三元有序实数组刻画空间中点的位置．(重点、难点) 1．通过对空间直角坐标系的有关概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助在空间直角坐标系中点的位置的刻画，培养直观想象与逻辑推理素养．
飞机在空中飞行时，只给飞机在地面的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？再给出高度，能确定飞机的位置吗？在空间中，如何确定点的位置？
必备知识·情境导学探新知
1．空间直角坐标系的建立
(1)空间直角坐标系：
过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：_______________，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz．
x轴、y轴和z轴
(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：
①伸出右手，让四指与大拇指垂直．
②四指先指向__轴正方向．
③让四指沿_____方向旋转90°指向y轴正方向．
④_______的指向即为z轴正方向．
x
握拳
大拇指
(3)有关名称
如图所示，
①点__叫作坐标原点．
②__________统称为坐标轴．
③通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面．_______确定的平面记作xOy平面，_______确定的平面记作yOz平面，_______确定的平面记作xOz平面．
O
x，y，z轴
x，y轴
y，z轴
x，z轴
2．空间直角坐标系中点的坐标
(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用唯一的一个_______________来表示．
(2)三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)．x叫作点P的__坐标，y叫作点P的__坐标，z叫作点P的__坐标．
(3)空间直角坐标系中：点与三元有序实数组_________．
三元有序实数组
横
纵
竖
一一对应
思考 如何确定空间中点P的坐标？
[提示] 过点P分别向坐标轴作垂面，与三条坐标轴分别交于点A，B，C，若点A，B，C的坐标分别为(x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)．
×
√
√
√
2．点A(2，0，3)在空间直角坐标系中的位置是( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．yOz平面上
√
C [注意到y＝0，可知点A在xOz平面上．]
关键能力·合作探究释疑难
类型1 根据点的坐标确定点的位置
【例1】 在空间直角坐标系中，作出点M(2，－6，4)．
[解] 法一：先确定点M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M的位置了(如图所示)．
法二：以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2，6，4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)．
反思领悟 1．先确定点(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置．
2．以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．
[跟进训练]
1．在空间直角坐标系中作出点M(2，3，4)．
[解] 如图，在xOy平面内确定点M1(2，3，0)，作M1M平行于z轴，在M1M上沿z轴的正方向取|M1M|＝4，则点M的坐标为(2，3，4)．
类型2 已知点的位置写出点的坐标
【例2】 已知棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′，建立如图所示的不同空间直角坐标系．试分别写出正方体各顶点的坐标．
(1) (2)
[解] (1)因为D是坐标原点，A，C，D′分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上，正方体的棱长为1，
所以D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D′(0，0，1)．
因为B点在xDy平面上，所以B(1，1，0)．
同理，A′(1，0，1)，C′(0，1，1)．
因为B′B垂直于xDy平面且与z轴正半轴在xDy平面同侧，且|B′B|＝1，所以B′(1，1，1)．
(2)因为D′是坐标原点，A′，C′分别在x轴、y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为1，
所以A′(1，0，0)，C′(0，1，0)，
D(0，0，－1)，D′(0，0，0)．
同(1)得B′(1，1，0)，A(1，0，－1)，C(0，1，－1)，B(1，1，－1)．
反思领悟 1．已知点M的位置，求其坐标的方法
作MM′垂直平面xOy，垂足为M′，求M′的x轴坐标，y轴坐标，即点M的x轴坐标，y轴坐标，再求点M在z轴上投影的z轴坐标，即点M的z轴坐标，于是得到点M的坐标(x，y，z)．
2．在空间直角坐标系中，三条坐标轴和三个坐标平面上的点的坐标形式如下表所示．其中x，y，z∈R．
分类 坐标轴 坐标平面
x轴 y轴 z轴 xOy平面 yOz平面 xOz平面
坐标
形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
[思路点拨] 类比平面直角坐标系中点的对称问题来求解，其中线段的对称中心是线段的中点．
角度2 关于坐标轴对称
【例4】 求点M(a，b，c)关于坐标轴的对称点的坐标．
[思路点拨] 从分析对称点的性质入手．
[解] 关于x轴的对称点M0的坐标为(a，－b，－c)，关于y轴的对称点M1的坐标为(－a，b，－c)，
关于z轴的对称点M2的坐标为(－a，－b，c)．
角度3 关于坐标平面对称
【例5】 求点M(a，b，c)关于坐标平面的对称点的坐标．
[思路点拨] 从分析对称点的性质入手．
[解] 点M关于xOy平面的对称点M1的坐标为(a，b，－c)，关于xOz平面的对称点M2的坐标为(a，－b，c)，关于yOz平面的对称点M3的坐标为(－a，b，c)．
反思领悟 1．关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点：
2．点的对称可简单记为“关于谁对称，谁不变，其他的变为相反数；关于原点对称，都变”．
√
3．点M(a，b，c)关于原点的对称点的坐标为_________________．
(－a，－b，－c) [关于原点对称的点M的坐标为(－a，－b，－c)．]
(－a，－b，－c)
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．点Q(0，0，3)的位置是( )
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在z轴上 D．在面xOy内
C [只有竖坐标不为0，显然在z轴上．]
√
√
4．点P1(－1，1，4)关于坐标平面yOz对称的点为P2，则点P2关于坐标平面xOy的对称点P3的坐标为______________．
(1，1，－4) [P1(－1，1，4) P2(1，1，4) P3(1，1，－4)．]
(1，1，－4)
5．在平行四边形ABCD中，已知点A(1，0，0)，B(3，1，2)，C(0，－2，1)，求D点坐标．
1．确定空间定点M的坐标的步骤
(1)过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于P，Q和R．
(2)确定P，Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x，y和z．
(3)得出点M的坐标为(x，y，z)．
2．已知M点坐标为(x，y，z)确定点M位置的步骤
(1)在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，y和z的点P，Q，R．
(2)过P，Q，R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面．
(3)三个平面的唯一交点就是M．
3．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是(1)要根据图形对称性建立空间直角坐标系；(2)要使尽量多的点落在坐标轴上．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
课时分层作业(十八) 点在空间直角坐标系中的坐标
一、选择题
1．点P(0，2，0)在( )
A．x轴上 B．y轴上
C．xOy平面内 D．yOz平面内
B [由于x＝z＝0，y＝2，∴P在y轴上．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．点P(a，b，c)到坐标平面xOz的距离是( )
A．|a| B．|b|
C．|c| D．以上都不对
√
B [设点P在面xOz的投影为P′，则|PP′|＝|b|．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
3．已知点A(2，3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值分别为( )
A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5
B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5
C．λ＝2，μ＝10，v＝8
D．λ＝2，μ＝10，v＝7
√
D [两个点关于x轴对称，那么这两个点的横坐标不变，纵坐标与竖坐标均互为相反数，故有λ＝2，7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，∴λ＝2，μ＝10，v＝7．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
5．长方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，且AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则DD1C1C所在平面上点的坐标形式是
( )
A．(0，－2，－1) B．(x，－2，z)
C．(－3，－2，－1) D．(－3，y，z)
√
B [DD1C1C所在的平面平行于xOz面，且与xOz面的距离为2，上面任意一点的纵坐标都是－2，而横、竖坐标可取任意实数．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
二、填空题
6．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则CC1中点N的坐标为__________．
(0，2，1) [∵C(0，2，0)，|CN|＝1，∴N(0，2，1)．]
(0，2，1)
题号
2
1
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7．写出点P(2，3，4)在三条坐标轴上的投影的坐标_________，__________，__________．
(2，0，0) (0，3，0) (0，0，4) [P(2，3，4)在x轴上的投影为(2，0，0)，在y轴上的投影为(0，3，0)，在z轴上的投影为(0，0，4)．]
(2，0，0)
(0，3，0)
(0，0，4)
题号
2
1
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14
8．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：
①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．
其中正确命题的序号是________．
④
题号
2
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三、解答题
9．如图，在棱长为a的正方体OABC-D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标．
题号
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题号
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10．如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心为坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
题号
2
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[解] 长方体的对称中心为坐标原点O，
∵顶点A(－2，－3，－1)．
∴A关于原点的对称点C1的坐标为(2，3，1)．
又∵C与C1关于坐标平面xOy对称，
∴C(2，3，－1)．而A1与C关于原点对称，
∴A1(－2，－3，1)．又∵C与D关于坐标平面yOz对称，∴D(－2，3，－1)．
题号
2
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14
∵B与C关于坐标平面xOz对称，
∴B(2，－3，－1)．又∵B1与B关于坐标平面xOy对称，
∴B1(2，－3，1)．
同理，D1(－2，3，1)．
综上知长方体其他七个顶点的坐标为C1(2，3，1)，C(2，3，－1)，A1(－2，－3，1)，B(2，－3，－1)，B1(2，－3，1)，D(－2，3，－1)，D1(－2，3，1)．
√
题号
2
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13
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11．在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)与Q(3，4，－5)两点间的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于xOy平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
B [点P(3，4，5) 与Q(3，4，－5) 两点的横、纵坐标相同，而竖坐标互为相反数，所以两点关于xOy平面对称．]
题号
2
1
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14
12．设z为任一实数，则点(2，2，z)表示的图形是( )
A．z轴
B．与平面xOy平行的一直线
C．平面xOy
D．与平面xOy垂直的一直线
√
D [(2，2，z)表示过点(2，2，0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线．]
题号
2
1
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14
13．在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影的坐标是_______________，点M(－2，4，－3)关于原点对称的点的坐标是________________．
(－2，0，－3) (2，－4，3) [点M在xOz平面上的投影为(－2，0，－3)，点M(－2，4，－3)关于原点对称的坐标为(2，－4，3)．]
(－2，0，－3)
(2，－4，3)
题号
2
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题号
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[解] 以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系．
题号
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14§1 空间直角坐标系
1.1 点在空间直角坐标系中的坐标
学习任务 核心素养
1．了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念．(重点) 2．会在空间直角坐标系中用三元有序实数组刻画空间中点的位置．(重点、难点) 1．通过对空间直角坐标系的有关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助在空间直角坐标系中点的位置的刻画，培养直观想象与逻辑推理素养．
飞机在空中飞行时，只给飞机在地面的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？再给出高度，能确定飞机的位置吗？在空间中，如何确定点的位置？
1．空间直角坐标系的建立
(1)空间直角坐标系：
过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz．
(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：
①伸出右手，让四指与大拇指垂直．
②四指先指向x轴正方向．
③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向．
④大拇指的指向即为z轴正方向．
(3)有关名称
如图所示，
①点O叫作坐标原点．
②x，y，z轴统称为坐标轴．
③通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面．x，y轴确定的平面记作xOy平面，y，z轴确定的平面记作yOz平面，x，z轴确定的平面记作xOz平面．
2．空间直角坐标系中点的坐标
(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用唯一的一个三元有序实数组来表示．
(2)三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)．x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标．
(3)空间直角坐标系中：点与三元有序实数组一一对应．
如何确定空间中点P的坐标？
[提示] 过点P分别向坐标轴作垂面，与三条坐标轴分别交于点A，B，C，若点A，B，C的坐标分别为(x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是的形式． ( )
(2)空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是的形式． ( )
(3)空间直角坐标系中，点(1，，2)关于yOz平面的对称点为(－1，，2)． ( )
(4)空间直角坐标系中，点(1，，2)关于坐标原点O的对称点为(－1，－，－2)． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．点A(2，0，3)在空间直角坐标系中的位置是( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．yOz平面上
C [注意到y＝0，可知点A在 xOz平面上．]
类型1 根据点的坐标确定点的位置
【例1】 在空间直角坐标系中，作出点M(2，－6，4)．
[解] 法一：先确定点M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，
则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M的位置了(如图所示)．
法二：以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2，6，4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)．
1．先确定点(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置．
2．以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．
[跟进训练]
1．在空间直角坐标系中作出点M(2，3，4)．
[解] 如图，在xOy平面内确定点M1(2，3，0)，作M1M平行于z轴，在M1M上沿z轴的正方向取|M1M|＝4，则点M的坐标为(2，3，4)．
类型2 已知点的位置写出点的坐标
【例2】 已知棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′，建立如图所示的不同空间直角坐标系．试分别写出正方体各顶点的坐标．
(1) (2)
[解] (1)因为D是坐标原点，A，C，D′分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上，正方体的棱长为1，
所以D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D′(0，0，1)．
因为B点在xDy平面上，所以B(1，1，0)．
同理，A′(1，0，1)，C′(0，1，1)．
因为B′B垂直于xDy平面且与z轴正半轴在xDy平面同侧，且|B′B|＝1，所以B′(1，1，1)．
(2)因为D′是坐标原点，A′，C′分别在x轴、y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为1，
所以A′(1，0，0)，C′(0，1，0)，
D(0，0，－1)，D′(0，0，0)．
同(1)得B′(1，1，0)，A(1，0，－1)，C(0，1，－1)，B(1，1，－1)．
[母题探究]
把本例中正方体的棱长变为，且建立如图所示的空间直角坐标系，求正方体各顶点的坐标．
[解] 依题意知|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，
∴A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)．
∵AA′⊥平面xOy，且|AA′|＝，∴A′(1，0，)，
B′(0，1，)，C′(－1，0，)，D′(0，－1，)．
1．已知点M的位置，求其坐标的方法
作MM′垂直平面xOy，垂足为M′，求M′的x轴坐标，y轴坐标，即点M的x轴坐标，y轴坐标，再求点M在z轴上投影的z轴坐标，即点M的z轴坐标，于是得到点M的坐标(x，y，z)．
2．在空间直角坐标系中，三条坐标轴和三个坐标平面上的点的坐标形式如下表所示．其中x，y，z∈R．
分类 坐标轴 坐标平面
x轴 y轴 z轴 xOy平面 yOz平面 xOz平面
坐标形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
类型3 空间中点的对称问题
关于点对称
【例3】 点M关于点(a，b，c)的对称点的坐标为________．
[思路点拨] 类比平面直角坐标系中点的对称问题来求解，其中线段的对称中心是线段的中点．
[由中点坐标公式得，点M关于点(a，b，c)的对称点的坐标为M′．]
关于坐标轴对称
【例4】 求点M(a，b，c)关于坐标轴的对称点的坐标．
[思路点拨] 从分析对称点的性质入手．
[解] 关于x轴的对称点M0的坐标为(a，－b，－c)，关于y轴的对称点M1的坐标为(－a，b，－c)，
关于z轴的对称点M2的坐标为(－a，－b，c)．
关于坐标平面对称
【例5】 求点M(a，b，c)关于坐标平面的对称点的坐标．
[思路点拨] 从分析对称点的性质入手．
[解] 点M关于xOy平面的对称点M1的坐标为(a，b，－c)，关于xOz平面的对称点M2的坐标为(a，－b，c)，关于yOz平面的对称点M3的坐标为(－a，b，c)．
1．关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点：
2．点的对称可简单记为“关于谁对称，谁不变，其他的变为相反数；关于原点对称，都变”．
[跟进训练]
2．在空间直角坐标系中，点P与Q(1，－1，－1)两点间的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于xOz平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
A [点P与Q两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．]
3．点M(a，b，c)关于原点的对称点的坐标为________．
(－a，－b，－c) [关于原点对称的点M的坐标为(－a，－b，－c)．]
4．在空间直角坐标系中，点P1关于xOy平面的对称点为点P2，点P2关于yOz平面的对称点为点P3，点P3关于zOx平面的对称点为点P4，则点P4的坐标为________．
[答案]
1．点Q(0，0，3)的位置是( )
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在z轴上 D．在面xOy内
C [只有竖坐标不为0，显然在z轴上．]
2．点A(－3，1，5)，点B(4，3，1)的中点坐标是( )
A． B．
C．(－12，3，5) D．
B [中点x＝＝，y＝＝2，z＝＝3．]
3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点P在直线DB1上，则x，y，z所满足的条件是( )
A． B．
C． D．x＝y＝z
[答案] D
4．点P1(－1，1，4)关于坐标平面yOz对称的点为P2，则点P2关于坐标平面xOy的对称点P3的坐标为________．
(1，1，－4) [P1(－1，1，4) P2(1，1，4) P3(1，1，－4)．]
5．在平行四边形ABCD中，已知点A(1，0，0)，B(3，1，2)，C(0，－2，1)，求D点坐标．
[解] 可设D(x，y，z)，
由A，C的中点与B，D的中点重合得，
＝＝＝，
所以x＝－2，y＝－3，z＝－1，
故D点坐标为(－2，－3，－1)．
1．确定空间定点M的坐标的步骤
(1)过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于P，Q和R．
(2)确定P，Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x，y和z．
(3)得出点M的坐标为(x，y，z)．
2．已知M点坐标为(x，y，z)确定点M位置的步骤
(1)在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，y和z的点P，Q，R．
(2)过P，Q，R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面．
(3)三个平面的唯一交点就是M．
3．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是(1)要根据图形对称性建立空间直角坐标系；(2)要使尽量多的点落在坐标轴上．
课时分层作业(十八) 点在空间直角坐标系中的坐标
一、选择题
1．点P(0，2，0)在( )
A．x轴上 B．y轴上
C．xOy平面内 D．yOz平面内
B [由于x＝z＝0，y＝2，∴P在y轴上．]
2．点P(a，b，c)到坐标平面xOz的距离是( )
A．|a| B．|b|
C．|c| D．以上都不对
B [设点P在面xOz的投影为P′，则|PP′|＝|b|．]
3．已知点A(2，3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值分别为( )
A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5
B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5
C．λ＝2，μ＝10，v＝8
D．λ＝2，μ＝10，v＝7
D [两个点关于x轴对称，那么这两个点的横坐标不变，纵坐标与竖坐标均互为相反数，故有λ＝2，7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，∴λ＝2，μ＝10，v＝7．]
4．点P(1，)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为( )
A．(0，0，) B．(0，)
C．(1，0，) D．(1，，0)
D [由空间点的坐标的定义，知点Q 的坐标为(1，，0)．]
5．长方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，且AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则DD1C1C所在平面上点的坐标形式是( )
A．(0，－2，－1) B．(x，－2，z)
C．(－3，－2，－1) D．(－3，y，z)
B [DD1C1C所在的平面平行于xOz面，且与xOz面的距离为2，上面任意一点的纵坐标都是－2，而横、竖坐标可取任意实数．]
二、填空题
6．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则CC1中点N的坐标为________．
(0，2，1) [∵C(0，2，0)，|CN|＝1，∴N(0，2，1)．]
7．写出点P(2，3，4)在三条坐标轴上的投影的坐标________，________，________．
(2，0，0) (0，3，0) (0，0，4) [P(2，3，4)在x轴上的投影为(2，0，0)，在y轴上的投影为(0，3，0)，在z轴上的投影为(0，0，4)．]
8．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：
①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．
其中正确命题的序号是________．
[答案] ④
三、解答题
9．如图，在棱长为a的正方体OABC-D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标．
[解] 因为OB′与BD′相交于点Q，
所以点Q在xOy平面内的投影应为OB与AC的交点，
所以Q的坐标为．
同理可知点Q在xOz平面内的投影也应为AD′与OA′的交点，
所以点Q的坐标为．
10．如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心为坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
[解] 长方体的对称中心为坐标原点O，
∵顶点A(－2，－3，－1)．
∴A关于原点的对称点C1的坐标为(2，3，1)．
又∵C与C1关于坐标平面xOy对称，
∴C(2，3，－1)．而A1与C关于原点对称，
∴A1(－2，－3，1)．又∵C与D关于坐标平面yOz对称，∴D(－2，3，－1)．
∵B与C关于坐标平面xOz对称，
∴B(2，－3，－1)．又∵B1与B关于坐标平面xOy对称，
∴B1(2，－3，1)．
同理，D1(－2，3，1)．
综上知长方体其他七个顶点的坐标为C1(2，3，1)，C(2，3，－1)，A1(－2，－3，1)，B(2，－3，－1)，B1(2，－3，1)，D(－2，3，－1)，D1(－2，3，1)．
11．在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)与Q(3，4，－5)两点间的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于xOy平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
B [点P(3，4，5) 与Q(3，4，－5) 两点的横、纵坐标相同，而竖坐标互为相反数，所以两点关于xOy平面对称．]
12．设z为任一实数，则点(2，2，z)表示的图形是( )
A．z轴
B．与平面xOy平行的一直线
C．平面xOy
D．与平面xOy垂直的一直线
D [(2，2，z)表示过点(2，2，0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线．]
13．在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影的坐标是________，点M(－2，4，－3)关于原点对称的点的坐标是________．
(－2，0，－3) (2，－4，3) [点M在xOz平面上的投影为(－2，0，－3)，点M(－2，4，－3)关于原点对称的坐标为(2，－4，3)．]
14．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．
[解] 以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系．
∵点E在z轴上，且为D1D的中点，∴点E坐标为．
过F作FM⊥AD，FN⊥DC，则|FM|＝|FN|＝，故点F坐标为．
∵点G在y轴上，又|GD|＝，
∴点G坐标为．
过H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点，
故|HK|＝，|CK|＝，
∴|DK|＝，故点H的坐标为．
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