课时分层作业(二十一) 空间向量的运算(二)
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．下列各式计算正确的是( )
A．a＋b－(a＋b)＝2a
B．2(a＋b)＋c＝2a＋b＋c
C．3(a－b)＋3(a＋b)＝0
D．a＋b－(b－3c)＝a＋3c
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
3．设空间中四点O，A，B，P满足＝＋t，其中0A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段BA的延长线上
D．点P不一定在直线AB上
4．如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于( )
A．a－b＋c
B．－a＋b＋c
C．a＋b－c
D．a＋b－c
5．如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c
B．a－b＋c
C．a＋b＋c
D．－a－b＋c
二、填空题
6．在正四面体O-ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
7．已知A，B，P三点共线，O为空间任意一点，＝＋β，则β＝________．
8．在三棱锥A-BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则化简的结果为________．
三、解答题
9．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求证：＝0．
10．如图，设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心．
求证：＝)．
11．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a＝b成立的充分条件是( )
A．|a|＝|b| B．a＝－b
C．a∥b D．a＝b
12．在空间中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝( )
A．b＋c B．c－b
C．b－c D．b＋c
13．(多选题)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为( )
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若ma＝na，则m＝n
14．已知|a|＝5，a＝λb．
(1)若b与a的方向相同，且|b|＝7，则λ的值为________．
(2)若b与a的方向相反，且|b|＝7，则λ的值为________．
15．如图，四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线？
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第三章 空间向量与立体几何
§2 空间向量与向量运算
2.2 空间向量的运算(二)
学习任务 核心素养
1．掌握空间向量的数乘运算及其数乘向量的几何意义．(重点)
2．理解共线向量基本定理及推论．(重点、难点) 1．通过对空间向量的数乘运算及其运算律的应用，培养数学运算与直观想象素养．
2．通过对共线向量基本定理及推论的应用，培养逻辑推理素养．
空间向量的数乘运算也可以像平面向量数乘运算那样定义吗？空间向量共线也有与平面向量共线一样的判定和性质吗？为什么？
必备知识·情境导学探新知
1．向量的数乘运算
定义 与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积___仍然是一个____，称为向量的数乘
几何定义 λ＞0 向量λa与向量a方向_____ λa的长度是a的长度的___倍
λ＜0 向量λa与向量a方向_____
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
λa
向量
相同
相反
|λ|
2．共线向量基本定理
空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得______．
运算律 结合律 λ(μa)＝________(λ∈R，μ∈R)
分配律 (λ＋μ)a＝_______；λ(a＋b)＝_______(其中λ∈R，μ∈R)
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
a＝λb
思考 (1)若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？
(2)在空间向量中，与非零向量a共线的单位向量有几个，分别是什么？
×
√
√
×
2．已知λ∈R，则下列命题正确的是( )
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|＞0
√
√
C [在C选项中，b＝6a，由共线向量基本定理知，a，b共线．]
关键能力·合作探究释疑难
反思领悟 用已知向量表示未知向量，是向量线性运算的基础类型．解决这类问题，要注意两个方面：
(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律．
(2)注意数形结合思想的运用，要结合图形，充分利用图形的几何性质，培养直观想象素养．
反思领悟 向量共线的判定方法
判定向量a，b共线就是充分利用已知条件、结合图形特点找到实数λ，使b＝λa(a ≠0)成立．
[跟进训练]
如图，已知OE是平行六面体OADB-CFEG的体对角线，点M是△ABC的重心，求证：点M在直线OE上．
学习效果·课堂评估夯基础
√
2．设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R，且λa＋μb＝0，则( )
A．λ＝μ＝0 B．a＝b＝0
C．λ＝0，b＝0 D．μ＝0，a＝0
√
A [因为a，b不共线，所以a，b均为非零向量，又因为λa＋μb＝0，所以λ＝μ＝0．]
√
4．已知|a|＝3，|b|＝5，若两向量方向相同，则向量a与向量b的关系为b＝________a．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
课时分层作业(二十一) 空间向量的运算(二)
一、选择题
1．下列各式计算正确的是( )
A．a＋b－(a＋b)＝2a
B．2(a＋b)＋c＝2a＋b＋c
C．3(a－b)＋3(a＋b)＝0
D．a＋b－(b－3c)＝a＋3c
D [A不正确，结果应为0；B不正确，结果应为2a＋2b＋c；C不正确，结果应为6a；D正确，故选D．]
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A [∵0题号
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13．(多选题)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为( )
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若ma＝na，则m＝n
√
√
AB [A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；C中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；D中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．]
题号
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14．已知|a|＝5，a＝λb．
(1)若b与a的方向相同，且|b|＝7，则λ的值为________．
(2)若b与a的方向相反，且|b|＝7，则λ的值为________．
题号
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152.2 空间向量的运算(二)
学习任务 核心素养
1．掌握空间向量的数乘运算及其数乘向量的几何意义．(重点) 2．理解共线向量基本定理及推论．(重点、难点) 1．通过对空间向量的数乘运算及其运算律的应用，培养数学运算与直观想象素养． 2．通过对共线向量基本定理及推论的应用，培养逻辑推理素养．
空间向量的数乘运算也可以像平面向量数乘运算那样定义吗？空间向量共线也有与平面向量共线一样的判定和性质吗？为什么？
1．向量的数乘运算
定义 与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘
几何定义 λ＞0 向量λa与向量a方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍
λ＜0 向量λa与向量a方向相反
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a(λ∈R，μ∈R)
分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb(其中λ∈R，μ∈R)
2．共线向量基本定理
空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb．
(1)若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？
(2)在空间向量中，与非零向量a共线的单位向量有几个，分别是什么？
[提示] (1)不一定，若b＝0，此时必有a∥b，b∥c成立，但a与c不一定共线．
(2)有2个，分别是与－．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当λ≠0时，a与－λa的方向相反． ( )
(2)|－2a|＝2|a|． ( )
(3)若＝λ，则点A，B，C共线． ( )
(4)若a＝λb，则λ＝． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．已知λ∈R，则下列命题正确的是( )
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|＞0
[答案] C
3．若e1，e2不共线，则下列各组中的两个向量a，b共线的是( )
A．a＝e1－e2，b＝e1＋e2
B．a＝e1－e2，b＝2e1－3e2
C．a＝e1－e2，b＝2e1－3e2
D．a＝e1＋e2，b＝e1－e2
C [在C选项中，b＝6a，由共线向量基本定理知，a，b共线．]
4．化简3a＋2b－(a－4b)＝________．
a＋4b [3a＋2b－(a－4b)＝3a＋2b－a＋2b＝a＋4b．]
类型1 空间向量的数乘运算
【例1】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简：；
(2)设E是棱DD1上的点，且＝，试用表示．
[解] (1)∵＝，
∴＝)＝＝＝．
(2)∵＝
＝＝)
＝
＝．
[母题探究]
本例中试用表示．
[解] ＝＝2
＝2＝2)
＝2
＝2
＝2
＝＋2．
用已知向量表示未知向量，是向量线性运算的基础类型．解决这类问题，要注意两个方面：
(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律．
(2)注意数形结合思想的运用，要结合图形，充分利用图形的几何性质，培养直观想象素养．
类型2 向量共线问题
【例2】 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝，判断与是否共线．
[解] 由已知可得，＝＝＝－＝＝＝－．
所以＝－，故与共线．
[母题探究]
在本例中，若M，N分别为AD1，BD的中点，证明：与共线．
[证明] 连接AC，则N∈AC且N为AC的中点，
所以＝，由已知得＝，所以＝＝＝．
所以与共线．
向量共线的判定方法
判定向量a，b共线就是充分利用已知条件、结合图形特点找到实数λ，使b＝λa((a)≠0)成立．
类型3 点共线问题
【例3】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝．求证：E，F，B三点共线．
[证明] 设＝a，＝b，＝c．
因为＝2＝，
所以＝＝．
所以＝＝b，＝)＝＝a＋b－c．
所以＝＝a－b－c＝．又＝＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝，所以E，F，B三点共线．
证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．
(1)存在实数λ，使＝λ成立；
(2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)；
(3)对空间任一点O，有＝x＋y，其中x＋y＝1．
[跟进训练]
如图，已知OE是平行六面体OADB-CFEG的体对角线，点M是△ABC的重心，求证：点M在直线OE上．
[证明] 如图，连接AM并延长交BC于点H，
因为M是△ABC的重心，所以H为BC的中点，
所以＝)．
所以＝＝)＝[()＋()]＝．
所以＝＝)．又因为＝＝，
所以＝，所以点M在直线OE上．
1．已知在空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则)＝( )
A． B．
C． D．
A [)＝×(2)＝＝．]
2．设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R，且λa＋μb＝0，则( )
A．λ＝μ＝0 B．a＝b＝0
C．λ＝0，b＝0 D．μ＝0，a＝0
A [因为a，b不共线，所以a，b均为非零向量，又因为λa＋μb＝0，所以λ＝μ＝0．]
3．已知a＝e1＋2e2＋e3，b＝3e1－2e2－e3，则3a－b＝( )
A．4e2＋2e3 B．4e1＋e3
C．3e1＋6e2＋e3 D．8e2＋2e3
D [3a－b＝3(e1＋2e2＋e3)－(3e1－2e2－e3)＝3e1＋6e2＋e3－3e1＋2e2＋e3＝8e2＋2e3．]
4．已知|a|＝3，|b|＝5，若两向量方向相同，则向量a与向量b的关系为b＝________a．
[由于|a|＝3，|b|＝5，则|b|＝|a|，又两向量同向，故b＝a．]
5．化简：(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)．
[解] 原式＝a＋b＋c＝a＋b－c．
1．空间向量的数乘运算和平面向量完全相同．
2．证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ(或＝λ)即可；也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)” 来证明三点共线．
课时分层作业(二十一) 空间向量的运算(二)
一、选择题
1．下列各式计算正确的是( )
A．a＋b－(a＋b)＝2a
B．2(a＋b)＋c＝2a＋b＋c
C．3(a－b)＋3(a＋b)＝0
D．a＋b－(b－3c)＝a＋3c
D [A不正确，结果应为0；B不正确，结果应为2a＋2b＋c；C不正确，结果应为6a；D正确，故选D．]
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
A [因为＝a＋2b．＝＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，
所以∥，由于与有一个公共点B，
所以A，B，D三点共线．]
3．设空间中四点O，A，B，P满足＝＋t，其中0A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段BA的延长线上
D．点P不一定在直线AB上
A [∵04．如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于( )
A．a－b＋c
B．－a＋b＋c
C．a＋b－c
D．a＋b－c
B [＝＝a＋(b－a)＋(c－b)＝－a＋b＋c．]
5．如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c
B．a－b＋c
C．a＋b＋c
D．－a－b＋c
B [＝＝－()＝－(－c＋b)＝(a＋b)＋c－b＝a－b＋c．故选B．]
二、填空题
6．在正四面体O-ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
a＋b＋c [如图，＝＝＝a＋b＋c．]
7．已知A，B，P三点共线，O为空间任意一点，＝＋β，则β＝________．
[∵A，B，P三点共线，∴＝λ，
即＝λ()，＝(1－λ)＋λ．
又∵＝＋β，
∴
∴β＝．]
8．在三棱锥A-BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则化简的结果为________．
0 [如图，延长DE交边BC于点F，则＝＝＝，故＝0．]
三、解答题
9．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求证：＝0．
[证明] 已知＝a，＝b，＝c，
则＝a＋b，＝－c－a，＝－b＋c，∴＝a＋b－c－a－b＋c＝0．
10．如图，设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心．
求证：＝)．
[证明] 连接BG，延长后交CD于点E．
由G为△BCD的重心，得＝2，且CE＝ED．
∵＝2()，
∴＝＝，
∴＝)＝)．
11．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a＝b成立的充分条件是( )
A．|a|＝|b| B．a＝－b
C．a∥b D．a＝b
D [由a＝b，得b＝2a，所以b＝＝＝a．故选D．]
12．在空间中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝( )
A．b＋c B．c－b
C．b－c D．b＋c
A [∵＝2，
∴＝2()，
∴3＝2，
∴＝＝b＋c．]
13．(多选题)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为( )
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若ma＝na，则m＝n
AB [A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；C中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；D中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．]
14．已知|a|＝5，a＝λb．
(1)若b与a的方向相同，且|b|＝7，则λ的值为________．
(2)若b与a的方向相反，且|b|＝7，则λ的值为________．
(1) (2)－ [由于＝，所以当a，b同向时，a＝b；当a，b反向时，a＝－b．]
15．如图，四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线？
[解] ∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，∴＝＝．又＝＝，
∴＝－．
∴＝＋2＝2()＝2，即＝2．
即与共线．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十一)
1．D [A不正确，结果应为0：B不正确，结果应为2a＋2b＋c：C不正确，结果应为6a：D正确，故选D．]
2．A [因为＝a＋2b．＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，
所以∥，由于有一个公共点B，
所以A，B，D三点共线．]
3．A [∵04．B [a＋(b－a)＋(c－b)＝－a＋b＋c．]
5．B [－()＝)－(－c＋b)＝(a＋b)＋c－b＝a－b＋c．故选B．]
6．
a＋b＋c [如图，)＝)＝a＋b＋c．]
7． [∵A，B，P三点共线，∴，
即＝λ(＝(1－λ)．
又∵，∴
∴β＝．]
8．0 [如图，延长DE交边BC于点F，则，故＝0．]
9．证明：已知＝a，＝b，＝c，
则a＋b，c－a，b＋c，∴a＋b－c－a－b＋c＝0．
10．证明：连接BG，延长后交CD于点E．
由G为△BCD的重心，得，且CE＝ED．
∵＝2()，
∴，
∴)＝)．
11．D [由a＝b，得b＝2a，所以b＝a．故选D．]
12．A [∵，∴＝2()，
∴3，
∴b＋c．]
13．AB [A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确：C中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误：D中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．]
14．(1) (2)－ [由于，所以当a，b同向时，a＝b：当a，b反向时，a＝－b．]
15．解：∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，∴，
∴．
∴＝2()＝2，即．
即共线．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2 空间向量的运算(二)
学习任务 核心素养
1．掌握空间向量的数乘运算及其数乘向量的几何意义．(重点) 2．理解共线向量基本定理及推论．(重点、难点) 1．通过对空间向量的数乘运算及其运算律的应用，培养数学运算与直观想象素养． 2．通过对共线向量基本定理及推论的应用，培养逻辑推理素养．
空间向量的数乘运算也可以像平面向量数乘运算那样定义吗？空间向量共线也有与平面向量共线一样的判定和性质吗？为什么？
1．向量的数乘运算
定义 与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积__仍然是一个____，称为向量的数乘
几何定义 λ＞0 向量λa与向量a方向____ λa的长度是a的长度的_____倍
λ＜0 向量λa与向量a方向____
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
运算律 结合律 λ(μa)＝_______(λ∈R，μ∈R)
分配律 (λ＋μ)a＝______；λ(a＋b)＝______(其中λ∈R，μ∈R)
2．共线向量基本定理
空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得_____．
(1)若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？
(2)在空间向量中，与非零向量a共线的单位向量有几个，分别是什么？
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1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当λ≠0时，a与－λa的方向相反． ( )
(2)|－2a|＝2|a|． ( )
(3)若＝λ，则点A，B，C共线． ( )
(4)若a＝λb，则λ＝． ( )
2．已知λ∈R，则下列命题正确的是( )
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|＞0
3．若e1，e2不共线，则下列各组中的两个向量a，b共线的是( )
A．a＝e1－e2，b＝e1＋e2
B．a＝e1－e2，b＝2e1－3e2
C．a＝e1－e2，b＝2e1－3e2
D．a＝e1＋e2，b＝e1－e2
4．化简3a＋2b－(a－4b)＝________．
类型1 空间向量的数乘运算
【例1】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简：；
(2)设E是棱DD1上的点，且＝，试用表示．
[尝试解答] ________________________________________________________
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[母题探究]
本例中试用表示．
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用已知向量表示未知向量，是向量线性运算的基础类型．解决这类问题，要注意两个方面：
(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律．
(2)注意数形结合思想的运用，要结合图形，充分利用图形的几何性质，培养直观想象素养．
类型2 向量共线问题
【例2】 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝，判断与是否共线．
[尝试解答] ________________________________________________________
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[母题探究]
在本例中，若M，N分别为AD1，BD的中点，证明：与共线．
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向量共线的判定方法
判定向量a，b共线就是充分利用已知条件、结合图形特点找到实数λ，使b＝λa((a)≠0)成立．
类型3 点共线问题
【例3】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝．求证：E，F，B三点共线．
[尝试解答] ________________________________________________________
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证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．
(1)存在实数λ，使＝λ成立；
(2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)；
(3)对空间任一点O，有＝x＋y，其中x＋y＝1．
[跟进训练]
如图，已知OE是平行六面体OADB-CFEG的体对角线，点M是△ABC的重心，求证：点M在直线OE上．
[尝试解答] ________________________________________________________
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1．已知在空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则)＝( )
A． B．
C． D．
2．设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R，且λa＋μb＝0，则( )
A．λ＝μ＝0 B．a＝b＝0
C．λ＝0，b＝0 D．μ＝0，a＝0
3．已知a＝e1＋2e2＋e3，b＝3e1－2e2－e3，则3a－b＝( )
A．4e2＋2e3 B．4e1＋e3
C．3e1＋6e2＋e3 D．8e2＋2e3
4．已知|a|＝3，|b|＝5，若两向量方向相同，则向量a与向量b的关系为b＝________a．
5．化简：(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)．
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1．空间向量的数乘运算和平面向量完全相同．
2．证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ(或＝λ)即可；也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)” 来证明三点共线．
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