课时分层作业(二十二)
1．B [由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，解得k＝6．]
2．C [由·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ，∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0．∴cos θ＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°．]
3．A [因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，·＝0，排除D．又因为AD⊥AB，所以AD⊥PB，所以·＝0，同理·＝0，排除B，C．故选A．]
4．C [因为，所以···＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12．]
5．B [因为＝()＋()＝，所以()·()＝||2－||2＝0，
所以||，即△ABC是等腰三角形．]
6．0 [原式＝···()＝·()＋·()＝··＝0．]
7．3 [由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|＝3．]
8．90° [不妨设棱长为2，则，
cos<
＝＝0，所以<>＝90°．]
9．解：(1)．
因为·＝0，·＝0，·＝0，
所以··．
又|，所以cos<．
(2)证明：因为)，
所以·＝0，
所以．
10．解：(1)·>＝5×3×cos 60°＝7.5．
(2)||2＝()2＝||2＋||2＋||2＋2(···)＝52＋32＋72＋2(5×3×cos 60°＋5×7×cos 45°＋3×7×cos 45°)＝98＋56，
所以AC'≈13.3．
11．C [根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得··＝0，所以·＝()··|2＋·|2＝1，所以cos<，所以AB与CD所成的角为60°．]
12．A [因为)－，
所以||2＝)2＝···)．
又由已知得||＝2，·＝2，所以||2＝(4＋4＋4＋4)＝4．所以||＝2，即EF＝2．]
13．ABC [只有D是假命题．]
14．60° 1 [法一：连接A1D，则∠PA1D就是所成角．连接PD，
在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，
从而∠PA1D＝60°，即所成角的大小为60°．
因此·×cos 60°＝1．
法二：根据向量的线性运算可得·＝()·＝1．
由题意可得PA1＝B1C＝，则>＝1，从而<>＝60°．]
15．解：(1)证明：．
因为BB1⊥平面ABC，
所以·＝0，·＝0．又△ABC为正三角形，
所以<．
因为·＝()·()＝···
＝||·||·cos<＝－1＋1＝0，
所以AB1⊥BC1．
(2)结合第一问知·|·||·cos<－1．
又||．
所以cos<，
所以||＝2，即侧棱长为2．
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第三章 空间向量与立体几何
§2 空间向量与向量运算
2.2 空间向量的运算(三)
学习任务 核心素养
1．了解空间向量夹角的概念并会求两空间向量夹角．(重点)
2．掌握空间向量数量积的计算方法及运算律．(重点、难点)
3．理解投影向量与投影数量的概念以及它们之间的关系．(难点) 1．通过对空间向量夹角与数量积等概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助对空间向量数量积的计算，提升数学运算与直观想象素养．
平面向量的数量积是如何定义的？空间向量的数量积可以像平面向量的数量积那样定义吗？为什么？
必备知识·情境导学探新知
1．空间向量的夹角
定义
记法 ________
范围 ______________
向量垂直
〈a，b〉
0≤
≤π
零向量
思考 1．〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉有什么关系？
[提示] 〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉．
2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个空间向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b．
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝_________(λ∈R)
交换律 a·b＝______
分配律 a·(b＋c)＝___________
λ(a·b)
b·a
a·b＋a·c
(3)数量积的性质
两个
向量
数量
积的
性质 若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0
若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；
若反向，则a·b＝－|a|·|b|．
|a·b|≤|a|·|b|
(2)如图，____________称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以
表示为______．
|a|cos〈a，b〉
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影数量|b|cos〈a，b〉的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上投影数量|a|cos〈a，b〉的乘积．
思考 2．空间向量的数量积运算满足结合律吗？
[提示] 数量积运算不满足结合律．
√
×
√
×
2．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝( )
A．－2 B．－1
C．±1 D．2
√
√
2 [由a与2b－a互相垂直得，
a·(2b－a)＝0，
所以2a·b－a2＝0，
即2|a|·|b|·cos 45°－a2＝0，
所以2|a|－|a|2＝0，
解得|a|＝2或|a|＝0(舍去)．]
2
关键能力·合作探究释疑难
反思领悟 求空间向量的数量积可仿照平面向量的数量积的求法进行，注意观察空间向量的方向，正确求出其夹角是求解的关键．
√
学习效果·课堂评估夯基础
√
√
√
5．(教材P133例11改编)如图，在平面角为120°的二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC α，BD β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长．
1．本节课的重点
(1)空间向量的数量积的求法；
(2)利用空间向量的数量积的性质求两向量的夹角、求向量的模及判断两向量垂直．
2．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
课时分层作业(二十二) 空间向量的运算(三)
一、选择题
1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
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8．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
90°
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11．已知在空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
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√
√
ABC [只有D是假命题．]
题号
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15课时分层作业(二十二) 空间向量的运算(三)
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是 ( )
A．与 B．与
C．与 D．与
4．如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )
A．6 B．6
C．12 D．144
5．设空间中有四个互异的点A，B，C，D，已知(－2)·()＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
二、填空题
6．在空间四边形ABCD中，＝________．
7．若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________．
8．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
三、解答题
9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1．
(1)求〈〉的余弦值；
(2)求证：⊥．
10．(源自人教A版教材)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°．求：
(1)；(2)AC′的长(精确到0.1)．
11．已知在空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
12．在三棱锥O-ABC中，OA⊥OB，OA⊥OC，∠BOC＝60°，OA＝OB＝OC＝2，若E为OA的中点，F为BC的中点，则EF＝( )
A．2 B．4
C． D．3
13．(多选题)已知a，b是两个非零向量，下列结论中，正确的是( )
A．a·b＞0 〈a，b〉∈
B．a·b＝0 〈a，b〉＝
C．a·b＜0 〈a，b〉∈
D．|a·b|＝|a||b| 〈a，b〉＝0
14．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，＝________．
15．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为．
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2 空间向量的运算(三)
学习任务 核心素养
1．了解空间向量夹角的概念并会求两空间向量夹角．(重点) 2．掌握空间向量数量积的计算方法及运算律．(重点、难点) 3．理解投影向量与投影数量的概念以及它们之间的关系．(难点) 1．通过对空间向量夹角与数量积等概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助对空间向量数量积的计算，提升数学运算与直观想象素养．
平面向量的数量积是如何定义的？空间向量的数量积可以像平面向量的数量积那样定义吗？为什么？
1．空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角
记法 ________
范围 ______________
向量垂直 当〈a，b〉＝时，a⊥b 规定：______与任意向量垂直
1．〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉有什么关系？
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个空间向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b．
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝_________(λ∈R)
交换律 a·b＝____
分配律 a·(b＋c)＝__________
(3)数量积的性质
两个 向量 数量 积的 性质 若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0
若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；
若反向，则a·b＝－|a|·|b|．
特别地：a·a＝|a|2或|a|＝
cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)
|a·b|≤|a|·|b|
3．投影向量与投影数量
(1)如图，已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，过A向直线OB作垂线，垂足为点A′，称向量为向量a在向量b方向上的投影向量，其长度等于||a|cos〈a，b〉|．
(2)如图，________________称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为________．
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影数量|b|cos〈a，b〉的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上投影数量|a|cos〈a，b〉的乘积．
2．空间向量的数量积运算满足结合律吗？
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)向量与的夹角和向量与的夹角互补． ( )
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0． ( )
(3)a·b＝|a||b|是a与b共线的充分条件． ( )
(4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c． ( )
2．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝( )
A．－2 B．－1
C．±1 D．2
3．在如图所示的正方体中，下列夹角为45°的一组向量是 ( )
A．与 B．与
C．与 D．与
4．已知非零向量a，b满足：|b|＝，〈a，b〉＝45°，且a与2b－a互相垂直，则向量a的模为________．
类型1 空间向量的数量积运算
【例1】 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．
求(1)；(2)．
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
[母题探究]
若本例的条件不变，计算．
___________________________________________________________________
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求空间向量的数量积可仿照平面向量的数量积的求法进行，注意观察空间向量的方向，正确求出其夹角是求解的关键．
类型2 利用数量积求夹角
【例2】 已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，
(1)求向量与所成角的余弦值；
(2)求直线OE与BF所成角的余弦值．
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
求两个向量的夹角的两种方法
(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围．
(2)先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．
[跟进训练]
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求向量与的夹角的大小，并求异面直线BC1与AC所成的角．
___________________________________________________________________
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类型3 利用数量积求两点间的距离
【例3】 如图，在三棱锥A-BCD中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN的长．
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示．
(2)利用|a|＝，计算出|a|，即得所求距离．
[跟进训练]
2．已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为( )
A．6 B．
C．3 D．
1．已知|p|＝|q|＝1，且〈p，q〉＝90°，a＝3p－2q，b＝p＋q，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈〉的值为( )
A． B．
C．－ D．0
3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为( )
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝______．
5．(教材P133例11改编)如图，在平面角为120°的二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC α，BD β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．本节课的重点
(1)空间向量的数量积的求法；
(2)利用空间向量的数量积的性质求两向量的夹角、求向量的模及判断两向量垂直．
2．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2 空间向量的运算(三)
学习任务 核心素养
1．了解空间向量夹角的概念并会求两空间向量夹角．(重点) 2．掌握空间向量数量积的计算方法及运算律．(重点、难点) 3．理解投影向量与投影数量的概念以及它们之间的关系．(难点) 1．通过对空间向量夹角与数量积等概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助对空间向量数量积的计算，提升数学运算与直观想象素养．
平面向量的数量积是如何定义的？空间向量的数量积可以像平面向量的数量积那样定义吗？为什么？
1．空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角
记法 〈a，b〉
范围 0≤〈a，b〉≤π
向量垂直 当〈a，b〉＝时，a⊥b 规定：零向量与任意向量垂直
1．〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉有什么关系？
[提示] 〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉．
2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个空间向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b．
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
(3)数量积的性质
两个 向量 数量 积的 性质 若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0
若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；
若反向，则a·b＝－|a|·|b|．
特别地：a·a＝|a|2或|a|＝
cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)
|a·b|≤|a|·|b|
3．投影向量与投影数量
(1)如图，已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，过A向直线OB作垂线，垂足为点A′，称向量为向量a在向量b方向上的投影向量，其长度等于||a|cos〈a，b〉|．
(2)如图，|a|cos〈a，b〉称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为．
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影数量|b|cos〈a，b〉的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上投影数量|a|cos〈a，b〉的乘积．
2．空间向量的数量积运算满足结合律吗？
[提示] 数量积运算不满足结合律．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)向量与的夹角和向量与的夹角互补． ( )
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0． ( )
(3)a·b＝|a||b|是a与b共线的充分条件． ( )
(4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝( )
A．－2 B．－1
C．±1 D．2
[答案] A
3．在如图所示的正方体中，下列夹角为45°的一组向量是 ( )
A．与 B．与
C．与 D．与
[答案] A
4．已知非零向量a，b满足：|b|＝，〈a，b〉＝45°，且a与2b－a互相垂直，则向量a的模为________．
2 [由a与2b－a互相垂直得，
a·(2b－a)＝0，
所以2a·b－a2＝0，
即2|a|·|b|·cos 45°－a2＝0，
所以2|a|－|a|2＝0，
解得|a|＝2或|a|＝0(舍去)．]
类型1 空间向量的数量积运算
【例1】 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．
求(1)；(2)．
[解] 如图所示，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0．
(1)＝·()＝b·＝|b|2＝42＝16．
(2)＝()·()＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0．
[母题探究]
若本例的条件不变，计算．
[解] ＝()·()
＝
＝
＝(－a＋b＋c)·
＝－|a|2＋|b|2＝2．
求空间向量的数量积可仿照平面向量的数量积的求法进行，注意观察空间向量的方向，正确求出其夹角是求解的关键．
类型2 利用数量积求夹角
【例2】 已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，
(1)求向量与所成角的余弦值；
(2)求直线OE与BF所成角的余弦值．
[解] (1)设＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，则a·b＝b·c＝c·a＝．
因为＝)＝(a＋b)，＝＝＝c－b，||＝||＝，
所以＝(a＋b)·(c－b)＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－，设与所成的角为θ，则cos θ＝＝＝－．
所以向量与向量所成角的余弦值是－．
(2)直线OE与BF所成角的余弦值为＝．
求两个向量的夹角的两种方法
(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围．
(2)先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．
[跟进训练]
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求向量与的夹角的大小，并求异面直线BC1与AC所成的角．
[解] 法一：如图，连接AD1，CD1，因为＝，所以∠CAD1的大小就等于〈〉．
因为△ACD1为等边三角形，所以∠CAD1＝60°．
所以向量与的夹角的大小为60°，异面直线BC1与AC所成的角的大小也为60°．
法二：设正方体的棱长为1，则||＝，||＝．
＝()·()＝()·()＝＋||2＋＝0＋||2＋0＋0＝||2＝1．
cos〈〉＝＝＝，所以〈〉＝60°．即向量与的夹角的大小为60°，异面直线BC1与AC所成的角的大小也为60°．
类型3 利用数量积求两点间的距离
【例3】 如图，在三棱锥A-BCD中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN的长．
[解] 因为＝＝＋()＋)＝－，
所以＝＝－＋＝＝a2，所以||＝a，即MN的长为a．
求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示．
(2)利用|a|＝，计算出|a|，即得所求距离．
[跟进训练]
2．已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为( )
A．6 B．
C．3 D．
B [设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝．由＝a＋b＋c得||2＝＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6．所以||＝，故选B．]
1．已知|p|＝|q|＝1，且〈p，q〉＝90°，a＝3p－2q，b＝p＋q，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
2．已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈〉的值为( )
A． B．
C．－ D．0
D [＝·()＝＝||||cos ∠AOC－||||cos ∠AOB＝||||－||||＝0，
所以⊥．
所以cos〈〉＝0．]
3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为( )
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
C [＝)·＝)＝＝a2．]
4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝______．
[答案]
5．(教材P133例11改编)如图，在平面角为120°的二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC α，BD β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长．
[解] 因为AC⊥AB，BD⊥AB，所以＝0，＝0，又因为二面角α-l-β的平面角为120°，所以〈〉＝60°，所以CD2＝||2＝()2＝＋＋＋2()＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，所以CD＝12．
1．本节课的重点
(1)空间向量的数量积的求法；
(2)利用空间向量的数量积的性质求两向量的夹角、求向量的模及判断两向量垂直．
2．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．
课时分层作业(二十二) 空间向量的运算(三)
一、选择题
1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
B [由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
所以2k－12＝0，解得k＝6．]
2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
C [由·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ，∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0．∴cos θ＝－＝－＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°．]
3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是 ( )
A．与 B．与
C．与 D．与
A [因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，＝0，排除D．又因为AD⊥AB，所以AD⊥PB，所以＝0，同理＝0，排除B，C．故选A．]
4．如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )
A．6 B．6
C．12 D．144
C [因为＝，所以＝＋＋＋2＋2＋2＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12．]
5．设空间中有四个互异的点A，B，C，D，已知(－2)·()＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
B [因为－2＝()＋()＝，所以()·()＝－||2＝0，所以||＝||，即△ABC是等腰三角形．]
二、填空题
6．在空间四边形ABCD中，＝________．
0 [原式＝·()＝·()＋·()＝＝0．]
7．若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________．
3 [由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得＝25，所以|b|＝3．]
8．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
90° [不妨设棱长为2，则＝＝，
cos〈〉＝＝＝0，所以〈〉＝90°．]
三、解答题
9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1．
(1)求〈〉的余弦值；
(2)求证：⊥．
[解] (1)＝＝＝＝＝．
因为＝0，＝0，＝0，
所以＝＝．
又||＝||＝，所以cos〈〉＝．
(2)证明：因为＝＝＝＝－)，
所以＝0，
所以⊥．
10．(源自人教A版教材)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°．求：
(1)；(2)AC′的长(精确到0.1)．
[解] (1)＝||||cos〈〉＝5×3×cos 60°＝7.5．
(2)||2＝＝＋2()＝52＋32＋72＋2(5×3×cos 60°＋5×7×cos 45°＋3×7×cos 45°)＝98＋56，
所以AC′≈13.3．
11．已知在空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
C [根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得＝＝0，所以＝()·＝＋||2＋＝||2＝1，所以cos〈〉＝＝，所以AB与CD所成的角为60°．]
12．在三棱锥O-ABC中，OA⊥OB，OA⊥OC，∠BOC＝60°，OA＝OB＝OC＝2，若E为OA的中点，F为BC的中点，则EF＝( )
A．2 B．4
C． D．3
A [因为＝＝)－，
所以||2＝)2＝＋＋＋2－2－2)．
又由已知得||＝||＝||＝2，⊥⊥＝2×2×＝2，所以||2＝(4＋4＋4＋4)＝4．所以||＝2，即EF＝2．]
13．(多选题)已知a，b是两个非零向量，下列结论中，正确的是( )
A．a·b＞0 〈a，b〉∈
B．a·b＝0 〈a，b〉＝
C．a·b＜0 〈a，b〉∈
D．|a·b|＝|a||b| 〈a，b〉＝0
ABC [只有D是假命题．]
14．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，＝________．
60° 1 [法一：连接A1D，则∠PA1D就是与所成角．连接PD，
在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，
从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°．
因此＝×cos 60°＝1．
法二：根据向量的线性运算可得＝()·＝＝1．
由题意可得PA1＝B1C＝，则×cos〈〉＝1，从而〈〉＝60°．]
15．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为．
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
[解] (1)证明：＝＝．
因为BB1⊥平面ABC，
所以＝0，＝0．又△ABC为正三角形，
所以〈〉＝π－〈〉＝π－＝．
因为＝()·()＝＋
＝||·||·cos〈〉＋＝－1＋1＝0，
所以AB1⊥BC1．
(2)结合第一问知＝||·||·
cos〈〉＋＝－1．
又||＝＝＝||．
所以cos〈〉＝＝，
所以||＝2，即侧棱长为2．
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