课时分层作业(二十四)
1．D [ka+b＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，2a－b＝2(1，1，0)－(－1，0，2)＝(3，2，－2)．
因为ka+b与2a－b互相垂直，所以3(k－1)＋2k－2×2＝0．
所以k＝．]
2．A [由中点坐标公式得线段AB中点的坐标为，即．]
3．C [设C(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)．
又＝(－2，－6，－2)，，
∴(－2，－6，－2)＝(3x－12，3y－3，3z－9)．
∴]
4．A [以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，则＝(0，1，－2)，＝(2，2，z)，因为·＝0×2＋1×2－2z＝0，所以z＝1，所以B1E＝EB．]
5．C [设a＝(x，y，z)，则由cos
=，cos=，cos=，得＝cos，
∴＋cos2＝1，
∴cos＝±，又∈[0，π]，
∴＝．]
6． －6 [由a⊥b，得a·b=0，∴2×(－4)＋(－1)×2＋3x＝0，解得x＝：由a∥b，得，解得x＝－6．]
7．－ [cos＝，得k＝－．]
8．(－∞，－2) [a·b=2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝<0，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2．又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．]
9．解：(1)设M是AB的中点，O是坐标原点，则
＝(3，1，3)，＝(1，5，0)．
＝)＝)
＝[(3，1，3)＋(1，5，0)]＝．
所以线段AB的中点坐标是．
因为＝(1，5，0)－(3，1，3)＝(－2，4，－3)，所以线段AB的长度为
|．
(2)设P(x，y，z)到A，B两点的距离相等，则．
化简，得4x－8y＋6z＋7＝0，
这就是点P的坐标x，y，z满足的条件．
10．解：如图，建立空间直角坐标系D xyz，则A(a，0，0)，S(0，0，b)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(a，，0)，
F，G＝，
＝(－a，0，0)．
(1)|．
(2)cos<
＝．
11．A [ a－b＝，x轴正向的单位向量为i＝，∴·i＝x1－x2，∴cos＝．]
12．A [因为c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，
所以(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝2－2x＝－2．
所以x＝2．]
13．ACD [若∠A＝90°，＝(－3，－1，3k)，＝(3，－2，k)，则·＝(－3)×3＋(－1)×(－2)＋3k×k＝3k2－7＝0，∴k＝±．
若∠B＝90°，＝(3，1，－3k)，＝(6，－1，－2k)，
则·＝3×6＋1×(－1)＋(－3k)×(－2k)＝6k2＋17＝0，此时k无解．
若∠C＝90°，＝(－6，1，2k)，＝(－3，2，－k)，则·＝(－6)×(－3)＋2＋2k×(－k)＝－2k2＋20＝0，∴k＝±．故选ACD．]
14．(0，－1，2) (－1，－1，1) [a＝=(0，－1，2)，b==(－1，－1，1)．]
15．证明：(1)由已知条件A1(1，0，1)，F(1－x，1，0)，C1(0，1，1)，E(1，x，0)，则＝(－x，1，－1)，＝(1，x－1，－1)，∴·＝－x＋(x－1)＋1＝0，∴，即A1F⊥C1E．
(2)＝(－x，1，－1)，＝(－1，1，0)，＝(0，x，－1)，
设，则
解得λ＝，μ＝1．
所以．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.2 空间向量运算的坐标表示及应用
学习任务 核心素养
1．理解空间向量坐标的概念．(重点) 2．掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直．(重点) 3．掌握空间向量的模、夹角公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．(重点、难点) 1．通过学习空间向量坐标的概念，培养数学抽象素养． 2．通过求空间向量的模、夹角，培养数学运算与直观想象素养． 3．通过判断两个向量的共线或垂直，培养逻辑推理素养．
1．在平面向量中，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b，a－b，λa，a·b分别等于什么？
2．空间向量的坐标比平面向量的坐标多了一个竖坐标，如何把平面向量运算的坐标表示类比到空间向量运算中？
1．空间向量的正交分解及其坐标表示
标准正交基 在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基
空间直 角坐标系 以i，j，k的公共起点O为原点，分别以i，j，k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz
空间向 量的坐标表示 对于空间任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk，则把x，y，z称作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝(x，y，z)．单位向量i，j，k都叫作坐标向量
2．空间向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
则(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；
(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)；
(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)，λ∈R；
(4)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2．
3．空间向量的平行、垂直及模、夹角
设向量a＝(x1，y，z1)，b＝(x2，y2，z2)(b≠0)．则a∥b a＝λb x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0；
|a|＝＝；
若点A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
|AB|＝||＝．
cos〈a，b〉＝＝(a≠0，b≠0)．
空间向量的加法的坐标表示是如何推导的？
[提示] 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，
所以a＋b＝＝i＋j＋k＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在不同的坐标系中，同一向量的坐标仍相同． ( )
(2)已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a∥b，则＝＝． ( )
(3)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0． ( )
(4)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则||＝． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．已知向量a＋b＝(4，1，0)，a－b＝(0，1，－2)，则cos〈a，b〉＝( )
A． B．
C． D．
B [由已知得a＝，b＝，所以cos〈a，b〉＝＝＝．]
3．已知a＝(2，1，3)，b＝(－4，5，x)，若a⊥b，则x＝________．
[答案] 1
4．已知点A的坐标是(－1，－2，6)，点B的坐标是(1，2，－6)，O为坐标原点，则向量与的夹角为________．
π [因为＝(－1，－2，6)，＝(1，2，－6)，
所以cos〈〉＝＝－1，
所以向量与的夹角为π．]
类型1 空间向量的坐标运算
【例1】 (1)已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)；
(2)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P的坐标：
①＝)；②＝)．
[解] (1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)；
a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)；
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；
(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；
(a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8．
(2)由题意知，＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)．
①＝)＝(6，3，－4)＝，则点P的坐标为．
②设P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)．
因为＝)＝，
所以
解得x＝5，y＝，z＝0，
则点P的坐标为．
对空间向量坐标运算的两点说明
(1)空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广．
(2)空间向量的加法、减法、数乘运算的结果依然是一个向量；空间向量的数量积运算的结果是一个实数．
[跟进训练]
1．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b＝( )
A．(16，0，4) B．(8，－16，4)
C．(8，16，4) D．(8，0，4)
D [4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4)．]
2．已知在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5)，求顶点B，C的坐标及．
[解] 设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，所以＝(x－2，y＋5，z－3)，＝(x1－x，y1－y，z1－z)．
因为＝(4，1，2)，
所以解得
所以B的坐标为(6，－4，5)．
因为＝(3，－2，5)，
所以解得
所以C的坐标为(9，－6，10)，＝(－7，1，－7)．
类型2 坐标形式下的平行与垂直
【例2】 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a＝，b＝．
(1)设|c|＝3，c∥，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k．
[解] (1)因为＝(－2，－1，2)且c∥，
所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)，
所以|c|＝＝3|λ|＝3．
解得λ＝±1．所以c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．
(2)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0．解得k＝2或k＝－．
1．若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a∥b(b≠0)
当b与三个坐标平面都不平行时，a∥b ＝＝．a⊥b x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
2．利用平行与垂直的充要条件可以解决两类问题
(1)平行与垂直的判定；(2)平行与垂直的应用．
[跟进训练]
3．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
B [由题意知，a＋2b＝(2x＋1，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．
因为(a＋2b)∥(2a－b)，所以存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，
所以解得]
4．已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)，若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为________．
[设H(x，y，z)，则＝(x，y，z)，＝(x，y－1，z－1)，＝(－1，1，0)．因为BH⊥OA，所以＝0，即－x＋y－1＝0， ①
又点H在直线OA上，
所以＝λ，即 ②
联立①②解得
所以点H的坐标为．]
类型3 向量夹角与长度的计算
【例3】 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，其中CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点．
(1)求的模；
(2)求cos〈〉的值．
[解] 如图，以C为坐标原点，分别以为正交基底建立空间直角坐标系C-xyz．
(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)．
所以||＝＝．
(2)依题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，
B1(0，1，2)．
所以＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
所以＝3，||＝，||＝．
所以cos〈〉＝＝．
1．空间中的距离和夹角问题可转化为向量的模与夹角问题求解．这体现了向量的工具作用．引入坐标运算，可使解题过程程序化．
2．以AB，AC为邻边的平行四边形面积的计算公式为S＝．
[跟进训练]
5．已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)．
求：(1)向量的模；
(2)向量夹角的余弦值．
[解] (1)因为＝(2，－1，5)－(1，2，3)＝(1，－3，2)，＝(3，2，－5)－(1，2，3)＝(2，0，－8)，
所以||＝＝，
||＝＝2．
(2)因为＝(1，－3，2)·(2，0，－8)＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
所以cos〈〉＝＝＝－．
因此，向量夹角的余弦值为－．
1．已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b( )
A．平行且同向 B．平行且反向
C．垂直 D．不垂直也不平行
C [∵a·b＝1×0＋(－5)×6＋6×5＝0，∴a⊥b．]
2．下列各组向量中不平行的是( )
A．a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)
B．c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0)
C．e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0)
D．g＝(－2，3，5)，h＝(16，24，40)
[答案] D
3．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
C [a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝＝，所以cos〈a，c〉＝＝－，〈a，c〉＝120°．]
4．设a＝(1，0，1)，b＝(1，－2，2)，则|a－b|＝______，〈a，b〉＝________．
[由a－b＝(1，0，1)－(1，－2，2)＝(0，2，－1)，得|a－b|＝＝．
∵cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈[0，π]，
∴〈a，b〉＝．]
5．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．求以为邻边的平行四边形的面积．
[解] (法一)由题中条件可知，
＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，
所以cos〈〉＝＝＝，
所以sin 〈〉＝，
所以以为邻边的平行四边形的面积
S＝||·||·sin〈〉＝7．
(法二)由条件知＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，
所以||＝，||＝＝－2＋3＋6＝7，
所以以为邻边的平行四边形的面积
S＝
＝＝7．
1．向量的坐标实质上是该向量在标准正交基底下的分解式的一种简化表示，它也能反映向量的方向与大小．
2．对于空间向量的坐标运算，牢记运算法则是正确计算的关键．
3．常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直与平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求空间角和两点间距离的问题，在求空间角时，应注意所求角与两向量夹角之间的关系及所求角的范围限制．
课时分层作业(二十四) 空间向量运算的坐标表示及应用
一、选择题
1．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1 B．
C． D．
D [ka＋b＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，2a－b＝2(1，1，0)－(－1，0，2)＝(3，2，－2)．
因为ka＋b与2a－b互相垂直，
所以3(k－1)＋2k－2×2＝0．
所以k＝．]
2．已知A(4，1，3)，B(－2，4，3)，则线段AB中点的坐标是( )
A． B．
C． D．
A [由中点坐标公式得线段AB中点的坐标为，即．]
3．已知A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，且＝3，则C的坐标为( )
A． B．
C． D．
C [设C(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)．
又＝(－2，－6，－2)，＝3，
∴(－2，－6，－2)＝(3x－12，3y－3，3z－9)．
∴解得]
4．如图，F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点．E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有( )
A．B1E＝EB
B．B1E＝2EB
C．B1E＝EB
D．E与B重合
A [以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，则＝(0，1，－2)，＝(2，2，z)，因为＝0×2＋1×2－2z＝0，所以z＝1，所以B1E＝EB．]
5．在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k分别是x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，设a为非零向量，且〈a，i〉＝45°，〈a，j〉＝60°，则〈a，k〉＝( )
A．60° B．45°
C．60°或120° D．45°或135°
C [设a＝(x，y，z)，则
由cos〈a，i〉＝，cos〈a，j〉＝，cos〈a，k〉＝，
得＝＝，
＝cos〈a，k〉，
∴＋＋cos2〈a，k〉＝1，
∴cos〈a，k〉＝±，又〈a，k〉∈[0，π]，
∴〈a，k〉＝或．]
二、填空题
6．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，若a⊥b，则x＝________；若a∥b，则x＝________．
－6 [由a⊥b，得a·b＝0，∴2×(－4)＋(－1)×2＋3x＝0，解得x＝；由a∥b，得＝，解得x＝－6．]
7．已知向量a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)．若a，b成120°的角，则k＝________．
－ [cos〈a，b〉＝＝＝－，得k＝－．]
8．若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
(－∞，－2) [a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝＜0，又|a|＞0，|b|＞0，所以a·b＜0，即2x＋4＜0，所以x＜－2．又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．]
三、解答题
9．(源自苏教版教材)已知点A(3，1，3)，B(1，5，0)，求：
(1)线段AB的中点坐标和AB的长度；
(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件．
[解] (1)设M是AB的中点，O是坐标原点，则
＝(3，1，3)，
＝(1，5，0)．
＝＝
＝)＝)
＝[(3，1，3)＋(1，5，0)]＝．
所以线段AB的中点坐标是．
因为＝＝(1，5，0)－(3，1，3)＝(－2，4，－3)，所以线段AB的长度为||＝＝．
(2)设P(x，y，z)到A，B两点的距离相等，则＝．
化简，得4x－8y＋6z＋7＝0，
这就是点P的坐标x，y，z满足的条件．
10．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点．若AB＝a，SD＝b．
(1)求||；
(2)求cos〈〉．
[解] 如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则A(a，0，0)，S(0，0，b)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(a，，0)，F，G，
＝＝，＝(－a，0，0)．
(1)||＝＝．
(2)cos〈〉＝＝＝．
11．已知向量a＝，b＝，若a≠b，＝R，则a－b与x轴正向夹角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
A [ a－b＝，x轴正向的单位向量为i＝，∴·i＝x1－x2，∴cos〈a－b，i〉＝＝．]
12．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x的值为( )
A．2 B．－2
C．0 D．1
A [因为c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，
所以(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝2－2x＝－2．
所以x＝2．]
13．(多选题)在△ABC中，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，则下列k的值满足△ABC为直角三角形的有( )
A．± B．3
C． D．－
ACD [若∠A＝90°，＝(－3，－1，3k)，＝(3，－2，k)，则＝(－3)×3＋(－1)×(－2)＋3k×k＝3k2－7＝0，∴k＝±．
若∠B＝90°，＝(3，1，－3k)，＝(6，－1，－2k)，则＝3×6＋1×(－1)＋(－3k)×(－2k)＝6k2＋17＝0，此时k无解．
若∠C＝90°，＝(－6，1，2k)，＝(－3，2，－k)，则＝(－6)×(－3)＋2＋2k×(－k)＝＋20＝0，∴k＝±．故选ACD．]
14．已知a＋b＝(－1，－2，3)，a－b＝(1，0，1)，则a＝________，b＝________．
(0，－1，2) (－1，－1，1) [a＝＝(0，－1，2)，b＝＝(－1，－1，1)．]
15．如图所示，在棱长为1的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤1，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz．
(1)求证：A1F⊥C1E；
(2)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝．
[证明] (1)由已知条件A1(1，0，1)，F(1－x，1，0)，C1(0，1，1)，E(1，x，0)，则＝(－x，1，－1)，＝(1，x－1，－1)，∴＝－x＋(x－1)＋1＝0，∴⊥，即A1F⊥C1E．
(2)＝(－x，1，－1)，＝(－1，1，0)，＝(0，x，－1)，
设＝λ＋μ，则
解得λ＝，μ＝1．
所以＝．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.2 空间向量运算的坐标表示及应用
学习任务 核心素养
1．理解空间向量坐标的概念．(重点) 2．掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直．(重点) 3．掌握空间向量的模、夹角公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．(重点、难点) 1．通过学习空间向量坐标的概念，培养数学抽象素养． 2．通过求空间向量的模、夹角，培养数学运算与直观想象素养． 3．通过判断两个向量的共线或垂直，培养逻辑推理素养．
1．在平面向量中，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b，a－b，λa，a·b分别等于什么？
2．空间向量的坐标比平面向量的坐标多了一个竖坐标，如何把平面向量运算的坐标表示类比到空间向量运算中？
1．空间向量的正交分解及其坐标表示
标准正交基 在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相____的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基
空间直 角坐标系 以i，j，k的公共起点O为原点，分别以i，j，k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz
空间向 量的坐标表示 对于空间任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk，则把x，y，z称作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝___________．单位向量i，j，k都叫作坐标向量
2．空间向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
则(1)a＋b＝__________________________；
(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)；
(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)，λ∈R；
(4)a·b＝________________．
3．空间向量的平行、垂直及模、夹角
设向量a＝(x1，y，z1)，b＝(x2，y2，z2)(b≠0)．则a∥b a＝λb x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 ___________________；
|a|＝＝__________________；
若点A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
|AB|＝||＝．
cos〈a，b〉＝＝(a≠0，b≠0)．
空间向量的加法的坐标表示是如何推导的？
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1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在不同的坐标系中，同一向量的坐标仍相同． ( )
(2)已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a∥b，则＝＝． ( )
(3)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0． ( )
(4)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则||＝． ( )
2．已知向量a＋b＝(4，1，0)，a－b＝(0，1，－2)，则cos〈a，b〉＝( )
A． B．
C． D．
3．已知a＝(2，1，3)，b＝(－4，5，x)，若a⊥b，则x＝________．
4．已知点A的坐标是(－1，－2，6)，点B的坐标是(1，2，－6)，O为坐标原点，则向量与的夹角为________．
类型1 空间向量的坐标运算
【例1】 (1)已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)；
(2)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P的坐标：
①＝)；②＝)．
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
对空间向量坐标运算的两点说明
(1)空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广．
(2)空间向量的加法、减法、数乘运算的结果依然是一个向量；空间向量的数量积运算的结果是一个实数．
[跟进训练]
1．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b＝( )
A．(16，0，4) B．(8，－16，4)
C．(8，16，4) D．(8，0，4)
2．已知在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5)，求顶点B，C的坐标及．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型2 坐标形式下的平行与垂直
【例2】 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a＝，b＝．
(1)设|c|＝3，c∥，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k．
[尝试解答] ________________________________________________________
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1．若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a∥b(b≠0)
当b与三个坐标平面都不平行时，a∥b ＝＝．a⊥b x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
2．利用平行与垂直的充要条件可以解决两类问题
(1)平行与垂直的判定；(2)平行与垂直的应用．
[跟进训练]
3．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
4．已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)，若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为________．
类型3 向量夹角与长度的计算
【例3】 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，其中CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点．
(1)求的模；
(2)求cos〈〉的值．
[尝试解答] ________________________________________________________
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1．空间中的距离和夹角问题可转化为向量的模与夹角问题求解．这体现了向量的工具作用．引入坐标运算，可使解题过程程序化．
2．以AB，AC为邻边的平行四边形面积的计算公式为S＝．
[跟进训练]
5．已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)．
求：(1)向量的模；
(2)向量夹角的余弦值．
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1．已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b( )
A．平行且同向 B．平行且反向
C．垂直 D．不垂直也不平行
2．下列各组向量中不平行的是( )
A．a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)
B．c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0)
C．e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0)
D．g＝(－2，3，5)，h＝(16，24，40)
3．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
4．设a＝(1，0，1)，b＝(1，－2，2)，则|a－b|＝______，〈a，b〉＝________．
5．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．求以为邻边的平行四边形的面积．
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___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．向量的坐标实质上是该向量在标准正交基底下的分解式的一种简化表示，它也能反映向量的方向与大小．
2．对于空间向量的坐标运算，牢记运算法则是正确计算的关键．
3．常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直与平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求空间角和两点间距离的问题，在求空间角时，应注意所求角与两向量夹角之间的关系及所求角的范围限制．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十四) 空间向量运算的坐标表示及应用
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1 B．
C． D．
2．已知A(4，1，3)，B(－2，4，3)，则线段AB中点的坐标是( )
A． B．
C． D．
3．已知A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，且＝3，则C的坐标为( )
A． B．
C． D．
4．如图，F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点．E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有( )
A．B1E＝EB
B．B1E＝2EB
C．B1E＝EB
D．E与B重合
5．在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k分别是x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，设a为非零向量，且〈a，i〉＝45°，〈a，j〉＝60°，则〈a，k〉＝( )
A．60° B．45°
C．60°或120° D．45°或135°
二、填空题
6．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，若a⊥b，则x＝________；若a∥b，则x＝________．
7．已知向量a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)．若a，b成120°的角，则k＝________．
8．若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
三、解答题
9．(源自苏教版教材)已知点A(3，1，3)，B(1，5，0)，求：
(1)线段AB的中点坐标和AB的长度；
(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件．
10．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点．若AB＝a，SD＝b．
(1)求||；
(2)求cos〈〉．
11．已知向量a＝，b＝，若a≠b，＝R，则a－b与x轴正向夹角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
12．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x的值为( )
A．2 B．－2
C．0 D．1
13．(多选题)在△ABC中，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，则下列k的值满足△ABC为直角三角形的有( )
A．± B．3
C． D．－
14．已知a＋b＝(－1，－2，3)，a－b＝(1，0，1)，则a＝________，b＝________．
15．如图所示，在棱长为1的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤1，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz．
(1)求证：A1F⊥C1E；
(2)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共62张PPT)
3.2 空间向量运算的坐标表示及应用
第三章 空间向量与立体几何
§3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示
学习任务 核心素养
1．理解空间向量坐标的概念．(重点)
2．掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直．(重点)
3．掌握空间向量的模、夹角公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．(重点、难点) 1．通过学习空间向量坐标的概念，培养数学抽象素养．
2．通过求空间向量的模、夹角，培养数学运算与直观想象素养．
3．通过判断两个向量的共线或垂直，培养逻辑推理素养．
必备知识·情境导学探新知
1．空间向量的正交分解及其坐标表示
标准正
交基 在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相____的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基
空间直
角坐标系 以i，j，k的公共起点O为原点，分别以i，j，k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz
垂直
空间向
量的坐标表示 对于空间任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组
(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk，则把x，y，z称作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝_________．单位向量i，j，k都叫作坐标向量
(x，y，z)
(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
x1x2＋y1 y2＋z1z2
x1x2＋y1 y2＋z1z2＝0
思考 空间向量的加法的坐标表示是如何推导的？
×
×
√
√
√
3．已知a＝(2，1，3)，b＝(－4，5，x)，若a⊥b，则x＝________．
1
π
关键能力·合作探究释疑难
反思领悟 对空间向量坐标运算的两点说明
(1)空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广．
(2)空间向量的加法、减法、数乘运算的结果依然是一个向量；空间向量的数量积运算的结果是一个实数．
[跟进训练]
1．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b＝( )
A．(16，0，4) B．(8，－16，4)
C．(8，16，4) D．(8，0，4)
√
D [4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4)．]
√
4．已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)，若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为____________．
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b( )
A．平行且同向 B．平行且反向
C．垂直 D．不垂直也不平行
2．下列各组向量中不平行的是( )
A．a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)
B．c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0)
C．e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0)
D．g＝(－2，3，5)，h＝(16，24，40)
√
√
4．设a＝(1，0，1)，b＝(1，－2，2)，则|a－b|＝______，〈a，b〉＝________．
1．向量的坐标实质上是该向量在标准正交基底下的分解式的一种简化表示，它也能反映向量的方向与大小．
2．对于空间向量的坐标运算，牢记运算法则是正确计算的关键．
3．常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直与平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求空间角和两点间距离的问题，在求空间角时，应注意所求角与两向量夹角之间的关系及所求角的范围限制．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
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课时分层作业(二十四) 空间向量运算的坐标表示及应用
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5．在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k分别是x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，设a为非零向量，且〈a，i〉＝45°，〈a，j〉＝60°，则〈a，k〉＝( )
A．60° B．45°
C．60°或120° D．45°或135°
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二、填空题
6．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，若a⊥b，则x＝________；若a∥b，则x＝________．
－6
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7．已知向量a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)．若a，b成120°的角，则k＝________．
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8．若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是_______________．
(－∞，－2)
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三、解答题
9．(源自苏教版教材)已知点A(3，1，3)，B(1，5，0)，求：
(1)线段AB的中点坐标和AB的长度；
(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件．
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14．已知a＋b＝(－1，－2，3)，a－b＝(1，0，1)，则a＝___________，b＝_______________．
(0，－1，2)
(－1，－1，1)
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