课时分层作业(二十三) 空间向量基本定理
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．已知O，A，B，C为空间四点，且向量不能构成空间的一组基，则( )
A．共线 B．共线
C．共线 D．O，A，B，C四点共面
2．已知{a，b，c}是空间向量的一组基，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间向量的另一组基的是( )
A．a B．b
C．c D．p－2q
3．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为( )
A．a－b＋2c B．a－b－2c
C．－a＋b＋c D．a－b＋c
4．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是( )
A．＝
B．＝＋2＋3
C．＝
D．＝
5．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3(e1，e2，e3为空间一组基)且d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为( )
A．，－，－1 B．，1
C．－，1 D．，－，1
二、填空题
6．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，＝x，则x＝________．
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________．
8．在四面体ABCD中，点O是△ABC的重心，可以用表示为________．
三、解答题
9．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)．
10．已知平行六面体OABC-O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c．
(1)用a，b，c表示向量；
(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和上底面O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示．
11．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝( )
A．3 B．2
C． D．1
12．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量与相等的是( )
A．－a－b＋c
B．a＋b－c
C．－a＋b＋c
D．a＋b＋c
13．(多选题)下列命题正确的是( )
A．若p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb
C．若＝x＋y，则M，P，A，B共面
D．若M，P，A，B共面，则＝x＋y
14．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若＝x＋y＋z，且0≤x≤y≤z≤1．则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是________；表面积是________．
15．已知{e1，e2，e3}为空间的一组基，且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3．
(1)判断P，A，B，C四点是否共面；
(2)能否以{}作为空间的一个基底？若能，试以这一组基表示；若不能，请说明理由．
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3.1 空间向量基本定理
学习任务 核心素养
1．理解空间向量基本定理及其意义．(重点) 2．能够在具体问题中适当地选取一组基，并能用这组基表示空间中的任何一个向量．(难点) 通过空间向量基本定理及其应用，提升逻辑推理、数学运算、直观想象素养．
在平面向量中，我们学面向量基本定理及其意义，并根据该定理提出了研究平面向量的一种基本方法─基底法，那么在空间中是否有类似方法呢？
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝x，AD＝y，AA1＝z，e1，e2，e3分别是的单位向量，试用向量e1，e2，e3表示向量，表示结果唯一吗？
1．空间向量基本定理
条件 三个______的向量a，b，c和空间________向量p
结论 存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得_____________
2．基
(1)条件：三个向量a，b，c______．
(2)结论：___________叫作空间向量的一组基．其中向量a，b，c都叫作基向量．
(1)0能不能作为一个基向量？
(2)空间向量的基唯一吗？
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1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基． ( )
(2)若{a，b，c}为空间向量的一组基，则{－a，b，2c}也可构成空间向量的一组基． ( )
(3)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一组基，则a，b，c共面． ( )
2．下列各组向量能构成一组基的是( )
A．长方体ABCD-A1B1C1D1中的向量
B．三棱锥A-BCD中的向量
C．三棱柱ABC-A1B1C1中(E是A1C1的中点)的向量
D．四棱锥S-ABCD中的向量
3．已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面A1B1C1D1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为( )
A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝1
4．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M在AC上，且|AM|＝|MC|，点N在A1D上，且|A1N|＝2|ND|，设＝a，＝b，＝c，则＝________(用a，b，c表示)．
类型1 空间向量的基
【例1】 已知{e1，e2，e3}是空间的一组基，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{}能否作为空间的一组基．
[尝试解答] ________________________________________________________
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基的判断思路
判断给出的三个向量能否构成一组基，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．
[跟进训练]
1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一组基的向量组有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
类型2 空间向量基本定理及应用
【例2】 如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基{a，b，c}表示向量．
[尝试解答] ________________________________________________________
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[母题探究]
若把本例中的“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？
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对空间向量基本定理的两点说明
(1)任意性：用空间三个不共面的向量可以线性表示出空间中任意一个向量．
(2)唯一性：基确定后，空间向量基本定理中实数组{x，y，z}是唯一的．
空间向量基本定理为用基向量法研究空间向量提供了理论依据．
[跟进训练]
2．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M，N分别为PC，PD上的点，且M分PC为PM∶MC＝2，N为PD的中点，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值．
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类型3 四点共面
【例3】 如图，已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和DD1上的点，并且BE＝，DF＝DD1．
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
[尝试解答] ________________________________________________________
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1．三个向量共面的充要条件
若向量b，c不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是：存在实数x，y，使得a＝xb＋yc．
2．利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件．
[跟进训练]
3．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝．
(1)判断三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
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1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一组基，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知空间的一组基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．
3．(源自人教A版教材)如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝ON，AP＝AN，用向量表示．
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1．空间向量基本定理的应用，即用三个不共面的向量作为基底表示空间中的任意向量，需依据图形特点，结合向量的加法、减法、数乘的运算，运用平行四边形法则及三角形法则将待求向量转化为三个基向量的线性组合．
2．设是不共面向量，则对空间任一点P，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝x＋y＋z．当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面．
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第三章 空间向量与立体几何
§3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示
3.1 空间向量基本定理
学习任务 核心素养
1．理解空间向量基本定理及其意义．(重点)
2．能够在具体问题中适当地选取一组基，并能用这组基表示空间中的任何一个向量．(难点) 通过空间向量基本定理及其应用，提升逻辑推理、数学运算、直观想象素养．
必备知识·情境导学探新知
1．空间向量基本定理
条件 三个______的向量a，b，c和空间________向量p
结论 存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得_____________
2．基
(1)条件：三个向量a，b，c_______．
(2)结论：__________叫作空间向量的一组基．其中向量a，b，c都叫作基向量．
不共面
任意一个
p＝xa＋yb＋zc
不共面
{a，b，c}
思考 (1)0能不能作为一个基向量？
(2)空间向量的基唯一吗？
[提示] (1)由于0与任何两个向量都共面，因此0不能作为基向量．
(2)不唯一，只要三个向量不共面，都可以作为空间中所有向量的一组基．
×
√
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基． ( )
(2)若{a，b，c}为空间向量的一组基，则{－a，b，2c}也可构成空间向量的一组基． ( )
(3)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一组基，则a，b，c共面． ( )
√
√
√
关键能力·合作探究释疑难
反思领悟 基的判断思路
判断给出的三个向量能否构成一组基，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．
[跟进训练]
1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一组基的向量组有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
√
反思领悟 对空间向量基本定理的两点说明
(1)任意性：用空间三个不共面的向量可以线性表示出空间中任意一个向量．
(2)唯一性：基确定后，空间向量基本定理中实数组{x，y，z}是唯一的．
空间向量基本定理为用基向量法研究空间向量提供了理论依据．
反思领悟 1．三个向量共面的充要条件
若向量b，c不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是：存在实数x，y，使得a＝xb＋yc．
2．利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件．
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一组基，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以作为基，否则不能作为基．当{a，b，c}为基时，一定有a，b，c为非零向量．因此p q，q p．]
2．已知空间的一组基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．
1
－1
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
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√
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课时分层作业(二十三) 空间向量基本定理
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C [因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面．
若存在x，y∈R，使c＝xp＋yq＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，则a，b，c共面，这与已知{a，b，c}是空间一组基矛盾，故p，q，c不共面．]
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15课时分层作业(二十三)
1．D [由不能构成一组基知，三向量共面，所以一定有O，A，B，C四点共面．]
2．C [因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面．
若存在x，y∈R，使c＝xp＋yq＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，则a，b，c共面，这与已知{a，b，c}是空间一组基矛盾，故p，q，c不共面．]
3．D [)＝a－b＋c．故选D．]
4．D [由，得)＋)，即，所以A，B，C，M四点共面．]
5．A [d＝xa＋yb＋zc
＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x－y)e3．
又∵d=e1＋2e2＋3e3，
∴，y＝－，z＝－1．]
6． [由于M∈平面ABC，所以x＋＝1，解得x＝．]
7．－ [如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF＝A1D，所以，即＝0，所以λ＝－．]
8．
9．解：(1)∵P是C1D1的中点，∴＝a＋＝a＋c＋＝a＋c＋b．
(2)∵N是BC的中点，∴＝－a＋b＋＝－a＋b＋c．
(3)∵M是AA1的中点，∴a＋(a＋c＋b)＝a＋b＋c，
又c＋a，∴a＋b＋c．
10．解：(1)＝b＋c－a．
(2))＋)
＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b)．
11．C [，又，所以x＋y＝1，y＋z＝1，z＋x＝1，所以x＋y＋z＝．]
12．D [)＝a＋c＋b．故选D．]
13．AC [A正确：B中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立：C正确：D中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则不正确．]
14． 1＋ [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACD A1C1D1内，满足0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1 BB1C1内，故同时满足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分(如图)，
即三棱锥A A1C1D1内，其体积是，其表面积是2×．]
15．解：(1)假设P，A，B，C四点共面，
则存在实数x，y，z，使，且x＋y＋z＝1，即2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)．
比较对应的系数，得到关于x，y，z的方程组
与x＋y＋z＝1矛盾，故P，A，B，C四点不共面．
(2)若共面，则存在实数m，n，使，同(1)可证，不共面，因此{}可以作为空间的一组基，令＝a，＝b，＝c，由e1＋2e2－e3＝a，－3e1＋e2＋2e3＝b，e1＋e2－e3＝c，得＝2e1－e2＋3e3＝2(3a－b－5c)－(a－c)＋3(4a－b－7c)＝17a－5b－30c＝17．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)§3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示
3.1 空间向量基本定理
学习任务 核心素养
1．理解空间向量基本定理及其意义．(重点) 2．能够在具体问题中适当地选取一组基，并能用这组基表示空间中的任何一个向量．(难点) 通过空间向量基本定理及其应用，提升逻辑推理、数学运算、直观想象素养．
在平面向量中，我们学面向量基本定理及其意义，并根据该定理提出了研究平面向量的一种基本方法─基底法，那么在空间中是否有类似方法呢？
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝x，AD＝y，AA1＝z，e1，e2，e3分别是的单位向量，试用向量e1，e2，e3表示向量，表示结果唯一吗？
1．空间向量基本定理
条件 三个不共面的向量a，b，c和空间任意一个向量p
结论 存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc
2．基
(1)条件：三个向量a，b，c不共面．
(2)结论：{a，b，c}叫作空间向量的一组基．其中向量a，b，c都叫作基向量．
(1)0能不能作为一个基向量？
(2)空间向量的基唯一吗？
[提示] (1)由于0与任何两个向量都共面，因此0不能作为基向量．
(2)不唯一，只要三个向量不共面，都可以作为空间中所有向量的一组基．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基． ( )
(2)若{a，b，c}为空间向量的一组基，则{－a，b，2c}也可构成空间向量的一组基． ( )
(3)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一组基，则a，b，c共面． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．下列各组向量能构成一组基的是( )
A．长方体ABCD-A1B1C1D1中的向量
B．三棱锥A-BCD中的向量
C．三棱柱ABC-A1B1C1中(E是A1C1的中点)的向量
D．四棱锥S-ABCD中的向量
[答案] B
3．已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面A1B1C1D1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为( )
A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝1
C [如图，＝＝＝)．故x＝，y＝．]
4．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M在AC上，且|AM|＝|MC|，点N在A1D上，且|A1N|＝2|ND|，设＝a，＝b，＝c，则＝________(用a，b，c表示)．
(b＋c－a) [＝＝a＋b．∵|AM|＝|MC|，∴＝－＝－(a＋b)．又|A1N|＝2|ND|，∴＝＝)＝(b－c)．
∴＝＝－(a＋b)＋c＋(b－c)＝(b＋c－a)．]
类型1 空间向量的基
【例1】 已知{e1，e2，e3}是空间的一组基，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{}能否作为空间的一组基．
[解] 假设共面，
由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得＝x ＋y成立，
即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3．
因为{e1，e2，e3}是空间的一组基，所以e1，e2，e3不共面，所以
此方程组无解．即不存在实数x，y，使得＝x＋y成立，所以不共面．
故{}能作为空间的一组基．
基的判断思路
判断给出的三个向量能否构成一组基，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．
[跟进训练]
1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一组基的向量组有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
B [因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面．如图，
令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝．
可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故选B．]
类型2 空间向量基本定理及应用
【例2】 如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基{a，b，c}表示向量．
[解] 连接A′N(图略)．
＝＝)＝＝)＋＝＝(a＋b＋c)．
＝＝)＝)＝a＋b＋c．
[母题探究]
若把本例中的“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？
[解] 因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点，所以＝)＝a＋b．
＝)＝＝＝)＋＝＝b＋a－c．
对空间向量基本定理的两点说明
(1)任意性：用空间三个不共面的向量可以线性表示出空间中任意一个向量．
(2)唯一性：基确定后，空间向量基本定理中实数组{x，y，z}是唯一的．
空间向量基本定理为用基向量法研究空间向量提供了理论依据．
[跟进训练]
2．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M，N分别为PC，PD上的点，且M分PC为PM∶MC＝2，N为PD的中点，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值．
[解] 法一：如图所示，取PC的中点E，
连接NE，则＝．
因为＝＝＝－．
＝＝＝．
连接AC，则＝＝，
所以＝－)＝－，
因为不共面．
所以x＝－，y＝－，z＝．
法二：＝＝＝)－)＝－(－)＝－，
因为不共面，
所以x＝－，y＝－，z＝．
类型3 四点共面
【例3】 如图，已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和DD1上的点，并且BE＝，DF＝DD1．
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
[解] (1)证明：＝＝＝＝＝，
故A，E，C1，F四点共面．
(2)∵＝＝＝＝－，
∴x＝－1，y＝1，z＝．∴x＋y＋z＝．
1．三个向量共面的充要条件
若向量b，c不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是：存在实数x，y，使得a＝xb＋yc．
2．利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件．
[跟进训练]
3．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝．
(1)判断三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
[解] (1)∵＝，
∴＝3，
∴＝()＋()，
∴＝＝－，
∴向量共面．
(2)由(1)知向量共面，又这三个向量又有公共点M，∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．
1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一组基，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以作为基，否则不能作为基．当{a，b，c}为基时，一定有a，b，c为非零向量．因此p q，q p．]
2．已知空间的一组基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．
1 －1 [因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有解得]
3．(源自人教A版教材)如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝ON，AP＝AN，用向量表示．
[解] ＝＝
＝)
＝
＝
＝．
1．空间向量基本定理的应用，即用三个不共面的向量作为基底表示空间中的任意向量，需依据图形特点，结合向量的加法、减法、数乘的运算，运用平行四边形法则及三角形法则将待求向量转化为三个基向量的线性组合．
2．设是不共面向量，则对空间任一点P，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝x＋y＋z．当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面．
课时分层作业(二十三) 空间向量基本定理
一、选择题
1．已知O，A，B，C为空间四点，且向量不能构成空间的一组基，则( )
A．共线 B．共线
C．共线 D．O，A，B，C四点共面
D [由不能构成一组基知，三向量共面，所以一定有O，A，B，C四点共面．]
2．已知{a，b，c}是空间向量的一组基，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间向量的另一组基的是( )
A．a B．b
C．c D．p－2q
C [因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面．
若存在x，y∈R，使c＝xp＋yq＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，则a，b，c共面，这与已知{a，b，c}是空间一组基矛盾，故p，q，c不共面．]
3．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为( )
A．a－b＋2c B．a－b－2c
C．－a＋b＋c D．a－b＋c
D [＝＝＝)＝a－b＋c．故选D．]
4．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是( )
A．＝
B．＝＋2＋3
C．＝
D．＝
D [由＝，得＝)＋)，即＝，所以A，B，C，M四点共面．]
5．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3(e1，e2，e3为空间一组基)且d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为( )
A．，－，－1 B．，1
C．－，1 D．，－，1
A [d＝xa＋yb＋zc
＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x－y)e3．
又∵d＝e1＋2e2＋3e3，
∴
解得x＝，y＝－，z＝－1．]
二、填空题
6．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，＝x，则x＝________．
[由于M∈平面ABC，所以x＋＝1，解得x＝．]
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________．
－ [如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF＝A1D，所以＝，即＝0，所以λ＝－．]
8．在四面体ABCD中，点O是△ABC的重心，可以用表示为________．
[答案] ＝
三、解答题
9．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)．
[解] (1)∵P是C1D1的中点，∴＝＝a＋＝a＋c＋＝a＋c＋b．
(2)∵N是BC的中点，∴＝＝－a＋b＋＝－a＋b＋c．
(3)∵M是AA1的中点，∴＝＝＝－a＋(a＋c＋b)＝a＋b＋c，又＝＝＝c＋a，
∴＝＝a＋b＋c．
10．已知平行六面体OABC-O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c．
(1)用a，b，c表示向量；
(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和上底面O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示．
[解] (1)＝＝＝b＋c－a．
(2)＝＝－
＝－)＋)
＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b)．
11．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝( )
A．3 B．2
C． D．1
C [＝x＋y＋z＝x＋y＋z＝，又＝，所以x＋y＝1，y＋z＝1，z＋x＝1，所以x＋y＋z＝．]
12．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量与相等的是( )
A．－a－b＋c
B．a＋b－c
C．－a＋b＋c
D．a＋b＋c
D [＝＝＝)＝＝a＋c＋b．故选D．]
13．(多选题)下列命题正确的是( )
A．若p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb
C．若＝x＋y，则M，P，A，B共面
D．若M，P，A，B共面，则＝x＋y
AC [A正确；B中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立；C正确；D中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不正确．]
14．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若＝x＋y＋z，且0≤x≤y≤z≤1．则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是________；表面积是________．
1＋ [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACD-A1C1D1内，满足0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1-BB1C1内，故同时满足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分(如图)，
即三棱锥A-A1C1D1内，其体积是 × ×1×1×1＝，其表面积是2××1×1＋2××1×＝1＋．]
15．已知{e1，e2，e3}为空间的一组基，且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3．
(1)判断P，A，B，C四点是否共面；
(2)能否以{}作为空间的一个基底？若能，试以这一组基表示；若不能，请说明理由．
[解] (1)假设P，A，B，C四点共面，
则存在实数x，y，z，使＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，即2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)．
比较对应的系数，得到关于x，y，z的方程组
解得与x＋y＋z＝1矛盾，故P，A，B，C四点不共面．
(2)若共面，则存在实数m，n，使＝m＋n，同(1)可证，不共面，因此{}可以作为空间的一组基，令＝a，＝b，＝c，由e1＋2e2－e3＝a，－3e1＋e2＋2e3＝b，e1＋e2－e3＝c，得所以＝2e1－e2＋3e3＝2(3a－b－5c)－(a－c)＋3(4a－b－7c)＝17a－5b－30c＝17－5－30．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
