(共60张PPT)
第五章 计数原理
§1 基本计数原理
1.1 分类加法计数原理
1.2 分步乘法计数原理
学习任务 核心素养
1．掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．(重点)
2．能正确选择分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．(难点、易错点) 1．通过对计数原理的学习，培养数学抽象素养．
2．借助计数原理的实际应用，培养数学建模素养．
一个三层书架的上层放15本不同的数学书，中层放16本不同的语文书，下层放14本不同的物理书．
1．现某人从中取出一本书，应该如何“完成这件事”？
2．现从三层书架上各取一本书，应该如何“完成这件事”？
必备知识·情境导学探新知
1．分类加法计数原理
(1)定义
完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有___种方法，在第2类办法中有___种方法，……在第n类办法中有___种方法，那么，完成这件事共有N＝_______________种方法．(也称“加法原理”)
m1
m2
mn
m1＋m2＋…＋mn
(2)对分类加法计数原理的理解
分类加法计数原理中的“完成一件事有n类办法”，是指完成这件事的所有方法可以分为n类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，n类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中．
2．分步乘法计数原理
(1)定义
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有___种不同的方法，做第2步有___种不同的方法，……做第n步有___种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝________________种方法．(也称“乘法原理”)
m1
m2
mn
m1·m2·…·mn
(2)对分步乘法计数原理的理解
分步乘法计数原理中的“完成一件事需要n个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都需要分成n个步骤．在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这n个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事．
思考 如何区分“分类”还是 “分步”？
[提示] 如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步．
×
√
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在分类加法计数原理中，不同类方案中的方法可以相同． ( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事． ( )
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中，完成这个步骤的方法是各不相同的． ( )
(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分n步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有n步骤都完成后，这件事情才算完成． ( )
√
√
2．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，不同的选法种数是( )
A．5 B．4
C．9 D．20
√
C [由分类加法计数原理求解，5＋4＝9(种)．故选C．]
3．已知集合A＝{1，2}，B＝{3，4，5}，从集合A，B中各取一个元素分别作为一个两位数的个位、十位数字，则可确定的不同两位数的个数为________．
6 [完成这件事可分两步：第一步，从集合A中任选一个元素作为个位数字，有2种不同的方法；第二步，从集合B中任选一个元素作为十位数字， 有3种不同的方法．由分步乘法计数原理得，一共有2×3＝6种不同的方法．]
6
关键能力·合作探究释疑难
类型1 分类加法计数原理
【例1】 设有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画．从这些油画、国画、水彩画中只选一幅布置房间，有几种不同的选法？
[思路点拨]
[解] 选一幅画布置房间分三类计数：
第一类，选油画，有5种不同的选法；
第二类，选国画，有2种不同的选法；
第三类，选水彩画，有7种不同的选法．
根据分类加法计数原理，共有N＝5＋2＋7＝14种不同的选法．
反思领悟 分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原理：
(1)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；
(2)分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．
前者保证完成这件事的方法不遗漏，后者保证不重复，即分类要做到不重不漏．
[跟进训练]
1．某校高三共有三个班，各班人数如下表：
(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
男生人数 女生人数 总人数
高三(1)班 30 20 50
高三(2)班 30 30 60
高三(3)班 35 20 55
[解] (1)从三个班中选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：
第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；
第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；
第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．
(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：
第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．
类型2 分步乘法计数原理
【例2】 某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤．现要配成一荤一素一汤的套餐，问：可以配制成多少种不同的品种？
[解] 完成这件事是配制套餐，选一个荤菜，选一个素菜，选一个汤，因此需分三步完成此事，由分步乘法计数原理可得，配制成不同的套餐品种共有6×5×3＝90种．
反思领悟 解决分步乘法计数问题的思考过程
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，怎样才算是完成这件事；
(2)完成这件事如何进行分步，每一步中有多少种方法；
(3)完成这件事共有多少种方法．
[跟进训练]
2．将3封信投到4个邮筒，共有多少种投法？
[解] 完成这件事是“把3封信投完”，需分三步完成，而每一封有4种投法，由分步乘法计数原理知共有4×4×4＝64种投法．
√
类型3 两个计数原理的综合应用
【例3】 已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中任取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限内不同点的个数为( )
A．18 B．16
C．14 D．10
[思路点拨]
C [完成这件事是确定第一、二象限内的点的坐标，确定点的坐标可分两步完成，一是先确定横坐标，二是确定纵坐标；而哪个集合中的元素作横坐标，哪个集合中的元素作纵坐标，需要分两类完成．因此，完成此事可分两类办法．
第一类，以集合M中的元素作为点的横坐标，集合N中的元素作为点的纵坐标．在集合M中任取一个元素，有3种不同的方法，而适合题意的点在第一、二象限，必须且只需从集合N中的5，6中取1个，有2种不同的取法．由分步乘法计数原理，有3×2＝6个不同的点．
第二类，以集合N中的元素作为点的横坐标，集合M中的元素作为点的纵坐标．在集合N中任取一个元素，有4种不同的方法，而适合题意的点在第一、二象限，必须且只需从集合M中的1，3中取1个，有2种不同的取法．由分步乘法计数原理有4×2＝8个不同的点．
由分类加法计数原理，得第一、二象限内不同的点共有6＋8＝14个．]
反思领悟 应用两个计数原理解决应用问题的方法
(1)分清是“分类”还是“分步”；
(2)清楚“分类”或“分步”的具体标准是什么；
(3)“分类”时，要遵循“不重、不漏”的原则；在“分步”时，要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性．
[跟进训练]
3．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．
(1)从中选派1名去外出参加学习，有多少种不同的选法？
(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？
[解] (1)分三类：
第一类，选出的是医生，有3种选法；
第二类，选出的是护士，有5种选法；
第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．
根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10(种)选法．
(2)分三步：
第一步，选1名医生，有3种选法；
第二步，选1名护士，有5种选法；
第三步，选1名麻醉师，有2种选法．
根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30(种)选法．
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有( )
A．24种
B．16种
C．12种
D．10种
C [完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C．]
2．教学大楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法种数为( )
A．10 B．32
C．25 D．16
√
D [根据分步乘法计数原理，不同的走法为N＝24＝16(种)．]
3．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )
A．81 B．64
C．48 D．24
√
A [每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A．]
4．从甲地到乙地，可以乘飞机，也可以乘火车，还可以乘长途汽车．每天飞机有2班，火车有4班，长途汽车有10班，一天中，乘坐这些交通工具，从甲地到乙地共有________种方法．
16 [利用分类加法计数原理，共有2＋4＋10＝16种方法．]
16
5．(教材P160例1改编)从1到200这200个自然数中，各个数位上都不含数字8的共有多少个？
[解] 应分三类来解决该问题．
第一类，一位数中符合要求的数有8个．
第二类，两位数中，十位上的数字有8种选法，个位上的数字有9种选法，故两位数中符合要求的数有8×9＝72个．
第三类，三位数中百位上的数字为1，十位和个位上的数字都有9种选法，故三位数中，百位上的数字为1的符合要求的数有9×9＝81个；三位数中百位上的数字为2的只有200符合要求．所以三位数中符合要求的数有81＋1＝82个．
由分类加法计数原理，符合要求的数共有8＋72＋82＝162个．
1．分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类中的各种方法相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．
2．分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成这件事，注意各步骤间的连续性，即不漏步骤也不重步骤．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
课时分层作业(二十九) 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
一、选择题
1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位担任学习委员，不同的选法有( )
A．50种 B．26种
C．24种 D．616种
A [选一位学习委员分两类办法：第一类：选男生，有26种不同的选法；第二类：选女生，有24种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有N＝26＋24＝50种不同的选法．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2．已知集合A?{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
√
D [当集合A中含一个元素时，A＝{1}或{3}；当集合A中含两个元素时，A＝{1，2}或{1，3}或{2，3}，所以共有5个集合．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
3．火车上有10名乘客，要在沿途的5个车站下车，则乘客下车的所有可能情况共有( )
A．510种 B．105种
C．50种 D．以上都不对
√
A [完成这件事可分为10步，即10名乘客全部下车，每名乘客选择下车的不同方法均为5种，由分步乘法计数原理知，所有可能的情况为510种．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 B．5种
C．6种 D．12种
√
C [若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲，3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
5．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为奇数的不同取法的种数为( )
A．25 B．12
C．9 D．6
√
C [两个数字的和为奇数，这两个数必须一个是奇数，另一个是偶数，在所给的6个数中，有3个奇数与3个偶数．因此，由分步乘法计数原理得，共有3×3＝9种不同的取法．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6．乘积(a＋b＋c)(m＋n)(x＋y)展开后，共有______项．
12 [因为乘积(a＋b＋c)(m＋n)(x＋y)的展开式中的每一项是由a＋b＋c中的一个字母与m＋n中的一个字母与x＋y中的一个字母的乘积组成，可分步完成此事．所以共有3×2×2＝12项．]
12
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
7．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为________．
5 [分两类：另一类是女同学主持主题班会有3种方法；另一类是男同学主持主题班会有2种方法，由分类加法计数原理知，共有3＋2＝5(种)方法．]
5
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
8．设a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有________个．
27 [先考虑等边的情况，a＝b＝c＝1，2，…，6，有六个，
再考虑等腰的情况，若a＝b＝1，c
若a＝b＝2，c若a＝b＝3，c若a＝b＝4，c若a＝b＝5，c若a＝b＝6，c27
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
三、解答题
9．(源自人教B版教材)某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从该班班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少要有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种？
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解] 按照选择的女同学人数分为两种情况，即2位都是女同学和只有1位女同学．
2位都是女同学的选法显然只有1种．
只有1位女同学的选法，可以分为两步完成：先从2位女同学中选出1人，有2种选法；再从3位男同学中选出1人，有3种选法．依据分步乘法计数原理，共有不同的选法2×3＝6种．
依据分类加法计数原理，不同的选法共有1＋6＝7种．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解] (1)由椭圆的标准方程知m≠n，要确定一个椭圆，只要把m，n一一确定下来这个椭圆就确定了．
故要确定一个椭圆共分两步，第一步确定m，有5种方法，第二步确定n，有4种方法，共有5×4＝20个椭圆．
(2)要使焦点在x轴上，必须m>n，故可以分类，当m＝2，3，4，5时，n的取值列表为：
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
故共有1＋2＋3＋4＝10个椭圆．
m 2 3 4 5
n 1 1，2 1，2，3 1，2，3，4
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
11．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12 D．9
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
B [分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
12．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A．48 B．18
C．24 D．36
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
D [在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
13．(多选题)某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是( )
第1节 第2节 第3节 第4节
地理1班 化学A
层3班 地理2班 化学A
层4班
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
第1节 第2节 第3节 第4节
生物A
层1班 化学B
层2班 生物B
层2班 历史B
层1班
物理A
层1班 生物A
层3班 物理A
层2班 生物A
层4班
物理B
层2班 生物B
层1班 物理B
层1班 物理A
层4班
政治1班 物理A
层3班 政治2班 政治3班
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
A．此人有4种选课方式
B．此人有5种选课方式
C．自习不可能安排在第2节
D．自习可安排在4节课中的任一节
√
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
BD [由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类：
若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选，故有2×2＝4种(此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节)；若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．根据分类加法计数原理可得选课方式有4＋1＝5种．综上，自习可安排在4节课中的任一节．故选BD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
14．已知a，b∈{0，1，2，3}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝4可表示不同的圆的个数为________，其中与y轴相交的圆的个数为________．
16 12 [得到圆的方程分两步：第一步：确定a有4种选法；第二步：确定b有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有4×4＝16(个)．
由与y轴相交知，a＝0或1或2，b有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12(个)．]
16
12
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
15．已知集合A＝{a，b，c}，集合B＝{－1，0，1}．
(1)从集合A到B能构造多少个不同的函数？
(2)满足f (a)＋f (b)＋f (c)＝0的函数有多少个？
[解] (1)每个元素a，b，c都可以有3个数和它对应，故从A到B能构造3×3×3＝27个不同的函数．
(2)列表如下：
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
f (a) 0 0 0 1 1 －1 －1
f (b) 0 1 －1 0 －1 1 0
f (c) 0 －1 1 －1 0 0 1
从表中可知满足f (a)＋f (b)＋f (c)＝0的函数有7个．课时分层作业(二十九) 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位担任学习委员，不同的选法有( )
A．50种 B．26种
C．24种 D．616种
2．已知集合A?{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
3．火车上有10名乘客，要在沿途的5个车站下车，则乘客下车的所有可能情况共有( )
A．510种 B．105种
C．50种 D．以上都不对
4．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 B．5种
C．6种 D．12种
5．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为奇数的不同取法的种数为( )
A．25 B．12
C．9 D．6
二、填空题
6．乘积(a＋b＋c)(m＋n)(x＋y)展开后，共有______项．
7．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为________．
8．设a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有________个．
三、解答题
9．(源自人教B版教材)某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从该班班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少要有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种？
10．已知椭圆＝1，其中m，n∈{1，2，3，4，5}．
(1)求满足条件的椭圆的个数；
(2)如果椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的个数．
11．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12 D．9
12．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A．48 B．18
C．24 D．36
13．(多选题)某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是( )
第1节 第2节 第3节 第4节
地理1班 化学A 层3班 地理2班 化学A 层4班
生物A 层1班 化学B 层2班 生物B 层2班 历史B 层1班
物理A 层1班 生物A 层3班 物理A 层2班 生物A 层4班
物理B 层2班 生物B 层1班 物理B 层1班 物理A 层4班
政治1班 物理A 层3班 政治2班 政治3班
A．此人有4种选课方式
B．此人有5种选课方式
C．自习不可能安排在第2节
D．自习可安排在4节课中的任一节
14．已知a，b∈{0，1，2，3}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝4可表示不同的圆的个数为________，其中与y轴相交的圆的个数为________．
15．已知集合A＝{a，b，c}，集合B＝{－1，0，1}．
(1)从集合A到B能构造多少个不同的函数？
(2)满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0的函数有多少个？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)§1 基本计数原理
1.1 分类加法计数原理
1.2 分步乘法计数原理
学习任务 核心素养
1．掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．(重点) 2．能正确选择分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．(难点、易错点) 1．通过对计数原理的学习，培养数学抽象素养． 2．借助计数原理的实际应用，培养数学建模素养．
一个三层书架的上层放15本不同的数学书，中层放16本不同的语文书，下层放14本不同的物理书．
1．现某人从中取出一本书，应该如何“完成这件事”？
2．现从三层书架上各取一本书，应该如何“完成这件事”？
1．分类加法计数原理
(1)定义
完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有__种方法，在第2类办法中有__种方法，……在第n类办法中有__种方法，那么，完成这件事共有N＝______________种方法．(也称“加法原理”)
(2)对分类加法计数原理的理解
分类加法计数原理中的“完成一件事有n类办法”，是指完成这件事的所有方法可以分为n类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，n类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中．
2．分步乘法计数原理
(1)定义
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有__种不同的方法，做第2步有__种不同的方法，……做第n步有__种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝______________种方法．(也称“乘法原理”)
(2)对分步乘法计数原理的理解
分步乘法计数原理中的“完成一件事需要n个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都需要分成n个步骤．在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这n个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事．
如何区分“分类”还是 “分步”？
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1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在分类加法计数原理中，不同类方案中的方法可以相同． ( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事． ( )
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中，完成这个步骤的方法是各不相同的． ( )
(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分n步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有n步骤都完成后，这件事情才算完成． ( )
2．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，不同的选法种数是( )
A．5 B．4
C．9 D．20
3．已知集合A＝{1，2}，B＝{3，4，5}，从集合A，B中各取一个元素分别作为一个两位数的个位、十位数字，则可确定的不同两位数的个数为________．
类型1 分类加法计数原理
【例1】 设有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画．从这些油画、国画、水彩画中只选一幅布置房间，有几种不同的选法？
[思路点拨]
[尝试解答] ________________________________________________________
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分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原理：
(1)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；
(2)分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．
前者保证完成这件事的方法不遗漏，后者保证不重复，即分类要做到不重不漏．
[跟进训练]
1．某校高三共有三个班，各班人数如下表：
男生人数 女生人数 总人数
高三(1)班 30 20 50
高三(2)班 30 30 60
高三(3)班 35 20 55
(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
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类型2 分步乘法计数原理
【例2】 某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤．现要配成一荤一素一汤的套餐，问：可以配制成多少种不同的品种？
[尝试解答] ________________________________________________________
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解决分步乘法计数问题的思考过程
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，怎样才算是完成这件事；
(2)完成这件事如何进行分步，每一步中有多少种方法；
(3)完成这件事共有多少种方法．
[跟进训练]
2．将3封信投到4个邮筒，共有多少种投法？
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类型3 两个计数原理的综合应用
【例3】 已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中任取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限内不同点的个数为( )
A．18 B．16
C．14 D．10
[思路点拨]
[尝试解答] ________________________________________________________
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应用两个计数原理解决应用问题的方法
(1)分清是“分类”还是“分步”；
(2)清楚“分类”或“分步”的具体标准是什么；
(3)“分类”时，要遵循“不重、不漏”的原则；在“分步”时，要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性．
[跟进训练]
3．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．
(1)从中选派1名去外出参加学习，有多少种不同的选法？
(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？
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1．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有( )
A．24种 B．16种
C．12种 D．10种
2．教学大楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法种数为( )
A．10 B．32
C．25 D．16
3．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )
A．81 B．64
C．48 D．24
4．从甲地到乙地，可以乘飞机，也可以乘火车，还可以乘长途汽车．每天飞机有2班，火车有4班，长途汽车有10班，一天中，乘坐这些交通工具，从甲地到乙地共有________种方法．
5．(教材P160例1改编)从1到200这200个自然数中，各个数位上都不含数字8的共有多少个？
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1．分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类中的各种方法相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．
2．分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成这件事，注意各步骤间的连续性，即不漏步骤也不重步骤．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十九)
1．A [选一位学习委员分两类办法：第一类：选男生，有26种不同的选法：第二类：选女生，有24种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有N＝26＋24＝50种不同的选法．]
2．D [当集合A中含一个元素时，A＝{1}或{3}：当集合A中含两个元素时，A＝{1，2}或{1，3}或{2，3}，所以共有5个集合．]
3．A [完成这件事可分为10步，即10名乘客全部下车，每名乘客选择下车的不同方法均为5种，由分步乘法计数原理知，所有可能的情况为510种．]
4．C [若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲，3种不同的传法：同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．]
5．C [两个数字的和为奇数，这两个数必须一个是奇数，另一个是偶数，在所给的6个数中，有3个奇数与3个偶数．因此，由分步乘法计数原理得，共有3×3＝9种不同的取法．]
6．12 [因为乘积(a＋b＋c)(m＋n)(x＋y)的展开式中的每一项是由a＋b＋c中的一个字母与m＋n中的一个字母与x＋y中的一个字母的乘积组成，可分步完成此事．所以共有3×2×2＝12项．]
7．5 [分两类：另一类是女同学主持主题班会有3种方法：另一类是男同学主持主题班会有2种方法，由分类加法计数原理知，共有3＋2＝5(种)方法．]
8．27 [先考虑等边的情况，a＝b＝c＝1，2，…，6，有六个，
再考虑等腰的情况，若a＝b＝1，c若a＝b＝2，c若a＝b＝3，c若a＝b＝4，c若a＝b＝5，c若a＝b＝6，c9．解：按照选择的女同学人数分为两种情况，即2位都是女同学和只有1位女同学．
2位都是女同学的选法显然只有1种．
只有1位女同学的选法，可以分为两步完成：先从2位女同学中选出1人，有2种选法：再从3位男同学中选出1人，有3种选法．依据分步乘法计数原理，共有不同的选法2×3＝6种．
依据分类加法计数原理，不同的选法共有1＋6＝7种．
10．解：(1)由椭圆的标准方程知m≠n，要确定一个椭圆，只要把m，n一一确定下来这个椭圆就确定了．
故要确定一个椭圆共分两步，第一步确定m，有5种方法，第二步确定n，有4种方法，共有5×4＝20个椭圆．
(2)要使焦点在x轴上，必须m>n，故可以分类，当m＝2，3，4，5时，n的取值列表为：
m 2 3 4 5
n 1 1，2 1，2，3 1，2，3，4
故共有1＋2＋3＋4＝10个椭圆．
11．B [分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径：第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B．]
12．D [在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”：而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”．]
13．BD [由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类：
若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选，故有2×2＝4种(此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节)：若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．根据分类加法计数原理可得选课方式有4＋1＝5种．综上，自习可安排在4节课中的任一节．故选BD．]
14．16 12 [得到圆的方程分两步：第一步：确定a有4种选法：第二步：确定b有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有4×4＝16(个)．
由与y轴相交知，a＝0或1或2，b有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12(个)．]
15．解：(1)每个元素a，b，c都可以有3个数和它对应，故从A到B能构造3×3×3＝27个不同的函数．
(2)列表如下：
f(a) 0 0 0 1 1 －1 －1
f(b) 0 1 －1 0 －1 1 0
f(c) 0 －1 1 －1 0 0 1
从表中可知满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0的函数有7个．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)§1 基本计数原理
1.1 分类加法计数原理
1.2 分步乘法计数原理
学习任务 核心素养
1．掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．(重点) 2．能正确选择分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．(难点、易错点) 1．通过对计数原理的学习，培养数学抽象素养． 2．借助计数原理的实际应用，培养数学建模素养．
一个三层书架的上层放15本不同的数学书，中层放16本不同的语文书，下层放14本不同的物理书．
1．现某人从中取出一本书，应该如何“完成这件事”？
2．现从三层书架上各取一本书，应该如何“完成这件事”？
1．分类加法计数原理
(1)定义
完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法，……在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法．(也称“加法原理”)
(2)对分类加法计数原理的理解
分类加法计数原理中的“完成一件事有n类办法”，是指完成这件事的所有方法可以分为n类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，n类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中．
2．分步乘法计数原理
(1)定义
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种方法．(也称“乘法原理”)
(2)对分步乘法计数原理的理解
分步乘法计数原理中的“完成一件事需要n个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都需要分成n个步骤．在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这n个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事．
如何区分“分类”还是 “分步”？
[提示] 如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在分类加法计数原理中，不同类方案中的方法可以相同． ( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事． ( )
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中，完成这个步骤的方法是各不相同的． ( )
(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分n步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有n步骤都完成后，这件事情才算完成． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，不同的选法种数是( )
A．5 B．4
C．9 D．20
C [由分类加法计数原理求解，5＋4＝9(种)．故选C．]
3．已知集合A＝{1，2}，B＝{3，4，5}，从集合A，B中各取一个元素分别作为一个两位数的个位、十位数字，则可确定的不同两位数的个数为________．
6 [完成这件事可分两步：第一步，从集合A中任选一个元素作为个位数字，有2种不同的方法；第二步，从集合B中任选一个元素作为十位数字， 有3种不同的方法．由分步乘法计数原理得，一共有2×3＝6种不同的方法．]
类型1 分类加法计数原理
【例1】 设有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画．从这些油画、国画、水彩画中只选一幅布置房间，有几种不同的选法？
[思路点拨]
[解] 选一幅画布置房间分三类计数：
第一类，选油画，有5种不同的选法；
第二类，选国画，有2种不同的选法；
第三类，选水彩画，有7种不同的选法．
根据分类加法计数原理，共有N＝5＋2＋7＝14种不同的选法．
分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原理：
(1)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；
(2)分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．
前者保证完成这件事的方法不遗漏，后者保证不重复，即分类要做到不重不漏．
[跟进训练]
1．某校高三共有三个班，各班人数如下表：
男生人数 女生人数 总人数
高三(1)班 30 20 50
高三(2)班 30 30 60
高三(3)班 35 20 55
(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
[解] (1)从三个班中选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：
第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；
第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；
第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．
(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：
第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．
类型2 分步乘法计数原理
【例2】 某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤．现要配成一荤一素一汤的套餐，问：可以配制成多少种不同的品种？
[解] 完成这件事是配制套餐，选一个荤菜，选一个素菜，选一个汤，因此需分三步完成此事，由分步乘法计数原理可得，配制成不同的套餐品种共有6×5×3＝90种．
解决分步乘法计数问题的思考过程
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，怎样才算是完成这件事；
(2)完成这件事如何进行分步，每一步中有多少种方法；
(3)完成这件事共有多少种方法．
[跟进训练]
2．将3封信投到4个邮筒，共有多少种投法？
[解] 完成这件事是“把3封信投完”，需分三步完成，而每一封有4种投法，由分步乘法计数原理知共有4×4×4＝64种投法．
类型3 两个计数原理的综合应用
【例3】 已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中任取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限内不同点的个数为( )
A．18 B．16
C．14 D．10
[思路点拨]
C [完成这件事是确定第一、二象限内的点的坐标，确定点的坐标可分两步完成，一是先确定横坐标，二是确定纵坐标；而哪个集合中的元素作横坐标，哪个集合中的元素作纵坐标，需要分两类完成．因此，完成此事可分两类办法．
第一类，以集合M中的元素作为点的横坐标，集合N中的元素作为点的纵坐标．在集合M中任取一个元素，有3种不同的方法，而适合题意的点在第一、二象限，必须且只需从集合N中的5，6中取1个，有2种不同的取法．由分步乘法计数原理，有3×2＝6个不同的点．
第二类，以集合N中的元素作为点的横坐标，集合M中的元素作为点的纵坐标．在集合N中任取一个元素，有4种不同的方法，而适合题意的点在第一、二象限，必须且只需从集合M中的1，3中取1个，有2种不同的取法．由分步乘法计数原理有4×2＝8个不同的点．
由分类加法计数原理，得第一、二象限内不同的点共有6＋8＝14个．]
应用两个计数原理解决应用问题的方法
(1)分清是“分类”还是“分步”；
(2)清楚“分类”或“分步”的具体标准是什么；
(3)“分类”时，要遵循“不重、不漏”的原则；在“分步”时，要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性．
[跟进训练]
3．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．
(1)从中选派1名去外出参加学习，有多少种不同的选法？
(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？
[解] (1)分三类：
第一类，选出的是医生，有3种选法；
第二类，选出的是护士，有5种选法；
第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．
根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10(种)选法．
(2)分三步：
第一步，选1名医生，有3种选法；
第二步，选1名护士，有5种选法；
第三步，选1名麻醉师，有2种选法．
根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30(种)选法．
1．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有( )
A．24种 B．16种
C．12种 D．10种
C [完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C．]
2．教学大楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法种数为( )
A．10 B．32
C．25 D．16
D [根据分步乘法计数原理，不同的走法为N＝24＝16(种)．]
3．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )
A．81 B．64
C．48 D．24
A [每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A．]
4．从甲地到乙地，可以乘飞机，也可以乘火车，还可以乘长途汽车．每天飞机有2班，火车有4班，长途汽车有10班，一天中，乘坐这些交通工具，从甲地到乙地共有________种方法．
16 [利用分类加法计数原理，共有2＋4＋10＝16种方法．]
5．(教材P160例1改编)从1到200这200个自然数中，各个数位上都不含数字8的共有多少个？
[解] 应分三类来解决该问题．
第一类，一位数中符合要求的数有8个．
第二类，两位数中，十位上的数字有8种选法，个位上的数字有9种选法，故两位数中符合要求的数有8×9＝72个．
第三类，三位数中百位上的数字为1，十位和个位上的数字都有9种选法，故三位数中，百位上的数字为1的符合要求的数有9×9＝81个；三位数中百位上的数字为2的只有200符合要求．所以三位数中符合要求的数有81＋1＝82个．
由分类加法计数原理，符合要求的数共有8＋72＋82＝162个．
1．分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类中的各种方法相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．
2．分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成这件事，注意各步骤间的连续性，即不漏步骤也不重步骤．
课时分层作业(二十九) 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
一、选择题
1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位担任学习委员，不同的选法有( )
A．50种 B．26种
C．24种 D．616种
A [选一位学习委员分两类办法：第一类：选男生，有26种不同的选法；第二类：选女生，有24种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有N＝26＋24＝50种不同的选法．]
2．已知集合A?{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
D [当集合A中含一个元素时，A＝{1}或{3}；当集合A中含两个元素时，A＝{1，2}或{1，3}或{2，3}，所以共有5个集合．]
3．火车上有10名乘客，要在沿途的5个车站下车，则乘客下车的所有可能情况共有( )
A．510种 B．105种
C．50种 D．以上都不对
A [完成这件事可分为10步，即10名乘客全部下车，每名乘客选择下车的不同方法均为5种，由分步乘法计数原理知，所有可能的情况为510种．]
4．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 B．5种
C．6种 D．12种
C [若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲，3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．]
5．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为奇数的不同取法的种数为( )
A．25 B．12
C．9 D．6
C [两个数字的和为奇数，这两个数必须一个是奇数，另一个是偶数，在所给的6个数中，有3个奇数与3个偶数．因此，由分步乘法计数原理得，共有3×3＝9种不同的取法．]
二、填空题
6．乘积(a＋b＋c)(m＋n)(x＋y)展开后，共有______项．
12 [因为乘积(a＋b＋c)(m＋n)(x＋y)的展开式中的每一项是由a＋b＋c中的一个字母与m＋n中的一个字母与x＋y中的一个字母的乘积组成，可分步完成此事．所以共有3×2×2＝12项．]
7．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为________．
5 [分两类：另一类是女同学主持主题班会有3种方法；另一类是男同学主持主题班会有2种方法，由分类加法计数原理知，共有3＋2＝5(种)方法．]
8．设a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有________个．
27 [先考虑等边的情况，a＝b＝c＝1，2，…，6，有六个，
再考虑等腰的情况，若a＝b＝1，c若a＝b＝2，c若a＝b＝3，c若a＝b＝4，c若a＝b＝5，c若a＝b＝6，c三、解答题
9．(源自人教B版教材)某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从该班班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少要有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种？
[解] 按照选择的女同学人数分为两种情况，即2位都是女同学和只有1位女同学．
2位都是女同学的选法显然只有1种．
只有1位女同学的选法，可以分为两步完成：先从2位女同学中选出1人，有2种选法；再从3位男同学中选出1人，有3种选法．依据分步乘法计数原理，共有不同的选法2×3＝6种．
依据分类加法计数原理，不同的选法共有1＋6＝7种．
10．已知椭圆＝1，其中m，n∈{1，2，3，4，5}．
(1)求满足条件的椭圆的个数；
(2)如果椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的个数．
[解] (1)由椭圆的标准方程知m≠n，要确定一个椭圆，只要把m，n一一确定下来这个椭圆就确定了．
故要确定一个椭圆共分两步，第一步确定m，有5种方法，第二步确定n，有4种方法，共有5×4＝20个椭圆．
(2)要使焦点在x轴上，必须m>n，故可以分类，当m＝2，3，4，5时，n的取值列表为：
m 2 3 4 5
n 1 1，2 1，2，3 1，2，3，4
故共有1＋2＋3＋4＝10个椭圆．
11．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12 D．9
B [分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B．]
12．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A．48 B．18
C．24 D．36
D [在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”．]
13．(多选题)某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是( )
第1节 第2节 第3节 第4节
地理1班 化学A 层3班 地理2班 化学A 层4班
生物A 层1班 化学B 层2班 生物B 层2班 历史B 层1班
物理A 层1班 生物A 层3班 物理A 层2班 生物A 层4班
物理B 层2班 生物B 层1班 物理B 层1班 物理A 层4班
政治1班 物理A 层3班 政治2班 政治3班
A．此人有4种选课方式
B．此人有5种选课方式
C．自习不可能安排在第2节
D．自习可安排在4节课中的任一节
BD [由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类：
若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选，故有2×2＝4种(此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节)；若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．根据分类加法计数原理可得选课方式有4＋1＝5种．综上，自习可安排在4节课中的任一节．故选BD．]
14．已知a，b∈{0，1，2，3}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝4可表示不同的圆的个数为________，其中与y轴相交的圆的个数为________．
16 12 [得到圆的方程分两步：第一步：确定a有4种选法；第二步：确定b有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有4×4＝16(个)．
由与y轴相交知，a＝0或1或2，b有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12(个)．]
15．已知集合A＝{a，b，c}，集合B＝{－1，0，1}．
(1)从集合A到B能构造多少个不同的函数？
(2)满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0的函数有多少个？
[解] (1)每个元素a，b，c都可以有3个数和它对应，故从A到B能构造3×3×3＝27个不同的函数．
(2)列表如下：
f(a) 0 0 0 1 1 －1 －1
f(b) 0 1 －1 0 －1 1 0
f(c) 0 －1 1 －1 0 0 1
从表中可知满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0的函数有7个．
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