4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系
学习任务 核心素养
1．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．(重点) 2．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理及其应用．(重点、难点) 通过证明空间中的平行与垂直问题，培养直观想象、数学运算与逻辑推理素养．
1．已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n．
(1)若l⊥α，则m与n有怎样的关系？
(2)若m∥n，则l与α有怎样的关系？
2．问题1中的结论对你研究立体几何中的垂直问题有什么启发？
1．用向量研究平行与垂直
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量．
位置关系 向量语言
l∥m或l与m重合 l∥m
l∥α或l α l⊥n1
α∥β或α与β重合 n1∥n2
l⊥m l⊥m
l⊥α l∥n1
α⊥β n1⊥n2
(1)已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，若m⊥n，则l与α有怎样的关系？反之，成立吗？
(2)已知直线l的方向向量为m，v1，v2是平面α的一组基，若存在x，y∈R，使得m＝xv1＋yv2，则l与α有怎样的关系？反之，成立吗？
[提示] (1)l∥α或l α．成立．
(2)l∥α或l α．成立．
2．立体几何中的几个定理
(1)直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
(2)两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
(3)三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直．
三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若直线a与平面α相交但不垂直，则直线a的方向向量和平面α的法向量不平行． ( )
(2)已知直线a的方向向量为a，b，c是平行于平面α的两个不共线向量，若存在x，y，使得a＝xb＋yc，则a∥α． ( )
(3)若平面α，β的法向量平行，则α∥β． ( )
(4)若平面α，β的法向量不平行，则平面α与β相交． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量．若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
D [由l1∥l2得，＝＝，解得x＝6，y＝．]
3．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，1，2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________．
－4 [∵α⊥β，∴a·b＝0，
∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4．]
类型1 空间中位置关系的判定
【例1】 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：
(1)不重合的直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)；
(2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2，1，4)，b＝(6，3，3)；
(3)平面α与β的法向量分别是u＝(1，－1，2)，v＝(3，2，－)；
(4)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－3，4)，v＝(4，－2，1)；
(5)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8，12)，u＝(0，2，－3)．
[解] (1)∵a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)，
∴a＝－b，∴a∥b，即l1∥l2．
(2)∵a＝(－2，1，4)，b＝(6，3，3)，
∴a·b≠0且a≠kb(k∈R)，∴a，b既不共线也不垂直，∴l1与l2相交或异面．
(3)∵u＝(1，－1，2)，v＝，
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β．
(4)∵u＝(2，－3，4)，v＝(4，－2，1)，
∴u·v≠0且u≠kv(k∈R)，
∴u与v既不共线也不垂直，
∴α和β相交但不垂直．
(5)∵a＝(0，－8，12)，u＝(0，2，－3)，
∴u＝－a，∴u∥a，∴l⊥α．
1．两条不重合的直线的方向向量共线时，这两直线平行；否则这两直线相交或异面．
2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．
3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．
[跟进训练]
1．设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________．
4 [∵α∥β，∴(1，3，－2)＝λ(－2，－6，k)(λ∈R)，
∴∴λ＝－，k＝4．]
类型2 利用空间向量证明平行关系
【例2】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F．
[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，
C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
E(2，2，1)，F(0，0，1)，
B1(2，2，2)，
所以＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，2，1)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的一个法向量，
则n1⊥，n1⊥，
即得
令z1＝2，则y1＝－1，
所以n1＝(0，－1，2)．
因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1．
又因为FC1 平面ADE，
所以FC1∥平面ADE．
(2)因为＝(2，0，0)，
设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．
由n2⊥，n2⊥，得
得
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F．
1．应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．
2．证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β n1∥n2 (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
[跟进训练]
2．如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD．
[解] ∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，如图，建立空间直角坐标系A-xyz，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，F(1，1，0)，D(0，2，0)．
不妨令P(0，0，t)，
∴＝(1，1，－t)，＝(1，－1，0)，
设平面PFD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，解得x＝y＝，∴n＝．
设点G的坐标为(0，0，m)，又E，
则＝．
要使EG∥平面PFD，只需·n＝0，即＋0×＋m×1＝0，即m－＝0，
解得m＝t，从而满足AG＝AP的点G即为所求．
类型3 利用空间向量证明垂直关系
证明线线垂直问题
【例3】 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC．
[证明] 由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
易得B(0，0，0)，A(0，－1，)，D(，－1，0)，C(0，2，0)，因而E，F，所以＝＝(0，2，0)，
因此＝0．从而⊥，所以EF⊥BC．
证明直线与直线垂直的方法
(1)利用已知的垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．
(2)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直．
[跟进训练]
3．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF．
[证明] 法一：以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，
则A(0，0，0)，P(0，0，1)，
B(0，1，0)，C(a，1，0)，
于是F．
∵E在BC上，∴设E(m，1，0)，∴＝(m，1，－1)，＝．
∵＝0，∴PE⊥AF．
∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF．
法二：因为点E在边BC上，可设＝λ，
于是＝()·)＝＋λ)·()＝＋λ＋λ)＝(0－1＋1＋0＋0＋0)＝0，
因此⊥．
故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF．
证明线面垂直问题
【例4】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．
[证明] 法一：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)．
∴＝(1，1，2)－(2，2，1)＝(－1，－1，1)．
＝(2，2，2)－(2，0，0)＝(0，2，2)，
＝(0，2，0)－(2，0，0)＝(－2，2，0)．
而＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0．
＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝2－2＋0＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC．
又AB1∩AC＝A，AB1 平面B1AC，AC 平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC．
法二：建系方法同法一．
这时＝(－1，－1，1)
设平面B1AC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
令y＝1得x＝1，z＝－1，∴n＝(1，1，－1)．
∵＝－n，∴∥n，∴EF⊥平面AB1C．
证明直线与平面垂直的方法
(1)证明直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行．
[跟进训练]
4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD．
[证明] 法一：如图以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设正方体棱长为2，
则O(1，1，0)，A1(2，0，2)，G(0，2，1)，B(2，2，0)，D(0，0，0)，
∴＝(1，－1，2)，＝(1，1，0)，＝(－2，0，1)，
而＝1－1＋0＝0，＝－2＋0＋2＝0．∴⊥⊥，即OA1⊥OB，OA1⊥BG，而OB∩BG＝B，OB 平面GBD，BG 平面GBD，∴OA1⊥平面GBD．
法二：同法一建系后，设平面GBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
∴令x＝1得z＝2，y＝－1，
∴平面GBD的一个法向量为(1，－1，2)，
显然＝(－1，1，－2)＝－n，
∴∥n，∴A1O⊥平面GBD．
证明面面垂直问题
【例5】 如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD．
[证明] 设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，E，连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为．
因为＝(0，0，1)，＝，
所以＝，所以∥．
又因为AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，
又OE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD．
证明平面与平面垂直的方法
(1)证明一个平面内的一条直线的方向向量是另一个平面的法向量．
(2)证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．
[跟进训练]
5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
[证明] 由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，
E，故＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，＝．
设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x，y，z)，
则即即
令x＝1，得y＝1，故n＝(1，1，0)．
设平面AEC1的一个法向量为n2＝(a，b，c)，
则即
令c＝4，得a＝1，b＝－1．故n2＝(1，－1，4)．
因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，
所以n1⊥n2，所以平面AEC1⊥平面AA1C1C．
1．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为( )
A．1∶2 B．1∶1 C．3∶1 D．2∶1
B [建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA＝a，则B(1，0，0)，E，P(0，0，a)．设点F的坐标为(0，y，0)，则＝(－1，y，0)，＝．因为BF⊥PE，所以＝0，解得y＝，即点F的坐标为，所以F为AD的中点，所以AF∶FD＝1∶1．]
2．若直线l的一个方向向量为a＝(2，0，1)，平面α的一个法向量为n＝(－4，0，－2)，则直线l与平面α的位置关系为( )
A．l与α斜交 B．l α
C．l∥α D．l⊥α
D [∵a＝(2，0，1)，n＝(－4，0，－2)，∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α．]
3．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z等于( )
A．3 B．6
C．－9 D．9
C [∵l⊥α，v与平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，
∴1×3＋(－3)×(－2)＋z×1＝0，
∴z＝－9．]
4．已知直线l的一个方向向量为(2，m，－1)，平面α的一个法向量为(1，1，2)，且l与α相交但不垂直，则m的取值范围是________．
m≠0 [∵l与α相交但不垂直，∴l的方向向量与α的法向量不垂直．∴(2，m，－1)·(1，1，2)＝2＋m－2≠0．解得m≠0．]
5．(源自人教A版教材)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2．线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1
[解] 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)，所以＝(－3，4，0)，＝(－3，0，2)．
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，
则n·＝0，n·＝0，
即
所以
取z＝6，则x＝4，y＝3．所以，n＝(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量．
由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得＝(0，4，0)，＝(－3，0，－2)．设点P满足＝λ(0≤λ≤1)，则＝(－3λ，0，－2λ)，所以＝＝(－3λ，4，－2λ)．
令n·＝0，得－12λ＋12－12λ＝0，解得λ＝，此时A1P 平面ACD1，这样的点P存在．所以，当＝，即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1．
1．利用空间向量解决立体几何问题的“三个基本步骤”：
(1)用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
(2)进行向量运算；
(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．
2．证明线面平行与垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明．
课时分层作业(二十六) 用向量方法研究立体几何中的位置关系
一、选择题
1．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则( )
A．l∥α B．l α
C．l⊥α D．l α或l∥α
D [∵a·b＝0，∴l α或l∥α．]
2．已知非零向量a，b，c分别为直线a，b，c的方向向量，且a＝λb(λ≠0)，b·c＝0，则a与c的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．相交 D．异面
A [由a＝λb(λ≠0)，知a∥b，由b·c＝0，知b⊥c，故选A．]
3．已知直线l1的方向向量为a＝(2，4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y，4)，且l1⊥l2，则x＋y＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．无法确定
A [∵l1⊥l2，∴a⊥b，即a·b＝0，∴4＋4y＋4x＝0，即x＋y＝－1．]
4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
B [如图，以C1为坐标原点，以C1B1，C1D1，C1C所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1(a，a，0)，B(a，0，a)，A(a，a，a)，C(0，0，a)，∴M，N．
∴＝，易知＝(0，a，0)是平面BB1C1C的一个法向量，
而＝－×0＋0×a＋×0＝0，
∴⊥，又∵MN 平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C．]
5．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则( )
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF与A1D，AC都垂直
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
B [以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz(图略)，设正方体的棱长为3，则A(3，0，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，E(1，0，1)，F(2，1，0)，∴＝(－3，0，－3)，＝(－3，3，0)，＝(1，1，－1)，
∴＝0，＝0，
∴⊥⊥，
∴A1D⊥EF，AC⊥EF．]
二、填空题
6．已知平面α的法向量为(2，m，－1)，平面β的法向量为，且α与β相交，则m，n满足的条件是________．
m≠4，或n≠－ [∵α与β相交，
∴α的法向量与β的法向量不共线．
∴≠，或≠．即m≠4，或n≠－．]
7．已知向量n1＝(－2，1，3)，n2＝(10，－5，－15)分别是平面α，β的法向量，那么平面α，β的位置关系为________．
平行或重合 [∵n1＝(－2，1，3)，n2＝(10，－5，－15)．
∴n2＝－5n1，∴n1∥n2，即α∥β或α与β重合．]
8．若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．
AB∥平面CDE或AB 平面CDE [∵＝λ＋μ (λ，μ∈R)，∴与共面．
∴AB∥平面CDE或AB 平面CDE．]
三、解答题
9．如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA．
[证明] 如图，连接OP，OQ，取O为坐标原点，
以OA，OC所在直线分别为x轴、z轴，建立空间直角坐标系．
则A(1，0，0)，C(0，0，1)，B．
∵P为AC的中点，∴P．
∴＝，
又由已知，可得＝＝．
又＝＝，
∴＝＝．
∵＝0，∴⊥，即PQ⊥OA．
10．如图所示，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．
求证：(1)MN∥平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PDC．
[证明] (1)如图所示，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
设PA＝AD＝a，AB＝b，
则有P(0，0，a)，A(0，0，0)，
D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)．
∵M，N分别为AB，PC的中点，∴M，N，∴＝．
法一：＝(0，0，a)，＝(0，a，0)，
∴＝．
又∵MN 平面PAD，∴MN∥平面PAD．
法二：由题意知为平面PAD的一个法向量．
∵＝(b，0，0)，∴＝0，∴⊥．
又MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
(2)由(1)知，P(0，0，a)，C(b，a，0)，M，
D(0，a，0)，
∴＝(b，a，－a)，＝，
＝(0，a，－a)．
设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
∴
令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b)．
设平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即
∴
令z2＝1，则n2＝(0，1，1)．
∵n1·n2＝0－b＋b＝0，
∴n1⊥n2，
∴平面PMC⊥平面PDC．
11．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面垂直 D．异面不垂直
C [以A为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，M，O，N＝＝0，∴ON与AM垂直，易得ON与AM异面，故ON与AM异面垂直．]
12．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE．则M点的坐标为( )
A．(1，1，1) B．
C． D．
C [设AC与BD相交于O点，连接OE，设M点的坐标为(x，y，1)，则O，E(0，0，1)，A(，0)，∴＝＝(x－，y－，1)，由AM∥平面BDE，且AM 平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥OE，即∥，
∴解得
∴M点的坐标为．]
13．(多选题)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则( )
A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值
B．当μ＝1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值
C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
BD [＝λ＋μ(0≤λ≤1，0≤μ≤1)．
对于选项A，当λ＝1时，点P在棱CC1上运动，如图1所示，此时△AB1P的周长为AB1＋AP＋PB1＝＝，不是定值，A错误；
图1
对于选项B，当μ＝1时，点P在棱B1C1上运动，如图2所示，
图2
则＝S△PBC×＝S△PBC＝×1×1＝，为定值，故B正确；
对于选项C，取BC的中点D，B1C1的中点D1，连接DD1，A1B(图略)，则当λ＝时，点P在线段DD1上运动，假设A1P⊥BP，则A1P2＋BP2＝A1B2，即＋(1－μ)2＋＋μ2＝2，解得μ＝0或μ＝1，所以点P与点D或D1重合时，A1P⊥BP，故C错误；
法一：由多选题特征，排除A，C，故选BD．
法二：对于选项D，易知四边形ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1，设AB1与A1B交于点K，连接PK(图略)，要使A1B⊥平面AB1P，需A1B⊥KP，所以点P只能是棱CC1的中点，故选项D正确．综上，选BD．
法三：对于选项D，分别取BB1，CC1的中点E，F，连接EF，则当μ＝时，点P在线段EF上运动，以点C1为原点建立如图3所示的空间直角坐标系C1-xyz，则B(0，1，1)，B1(0，1，0)，A1，P，所以＝＝，若A1B⊥平面AB1P，则A1B⊥B1P，所以－＝0，解得λ＝1，所以只存在一个点P，使得A1B⊥平面AB1P，此时点P与F重合，故D正确．综上，选BD．
]
图3
14．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在对角线A1D上取点M，在CD1上取点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，则线段MN的最小值为________．
[以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
则D(0，0，0)，B(1，1，0)，设M(a，0，a)，
N(0，b，1－b)(a∈[0，1]，b∈[0，1])，
∴＝(－a，b，1－b－a)，＝(1，1，0)，
易知为平面A1ACC1的一个法向量，
而＝－a＋b＋0＝0，∴a＝b，
||＝＝，
当a＝时，||有最小值，
∴MN的最小值为．]
15．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点．
(1)在B1B上是否存在一点P，使D1P⊥平面B1AE
(2)在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N⊥平面B1AE
[解] (1)如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点A，E，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，＝(0，－1，－1)，＝．假设存在点P(1，1，z)满足题意，于是＝(1，1，z－1)，
所以所以
解得矛盾．故在B1B上不存在点P使D1P⊥平面B1AE．
(2)假设在平面AA1B1B上存在点N，使D1N⊥平面B1AE．设N(1，y，z)，则
因为＝(1，y，z－1)，
所以
解得
故在平面AA1B1B上存在点N，使D1N⊥平面B1AE．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系
学习任务 核心素养
1．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．(重点) 2．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理及其应用．(重点、难点) 通过证明空间中的平行与垂直问题，培养直观想象、数学运算与逻辑推理素养．
1．已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n．
(1)若l⊥α，则m与n有怎样的关系？
(2)若m∥n，则l与α有怎样的关系？
2．问题1中的结论对你研究立体几何中的垂直问题有什么启发？
1．用向量研究平行与垂直
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量．
位置关系 向量语言
l∥m或l与m重合 ____
__________ l⊥n1
α∥β或α与β重合 ______
____ l⊥m
l⊥α _____
____ n1⊥n2
(1)已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，若m⊥n，则l与α有怎样的关系？反之，成立吗？
(2)已知直线l的方向向量为m，v1，v2是平面α的一组基，若存在x，y∈R，使得m＝xv1＋yv2，则l与α有怎样的关系？反之，成立吗？
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2．立体几何中的几个定理
(1)直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条________垂直，那么该直线与此平面____．
(2)两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条________与另一个平面平行，那么这两个平面____．
(3)三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影____，则它也和这条斜线垂直．
三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条____垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影____．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若直线a与平面α相交但不垂直，则直线a的方向向量和平面α的法向量不平行． ( )
(2)已知直线a的方向向量为a，b，c是平行于平面α的两个不共线向量，若存在x，y，使得a＝xb＋yc，则a∥α． ( )
(3)若平面α，β的法向量平行，则α∥β． ( )
(4)若平面α，β的法向量不平行，则平面α与β相交． ( )
2．已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量．若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
3．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，1，2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________．
类型1 空间中位置关系的判定
【例1】 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：
(1)不重合的直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)；
(2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2，1，4)，b＝(6，3，3)；
(3)平面α与β的法向量分别是u＝(1，－1，2)，v＝(3，2，－)；
(4)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－3，4)，v＝(4，－2，1)；
(5)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8，12)，u＝(0，2，－3)．
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．两条不重合的直线的方向向量共线时，这两直线平行；否则这两直线相交或异面．
2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．
3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．
[跟进训练]
1．设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________．
类型2 利用空间向量证明平行关系
【例2】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F．
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．
2．证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β n1∥n2 (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
[跟进训练]
2．如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型3 利用空间向量证明垂直关系
证明线线垂直问题
【例3】 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC．
[尝试解答] ________________________________________________________
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___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
证明直线与直线垂直的方法
(1)利用已知的垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．
(2)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直．
[跟进训练]
3．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF．
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证明线面垂直问题
【例4】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．
[尝试解答] ________________________________________________________
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证明直线与平面垂直的方法
(1)证明直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行．
[跟进训练]
4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
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证明面面垂直问题
【例5】 如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD．
[尝试解答] ________________________________________________________
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证明平面与平面垂直的方法
(1)证明一个平面内的一条直线的方向向量是另一个平面的法向量．
(2)证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．
[跟进训练]
5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
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1．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为( )
A．1∶2 B．1∶1 C．3∶1 D．2∶1
2．若直线l的一个方向向量为a＝(2，0，1)，平面α的一个法向量为n＝(－4，0，－2)，则直线l与平面α的位置关系为( )
A．l与α斜交 B．l α
C．l∥α D．l⊥α
3．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z等于( )
A．3 B．6
C．－9 D．9
4．已知直线l的一个方向向量为(2，m，－1)，平面α的一个法向量为(1，1，2)，且l与α相交但不垂直，则m的取值范围是________．
5．(源自人教A版教材)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2．线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1
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___________________________________________________________________
1．利用空间向量解决立体几何问题的“三个基本步骤”：
(1)用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
(2)进行向量运算；
(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．
2．证明线面平行与垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共84张PPT)
第三章 空间向量与立体几何
§4 向量在立体几何中的应用
4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系
学习任务 核心素养
1．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．(重点)
2．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理及其应用．(重点、难点) 通过证明空间中的平行与垂直问题，培养直观想象、数学运算与逻辑推理素养．
1．已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n．
(1)若l⊥α，则m与n有怎样的关系？
(2)若m∥n，则l与α有怎样的关系？
2．问题1中的结论对你研究立体几何中的垂直问题有什么启发？
必备知识·情境导学探新知
1．用向量研究平行与垂直
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量．
位置关系 向量语言
l∥m或l与m重合 _____
___________ l⊥n1
α∥β或α与β重合 _______
l∥m
l∥α或l α
n1∥n2
位置关系 向量语言
_____ l⊥m
l⊥α ______
_____ n1⊥n2
l⊥m
l∥n1
α⊥β
思考 (1)已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，若m⊥n，则l与α有怎样的关系？反之，成立吗？
(2)已知直线l的方向向量为m，v1，v2是平面α的一组基，若存在x，y∈R，使得m＝xv1＋yv2，则l与α有怎样的关系？反之，成立吗？
[提示] (1)l∥α或l α．成立．
(2)l∥α或l α．成立．
2．立体几何中的几个定理
(1)直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条________垂直，那么该直线与此平面____．
(2)两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条________与另一个平面平行，那么这两个平面____．
(3)三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影____，则它也和这条斜线垂直．
三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条____垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影____．
相交直线
垂直
相交直线
平行
垂直
斜线
垂直
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若直线a与平面α相交但不垂直，则直线a的方向向量和平面α的法向量不平行． ( )
(2)已知直线a的方向向量为a，b，c是平行于平面α的两个不共线向量，若存在x，y，使得a＝xb＋yc，则a∥α． ( )
(3)若平面α，β的法向量平行，则α∥β． ( )
(4)若平面α，β的法向量不平行，则平面α与β相交． ( )
√
×
×
√
√
3．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，1，2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________．
－4
关键能力·合作探究释疑难
反思领悟 1．两条不重合的直线的方向向量共线时，这两直线平行；否则这两直线相交或异面．
2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．
3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．
[跟进训练]
1．设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________．
4
类型2 利用空间向量证明平行关系
【例2】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F．
反思领悟 1．应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．
2．证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β n1∥n2 (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
[跟进训练]
2．如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD．
类型3 利用空间向量证明垂直关系
角度1 证明线线垂直问题
【例3】 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC．
反思领悟 证明直线与直线垂直的方法
(1)利用已知的垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．
(2)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直．
[跟进训练]
3．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF．
角度2 证明线面垂直问题
【例4】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．
反思领悟 证明直线与平面垂直的方法
(1)证明直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行．
[跟进训练]
4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD．
角度3 证明面面垂直问题
【例5】 如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD．
反思领悟 证明平面与平面垂直的方法
(1)证明一个平面内的一条直线的方向向量是另一个平面的法向量．
(2)证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．
[跟进训练]
5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为( )
A．1∶2 B．1∶1 C．3∶1 D．2∶1
2．若直线l的一个方向向量为a＝(2，0，1)，平面α的一个法向量为n＝(－4，0，－2)，则直线l与平面α的位置关系为( )
A．l与α斜交 B．l α
C．l∥α D．l⊥α
√
D [∵a＝(2，0，1)，n＝(－4，0，－2)，∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α．]
3．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z等于( )
A．3 B．6
C．－9 D．9
√
4．已知直线l的一个方向向量为(2，m，－1)，平面α的一个法向量为(1，1，2)，且l与α相交但不垂直，则m的取值范围是________．
m≠0
5．(源自人教A版教材)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2．线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1
1．利用空间向量解决立体几何问题的“三个基本步骤”：
(1)用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
(2)进行向量运算；
(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．
2．证明线面平行与垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
课时分层作业(二十六) 用向量方法研究立体几何中的位置关系
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
3．已知直线l1的方向向量为a＝(2，4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y，4)，且l1⊥l2，则x＋y＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．无法确定
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
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题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
12
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14
15
7．已知向量n1＝(－2，1，3)，n2＝(10，－5，－15)分别是平面α，β的法向量，那么平面α，β的位置关系为______________．
平行或重合 [∵n1＝(－2，1，3)，n2＝(10，－5，－15)．
∴n2＝－5n1，∴n1∥n2，即α∥β或α与β重合．]
平行或重合
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
AB∥平面CDE或AB 平面CDE
题号
2
1
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5
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12
13
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15
三、解答题
9．如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA．
题号
2
1
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15
10．如图所示，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．
求证：(1)MN∥平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PDC．
题号
2
1
3
4
5
6
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7
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2
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4
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6
8
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15
题号
2
1
3
4
5
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11
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15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
11．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面垂直 D．异面不垂直
题号
2
1
3
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题号
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15
√
题号
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题号
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√
√
题号
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图1
题号
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15
对于选项B，当μ＝1时，点P在棱B1C1上运动，如图2所示，
图2
题号
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15
法一：由多选题特征，排除A，C，故选BD．
法二：对于选项D，易知四边形ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1，设AB1与A1B交于点K，连接PK(图略)，要使A1B⊥平面AB1P，需A1B⊥KP，所以点P只能是棱CC1的中点，故选项D正确．综上，选BD．
题号
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图3
题号
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15
14．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在对角线A1D上取点M，在CD1上取点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，则线段MN的最小值为________．
题号
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题号
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15．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点．
(1)在B1B上是否存在一点P，使D1P⊥平面B1AE
(2)在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N⊥平面B1AE
题号
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题号
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题号
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15课时分层作业(二十六)
1．D [∵a·b＝0，∴l α或l∥α．]
2．A [由a＝λb(λ≠0)，知a∥b，由b·c=0，知b⊥c，故选A．]
3．A [∵l1⊥l2，∴a⊥b，即a·b＝0，∴4＋4y＋4x＝0，即x＋y＝－1．]
4．B [如图，以C1为坐标原点，以C1B1，C1D1，C1C所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1(a，a，0)，B(a，0，a)，A(a，a，a)，C(0，0，a)，
∴M，N．
∴，易知＝(0，a，0)是平面BB1C1C的一个法向量，
而· ×0＝0，∴，又∵MN 平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C．]
5．B [以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D xyz(图略)，设正方体的棱长为3，则A(3，0，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，E(1，0，1)，F(2，1，0)，∴＝(－3，0，－3)，＝(－3，3，0)，＝(1，1，－1)，
∴·＝0，·＝0，
∴，
∴A1D⊥EF，AC⊥EF．]
6．m≠4，或n≠－ [∵α与β相交，
∴α的法向量与β的法向量不共线．
∴，或．即m≠4，或n≠－．]
7．平行或重合 [∵n1=(－2，1，3)，n2=(10，－5，－15)．
∴n2=－5n1，∴n1∥n2，即α∥β或α与β重合．]
8．AB∥平面CDE或AB 平面CDE [∵ (λ，μ∈R)，∴共面．
∴AB∥平面CDE或AB 平面CDE．]
9．证明：如图，连接OP，OQ，取O为坐标原点，
以OA，OC所在直线分别为x轴、z轴，建立空间直角坐标系．
则A(1，0，0)，C(0，0，1)，B．
∵P为AC的中点，∴P．
∴，
又由已知，可得．
又，
∴．
∵·＝0，∴，即PQ⊥OA．
10．证明：(1)如图所示，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
设PA＝AD＝a，AB＝b，
则有P(0，0，a)，A(0，0，0)，
D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)．
∵M，N分别为AB，PC的中点，∴M，N，∴＝．
法一：＝(0，0，a)，＝(0，a，0)，
∴．
又∵MN 平面PAD，∴MN∥平面PAD．
法二：由题意知为平面PAD的一个法向量．
∵＝(b，0，0)，∴·＝0，∴．
又MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
(2)由(1)知，P(0，0，a)，C(b，a，0)，M，
D(0，a，0)，
∴＝(b，a，－a)，＝，
＝(0，a，－a)．
设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
∴
令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b)．
设平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则
∴
令z2＝1，则n2＝(0，1，1)．
∵n1·n2＝0－b＋b＝0，
∴n1⊥n2，
∴平面PMC⊥平面PDC．
11．C [以A为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，M，O，N··＝0，∴ON与AM垂直，易得ON与AM异面，故ON与AM异面垂直．]
12．C [设AC与BD相交于O点，连接OE，设M点的坐标为(x，y，1)，
则O，E(0，0，1)，A(，0)，∴＝(x－，y－，1)，由AM∥平面BDE，且AM 平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥OE，即，
∴
∴M点的坐标为．]
13．BD [(0≤λ≤1，0≤μ≤1)．
图1
对于选项A，当λ＝1时，点P在棱CC1上运动，如图1所示，此时△AB1P的周长为AB1＋AP＋PB1＝，不是定值，A错误：
对于选项B，当μ＝1时，点P在棱B1C1上运动，如图2所示，
图2
则S△PBC×S△PBC＝，为定值，故B正确：
对于选项C，取BC的中点D，B1C1的中点D1，连接DD1，A1B(图略)，则当λ＝时，点P在线段DD1上运动，假设A1P⊥BP，则A1P2＋BP2＝A1B2，即＋(1－μ)2＋＋μ2＝2，解得μ＝0或μ＝1，所以点P与点D或D1重合时，A1P⊥BP，故C错误：
法一：由多选题特征，排除A，C，故选BD．
图3
法二：对于选项D，易知四边形ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1，设AB1与A1B交于点K，连接PK(图略)，要使A1B⊥平面AB1P，需A1B⊥KP，所以点P只能是棱CC1的中点，故选项D正确．综上，选BD．
法三：对于选项D，分别取BB1，CC1的中点E，F，连接EF，则当μ＝时，点P在线段EF上运动，以点C1为原点建立如图3所示的空间直角坐标系C1 xyz，则B(0，1，1)，B1(0，1，0)，A1，P，所以，若A1B⊥平面AB1P，则A1B⊥B1P，所以－＝0，解得λ＝1，所以只存在一个点P，使得A1B⊥平面AB1P，此时点P与F重合，故D正确．综上，选BD．]
14． [以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
则D(0，0，0)，B(1，1，0)，
设M(a，0，a)，N(0，b，1－b)(a∈[0，1]，b∈[0，1])，
∴＝(－a，b，1－b－a)，＝(1，1，0)，
易知为平面A1ACC1的一个法向量，
而·＝－a＋b＋0＝0，∴a＝b，
|，
当a＝时，|，∴MN的最小值为．]
15．解：(1)如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点A，E，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，＝(0，－1，－1)，．假设存在点P(1，1，z)满足题意，于是＝(1，1，z－1)，
所以
解得矛盾．故在B1B上不存在点P使D1P⊥平面B1AE．
(2)假设在平面AA1B1B上存在点N，使D1N⊥平面B1AE．设N(1，y，z)，则
因为＝(1，y，z－1)，
所以
故在平面AA1B1B上存在点N，使D1N⊥平面B1AE．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十六) 用向量方法研究立体几何中的位置关系
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则( )
A．l∥α B．l α
C．l⊥α D．l α或l∥α
2．已知非零向量a，b，c分别为直线a，b，c的方向向量，且a＝λb(λ≠0)，b·c＝0，则a与c的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．相交 D．异面
3．已知直线l1的方向向量为a＝(2，4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y，4)，且l1⊥l2，则x＋y＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．无法确定
4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
5．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则( )
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF与A1D，AC都垂直
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
二、填空题
6．已知平面α的法向量为(2，m，－1)，平面β的法向量为，且α与β相交，则m，n满足的条件是________．
7．已知向量n1＝(－2，1，3)，n2＝(10，－5，－15)分别是平面α，β的法向量，那么平面α，β的位置关系为________．
8．若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．
三、解答题
9．如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA．
10．如图所示，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．
求证：(1)MN∥平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PDC．
11．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面垂直 D．异面不垂直
12．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE．则M点的坐标为( )
A．(1，1，1) B．
C． D．
13．(多选题)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则( )
A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值
B．当μ＝1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值
C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
14．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在对角线A1D上取点M，在CD1上取点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，则线段MN的最小值为________．
15．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点．
(1)在B1B上是否存在一点P，使D1P⊥平面B1AE
(2)在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N⊥平面B1AE
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