课时分层作业(二十八) 空间中的距离问题
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在直线间的距离是( )
A．a B．a
C．a D．
2．如图，已知ABC-A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为( )
A．a B．a
C．a D．a
3．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G．则三棱锥B1-EFD1的体积V等于( )
A． B．
C． D．16
4．△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于( )
A．5 B．
C．4 D．2
5．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A．a B．a
C．a D．a
二、填空题
6．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为________．
7．设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________．
8．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．
三、解答题
9．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是AD1的中点，求点E到直线BD的距离．
10．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，试求点F到平面A1D1E的距离．
11．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是( )
A．a B．a
C．a D．a
12．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为( )
A． B．
C． D．
13．(多选题)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AC，AA1，AB的中点．则下列结论正确的是( )
A．AC1与EF相交
B．B1C1∥平面DEF
C．EF与AC1所成的角为90°
D．点B1到平面DEF的距离为
14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则
(1)点B1到平面ABC1的距离为________；
(2)点C到平面ABC1的距离为________．
15．如图，已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．
(1)设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A-B1D1-A1的大小为β．求证：tan β＝tan α；
(2)若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时 空间中的距离问题
学习任务 核心素养
1．理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(重点) 2．掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．(重点) 通过利用空间向量解决距离问题，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养．
1．如图，已知向量s是直线l的方向向量，点P在直线l上，点A是空间中一点，则向量在s上的投影数量是什么？其几何意义是什么？
2．如何利用在s上的投影数量求点A到直线l的距离？
1．点到平面的距离
(1)定义：如图所示，设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点，n0是平面α的单位法向量．过点P作PP′⊥平面α，垂足为点P′，则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离．
(2)求法：点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝|·n0|，n0＝．
2．点到直线的距离
(1)定义：如图所示，设点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，过点P作直线l的垂线，垂足为点P′，则垂线段PP′的长度就是点P到直线l的距离．
(2)求法：若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d＝，l0＝．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)点A到平面α的距离是点A与平面α上所有点连线的最小值． ( )
(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离． ( )
(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )
A． B．
C． D．
D [以P为坐标原点，分别以PA，PB，PC所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)．
可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，
则d＝＝．]
3．已知直线l与平面α相交于点O，A∈l，B为线段OA的中点，若点A到平面α的距离为10，则点B到平面α的距离为________．
[答案] 5
4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E是CC1的中点，则E到A1B的距离为________．
3 [建立如图所示的空间直角坐标系，连接A1E，BE，作EH⊥A1B于H，则A1(4，0，4)，B(4，4，0)，E(0，4，2)，
∴＝(－4，4，－2)，
＝(0，4，－4)，
∴||＝＝6，
||＝＝4，
∴||＝＝3，
∴||＝＝＝3．]
类型1 求点到平面的距离
【例1】 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1＝，在底面△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，求点B1到平面A1BC的距离．
[思路点拨] 建立坐标系，确定向量的坐标并找出平面A1BC的一个法向量n，代入d＝求解．
[解] 如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1(1，0，)，B1(0，1，)，C1(0，0，)，
∴＝(－1，1，－)，＝(－1，0，－)，＝(1，－1，0)．
设平面A1BC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取z＝1，得n＝(－，0，1)，
所以点B1到平面A1BC的距离d＝＝．
求点到平面的距离的四个步骤
[跟进训练]
1．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点A1到平面AD1C的距离．
[解] 如图建立空间直角坐标系，则＝(0，0，1)，
＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，
设平面AD1C的一个法向量为n＝(x，y，1)，
则
得则
∴n＝(1，1，1)，
∴d＝＝＝．
类型2 求点到直线的距离
【例2】 【链接教材P139例15】
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，求点D1到直线GF的距离．
[思路点拨] 先求的坐标，再代入公式d＝计算．
[解] 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，
G(0，2，1)，于是有＝(1，－1，－1)，＝(0，－2，1)，
所以＝＝，||＝，
所以点D1到直线GF的距离
d＝＝＝．
【教材原题·P139例15】
例15 如图3－57，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3．用向量的方法求点B到直线A′C的距离．
图3－57
[解] 依题意有A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)．
所以＝(1，2，－3)，＝(0，2，0)，
在方向上的投影数量为＝ ．
所以点B到直线A′C的距离为d＝＝＝．
用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点：
(1)点P可以在直线l上任意选取，因此可选取易求得坐标的特殊点；
(2)直线l的方向向量可任意选取；
(3)点到直线的距离公式中l0是单位向量，在求得直线l的方向向量l后，要将其单位化．
[跟进训练]
2．已知ABCD-EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝，则P到AB的距离为( )
A． B．
C． D．
A [建立如图所示空间直角坐标系，则＝×(1，0，0)＋×(0，1，0)＋×(0，0，1)＝．
又∵＝(1，0，0)，
∴在上的投影数量为＝，∴点P到AB的距离为＝．]
类型3 求直线与平面的距离
【例3】 如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点．求直线A1B1与平面ABE的距离．
[思路点拨] 因为直线A1B1平行于平面ABE，可将其转化为点A1到平面ABE的距离求解．
[解] 如图所示，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)，
过C作AB的垂线交AB于F，易得BF＝，
∴B(1，2，0)，
∴＝(0，2，0)，＝(－1，－，1)．
设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由得
∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1)．
∵直线A1B1∥平面ABE，
∴直线A1B1到平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离．
∵＝(0，0，2)，∴直线A1B1到平面ABE的距离为＝＝．
求直线与平面的距离，在直线与平面平行的条件下，往往转化为点到平面的距离求解，但这个点要适当选取，以求解简单为准则，另外，在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡．
[跟进训练]
3．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，
PC的中点．
(1)证明：DE∥平面PFB；
(2)求点E到平面PFB的距离．
[解] (1)以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则P(0，0，2)，F(1，0，0)，B(2，2，0)，E(0，1，1)，＝(－1，0，2)，＝(1，2，0)，＝(0，1，1)，∴＝．
∴∥平面PFB．又∵DE 平面PFB，
∴DE∥平面PFB．
(2)∵DE∥平面PFB，∴E到平面PFB的距离等于D到平面PFB的距离．设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，
则即
取x＝2，得n＝(2，－1，1)，
又＝(－1，0，0)，∴D到平面PFB的距离为d＝＝＝．
1．已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为n＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为( )
A． B．
C． D．
A [＝(－2，0，－1)，||＝＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝．]
2．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( )
A． B．
C． D．
B [建立如图所示空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，O，所以＝(1，0，1)，＝，
由题意知为平面ABC1D1的法向量，
∴O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝．]
3．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，则点B1到平面A1BC1的距离为________．
[如图所示建立空间直角坐标系， 则A1(4，0，3)，B1(4，6，3)，B(4，6，0)，C1(0，6，3)，
所以＝(－4，6，0)，＝(0，6，－3)，＝(0，6，0)，
设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由得取x＝1得，n＝．所以d＝＝．]
4．(源自人教A版教材)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离．
[解] 以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E，F，所以
＝(0，1，0)，＝(－1，1，－1)，＝，
＝＝＝．
(1)取a＝＝(0，1，0)，u＝＝(－1，1，－1)，则a2＝1，a·u＝．
所以，点B到直线AC1的距离为＝＝．
(2)因为＝＝，所以FC∥EC1，所以FC∥平面AEC1．所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离．
设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，则
所以
所以
取z＝1，则x＝1，y＝2．
所以，n＝(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量．
又因为＝，所以点F到平面AEC1的距离为＝＝．
即直线FC到平面AEC1的距离为．
空间距离包括点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离．
异面直线间的距离
设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？
图(1)
如图(1)，过直线a上任意一点A作b′∥b，过直线b上任意一点B作a′∥a，则a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a与b′，a′与b均可确定一个平面，依次记作α，β．由立体几何的知识可以证明：平面α，β均由直线a，b唯一确定，与点A，B的位置无关，且α∥β．于是，异面直线a，b的距离就转化为平行平面α，β的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量，再求在此法向量上的投影向量的长度即可．
如何求这两个平行平面的法向量呢？
设n是平行平面α，β的一个法向量，显然有n⊥a，n⊥b．因为向量a，b不共线，所以满足这个条件的所有向量都平行．也就是说，只需找到与向量a，b均垂直的向量即可．
图(2)
如图(2)，设点A，B分别是异面直线a，b上任意一点，向量a，b分别是直线a，b的方向向量，向量n是与向量a，b均垂直的向量，则异面直线a，b的距离为d＝．
课时分层作业(二十八) 空间中的距离问题
一、选择题
1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在直线间的距离是( )
A．a B．a
C．a D．
A [如图建立空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)．∴＝(0，a，－a)，||＝a，＝(－a，0，a)，||＝a．
∴点A1到BC1的距离d＝＝＝a．]
2．如图，已知ABC-A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为( )
A．a B．a
C．a D．a
A [∵ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，又平面AB1D⊥平面ABB1A1，∴A1B⊥平面AB1D，∴是平面AB1D的一个法向量，由于C1D＝CD，所以C1到平面AB1D的距离等于C到平面AB1D的距离，设点C到平面AB1D的距离为d，则
d＝＝
＝＝
＝a．]
3．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G．则三棱锥B1-EFD1的体积V等于( )
A． B．
C． D．16
C [以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，E(2，0)，F(，2，0)，
∴＝(2，－4)，＝(，2，－4)，＝(2，2，0)，
∴cos〈〉＝＝＝，∴sin 〈〉＝，
∴＝||·||·sin 〈〉＝ ×＝5，又∵平面D1EF的法向量为n＝，∴点B1到平面D1EF的距离d＝＝，
∴＝·d＝×5×＝．]
4．△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于( )
A．5 B．
C．4 D．2
A [由已知得，＝(0，4，－3)，＝(4，－5，0)，
||＝＝5，
||＝＝，
∴＝＝－4，
∴点B到AC的距离，即AC边上的高BD＝＝＝5．]
5．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A．a B．a
C．a D．a
D [以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，
由A(a，0，0)，B(a，a，0)，得＝(0，－a，0)，
则两平面间的距离d＝||＝＝a．]
二、填空题
6．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为________．
[建立空间直角坐标系，如图，则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，E，所以＝，
＝(0，0，1)，所以在上的投影数量为＝＝－，
所以点C1到直线EC的距离d＝＝＝．]
7．设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________．
[设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，∵n·＝0，n·＝0，
∴
取z＝－2，则n＝(3，2，－2)．
又＝(－7，－7，7)，
∴点D到平面ABC的距离为d＝＝＝＝．]
8．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．
[如图建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，
A1(2，0，2)，D(0，0，0)，
B(2，2，0)，∴＝(2，0，0)，＝(2，0，2)，＝(2，2，0)，
设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝1，得n＝(1，－1，－1)，∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝．]
三、解答题
9．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是AD1的中点，求点E到直线BD的距离．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，
B(1，1，0)，E，
∴＝(1，1，0)，
＝，
∴＝＝，
∴点E到直线BD的距离为d＝＝＝．
10．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，试求点F到平面A1D1E的距离．
[解] 以A为坐标原点，取AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．如图，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，F，D1(0，1，1)．
∴＝＝(0，1，0)．
设平面A1D1E的一个法向量为n＝(x，y，z)．
则即
取z＝2，得n＝(1，0，2)．又＝，
∴点F到平面A1D1E的距离d＝＝＝．
11．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是( )
A．a B．a
C．a D．a
A [设M(0，m，m)(0≤m≤a)，＝(－a，0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s0＝，由＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD1的距离d＝＝＝，故当m＝－＝时，d取最小值a．]
12．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为( )
A． B．
C． D．
B [如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则B(3，0，0)，D(0，4，0)，
P(0，0，2)，Q(0，0，1)，
＝(3，0，－1)，＝(－3，4，0)，＝(0，0，1)．
设平面BQD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝4，则y＝3，z＝12，
∴n＝(4，3，12)．
∴点P到平面BQD的距离d＝＝．]
13．(多选题)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AC，AA1，AB的中点．则下列结论正确的是( )
A．AC1与EF相交
B．B1C1∥平面DEF
C．EF与AC1所成的角为90°
D．点B1到平面DEF的距离为
BCD [对于选项A，由题图知AC1 平面ACC1A1，EF∩平面ACC1A1＝E，且E AC1．
由异面直线的定义可知AC1与EF异面，故A错误；
对于选项B，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC．
∵D，F分别是AC，AB的中点，
∴FD∥BC，∴B1C1∥FD．
又∵B1C1 平面DEF，DF 平面DEF，
∴B1C1∥平面DEF．故B正确；
对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(2，0，2)，
B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，
D(1，0，0)，E(2，0，1)，
F(1，1，0)．
∴＝(－1，1，－1)，
＝(－2，0，2)．
∵＝2＋0－2＝0，∴⊥，
∴EF与AC1所成的角为90°．故C正确；
对于选项D，设向量n＝(x，y，z)是平面DEF的一个法向量．
∵＝(1，0，1)，＝(0，1，0)，
∴由即得
取x＝1，则z＝－1，∴n＝(1，0，－1)，
设点B1到平面DEF的距离为d．
又∵＝(－1，2，2)，
∴d＝＝＝，
∴点B1到平面DEF的距离为，故D正确．]
14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则
(1)点B1到平面ABC1的距离为________；
(2)点C到平面ABC1的距离为________．
(1) (2) [(1)法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则＝＝(0，1，0)，＝(0，1，－1)．
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，1)，
则有
解得n＝，则所求距离为＝＝．
法二：连接AB1(图略)，＝＝AB＝．
设点B1到平面ABC1的距离为h，则＝＝AB×＝，所以h＝．
(2)连接B1C与BC1相交于点D(图略)，则D为B1C的中点，
所以点B1到平面ABC1的距离与点C到平面ABC1的距离相等．
所以点C到平面ABC1的距离为．]
15．如图，已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．
(1)设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A-B1D1-A1的大小为β．求证：tan β＝tan α；
(2)若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高．
[解] 设正四棱柱的高为h．
(1)证明：连AO1，∵AA1⊥底面A1B1C1D1，
∴∠AB1A1是AB1与底面A1B1C1D1所成的角，
∴∠AB1A1＝α．
∵在等腰△AB1D1中，AO1⊥B1D1．又A1C1⊥B1D1，∴∠AO1A1是二面角A-B1D1-A1的一个平面角，∴∠AO1A1＝β．
在Rt△AB1A1中，tan α＝＝h；
在Rt△AO1A1中，tan β＝＝h．
∴tan β＝tan α．
(2)如图建立空间直角坐标系，有A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1，h)，
则＝(1，0，－h)，＝(0，1，－h)，＝(1，1，0)．
设平面AB1D1的法向量为n＝(u，v，w)．
∵n⊥，n⊥，
∴n·＝0，n·＝0．
由
得u＝hw，v＝hw，
∴n＝(hw，hw，w)．取w＝1，得n＝(h，h，1)．
由点C到平面AB1D1的距离为d＝＝＝，解得高h＝2．
§5 数学探究活动(一)：正方体截面探究(略)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十八)
1．A [如图建立空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)．
∴＝(0，a，－a)，|a，＝(－a，0，a)，|a．
∴点A1到BC1的距离d＝
a．]
2．A [∵ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，又平面AB1D⊥平面ABB1A1，∴A1B⊥平面AB1D，∴是平面AB1D的一个法向量，由于C1D＝CD，所以C1到平面AB1D的距离等于C到平面AB1D的距离，
设点C到平面AB1D的距离为d，则
d＝
＝a．]
3．C [以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，E(2，0)，F(，2，0)，
∴＝(2，－4)，＝(，2，－4)，＝(2，2，0)，
∴cos<，
∴sin<，∴|·||·sin<＝5，
又∵平面D1EF的法向量为n＝，
∴点B1到平面D1EF的距离d＝，
∴··d＝．]
4．A [由已知得，＝(0，4，－3)，＝(4，－5，0)，
|＝5，
|，
∴·＝－4，∴点B到AC的距离，即AC边上的高BD＝＝5．]
5．D [以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，由A(a，0，0)，B(a，a，0)，得＝(0，－a，0)，
则两平面间的距离d＝|·a．]
6． [建立空间直角坐标系，如图，则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，E，所以＝(0，0，1)，所以上的投影数量为
，
所以点C1到直线EC的距离
d＝．]
7． [设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∵n·＝0，n·＝0，
∴
取z＝－2，则n＝(3，2，－2)．
又＝(－7，－7，7)，
∴点D到平面ABC的距离为d＝．]
8． [如图建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，∴＝(2，0，0)，＝(2，0，2)，＝(2，2，0)，
设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得n＝(1，－1，－1)，
∴点D1到平面A1BD的距离d＝．]
9．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，E，
∴＝(1，1，0)，
，
∴·，
∴点E到直线BD的距离为
d＝．
10．解：以A为坐标原点，取AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．如图，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，F，D1(0，1，1)．
∴＝(0，1，0)．
设平面A1D1E的一个法向量为n＝(x，y，z)．
则
取z＝2，得n＝(1，0，2)．
又，
∴点F到平面A1D1E的距离d＝．
11．A [设M(0，m，m)(0≤m≤a)，＝(－a，0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s0＝，由＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD1的距离d＝，故当m＝－时，d取最小值a．]
12．B [如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则B(3，0，0)，D(0，4，0)，
P(0，0，2)，Q(0，0，1)，
＝(3，0，－1)，＝(－3，4，0)，＝(0，0，1)．
设平面BQD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝4，则y＝3，z＝12，
∴n＝(4，3，12)．
∴点P到平面BQD的距离d＝．]
13．BCD [对于选项A，由题图知AC1 平面ACC1A1，EF∩平面ACC1A1＝E，且E AC1．
由异面直线的定义可知AC1与EF异面，故A错误：
对于选项B，在直三棱柱ABC A1B1C1中，B1C1∥BC．
∵D，F分别是AC，AB的中点，
∴FD∥BC，∴B1C1∥FD．
又∵B1C1 平面DEF，DF 平面DEF，
∴B1C1∥平面DEF．故B正确：
对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(2，0，2)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，D(1，0，0)，E(2，0，1)，F(1，1，0)．
∴＝(－1，1，－1)，＝(－2，0，2)．
∵·＝2＋0－2＝0，
∴，
∴EF与AC1所成的角为90°．故C正确：
对于选项D，设向量n＝(x，y，z)是平面DEF的一个法向量．
∵＝(1，0，1)，＝(0，1，0)，
∴由
取x＝1，则z＝－1，∴n＝(1，0，－1)，
设点B1到平面DEF的距离为d．
又∵＝(－1，2，2)，
∴d＝，
∴点B1到平面DEF的距离为，故D正确．]
14．(1) (2) [(1)法一：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则＝(0，1，0)，＝(0，1，－1)．
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，1)，
则有
解得n＝，则所求距离为
．
法二：连接AB1(图略)，．
设点B1到平面ABC1的距离为h，则·h，，所以h＝．
(2)连接B1C与BC1相交于点D(图略)，则D为B1C的中点，所以点B1到平面ABC1的距离与点C到平面ABC1的距离相等．
所以点C到平面ABC1的距离为．]
15．解：设正四棱柱的高为h．
(1)证明：连AO1，
∵AA1⊥底面A1B1C1D1，
∴∠AB1A1是AB1与底面A1B1C1D1所成的角，
∴∠AB1A1＝α．
∵在等腰△AB1D1中，AO1⊥B1D1．又A1C1⊥B1D1，
∴∠AO1A1是二面角A B1D1 A1的一个平面角，
∴∠AO1A1＝β．
在Rt△AB1A1中，tan α＝＝h：
在Rt△AO1A1中，tan β＝h．
∴tan β＝tan α．
(2)如图建立空间直角坐标系，有A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1，h)，
则＝(1，0，－h)，＝(0，1，－h)，＝(1，1，0)．
设平面AB1D1的法向量为n＝(u，v，w)．
∵n⊥，n⊥，
∴n·＝0，n·＝0．
由得u＝hw，v＝hw，
∴n＝(hw，hw，w)．取w＝1，得n＝(h，h，1)．
由点C到平面AB1D1的距离为d＝，解得高h＝2．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共83张PPT)
第三章 空间向量与立体几何
§4 向量在立体几何中的应用
4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系
第2课时 空间中的距离问题
学习任务 核心素养
1．理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(重点)
2．掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．(重点) 通过利用空间向量解决距离问题，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养．
必备知识·情境导学探新知
1．点到平面的距离
(1)定义：如图所示，设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点，n0是平面α的单位法向量．过点P作PP′⊥平面α，垂足为点P′，则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离．
距离
√
√
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)点A到平面α的距离是点A与平面α上所有点连线的最小值． ( )
(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离． ( )
(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离． ( )
√
√
3．已知直线l与平面α相交于点O，A∈l，B为线段OA的中点，若点A到平面α的距离为10，则点B到平面α的距离为________．
5
4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E是CC1的中点，则E到A1B的距离为________．
关键能力·合作探究释疑难
反思领悟 求点到平面的距离的四个步骤
[跟进训练]
1．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点A1到平面AD1C的距离．
类型2 求点到直线的距离
【例2】 【链接教材P139例15】
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，求点D1到直线GF的距离．
图3－57
反思领悟 用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点：
(1)点P可以在直线l上任意选取，因此可选取易求得坐标的特殊点；
(2)直线l的方向向量可任意选取；
(3)点到直线的距离公式中l0是单位向量，在求得直线l的方向向量l后，要将其单位化．
√
[思路点拨] 因为直线A1B1平行于平面ABE，可将其转化为点A1到平面ABE的距离求解．
反思领悟 求直线与平面的距离，在直线与平面平行的条件下，往往转化为点到平面的距离求解，但这个点要适当选取，以求解简单为准则，另外，在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡．
[跟进训练]
3．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，
PC的中点．
(1)证明：DE∥平面PFB；
(2)求点E到平面PFB的距离．
学习效果·课堂评估夯基础
√
√
3．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，则点B1到平面A1BC1的距离为________．
4．(源自人教A版教材)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离．
空间距离包括点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离．
阅读材料·拓展数学大视野
异面直线间的距离
设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？
图(1)
图(2)
章末综合测评(一) 动量守恒定律
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课时分层作业(二十八) 空间中的距离问题
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二、填空题
6．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为________．
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7．设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________．
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8．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．
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三、解答题
9．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是AD1的中点，求点E到直线BD的距离．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，
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10．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，试求点F到平面A1D1E的距离．
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BCD [对于选项A，由题图知AC1 平面ACC1A1，EF∩平面ACC1A1＝E，且E AC1．
由异面直线的定义可知AC1与EF异面，故A错误；
对于选项B，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC．
∵D，F分别是AC，AB的中点，
∴FD∥BC，∴B1C1∥FD．
又∵B1C1 平面DEF，DF 平面DEF，
∴B1C1∥平面DEF．故B正确；
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14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则
(1)点B1到平面ABC1的距离为________；
(2)点C到平面ABC1的距离为________．
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15第2课时 空间中的距离问题
学习任务 核心素养
1．理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(重点) 2．掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．(重点) 通过利用空间向量解决距离问题，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养．
1．如图，已知向量s是直线l的方向向量，点P在直线l上，点A是空间中一点，则向量在s上的投影数量是什么？其几何意义是什么？
2．如何利用在s上的投影数量求点A到直线l的距离？
1．点到平面的距离
(1)定义：如图所示，设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点，n0是平面α的单位法向量．过点P作PP′⊥平面α，垂足为点P′，则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离．
(2)求法：点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝|·n0|，n0＝．
2．点到直线的距离
(1)定义：如图所示，设点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，过点P作直线l的垂线，垂足为点P′，则垂线段PP′的长度就是点P到直线l的____．
(2)求法：若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d＝，l0＝．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)点A到平面α的距离是点A与平面α上所有点连线的最小值． ( )
(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离． ( )
(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离． ( )
2．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )
A． B．
C． D．
3．已知直线l与平面α相交于点O，A∈l，B为线段OA的中点，若点A到平面α的距离为10，则点B到平面α的距离为________．
4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E是CC1的中点，则E到A1B的距离为________．
类型1 求点到平面的距离
【例1】 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1＝，在底面△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，求点B1到平面A1BC的距离．
[思路点拨] 建立坐标系，确定向量的坐标并找出平面A1BC的一个法向量n，代入d＝求解．
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
求点到平面的距离的四个步骤
[跟进训练]
1．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点A1到平面AD1C的距离．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型2 求点到直线的距离
【例2】 【链接教材P139例15】
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，求点D1到直线GF的距离．
[思路点拨] 先求的坐标，再代入公式d＝计算．
[尝试解答] ________________________________________________________
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用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点：
(1)点P可以在直线l上任意选取，因此可选取易求得坐标的特殊点；
(2)直线l的方向向量可任意选取；
(3)点到直线的距离公式中l0是单位向量，在求得直线l的方向向量l后，要将其单位化．
[跟进训练]
2．已知ABCD-EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝，则P到AB的距离为( )
A． B．
C． D．
类型3 求直线与平面的距离
【例3】 如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点．求直线A1B1与平面ABE的距离．
[思路点拨] 因为直线A1B1平行于平面ABE，可将其转化为点A1到平面ABE的距离求解．
[尝试解答] ________________________________________________________
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求直线与平面的距离，在直线与平面平行的条件下，往往转化为点到平面的距离求解，但这个点要适当选取，以求解简单为准则，另外，在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡．
[跟进训练]
3．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，
PC的中点．
(1)证明：DE∥平面PFB；
(2)求点E到平面PFB的距离．
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1．已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为n＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为( )
A． B．
C． D．
2．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( )
A． B．
C． D．
3．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，则点B1到平面A1BC1的距离为________．
4．(源自人教A版教材)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离．
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空间距离包括点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离．
异面直线间的距离
设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？
图(1)
如图(1)，过直线a上任意一点A作b′∥b，过直线b上任意一点B作a′∥a，则a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a与b′，a′与b均可确定一个平面，依次记作α，β．由立体几何的知识可以证明：平面α，β均由直线a，b唯一确定，与点A，B的位置无关，且α∥β．于是，异面直线a，b的距离就转化为平行平面α，β的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量，再求在此法向量上的投影向量的长度即可．
如何求这两个平行平面的法向量呢？
设n是平行平面α，β的一个法向量，显然有n⊥a，n⊥b．因为向量a，b不共线，所以满足这个条件的所有向量都平行．也就是说，只需找到与向量a，b均垂直的向量即可．
图(2)
如图(2)，设点A，B分别是异面直线a，b上任意一点，向量a，b分别是直线a，b的方向向量，向量n是与向量a，b均垂直的向量，则异面直线a，b的距离为d＝．
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