§4 二项式定理
4.1 二项式定理的推导
学习任务 核心素养
1．能用计数原理证明二项式定理．(难点) 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(重点、难点) 1． 借助二项式定理的证明，培养逻辑推理素养． 2．通过二项式定理的应用，提升数学运算素养．
1．我们知道(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2．如何用组合知识来解释a2，ab，b2的系数
2．仿照上述过程，你认为(a＋b)3，(a＋b)4的展开式是什么
1．二项式定理
公式(a＋b)n＝an-1b＋…＋an-kbk＋…＋bn(n∈N+)叫作二项式定理．
2．相关概念
(1)公式右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式；
(2)各项的系数(k∈{0，1，2，…，n})叫作二项式系数；
(3)展开式中的an-kbk叫作二项式通项，记作Tk+1，它表示展开式的第k＋1项；
(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝x2＋…＋xk＋…＋xn．
(1＋2x)n的二项展开式是什么 其第5项的二项式系数和第5项的系数各是什么
[提示] (1＋2x)n＝(2x)2＋(2x)3＋…＋(2x)n．
其第5项的二项式系数为，第5项的系数为·24＝16．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1an-kbk是二项展开式的第k项． ( )
(2)(a＋b)n的展开式中任一项的二项式系数与a，b均无关． ( )
(3)(a＋b)n的展开式中共n项． ( )
(4)(2a－3b)n某项的系数是该项的数字因数，与该项的二项式系数不同． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是( )
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2(n＋1)
B [展开式的项数比二项式的指数大1，故选B．]
3．代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为________．
x4 [(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝(x＋1)4＋(x＋1)3·(－1)1＋(x＋1)2·(－1)2＋(x＋1)·(－1)3＋(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4．]
4．在的展开式中，常数项是________．
15 [展开式的通项为Tk+1＝5-k，令k＝0，得k＝1，∴常数项为×3＝15．]
类型1 二项式定理的正用与逆用
【例1】 (1)求的展开式；
(2)求值＋…＋3n-1．
[思路点拨] (1)直接利用二项式定理展开，也可以先化简再展开；(2)先化成二项展开式的形式，然后逆用二项式定理求解．
[解] (1)法一：＝(34＋·(33(32(3．
法二：(1＋3x)4
＝[1＋(3x)2＋(3x)3＋(3x)4]
＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)
＝＋54＋108x＋81x2．
(2)原式＝(3＋…＋3n
＝×1n-2×32＋…＋3n－1)
＝[(1＋3)n－1]＝．
1．(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：
(1)各项的次数都等于n；
(2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n．
2．逆用二项式定理，可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的特点靠拢．
[跟进训练]
1．求的展开式．
[解] 法一：(2x)5＋(2x)4·(2x)3(2x)2(2x．
法二：
＝(4x3)5＋(4x3)4(－3)＋(4x3)3·(－3)2＋(4x3)2(－3)3＋(4x3)(－3)4＋(－3)5]
＝32x5－120x2＋．
2．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[解] 原式＝(x－1)5＋(x－1)4＋(x－1)3＋(x－1)2＋(x－1)＋－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．
类型2 利用通项公式求二项展开式中的特定项
求二项展开式中的特定项
【例2】 已知在的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
[思路点拨] 利用展开式中的通项公式求出当x的次数为0时n的值，再求解(2)(3)问．
[解] (1)由通项公式知，展开式中第k＋1项为Tk+1＝·(n-k····．
∵第6项为常数项，
∴k＝5，且n－5×2＝0，∴n＝10．
(2)由(1)知Tk+1＝··．
令＝2，则k＝2．
∴x2的系数为·．
(3)当Tk+1为有理项时，为整数，0≤k≤10，且k∈N．
令＝z，则k＝5－z，∵z为偶数，从而求得当z＝2，0，－2时，k＝2，5，8符合条件．
∴有理项为T3＝·x2，T6＝，T9＝x-2．
求二项展开式中的特定项问题，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0，1，2，…，n)．
(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；
(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；
(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．
[跟进训练]
3．求二项式的展开式中的常数项．
[解] 设第k＋1项为常数项，则Tk+1＝(x2)10-k···(k＝0，1，2，…，10)．
令20－k＝0，得k＝8．
所以T9＝·．
故第9项为常数项，其值为．
求二项展开式中特定项的系数
【例3】 (1)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )
A．12 B．16 C．20 D．24
(2)已知(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中含x3的系数为－2，则a等于( )
A．2 B．2 C．－2 D．－1
(3(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为______(用数字作答)．
(1)A (2)B (3)－28 [(1)展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为1×＝12．
(2)(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中x3的系数为(－1)3＝a3－10＝－2，则a3＝8，解得a＝2．
(3)因为(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，
所以(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为x3y5＝－28x2y6，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28．]
1．求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．
2．求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解．
3．三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后分类考虑特定项产生的所有可能情形．
[跟进训练]
4． (1)已知(1＋x(n∈N+，n<10)的展开式中没有常数项，则n的最大值是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
(2)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为________．
(3)在(1－7＋的展开式中，若x2的系数为19，则a＝________．
(1)B (2)40 (3)2 [(1)∵(1＋x(n∈N+，n<10)的展开式中没有常数项，∴·xn-3k，故n－3k≠0，且n－3k≠－1，即n≠3k，且n≠3k－1，∴n≠3，6，9，且n≠2，5，8，故n的最大值为7，故选B．
(2)由二项式定理可得，展开式中含x3y3的项为x·(2x)2(－y)3＋y·(2x)3(－y)2＝40x3y3，则x3y3的系数为40．
(3)(1－7＋(－6＋5x2a，则a＝19，解得a＝2．]
类型3 利用二项式定理解决整除问题
【例4】 求证：32n+2－8n－9(n∈N+)能被64整除．
[思路点拨] 可将32n+2写成(8＋1)n+1，然后利用二项式定理展开．
[证明] 32n+2－8n－9＝(8＋1)n+1－8n－9
＝8n＋…＋·82＋·8＋－8n－9
＝8n＋…＋·82＋8(n＋1)＋1－8n－9
＝8n＋…＋82，
该式每一项都含因式82，故能被64整除．
整除性问题或求余数的处理方法
(1)构造一个与题目条件有关的二项式；
(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只需考虑后面(或者是前面)一、两项就可以了；
(3)要注意余数的范围，若a＝cr＋b，其中b为余数，b∈[0，r)，r是除数．利用二项式定理展开、变形后，若剩余部分是负数，则要注意转化．
[跟进训练]
5．求9192被100除所得的余数．
[解] 法一：9192＝(100－9)92＝·10092－·10091·9＋·10090·92－…＋992，
展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．
∵992＝(10－1)92＝·1092－·1091＋…＋·102－·10＋1，
前91项均能被100整除，后两项和为－919，
因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81．
法二：9192＝(90＋1)92＝·9092＋·9091＋…＋·902＋·90＋．
前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，又8 281除以100所得余数为81．
故9192被100除可得余数为81．
1．展开式中的常数项为( )
A．80 B．－80 C．40 D．－40
C [Tk+1＝·(x2)5-k··x10-2k·(－2)k·x-3k＝·(－2)k·x10-5k．
若第k＋1项为常数项，则10－5k＝0，得k＝2，即常数项T3＝(－2)2＝40．]
2．若n是正整数，则7n＋7n-1＋…＋7除以9的余数是________．
7或0 [7n＋7n-1＋…＋7＝(7＋1)n－＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n(－1)0＋9n-1(－1)1＋…＋90(－1)n－1，∴当n为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7．]
3．在2x3－6的展开式中，x2的系数是________．
60 [法一：二项式(2x3)6-kk＝(－1)k26-kx18-4k，令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系数为(－1)4×22×＝60．
法二：将二项式相乘，要想出现x2项，则先在2个多项式中分别取2x3，然后在余下的多项式中都取－，相乘，即(2x3)2×＝60x2，所以x2的系数为60．]
4．化简1－2＋…＋(－2)n＝________．
(-1)n [原式＝20＋…＋(－2)n1n(－2)0＋1n-1(－2)1＋1n-2(－2)2＋1n-3(－2)3＋1n-4(－2)4＋…＋10(－2)n＝(1－2)n＝(－1)n．]
5．(教材P176例4改编)求(1＋2x)7的展开式的第4项的系数．
[解] (1＋2x)7的展开式的第4项是T3+1＝·17-3·(2x)3＝·23·x3＝35×8x3＝280x3，
故第4项的系数为280．
1．二项式定理主要解决了三类问题，一类是求二项式的展开式；二是求二项式的某些特定项；三是利用二项式定理解决整除或求余数问题．
2．要注意在二项式的展开式中某项的系数与该项的二项式系数之间的区别与联系．
课时分层作业(三十五) 二项式定理的推导
一、选择题
1．在(x－4的展开式中，x3的系数为( )
A．6 B．－6 C．12 D．－12
A [(x－4的展开式的通项Tk+1＝x4-k·(－k＝(－1)k(k＝0，1，2，3，4)．由4－＝3，得k＝2，所以(x－4的展开式中x3的系数为(－1)2＝6．]
2．若(1＋5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b等于( )
A．45 B．55 C．70 D．80
C [由二项式定理，得
(1＋5＝1＋··(2＋·(3＋·(4＋·(5＝1＋5．所以a＝41，b＝29，a＋b＝70．故选C．]
3．在的二项展开式中，x的系数为( )
A．10 B．－10 C．40 D．－40
D [∵Tk+1＝(2x2)5-k＝(－1)k25-k·x10-3k，令10－3k＝1，即k＝3，此时x的系数为(－1)322＝－40．]
4．设k＝1，2，3，4，5，则(x＋2)5的展开式中xk的系数不可能是( )
A．10 B．40 C．50 D．80
C [x1的系数为·24＝80，x2的系数为·23＝80，x3的系数为·22＝40，x4的系数为·21＝10，x5的系数为·20＝1，所以系数不可能为50．]
5．在(12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有( )
A．4项 B．3项 C．2项 D．1项
B [设第(k＋1)项含x的正整数次幂，则Tk+1＝···，其中0≤k≤12．
要使6－k为正整数，必须使k为6的倍数．
所以k＝0，6，12，即第1项、第7项和第13项为符合条件的项．]
二、填空题
6．在(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．
2 [∵Tk+1＝a4-kxk，且x3的系数等于8，∴k＝3，即a4-3＝8，∴a＝2．]
7．展开式中常数项是________．
-4 [由二项式展开公式可得·(x3)1·＝－4．]
8．在的展开式中，系数是有理数的项共有________项．
4 [Tk+1＝x)20-k·(20-k··x20-k．
∵系数为有理数，∴(k与均为有理数．
∴k能被2整除，且20－k能被3整除．
∴k为偶数，20－k是3的倍数，0≤k≤20，∴k＝2，8，14，20．
∴共有4项系数为有理数．]
三、解答题
9．求(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)20的展开式中x3的系数．
[解] 所求x3的系数为：＋…＋＝(＋…＋＝(＋…＋＝…＝．
所以展开式中x3的系数是＝5 985．
10．在的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
[解] (1)第3项的二项式系数为＝15，
又因为T3＝(24＝24·x，
所以第3项的系数为24＝240．
(2)Tk+1＝(26-k
＝(－1)k26-kx3-k，令3－k＝2，得k＝1．
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2．
11．二项式(1＋6的展开式中有理项系数之和为( )
A．64 B．32 C．24 D．16
B [二项式(1＋6的展开式的通项为Tk+1＝，令为整数，可得k＝0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为＝32，故选B．]
12．(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为( )
A．10 B．20 C．30 D．60
C [法一：(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr+1＝(x2＋x)5-r·yr，令r＝2，则T3＝(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展开式的通项为Tk+1＝(x2)3-k·xk＝x6-k，令6－k＝5，则k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为＝30．
法二：(x2＋x＋y)5可以看成5个因式(x2＋x＋y)相乘，x5y2的系数是5个因式中其中2个x2，1个x，2个y相乘后的系数，即＝30．]
13．我国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a＝b(mod m)．若a＝·22＋…＋·220，a＝b(mod 10)，则b的值可以是( )
A．1 001 B．1 002 C．1 003 D．1 005
A [∵a＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝109＋…－10＋1，
∴a被10除得的余数为1，而1 001被10除得的余数是1，故选A．]
14．已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________．
5 10 [(x－1)3展开式的通项Tr+1＝x3-r·(－1)r，(x＋1)4展开式的通项Tk+1＝x4-k，则a1＝＝1＋4＝5；a2＝(－1)1＋＝3；a3＝(－1)2＋＝7；a4＝(－1)3＋＝0．所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10．]
15．已知m，n∈N+，f (x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
[解] 由题设知，m＋n＝19，又m，n∈N+，
∴1≤m≤18．
x2的系数为(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171．
∴当m＝9或10时，x2的系数有最小值，为81，此时x7的系数为＝156．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)§4 二项式定理
4.1 二项式定理的推导
学习任务 核心素养
1．能用计数原理证明二项式定理．(难点) 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(重点、难点) 1． 借助二项式定理的证明，培养逻辑推理素养． 2．通过二项式定理的应用，提升数学运算素养．
1．我们知道(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2．如何用组合知识来解释a2，ab，b2的系数
2．仿照上述过程，你认为(a＋b)3，(a＋b)4的展开式是什么
1．二项式定理
公式(a＋b)n＝an-1b＋…＋an-kbk＋…＋bn(n∈N+)叫作二项式定理．
2．相关概念
(1)公式右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式；
(2)各项的系数(k∈{0，1，2，…，n})叫作二项式系数；
(3)展开式中的叫作二项式通项，记作______，它表示展开式的第_________项；
(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝．
(1＋2x)n的二项展开式是什么 其第5项的二项式系数和第5项的系数各是什么
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1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1an-kbk是二项展开式的第k项． ( )
(2)(a＋b)n的展开式中任一项的二项式系数与a，b均无关． ( )
(3)(a＋b)n的展开式中共n项． ( )
(4)(2a－3b)n某项的系数是该项的数字因数，与该项的二项式系数不同． ( )
2．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是( )
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2(n＋1)
3．代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为________．
4．在的展开式中，常数项是________．
类型1 二项式定理的正用与逆用
【例1】 (1)求的展开式；
(2)求值＋…＋3n-1．
[思路点拨] (1)直接利用二项式定理展开，也可以先化简再展开；(2)先化成二项展开式的形式，然后逆用二项式定理求解．
[尝试解答] ________________________________________________________
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1．(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是:
(1)各项的次数都等于n；
(2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n．
2．逆用二项式定理，可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的特点靠拢．
[跟进训练]
1．求的展开式．
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2．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
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类型2 利用通项公式求二项展开式中的特定项
求二项展开式中的特定项
【例2】 已知在的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
[思路点拨] 利用展开式中的通项公式求出当x的次数为0时n的值，再求解(2)(3)问．
[尝试解答] ________________________________________________________
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求二项展开式中的特定项问题，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0，1，2，…，n)．
(1)第m项:此时k＋1＝m，直接代入通项；
(2)常数项:即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；
(3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．
[跟进训练]
3．求二项式的展开式中的常数项．
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求二项展开式中特定项的系数
【例3】 (1)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )
A．12 B．16 C．20 D．24
(2)已知(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中含x3的系数为－2，则a等于( )
A．2 B．2 C．－2 D．－1
(3(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为______(用数字作答)．
[尝试解答] ________________________________________________________
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1．求几个多项式积的特定项:可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．
2．求几个多项式和的特定项:先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解．
3．三项展开式特定项:(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后分类考虑特定项产生的所有可能情形．
[跟进训练]
4．(1)已知(1＋x(n∈N+，n<10)的展开式中没有常数项，则n的最大值是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
(2)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为________．
(3)在(1－7＋的展开式中，若x2的系数为19，则a＝________．
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型3 利用二项式定理解决整除问题
【例4】 求证:32n+2－8n－9(n∈N+)能被64整除．
[思路点拨] 可将32n+2写成(8＋1)n+1，然后利用二项式定理展开．
[尝试解答] ________________________________________________________
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___________________________________________________________________
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整除性问题或求余数的处理方法
(1)构造一个与题目条件有关的二项式；
(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只需考虑后面(或者是前面)一、两项就可以了；
(3)要注意余数的范围，若a＝cr＋b，其中b为余数，b∈[0，r)，r是除数．利用二项式定理展开、变形后，若剩余部分是负数，则要注意转化．
[跟进训练]
5．求9192被100除所得的余数．
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1．展开式中的常数项为( )
A．80 B．－80 C．40 D．－40
若第k＋1项为常数项，则10－5k＝0，得k＝2，即常数项T3＝(－2)2＝40．]
2．若n是正整数，则7n＋7n-1＋…＋7除以9的余数是________．
3．在的展开式中，x2的系数是________．
4．化简1－2＋…＋(－2)n＝________．
5．(教材P176例4改编)求(1＋2x)7的展开式的第4项的系数．
___________________________________________________________________
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1．二项式定理主要解决了三类问题，一类是求二项式的展开式；二是求二项式的某些特定项；三是利用二项式定理解决整除或求余数问题．
2．要注意在二项式的展开式中某项的系数与该项的二项式系数之间的区别与联系．
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第五章 计数原理
§4 二项式定理
4.1 二项式定理的推导
学习任务 核心素养
1．能用计数原理证明二项式定理．(难点)
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(重点、难点) 1． 借助二项式定理的证明，培养逻辑推理素养．
2．通过二项式定理的应用，提升数学运算素养．
1．我们知道(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2．如何用组合知识来解释a2，ab，b2的系数
2．仿照上述过程，你认为(a＋b)3，(a＋b)4的展开式是什么
必备知识·情境导学探新知
(3)展开式中的_______叫作二项式通项，记作_____，它表示展开式的第____项；
(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝___________________________________．
思考 (1＋2x)n的二项展开式是什么 其第5项的二项式系数和第5项的系数各是什么
Tk+1
k＋1
×
√
×
√
2．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是( )
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2(n＋1)
√
B [展开式的项数比二项式的指数大1，故选B．]
3．代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为_____．
x4
15
关键能力·合作探究释疑难
[思路点拨] (1)直接利用二项式定理展开，也可以先化简再展开；(2)先化成二项展开式的形式，然后逆用二项式定理求解．
反思领悟 1．(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：
(1)各项的次数都等于n；
(2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n．
2．逆用二项式定理，可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的特点靠拢．
2．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[思路点拨] 利用展开式中的通项公式求出当x的次数为0时n的值，再求解(2)(3)问．
反思领悟 求二项展开式中的特定项问题，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0，1，2，…，n)．
(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；
(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；
(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．
√
√
－28
反思领悟 1．求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．
2．求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解．
3．三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后分类考虑特定项产生的所有可能情形．
√
40
2
类型3 利用二项式定理解决整除问题
【例4】 求证：32n+2－8n－9(n∈N+)能被64整除．
[思路点拨] 可将32n+2写成(8＋1)n+1，然后利用二项式定理展开．
反思领悟 整除性问题或求余数的处理方法
(1)构造一个与题目条件有关的二项式；
(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只需考虑后面(或者是前面)一、两项就可以了；
(3)要注意余数的范围，若a＝cr＋b，其中b为余数，b∈[0，r)，r是除数．利用二项式定理展开、变形后，若剩余部分是负数，则要注意转化．
[跟进训练]
5．求9192被100除所得的余数．
学习效果·课堂评估夯基础
√
7或0
60
(－1)n
5．(教材P176例4改编)求(1＋2x)7的展开式的第4项的系数．
1．二项式定理主要解决了三类问题，一类是求二项式的展开式；二是求二项式的某些特定项；三是利用二项式定理解决整除或求余数问题．
2．要注意在二项式的展开式中某项的系数与该项的二项式系数之间的区别与联系．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
课时分层作业(三十五) 二项式定理的推导
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．设k＝1，2，3，4，5，则(x＋2)5的展开式中xk的系数不可能是
( )
A．10 B．40 C．50 D．80
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
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15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6．在(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．
2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
－4
题号
2
1
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4
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4
题号
2
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8
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13
14
15
三、解答题
9．求(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)20的展开式中x3的系数．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
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4
5
6
8
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9
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13
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15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
12．(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为( )
A．10 B．20 C．30 D．60
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
14．已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________．
5
10
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
15．已知m，n∈N+，f (x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．课时分层作业(三十五) 二项式定理的推导
说明：选择题每题5分，填空题每题5分，本试卷共105分
一、选择题
1．在(x－4的展开式中，x3的系数为( )
A．6 B．－6 C．12 D．－12
2．若(1＋5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b等于( )
A．45 B．55 C．70 D．80
3．在的二项展开式中，x的系数为( )
A．10 B．－10 C．40 D．－40
4．设k＝1，2，3，4，5，则(x＋2)5的展开式中xk的系数不可能是( )
A．10 B．40 C．50 D．80
5．在(12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有( )
A．4项 B．3项 C．2项 D．1项
二、填空题
6．在(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．
7．展开式中常数项是________．
8．在的展开式中，系数是有理数的项共有________项．
三、解答题
9．求(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)20的展开式中x3的系数．
10．在的展开式中，求:
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
11．二项式(1＋6的展开式中有理项系数之和为( )
A．64 B．32 C．24 D．16
12．(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为( )
A．10 B．20 C．30 D．60
13．我国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a＝b(mod m)．若a＝·22＋…＋·220，a＝b(mod 10)，则b的值可以是( )
A．1 001 B．1 002 C．1 003 D．1 005
14．已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________．
15．已知m，n∈N+，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(三十五)
1．A [(x－)4的展开式的通项Tk+1＝x4-k·(－)k＝(－1)k(k＝0，1，2，3，4)．由4－＝3，得k＝2，所以(x－)4的展开式中x3的系数为(－1)2＝6．]
2．C [由二项式定理，得
(1＋)5＝1＋··()2＋·()3＋·()4＋·()5＝1＋5．所以a＝41，b＝29，a＋b＝70．故选C．]
3．D [∵Tk+1＝(2x2)5-k＝(－1)k25-kx10-3k，令10－3k＝1，即k＝3，此时x的系数为(－1)322＝－40．]
4．C [x1的系数为·24＝80，x2的系数为·23＝80，x3的系数为·22＝40，x4的系数为·21＝10，x5的系数为·20＝1，所以系数不可能为50．]
5．B [设第(k＋1)项含x的正整数次幂，则Tk+1＝···，其中0≤k≤12．
要使6－k为正整数，必须使k为6的倍数．所以k＝0，6，12，即第1项、第7项和第13项为符合条件的项．]
6．2 [∵Tk+1＝a4-kxk，且x3的系数等于8，∴k＝3，即a4-3＝8，∴a＝2．]
7．－4 [由二项式展开公式可得·(x3)1·＝－4．]
8．4 [Tk+1＝x)20-k·()20-k··x20-k．
∵系数为有理数，
∴()k与均为有理数．
∴k能被2整除，且20－k能被3整除．
∴k为偶数，20－k是3的倍数，0≤k≤20，∴k＝2，8，14，20．
∴共有4项系数为有理数．]
9．解：所求x3的系数为：＋…＋＝()＋＋…＋＝()＋＋…＋＝…＝．
所以展开式中x3的系数是＝5 985．
10．解：(1)第3项的二项式系数为＝15，
又因为T3＝(2)4＝24·x，
所以第3项的系数为24＝240．
(2)Tk+1＝(2)6-k
＝(－1)k26-kx3-k，
令3－k＝2，得k＝1．
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2．
11．B [二项式(1＋)6的展开式的通项为Tk+1＝，令为整数，可得k＝0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为＝32，故选B．]
12．C [法一：(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr+1＝(x2＋x)5-r·yr，令r＝2，则T3＝(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展开式的通项为Tk+1＝(x2)3-k·xk＝x6-k，令6－k＝5，则k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为＝30．
法二：(x2＋x＋y)5可以看成5个因式(x2＋x＋y)相乘，x5y2的系数是5个因式中其中2个x2，1个x，2个y相乘后的系数，即＝30．]
13．A [∵a＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝1010－109＋…－10＋1，
∴a被10除得的余数为1，而1 001被10除得的余数是1，故选A．]
14．5 10 [(x－1)3展开式的通项Tr+1＝x3-r·(－1)r，(x＋1)4展开式的通项Tk+1＝x4-k，则a1＝＝1＋4＝5：a2＝(－1)1＋＝3：a3＝(－1)2＋＝7：a4＝(－1)3＋＝0．所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10．]
15．解：由题设知，m＋n＝19，又m，n∈N+，
∴1≤m≤18．
x2的系数为(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171．
∴当m＝9或10时，x2的系数有最小值，为81，此时x7的系数为＝156．
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