课时分层作业(三十四)
1．C [可分类计算：第一类是甲、乙两人有1人入选，有＝42(种)选法：第二类是甲、乙都入选，有＝7(种)选法，由分类加法计数原理可知，符合题设的方法共有42＋7＝49种．]
2．B [设三个班级为甲、乙、丙，则5名实习教师分配到3个班级，一定有一个班级只分配到一名实习教师，其余两个班级每个班级分到了两名实习教师，故分步：第一步，选一名教师安排在一个班级中有种方法：第二步，余下的4名教师平均分配给剩下的两个班级，有·＝90种分配方案．]
3．C [根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有种分法：第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有·＝240(种)．]
4．B [先分组再排列，一组2人一组4人有＝15种不同的分法：两组各3人共有＝10种不同的分法，所以共有(15＋10)×2＝50种不同的乘车方法．]
5．A [分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有＝2(种)选派方法：
第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．]
6．58 [从8个顶点中任取4个有种方法，从中去掉6个面和6个对角面，所以有－12＝58个不同的四面体．]
7．36 [第一步，选2名同学报名某个社团，有·＝12种报法：
第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有·＝3种报法．
由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法．]
8．150 [将5名水暖工分成2，2，1或3，1，1三组，共有＝25(种)分法，将这三组水暖工分配到3个小区共有＝6(种)分法，由分步乘法计数原理，分配方案共有25×6＝150(种)．]
9． 解：法一：按选西医的人数分三类：
第一类，只精通西医的4人都入选，则可从其余7人中任选4人作中医，有种：
第二类，只精通西医的4人选3人，则从均精通的两位专家中选1人作西医，余下6人选4人作中医，有种：
第三类，只精通西医的4人选2人，则均精通的两位专家作西医，余下5人选4人作中医，有．故由分类加法计数原理知，共有＝185种选法．
法二：按均精通的专家分类：
第一类，两人均不参加，有种：
第二类，两人有一人参加，有)种：
第三类，两人均参加，有()×2＋种．
由分类加法计数原理知，共有＋[)]＋[()×2＋]＝185种选法．
10．解：由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征分析：
当a>0时，抛物线开口向上，坐标原点在其内部等价于f(0)＝c<0：
当a<0时，抛物线开口向下，坐标原点在其内部等价于f(0)＝c>0．
所以对抛物线y＝ax2＋bx＋c，原点在其内部等价于af(0)＝ac<0，于是在确定二次函数的解析式时，先定一正一负的a和c，再定b，
因此满足题设的二次函数共有＝144个．
11．B [根据题意，总的分法种数为＝36．若甲、乙两人分在同一个班，则分法种数为＝6，所以甲、乙两名学生不能分到同一个班的分法种数为36－6＝30，故选B．]
12．15 240 [恰是两双的选法有＝15种，对于恰有一双的情形，可先选一双完整的，再从剩下的5双中选两双，然后在这两双中各选一只，共有＝240种选法．]
13．64 [法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案：第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案：第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案．综上，不同的选课方案共有＝64(种)．
法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有＝16(种)选课方案：若学生从这8门课中选修3门课，则有＝48(种)选课方案．综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种)．]
14．解：(1)当分配的人数分别是1人、1人、4人时，共有＝90种分配方案：
当分配的人数分别是3人、2人、1人时，共有＝360种分配方案：
当分配的人数分别是2人、2人、2人时，共有＝90种分配方案．
所以一共有90＋360＋90＝540种不同的分配方案．
(2)把甲、乙两人看作一个整体，6个人变成了5个元素，再把这5个元素分成3组，
若分配的元素分别是1人、1人、3人时，共有＝60种分配方案：
若分配的元素分别是2人、2人、1人时，共有＝90种分配方案．
则有60＋90＝150种不同的分配方案．
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说明：选择题每题5分，填空题每题5分，本试卷共100分
一、选择题
1．从10名大学毕业生中选3人担任辅导员，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法种数为( )
A．85 B．56 C．49 D．28
2．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有( )
A．30种 B．90种 C．180种 D．270种
3．将5名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
4．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法有( )
A．40种 B．50种 C．60种 D．70种
5．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
二、填空题
6．从正方体ABCD A'B'C'D'的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同的四面体的个数为________．
7．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答)．
8．冬季供暖时，供热公司将5名水暖工分配到3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有________种．
三、解答题
9．某县医院联合专家去农村义务会诊，其中有5人只精通中医，4人只精通西医，还有2人既精通中医又精通西医，现从这11位专家中选4名中医4名西医，有多少种不同的选法
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c是集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中3个不同的数，求坐标原点在该函数图象即抛物线内部的二次函数的个数．
11．把甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名同学，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法种数为( )
A．24 B．30 C．36 D．81
12．从6双不同的鞋子中任取4只，恰是两双的选法有________种，恰有一双的选法有________种．
13．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
14．某部门将6名志愿者分配到三个不同的运动场馆做服务工作，每个岗位至少1人．
(1)一共有多少种不同的分配方案
(2)若6名志愿者中的甲和乙必须分配在同一个场馆工作，则共有多少种不同的分配方案
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第五章 计数原理
§3 组合问题
习题课 组合的应用
学习任务 核心素养
1．通过实例进一步理解组合的概念．(重点)
2．掌握组合数公式，能解决有关组合的实际问题．(难点) 通过解决有关组合的实际问题，培养数学建模素养．
必备知识·情境导学探新知
1．特殊优先法
特殊优先法：对于存在特殊元素或者特殊位置的组合问题，我们可以从这些特殊之处入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其他的元素或位置．
【例1】 从7名男同学和5名女同学中，选出5名同学．
(1)其中A，B两同学都当选，共多少种方法．
(2)其中A，B两同学都不当选，共有多少种方法
2．分类讨论法
分类讨论法：对于较复杂的组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况进行分类讨论，而讨论时应正确确定分类标准，避免重复或遗漏现象的发生．
【例2】 从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选派方案有多少种
1．在平面直角坐标平面中，在平行直线x＝n(n＝1，2，3，4)与平行直线y＝n(n＝1，2，3，4)组成的图形中，矩形共有( )
A．16个 B．25个 C．36个 D．100个
√
2．从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是( )
A．72 B．70 C．66 D．64
√
3．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )
A．36种 B．24种 C．22种 D．20种
√
4．学校在高一年级开设选修课程，其中历史开设了三个不同的班，选课结束后，有5名同学要求改修历史，但历史选修每班至多可接收2名同学，那么安排好这5名同学的方案有______种(用数字作答)．
90
关键能力·合作探究释疑难
类型1 有限制条件的组合问题
【例1】 在某地的抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种
[思路点拨] 解答本题应首先分清“恰有”“至少”“至多”的含义，正确地分类或分步解决．
反思领悟 (1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法；
(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步；
(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．
[跟进训练]
1．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
类型2 几何元素的计数问题
【例2】 在一个正方体中，各棱、各面对角线和体对角线中，共有多少对异面直线
[思路点拨] 解答本题可用间接法求解，从28条线段任取2条的组合中除去不能构成异面直线的情况．或者构造模型，借助三棱锥中有且仅有3对异面直线来解决．
反思领悟 几何中的计数问题一般为组合问题，要注意分清“对应关系”，如不共线的三点对应一个三角形，不共面的四点确定一个四面体等．解题时可借助图形帮助思考，并要善于利用几何性质，但要注意共点、共线、共面等特殊情况，避免多算或漏算．
[跟进训练]
2．已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点．
(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面
(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥
(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积
类型3 分组、分配问题
【例3】 6本不同的书按照以下要求处理，各有多少种分法
(1)一堆一本，一堆两本，一堆三本；
(2)一人得一本，一人得二本，一人得三本；
(3)平均分成三堆；
(4)平均分给甲、乙、丙三人；
(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
[思路点拨] (1)是分组问题；(2)是在(1)的基础上再进行分配；(3)是平均分组问题，它与次序无关；(4)是在(3)的基础上再进行分配；(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”“1、2、3型”“1、1、4型”．
[跟进训练]
3．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球全部放入盒子内．若每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投入方法
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有
( )
A．360种 B．300种 C．150种 D．125种
√
3．若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有( )
A．4种 B．8种 C．12种 D．24种
√
4．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有________种．
10
5．(源自人教B版教材)现有30件分别标有不同编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件：
(1)一共有多少种不同的取法
(2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的取法共有多少种
(3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的取法共有多少种
1．组合问题的2类题型及求解方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
2．分组与分配问题的思想方法
(1)分组问题属于“组合”问题，它分为完全均匀分组、部分均匀分组和完全不均匀分组；
(2)分配问题属于“排列”问题，它分为相同元素的分配问题(隔板法)、不同元素的分配问题(分步法)和有限制条件的分配问题(分类法)．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
课时分层作业(三十四) 习题课 组合的应用
一、选择题
1．从10名大学毕业生中选3人担任辅导员，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法种数为( )
A．85 B．56 C．49 D．28
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有( )
A．30种 B．90种 C．180种 D．270种
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
3．将5名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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12
13
14
4．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法有( )
A．40种 B．50种 C．60种 D．70种
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
5．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
二、填空题
6．从正方体ABCD A'B'C'D'的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同的四面体的个数为________．
58
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
7．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答)．
36
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
8．冬季供暖时，供热公司将5名水暖工分配到3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有________种．
150
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
三、解答题
9．某县医院联合专家去农村义务会诊，其中有5人只精通中医，4人只精通西医，还有2人既精通中医又精通西医，现从这11位专家中选4名中医4名西医，有多少种不同的选法
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c是集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中3个不同的数，求坐标原点在该函数图象即抛物线内部的二次函数的个数．
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
11．把甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名同学，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法种数为( )
A．24 B．30 C．36 D．81
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
12．从6双不同的鞋子中任取4只，恰是两双的选法有________种，恰有一双的选法有________种．
15
240
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
13．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
64
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
14．某部门将6名志愿者分配到三个不同的运动场馆做服务工作，每个岗位至少1人．
(1)一共有多少种不同的分配方案
(2)若6名志愿者中的甲和乙必须分配在同一个场馆工作，则共有多少种不同的分配方案
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
12
13
14习题课 组合的应用
学习任务 核心素养
1．通过实例进一步理解组合的概念．(重点) 2．掌握组合数公式，能解决有关组合的实际问题．(难点) 通过解决有关组合的实际问题，培养数学建模素养．
1．特殊优先法
特殊优先法：对于存在特殊元素或者特殊位置的组合问题，我们可以从这些特殊之处入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其他的元素或位置．
【例1】 从7名男同学和5名女同学中，选出5名同学．
(1)其中A，B两同学都当选，共多少种方法．
(2)其中A，B两同学都不当选，共有多少种方法
[解] (1)A，B都当选，则只要从剩余的10人中再选3人即可，有＝120种．
(2)A，B都不当选，则5人全部选自另外10人，即有＝252种．
2．分类讨论法
分类讨论法：对于较复杂的组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况进行分类讨论，而讨论时应正确确定分类标准，避免重复或遗漏现象的发生．
【例2】 从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选派方案有多少种
[解] 可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有＝12种；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有＝4种．根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有12＋4＝16种．
3．间接法
间接法：即从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．“至多问题”“至少问题”“既有……又有……问题”，一般都有直接法和间接法两种解法，应根据具体情况进行选择．
对于分类讨论法中的问题也可以用间接法求解．
例2的另一种解法：
可先不考虑“至少有1名女生”这个限制条件，从6人中任选3人，不同的选法有＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有＝4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16(种)．
1．在平面直角坐标平面中，在平行直线x＝n(n＝1，2，3，4)与平行直线y＝n(n＝1，2，3，4)组成的图形中，矩形共有( )
A．16个 B．25个 C．36个 D．100个
C [在垂直于x轴的4条直线中任取2条，在垂直于y轴的4条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为＝6×6＝36个．]
2．从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是( )
A．72 B．70 C．66 D．64
D [从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有··＝56(种)选法，三个数相邻共有＝8(种)选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64(种)选法．]
3．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )
A．36种 B．24种 C．22种 D．20种
B [根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有＝12(种)推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有＝12(种)推荐方法．故共有24种推荐方法．]
4．学校在高一年级开设选修课程，其中历史开设了三个不同的班，选课结束后，有5名同学要求改修历史，但历史选修每班至多可接收2名同学，那么安排好这5名同学的方案有________种(用数字作答)．
90 [由已知可得，先将5名学生分成3组，有＝15种，所以不同分法有15×＝90种．]
类型1 有限制条件的组合问题
【例1】 在某地的抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种
[思路点拨] 解答本题应首先分清“恰有”“至少”“至多”的含义，正确地分类或分步解决．
[解] (1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有种选法，再从除外科专家外的6人中选取4人，有种选法，所以共有·＝90种抽调方法．
(2)法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有·种选法；
②选3名外科专家，共有·种选法；
③选4名外科专家，共有·种选法；
根据分类加法计数原理，共有···＝185种抽调方法．
法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有种选法，考虑选取1名外科专家参加，有·种选法；没有外科专家参加，有种选法，所以共有
·＝185种抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有种选法；
②有1名外科专家参加，有·种选法；
③有2名外科专家参加，有·种选法．
所以共有··＝115种抽调方法．
(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法；
(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步；
(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．
[跟进训练]
1．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
[解] (1)至少有一名队长当选含有两种情况：有一名队长当选和两名队长当选，故共有··＝825种．(或采用排除法有＝825种．)
(2)至多有两名女生当选含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生当选，故共有··＝966种．
(3)分两种情况：第一类，女队长当选，有种；
第二类，女队长不当选，有(···种，
故共有···＝790种．
类型2 几何元素的计数问题
【例2】 在一个正方体中，各棱、各面对角线和体对角线中，共有多少对异面直线
[思路点拨] 解答本题可用间接法求解，从28条线段任取2条的组合中除去不能构成异面直线的情况．或者构造模型，借助三棱锥中有且仅有3对异面直线来解决．
[解] 法一：一个正方体的棱、面对角线和体对角线共28条．底面、侧面和对角面共12个面，每一个面中，任两条直线都不构成异面直线，8个顶点中过每个顶点的3条面对角线不能构成异面直线，故共有＝174对异面直线．
法二：因为一个三棱锥的6条棱中有且仅有3对异面直线，而一个正方体的8个顶点中取4个点的取法有种，在正方体的12个底面、侧面和对角面每个面的4个顶点不能构成三棱锥，故一个正方体的8个顶点可构成－12＝58个三棱锥，所以一个正方体中符合题设要求的异面直线共有3·(－12)＝3×58＝174对．
几何中的计数问题一般为组合问题，要注意分清“对应关系”，如不共线的三点对应一个三角形，不共面的四点确定一个四面体等．解题时可借助图形帮助思考，并要善于利用几何性质，但要注意共点、共线、共面等特殊情况，避免多算或漏算．
[跟进训练]
2．已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点．
(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面
(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥
(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积
[解] (1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有·个；②α内2点，β内1点确定的平面，有·个；③α，β本身．
∴所作的平面最多有··＋2＝98个．
(2)所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有·个；②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有·个；③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有·个．
∴最多可作出的三棱锥有···＝194个．
(3)∵当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等，且平面α∥β，∴体积不相同的三棱锥最多有·＝114个．
类型3 分组、分配问题
【例3】 6本不同的书按照以下要求处理，各有多少种分法
(1)一堆一本，一堆两本，一堆三本；
(2)一人得一本，一人得二本，一人得三本；
(3)平均分成三堆；
(4)平均分给甲、乙、丙三人；
(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
[思路点拨] (1)是分组问题；(2)是在(1)的基础上再进行分配；(3)是平均分组问题，它与次序无关；(4)是在(3)的基础上再进行分配；(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”“1、2、3型”“1、1、4型”．
[解] (1)先在6本书中任取一本，作为一堆，有种取法，再从余下的5本书中任取两本，作为一堆，有种取法，再从余下3本中取三本作为一堆，有种取法，故共有分法··＝60种．
(2)由(1)知，分成三堆的方法有··种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案，故共有分法···＝360种．
(3)设把6本不同的书，平均分成三堆的方法有x种，那么把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的分法就应有x种，而6本书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法可以理解为：三个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有种，乙再从余下的4本书中取2本书有种方法，丙从余下的2本书中取2本书，有种方法，
所以一共有··＝90种方法，
所以有x··＝90，解得x＝15．
(4)由(3)知平均分给甲、乙、丙三人有··＝90种方法．
(5)可以分为三类情况：
①“2、2、2型”，则有··＝90种方法；
②“1、2、3型”，则有···＝360种方法；
③“1、1、4型”，则有·＝90种方法．
所以一共有90＋360＋90＝540种方法．
1．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等．
(2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后则需除以．
(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
2．分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以先分组后分配．
[跟进训练]
3．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球全部放入盒子内．若每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投入方法
[解] 满足题设的情形分为以下4类：
第一类，五个球的编号与盒子编号完全相同，放法有1种；
第二类，恰有四个球的编号与盒子编号相同，不可能，即放法为0种；
第三类，恰有三个球的编号与盒子编号相同，放法有＝10种；
第四类，恰有两个球的编号与盒子编号相同，有＝10种方法．因其余的3个“全错位”，假设4、5号与盒子编号相同，投放方法只有以下2种：(1，2)，(2，3)，(3，1)和(1，3)，(2，1)，(3，2)，于是共有2＝20种投放方法．
故满足条件的投法数为1＋10＋20＝31种．
1．甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
C [甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有＝6(种)情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有＝20(种)情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20＝120(种)选法，故选C．]
2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有( )
A．360种 B．300种 C．150种 D．125种
C [分2步：先将5名学生分成3组，有两种分组方法，若分成3、1、1的三组，则有＝10种分组方法；若分成1、2、2的三组，则有＝15种分组方法，则一共有10＋15＝25种分组方法．再将分好的三组全排列，对应三个社区，有＝6种情况，则有25×6＝150种不同的安排方式，故选C．]
3．若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有( )
A．4种 B．8种 C．12种 D．24种
B [将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有×2＝8种站法．]
4．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有________种．
10 [将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有＝4种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有＝6种方法，则不同的放球方法有10种．]
5．(源自人教B版教材)现有30件分别标有不同编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件：
(1)一共有多少种不同的取法
(2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的取法共有多少种
(3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的取法共有多少种
[解] (1)所求的取法总数，就是从30件产品中取出3件的组合数＝4 060．
(2)抽取可以分成两步完成：第一步，在2件次品中取出1件，有种方法；第二步，在28件合格品中取出2件，有种方法．因此取法种数为＝756．
(3)满足条件的取法可以分成两类：恰有1件次品的取法和恰有2件次品的取法．
恰有1件次品的取法有种，恰有2件次品的取法有种．
因此取法种数为＋1×28＝784．
1．组合问题的2类题型及求解方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
2．分组与分配问题的思想方法
(1)分组问题属于“组合”问题，它分为完全均匀分组、部分均匀分组和完全不均匀分组；
(2)分配问题属于“排列”问题，它分为相同元素的分配问题(隔板法)、不同元素的分配问题(分步法)和有限制条件的分配问题(分类法)．
课时分层作业(三十四) 习题课 组合的应用
一、选择题
1．从10名大学毕业生中选3人担任辅导员，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法种数为( )
A．85 B．56 C．49 D．28
C [可分类计算：第一类是甲、乙两人有1人入选，有＝42(种)选法；第二类是甲、乙都入选，有＝7(种)选法，由分类加法计数原理可知，符合题设的方法共有42＋7＝49种．]
2．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有( )
A．30种 B．90种 C．180种 D．270种
B [设三个班级为甲、乙、丙，则5名实习教师分配到3个班级，一定有一个班级只分配到一名实习教师，其余两个班级每个班级分到了两名实习教师，故分步：第一步，选一名教师安排在一个班级中有种方法；第二步，余下的4名教师平均分配给剩下的两个班级，有·＝90种分配方案．]
3．将5名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
C [根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有·＝240(种)．]
4．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法有( )
A．40种 B．50种 C．60种 D．70种
B [先分组再排列，一组2人一组4人有＝15种不同的分法；两组各3人共有＝10种不同的分法，所以共有(15＋10)×2＝50种不同的乘车方法．]
5．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
A [分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有＝2(种)选派方法；
第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．]
二、填空题
6．从正方体ABCD A'B'C'D'的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同的四面体的个数为________．
58 [从8个顶点中任取4个有种方法，从中去掉6个面和6个对角面，所以有－12＝58个不同的四面体．]
7．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答)．
36 [第一步，选2名同学报名某个社团，有·＝12种报法；
第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有·＝3种报法．
由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法．]
8．冬季供暖时，供热公司将5名水暖工分配到3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有________种．
150 [将5名水暖工分成2，2，1或3，1，1三组，共有＝25(种)分法，将这三组水暖工分配到3个小区共有＝6(种)分法，由分步乘法计数原理，分配方案共有25×6＝150(种)．]
三、解答题
9．某县医院联合专家去农村义务会诊，其中有5人只精通中医，4人只精通西医，还有2人既精通中医又精通西医，现从这11位专家中选4名中医4名西医，有多少种不同的选法
[解] 法一：按选西医的人数分三类：
第一类，只精通西医的4人都入选，则可从其余7人中任选4人作中医，有种；
第二类，只精通西医的4人选3人，则从均精通的两位专家中选1人作西医，余下6人选4人作中医，有种；
第三类，只精通西医的4人选2人，则均精通的两位专家作西医，余下5人选4人作中医，有．故由分类加法计数原理知，共有＝185种选法．
法二：按均精通的专家分类：
第一类，两人均不参加，有种；
第二类，两人有一人参加，有种；
第三类，两人均参加，有(×2＋种．
由分类加法计数原理知，共有＋[]＋[(×2＋]＝185种选法．
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c是集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中3个不同的数，求坐标原点在该函数图象即抛物线内部的二次函数的个数．
[解] 由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征分析：
当a>0时，抛物线开口向上，坐标原点在其内部等价于f (0)＝c<0；
当a<0时，抛物线开口向下，坐标原点在其内部等价于f (0)＝c>0．
所以对抛物线y＝ax2＋bx＋c，原点在其内部等价于af (0)＝ac<0，于是在确定二次函数的解析式时，先定一正一负的a和c，再定b，
因此满足题设的二次函数共有＝144个．
11．把甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名同学，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法种数为( )
A．24 B．30 C．36 D．81
B [根据题意，总的分法种数为＝36．若甲、乙两人分在同一个班，则分法种数为＝6，所以甲、乙两名学生不能分到同一个班的分法种数为36－6＝30，故选B．]
12．从6双不同的鞋子中任取4只，恰是两双的选法有________种，恰有一双的选法有________种．
15 240 [恰是两双的选法有＝15种，对于恰有一双的情形，可先选一双完整的，再从剩下的5双中选两双，然后在这两双中各选一只，共有＝240种选法．]
13．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
64 [法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案．综上，不同的选课方案共有＝64(种)．
法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有＝16(种)选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有＝48(种)选课方案．综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种)．]
14．某部门将6名志愿者分配到三个不同的运动场馆做服务工作，每个岗位至少1人．
(1)一共有多少种不同的分配方案
(2)若6名志愿者中的甲和乙必须分配在同一个场馆工作，则共有多少种不同的分配方案
[解] (1)当分配的人数分别是1人、1人、4人时，共有＝90种分配方案；
当分配的人数分别是3人、2人、1人时，共有＝360种分配方案；
当分配的人数分别是2人、2人、2人时，共有＝90种分配方案．
所以一共有90＋360＋90＝540种不同的分配方案．
(2)把甲、乙两人看作一个整体，6个人变成了5个元素，再把这5个元素分成3组，
若分配的元素分别是1人、1人、3人时，共有＝60种分配方案；
若分配的元素分别是2人、2人、1人时，共有＝90种分配方案．
则有60＋90＝150种不同的分配方案．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)习题课 组合的应用
学习任务 核心素养
1．通过实例进一步理解组合的概念．(重点) 2．掌握组合数公式，能解决有关组合的实际问题．(难点) 通过解决有关组合的实际问题，培养数学建模素养．
1．特殊优先法
特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的组合问题，我们可以从这些特殊之处入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其他的元素或位置．
【例1】 从7名男同学和5名女同学中，选出5名同学．
(1)其中A，B两同学都当选，共多少种方法．
(2)其中A，B两同学都不当选，共有多少种方法
[尝试解答] ________________________________________________________
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2．分类讨论法
分类讨论法:对于较复杂的组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况进行分类讨论，而讨论时应正确确定分类标准，避免重复或遗漏现象的发生．
【例2】 从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选派方案有多少种
[尝试解答] ________________________________________________________
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3．间接法
间接法:即从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．“至多问题”“至少问题”“既有……又有……问题”，一般都有直接法和间接法两种解法，应根据具体情况进行选择．
对于分类讨论法中的问题也可以用间接法求解．
例2的另一种解法:
可先不考虑“至少有1名女生”这个限制条件，从6人中任选3人，不同的选法有＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有＝4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16(种)．
1．在平面直角坐标平面中，在平行直线x＝n(n＝1，2，3，4)与平行直线y＝n(n＝1，2，3，4)组成的图形中，矩形共有( )
A．16个 B．25个 C．36个 D．100个
2．从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是( )
A．72 B．70 C．66 D．64
3．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )
A．36种 B．24种 C．22种 D．20种
4．学校在高一年级开设选修课程，其中历史开设了三个不同的班，选课结束后，有5名同学要求改修历史，但历史选修每班至多可接收2名同学，那么安排好这5名同学的方案有________种(用数字作答)．
类型1 有限制条件的组合问题
【例1】 在某地的抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问:
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种
[思路点拨] 解答本题应首先分清“恰有”“至少”“至多”的含义，正确地分类或分步解决．
[尝试解答] ________________________________________________________
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(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法；
(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步；
(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．
[跟进训练]
1．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
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类型2 几何元素的计数问题
【例2】 在一个正方体中，各棱、各面对角线和体对角线中，共有多少对异面直线
[思路点拨] 解答本题可用间接法求解，从28条线段任取2条的组合中除去不能构成异面直线的情况．或者构造模型，借助三棱锥中有且仅有3对异面直线来解决．
[尝试解答] ________________________________________________________
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几何中的计数问题一般为组合问题，要注意分清“对应关系”，如不共线的三点对应一个三角形，不共面的四点确定一个四面体等．解题时可借助图形帮助思考，并要善于利用几何性质，但要注意共点、共线、共面等特殊情况，避免多算或漏算．
[跟进训练]
2．已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点．
(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面
(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥
(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积
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类型3 分组、分配问题
【例3】 6本不同的书按照以下要求处理，各有多少种分法
(1)一堆一本，一堆两本，一堆三本；
(2)一人得一本，一人得二本，一人得三本；
(3)平均分成三堆；
(4)平均分给甲、乙、丙三人；
(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
[思路点拨] (1)是分组问题；(2)是在(1)的基础上再进行分配；(3)是平均分组问题，它与次序无关；(4)是在(3)的基础上再进行分配；(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”“1、2、3型”“1、1、4型”．
[尝试解答] ________________________________________________________
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1．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种:
(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等．
(2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后则需除以．
(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
2．分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以先分组后分配．
[跟进训练]
3．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球全部放入盒子内．若每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投入方法
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1．甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有( )
A．360种 B．300种 C．150种 D．125种
3．若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有( )
A．4种 B．8种 C．12种 D．24种
4．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有________种．
5．(源自人教B版教材)现有30件分别标有不同编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件:
(1)一共有多少种不同的取法
(2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的取法共有多少种
(3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的取法共有多少种
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1．组合问题的2类题型及求解方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
2．分组与分配问题的思想方法
(1)分组问题属于“组合”问题，它分为完全均匀分组、部分均匀分组和完全不均匀分组；
(2)分配问题属于“排列”问题，它分为相同元素的分配问题(隔板法)、不同元素的分配问题(分步法)和有限制条件的分配问题(分类法)．
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