21.3 实际问题与一元二次方程 同步练习(含答案)

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名称 21.3 实际问题与一元二次方程 同步练习(含答案)
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资源类型 试卷
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2025-07-07 10:13:38

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21.3实际问题与一元二次方程
一、单选题
1.(2024八下·哈尔滨期中)某工厂一月份生产机器100台,计划三月份生产机器225台,设二、三月份的平均增长率为x,则根据题意列出方程是(  )
A. B.
C. D.
2.(2025九上·铜仁期末)2024年“村”球王争霸赛全国总决赛于2024年9月30日至10月4日在贵州省台江县台盘“村”篮球场举行.组委会将参赛球队平均分成2个小组进行单循环赛(同组所有对手之间都进行一次比赛),每个小组决出一二名进入4强交叉赛.已知每个小组的单循环比赛总场次为10场,若设每个小组有支球队,则列出方程正确的是(  )
A. B. C. D.
3.(2023九下·谷城模拟)如图,在一块长12m,宽8m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为,设道路的宽为xm,则根据题意,可列方程为(  )
A. B.
C. D.
4.(2024九上·恩平期中)如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644米2,则道路的宽应为多少米?设道路的宽为x米,则可列方程为(  )
A. B.
C. D.
5.(2024九上·宣化期中)微信红包是沟通人们之间感情的一种方式,已知小明在2020年“中秋节”收到微信红包为300元,2022年为675元,若这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x,根据题意可列方程为(  )
A. B. C. D.
6.(2022九上·罗湖期中)天虹商场一月份鞋帽专柜的营业额为100万元,三月份鞋帽专柜的营业额为150万元.设一到三月每月平均增长率为x,则下列方程正确的是(  )
A.100(1+2x)=150
B.100(1+x)2=150
C.100(1+x)+100(1+x)2=150
D.100+100(1+x)+100(1+x)2=150
7.(2016九上·崇仁期中)某旅游景点三月份共接待游客25万人次,五月份共接待游客64万人次,设每月的平均增长率为x,则可列方程为(  )
A.25(1+x)2=64 B.25+25(1+x)2=64
C.25(1+2x)=64 D.64(1﹣x2)=25
8.(2017九上·宜昌期中)改革的春风吹遍了神州大地,人们的生活水平显著的提高,国内生产总值迅速提高,2000年国内生产总值(GDP)约为8.75万亿元,计划到2020年国内生产总值比2000年翻两番,设以十年为单位计算,设我国每十年国内生产总值的增长率为x,则可列方程(  )
A.
B.
C.
D.
9.2014年底,我国核电装机容量大约为2000万千瓦,到2016年底我国核电装机容量将达到约3200万千瓦.若设平均每年的增长率为x,则可列方程为(  )
A.2000(1+x)=3200 B.2000(1+2x)=3200
C.2000(1+x)2=3200 D.2000(1+x2)=3200
10.(2024八下·莱芜期末)一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶,其中“抱竹熊猫”成本每件元,“打坐熊猫”成本每件元,“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的倍,大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖件,且两款玩偶当天销售额都刚好到达元.为更好地宣传国宝,第二天店家决定降价出售,但规定降价后的售价不低于成本价的,“抱竹熊猫”的售价降低了,当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了;“打坐熊猫”的售价打折,结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了,最终第二天两款熊猫玩偶的总利润为元,求的值为(  )
A. B. C. D.
二、填空题
11.(2024九上·北京市期中)如图,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,原空地一边减少了2m,另一边减少了3m,剩余一块面积为20m2的矩形空地,若原正方形空地边长是xm,则可列方程为   .
12.(2023九上·沭阳期中)某口罩厂六月份的口罩产量为100万只,由于市场需求量减少,八月份的产量减少到64万只.设七、八月份口罩产量的月平均减少率为x,则可列方程为   .
13.(2024九上·青岛月考)在一次聚会上,每两个人都只碰一次杯,若一共碰杯次,则参加聚会的人数为   .
14.(2016九上·庆云期中)某商场第一季度的利润是82.75万,其中一月份的利润是25万,若利润的平均月增长率为x,可列出方程为:   .
15.(2025八下·温州期中)某超市一月份的营业额为200万元,二月份、三月份每月的营业额逐月递增,三月份营业额为242万元。设营业额的平均月增长率为,由题意可列方程为   。
16.(2020九上·上思月考)如图,每个正方形由边长为1的小正方形组成,正方形中黑色、白色小正方形的排列规律如图所示,在边长为n(n≥1)的正方形中,设黑色小正方形的个数为P1,白色小正方形的个数为P2,当偶数n=   时,P2=5P1.
三、计算题
17.(2023八下·瓯海期中)某租赁公司拥有汽车100辆,据统计,每辆车的月租金为4000元时,可全部租出,每辆车的月租金每增加100元,未租出的车将增加1辆,租出的车每辆每月的维护费为500元,未租出的车每辆每月只需维护费100元.
(1)当每辆车的月租金为4500元时,能租出多少辆?并计算此时租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)是多少万元?
(2)规定每辆车月租金不能超过7200元,当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到万元?
18.(2023九上·涿州月考)实验与探究:
三角点阵前n行的点数计算
如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点…第n行有n个点…
容易发现,10是三角点阵中前4行的点数约和,你能发现300是前多少行的点数的和吗?
如果要用试验的方法,由上而下地逐行的相加其点数,虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300.得知300是前24行的点数的和,但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系
前n行的点数的和是1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1)+n,可以发现.
2×[1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1)+n]
=[1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1)+n]+[n+(n﹣1)+(n﹣2)+…3+2+1]
把两个中括号中的第一项相加,第二项相加…第n项相加,上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1,整个式子等于n(n+1),于是得到
1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1)+n=n(n+1)
这就是说,三角点阵中前n项的点数的和是n(n+1)
下列用一元二次方程解决上述问题
设三角点阵中前n行的点数的和为300,则有n(n+1)
整理这个方程,得:n2+n﹣600=0
解方程得:n1=24,n2=25
根据问题中未知数的意义确定n=24,即三角点阵中前24行的点数的和是300.
请你根据上述材料回答下列问题:
(1)三角点阵中前n行的点数的和能是600吗?如果能,求出n;如果不能,试用一元二次方程说明道理.
(2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…,你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗?这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗?如果能,求出n;如果不能,试用一元二次方程说明道理.
19.(2023九上·曲阜月考)阅读下面材料:
一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,它通常用字母表示,我们可以用公式来计算等差数列的和.(公式中的n表示数的个数,a表示第一个数的值,)
例如:3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=10×3+×2=120.
用上面的知识解决下列问题.
(1)计算:2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116
(2)某县决定对坡荒地进行退耕还林.从2009年起在坡荒地上植树造林,以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少,下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据.问到哪一年,可以将全县所有坡荒地全部种上树木.
  2009年 2010年 2011年 2012年
植树后坡荒地的实际面积(公顷) 25 200 24 000 22 400 20400
四、解答题
20.(2024九上·山亭期中)某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.调查发现,售价在40元至60元之间,这种台灯的售价每上涨1元,其销售量就将减少10个.
(1)若y(个)表示这种台灯平均每月的销量,x(元)表示这种台灯的售价,求y与x的函数关系式;
(2)为了实现平均每月12000元的销售利润,求这种台灯的售价应定为多少元.
21.(2024九上·南海月考)如图,某工人师傅要在一个面积为15的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板,而且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1,求剪裁后剩下的阴影部分的面积.
22.(2023九上·垫江县月考)某“5A”景区决定在“10.1”国庆节期间推出优惠套餐,预售“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票,预售中的“家庭三人行”套票的价格是“亲子两人游”套票的2倍.
(1)若“亲子两人游”套票的预售额为27000元,“家庭三人行”套票的预售额为18000元,且“亲子两人游”套票的销售量比“家庭三人行”套票的销售量多400套,求“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票的价格;
(2)套票在出售当天计划推出“亲子两人游”套票1600张,“家庭三人行”套票600张,由于预售的火爆,景区决定将“亲子两人游”套票的价格在(1)中价格的基础上增加a元,而“家庭三人行”套票在(1)中价格的基础上增加a元,结果“亲子两人游”套票的销量比计划少20a套,“家庭三人行”套票的销售量与计划保持一致,最终实际销售额比计划销售额多12000元,求a的值.(票价均为整数)
23.(2024·河池模拟)某电商响应国家号召,发挥电商优势,服务乡村振兴,在网络平台上为某农产品直播带货.已知该产品的进货价为70元/件,为吸引流量,该电商在直播中承诺商品价格永远不会超过99元/件,根据一个月的市场调研,商家发现当售价为99元/件时,日销售量为42件,售价每降低1元,日销售量增加2件.
(1)当销售量为50件时,产品售价为   元/件;
(2)求出日销售量y(件)与售价x(元/件)的函数关系式并写出x的取值范围;
(3)该产品的售价每件应定为多少元时,电商每天可盈利1200元?
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
2.【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
3.【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
4.【答案】C
【知识点】图形的平移;一元二次方程的应用-几何问题
5.【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
6.【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
7.【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
8.【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
9.【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
10.【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用;一元二次方程的实际应用-销售问题
11.【答案】(x﹣3)(x﹣2)=20.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
12.【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
13.【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用
14.【答案】25+25(1+x)+25(1+x)2=82.75
【知识点】一元二次方程的其他应用
15.【答案】200(1+x)2=242
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题;列一元二次方程
16.【答案】12
【知识点】探索图形规律;一元二次方程的应用-几何问题
17.【答案】(1)当每辆车的月租金为4500元时,能租出95辆,此时租赁公司的月收益是万元;
(2)每辆车的月租金定为5000元时,租赁公司的月收益可达到万元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
18.【答案】(1)600;(2)24.
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
19.【答案】(1)1180;(2)到2017年,可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.
【知识点】因式分解法解一元二次方程;探索数与式的规律;一元二次方程的实际应用-工程问题
20.【答案】(1)
(2)60元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题;一次函数的其他应用
21.【答案】裁剪后剩下的阴影部分的面积为2.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
22.【答案】(1)“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票的价格各是45元和90元
(2)15
【知识点】分式方程的实际应用;一元二次方程的实际应用-销售问题
23.【答案】(1)95
(2)解:根据题意得:,
该产品的进货价为70元/件,且该电商在直播中承诺商品价格永远不会超过99元/件,
(,x为整数).
(3)解:根据题意,得.
整理,得.
解得,(不符合题意,舍去).
答:该产品的售价每件应定为90元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题;一次函数的实际应用-销售问题
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