21.3 实际问题与一元二次方程 同步练习（含答案）

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21.3实际问题与一元二次方程
一、单选题
1．（2024八下·哈尔滨期中）某工厂一月份生产机器100台，计划三月份生产机器225台，设二、三月份的平均增长率为x，则根据题意列出方程是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九上·铜仁期末）2024年“村”球王争霸赛全国总决赛于2024年9月30日至10月4日在贵州省台江县台盘“村”篮球场举行．组委会将参赛球队平均分成2个小组进行单循环赛（同组所有对手之间都进行一次比赛），每个小组决出一二名进入4强交叉赛．已知每个小组的单循环比赛总场次为10场，若设每个小组有支球队，则列出方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023九下·谷城模拟）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·恩平期中）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·宣化期中）微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小明在2020年“中秋节”收到微信红包为300元，2022年为675元，若这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022九上·罗湖期中）天虹商场一月份鞋帽专柜的营业额为100万元，三月份鞋帽专柜的营业额为150万元.设一到三月每月平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．100（1+2x）＝150
B．100（1+x）2＝150
C．100（1+x）+100（1+x）2＝150
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝150
7．（2016九上·崇仁期中）某旅游景点三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．25（1+x）2=64 B．25+25（1+x）2=64
C．25（1+2x）=64 D．64（1﹣x2）=25
8．（2017九上·宜昌期中）改革的春风吹遍了神州大地，人们的生活水平显著的提高，国内生产总值迅速提高，2000年国内生产总值（GDP）约为8.75万亿元，计划到2020年国内生产总值比2000年翻两番，设以十年为单位计算，设我国每十年国内生产总值的增长率为x，则可列方程（　　）
A．
B．
C．
D．
9．2014年底，我国核电装机容量大约为2000万千瓦，到2016年底我国核电装机容量将达到约3200万千瓦．若设平均每年的增长率为x，则可列方程为（　　）
A．2000（1+x）=3200 B．2000（1+2x）=3200
C．2000（1+x）2=3200 D．2000（1+x2）=3200
10．（2024八下·莱芜期末）一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价后的售价不低于成本价的，“抱竹熊猫”的售价降低了，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了；“打坐熊猫”的售价打折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了，最终第二天两款熊猫玩偶的总利润为元，求的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024九上·北京市期中）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，若原正方形空地边长是xm，则可列方程为　 　．
12．（2023九上·沭阳期中）某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到64万只．设七、八月份口罩产量的月平均减少率为x，则可列方程为　 　．
13．（2024九上·青岛月考）在一次聚会上，每两个人都只碰一次杯，若一共碰杯次，则参加聚会的人数为　 　．
14．（2016九上·庆云期中）某商场第一季度的利润是82.75万，其中一月份的利润是25万，若利润的平均月增长率为x，可列出方程为：　 　．
15．（2025八下·温州期中）某超市一月份的营业额为200万元，二月份、三月份每月的营业额逐月递增，三月份营业额为242万元。设营业额的平均月增长率为，由题意可列方程为　 　。
16．（2020九上·上思月考）如图，每个正方形由边长为1的小正方形组成，正方形中黑色、白色小正方形的排列规律如图所示，在边长为n(n≥1)的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，当偶数n＝　 　时，P2＝5P1.
三、计算题
17．（2023八下·瓯海期中）某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车每辆每月只需维护费100元．
（1）当每辆车的月租金为4500元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？
（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到万元？
18．（2023九上·涿州月考）实验与探究：
三角点阵前n行的点数计算
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…
容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？
如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系
前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．
2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]
=[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]
把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到
1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n=n（n+1）
这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n（n+1）
下列用一元二次方程解决上述问题
设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n（n+1）
整理这个方程，得：n2+n﹣600=0
解方程得：n1=24，n2=25
根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．
请你根据上述材料回答下列问题：
（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
19．（2023九上·曲阜月考）阅读下面材料：
一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母表示，我们可以用公式来计算等差数列的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，）
例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋×2＝120．
用上面的知识解决下列问题．
（1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116
（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．
　 2009年 2010年 2011年 2012年
植树后坡荒地的实际面积（公顷） 25 200 24 000 22 400 20400
四、解答题
20．（2024九上·山亭期中）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元之间，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．
（1）若y（个）表示这种台灯平均每月的销量，x（元）表示这种台灯的售价，求y与x的函数关系式；
（2）为了实现平均每月12000元的销售利润，求这种台灯的售价应定为多少元．
21．（2024九上·南海月考）如图，某工人师傅要在一个面积为15的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板，而且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1，求剪裁后剩下的阴影部分的面积．
22．（2023九上·垫江县月考）某“5A”景区决定在“10.1”国庆节期间推出优惠套餐，预售“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票，预售中的“家庭三人行”套票的价格是“亲子两人游”套票的2倍．
（1）若“亲子两人游”套票的预售额为27000元，“家庭三人行”套票的预售额为18000元，且“亲子两人游”套票的销售量比“家庭三人行”套票的销售量多400套，求“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票的价格；
（2）套票在出售当天计划推出“亲子两人游”套票1600张，“家庭三人行”套票600张，由于预售的火爆，景区决定将“亲子两人游”套票的价格在（1）中价格的基础上增加a元，而“家庭三人行”套票在（1）中价格的基础上增加a元，结果“亲子两人游”套票的销量比计划少20a套，“家庭三人行”套票的销售量与计划保持一致，最终实际销售额比计划销售额多12000元，求a的值．（票价均为整数）
23．（2024·河池模拟）某电商响应国家号召，发挥电商优势，服务乡村振兴，在网络平台上为某农产品直播带货．已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为99元/件时，日销售量为42件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）当销售量为50件时，产品售价为　 　元/件；
（2）求出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式并写出x的取值范围；
（3）该产品的售价每件应定为多少元时，电商每天可盈利1200元？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
4．【答案】C
【知识点】图形的平移；一元二次方程的应用-几何问题
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
10．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
11．【答案】（x﹣3）（x﹣2）=20．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用
14．【答案】25+25（1+x）+25（1+x）2=82.75
【知识点】一元二次方程的其他应用
15．【答案】200(1+x)2=242
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
16．【答案】12
【知识点】探索图形规律；一元二次方程的应用-几何问题
17．【答案】（1）当每辆车的月租金为4500元时，能租出95辆，此时租赁公司的月收益是万元；
（2）每辆车的月租金定为5000元时，租赁公司的月收益可达到万元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
18．【答案】（1）600；（2）24．
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
19．【答案】（1）1180；（2）到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；探索数与式的规律；一元二次方程的实际应用-工程问题
20．【答案】（1）
（2）60元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
21．【答案】裁剪后剩下的阴影部分的面积为2．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
22．【答案】（1）“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票的价格各是45元和90元
（2）15
【知识点】分式方程的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
23．【答案】（1）95
（2）解：根据题意得：，
该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺商品价格永远不会超过99元/件，
（，x为整数）．
（3）解：根据题意，得．
整理，得．
解得，（不符合题意，舍去）．
答：该产品的售价每件应定为90元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
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