第一章《三角形》复习题--三角形中的倒角模型（含详解）--苏科版八年级数学上册

第一章《三角形》复习题--三角形中的倒角模型
题型一：三角形同一个角的平分线与高线形成的夹角（高分线模型）
1．如图，中，，平分，若∠A=2∠C，，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，，分别是 ABC的角平分线和高线，且，，则 ．
3.已知：如图①所示，在 ABC中，为的高，为平分线交于点E，．(1)求的度数；(2)与之间有何数量关系？(3)若将题中的条件“”改为“”（如图②），其他条件不变，则与之间又有何数量关系？请说明理由．
4．已知：在 ABC中，，平分交于点．
(1)如图①，于点，若，求的度数；
(2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）；
(3)如图②，在 ABC中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．

5．综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．(1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点．
①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数；
②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数；

(2)【迁移探究】操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由；
(3)【拓展应用】如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系．

题型二：双垂直模型（同一个三角形的两条高线）
6．如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
7．在 ABC中，，是它的两条高，直线交于点F， ．
8．如图，在中，和分别是边上的高，若，，则的值为（　　）．
A． B． C． D．
9．如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为 ．
10．如图，在 ABC中，，两条高交于点O，连接，则 ．
题型三：子母型双垂直模型（射影模型）
11．如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．

12．如图，在中，，于D，求证：．
13．如图，在中，，于，平分交于，交于F．(1)如果，求的度数；(2)试说明：．

14．已知：如图，在中，，、分别在边、上，、相交于点．(1)给出下列信息：①；②是的角平分线；③是的高．请你用其中的两个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件：______，结论：______．（填序号） 证明：
(2)在（1）的条件下，若，求的度数．（用含的代数式表示）

15．如图，在中，，D是AB上一点，且．

(1)求证：
证明：∵在中，（已知）
∴（___________），又∵（已知），∴（等量代换），
∵（___________），∴，∴．
(2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：；
(3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，．
①___________；（用含m的代数式表示）
②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示）
题型四：三角形的两条内角平分线形成的夹角
16．如图，在 ABC中，，的平分线相交于点I．若，，则的度数是 ．
17．如图，已知在中，．
(1)分别作，的平分线，它们交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)当时，的度数为　　．(3)当时，的度数为 ．
18．模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动．
如图①，在中，、分别是和的角平分线．
解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案）
(2)若，求出的度数；
拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系．
19．【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探例3．（24-25八年级上·广东韶关·期中）小亮学习了“多边形及其内角和”后，对几何学习产生了浓厚的兴趣，三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系．
【探究发现】(1)如图①，在中，、分别平分和，试探究与的数量关系．并说明理由．
【拓展延伸】(2)如图②，在四边形中，分别平分和，请你探究与之间的数量关系，并说明理由．
【类比迁移】(3)若将（2）中的四边形改为六边形，如图③，请你探究与之间的数量关系，并说明理由．
20．【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系；
【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______；
【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______；
【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______；
【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______．
题型五：三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角
21．如图，平分，点是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：

①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；
②分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；
③作射线，交于点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，是一个缺角的三角板模型，现要知道的大小.数学活动课上，小李没有采用先直接量得和的度数，再求得的度数，而是分别画出的角平分线与的外角平分线相交于点，测得，请告知 °.
23．如图．在 ABC中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③点在的角平分线上；④；⑤若点到的距离是2， ABC的周长是12，则的面积是24．一定成立的是 ．
24．问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
25．∠ACD是△的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点An． 设∠A＝．则＝ ，∠A2021＝ ．
题型六：三角形的两条外角平分线形成的夹角
26．如图， ABC的两个外角的平分线交于点P．若，则 ．
27．如图，，分别平分 ABC的内角、外角、外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 ．（填序号）
28．如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点D，连接，则的度数为 ．
29．如图（1），，是的外角，的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的平分线交于点E．(1)若，则 度；(2)若，求∠E的度数；(3)在图（1）的条件下，沿作射线，连接，如图（2）．求证：平分．
30．小明完成了下面的探究过程，请你也探究一下，看看你的结论是否跟他一样．
(1)探究1：如图1，是△ABC的内角与的平分线和的交点，若，则____________度：
(2)探究2：如图2，是△ABC的外角与外角的平分线和的交点，求与的数量关系？并说明理由．
(3)拓展：如图3，是四边形的外角与的平分线和的交点，设．
①直接写出与的数量关系；②根据的值的情况，判断的形状（按角分类）．
31．已知在△ABC中，图1，图2，图3中的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，（1）如图1，点O是△ABC的两个内角平分线的交点，猜想∠O与∠A之间的数量关系，并加以证明．（2）请直接写出结果．如图2，若，△ABC的内角平分线与外角平分线交于点O，则∠O＝________；如图3，若，△ABC的两个外角平分线交于点O，则∠O＝_________．
参考答案
题型一：三角形同一个角的平分线与高线形成的夹角（高分线模型）
1．B
【详解】解：∵中，，∴设，那么，∴，
∵平分，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴．故选：B．
2．
【详解】解：，，，
是的角平分线，，
是 ABC的高线，，
．故答案为：．
3.（1）解：∵，，∴
又∵为的平分线，∴
∵为的高，∴，，∴；
（2）解：由图知；
（3）解： 理由如下：由三角形内角和知，
∵为的平分线，∴
∵为的高，∴
又∵，∴
∴．
4．（1）解：∵在 ABC中，，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∴，
当时，；
（2）由（1）可知，，∴当时，∴；
（3）∵，而，∴，
∵，，∴，∴；
（4）的度数大小不发生改变．理由如下：
∵，，∴，∴．
5．（1）解：①如图所示：

在中，，，，
是的平分线，，
是的一个外角，，
用三角尺作边上的高，垂足为点，；
②如图所示:是的一个外角，，
，；
（2）解：不变，理由如下：

由（1）可知，，是的一个外角，
，，；
（3）解：如图所示：在中，，，，
是的平分线，，
是的一个外角，，
，；如图所示：

在中，，，，
是的平分线，，
，
，；
综上所述，对于图3；对于图4．
题型二：双垂直模型（同一个三角形的两条高线）
6．A
【详解】解：∵是边上的高，∴，∵，∴，
∵是边上的高，∴，∴，故选：A．
7．或
【详解】解：当为锐角三角形时，如图，

∵，是它的两条高，∴；
当 ABC为钝角三角形时，如图，∵，是它的高，∴，
∵是 ABC的高，∴，综上所述：或，故答案为：或．
8．B
【详解】∵，∴，∴．故选B．
9．
【详解】解：∵，，∴，
∴，，∴，
在与中，， ∴，∴，
∵，∴的面积，故答案为：．
10．
【详解】解：如图，延长交于，
∵两条高交于点O，∴为边上的高，即，
∴，故答案为：．
题型三：子母型双垂直模型（射影模型）
11．50或25
【详解】解：∵，∴
∵平分 ∴；当为直角三角形时，有以下两种情况：
①当时，如图1，∵，∴；

②当时，如图2，∴，
∵，∴，
综上，的度数为或．故答案为：50或25．
12．证明：∵，∴
又∵，∴
又∵，∴∴
13．（1）解：，，，
平分交于，，；
（2）证明：，，
，，，
平分交于，，，，．
14．（1）条件：①②，结论：③，
证明：∵是的角平分线，∴，
∵，∴，
∵，
∴，∴是的高．
条件：①③，结论：②，
证明：∵是的高，∴，∴，
∵，，，
∴， ∴是的角平分线；
条件：②③，结论：①，
证明：∵是的角平分线，∴，
∵是的高，∴，
∴，
∵，，
∴； 故答案为：①②；③；
证明：见解答；
（2）∵，∴，∵是的角平分线，∴，
∵，∴．
15．（1）证明：∵在中，（已知），
∴（直角三角形两锐角互余），
又∵（已知），∴（等量代换），
∵（三角形内角和定理），∴，∴．
故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；
（2）证明：∵平分，∴，
∵，∴，，∴，
又∵，∴；
（3）解：①∵，∴，
∵，∴，∴，故答案为：；

②连接，设，则，∵，∴，
∵，∴，
∵，∴解得：，
∴四边形的面积，故答案为：．
题型四：三角形的两条内角平分线形成的夹角
16．
【详解】解：∵，的平分线相交于点I，，，
∴，，
∴．故答案为：
17．（1）解：图形如图所示：
（2），平分，平分，
，
．故答案为：；
（3），平分，平分，
，
．故答案为：．
18．（1）解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠PBC=∠ABC=×40°=20°，∠PCB=∠ACB=×80°=40°．
∴∠BPC=180°-∠PBC -∠PCB=180°-20°-40°=120°； 故答案为：120°；
（2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB．
∴∠BPC=180°-∠PBC -∠PCB=180°-（180°-∠BAC）=90°+ ∠BAC，
∵∠BAC=100°， ∴∠BPC=90°+∠BAC=90°+×100°=140°；
（3）∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠DCB．
∴∠BPC=180°-∠PBC -∠PCB=180°- （360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）．
19．（1）解：．理由如下：
、分别平分和，，
，
即；
（2）解：．理由如下：
、分别平分和，
，，，
，，即；
（3）解：．理由如下：六边形的内角和为：，
、分别平分和，，
，，，
，
即．
20．（1）（2）（3）（4）（5）105
【详解】解：（1）∵，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴
．
（2）∵、是的三等分线，、是的三等分线，
∴，，
∴
．故答案为：
（3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线，
∴，，
∴
．故答案为：
（4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，∴，，，，
∴
，
，
∴．
故答案为：
（5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，
∴，，，，
∴
，
，
∴，
∵∴，∴，
同理可得．故答案为：105
题型五：三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角
21．B
【详解】由作法得平分，∴，
∵平分，∴，
∵，∴．故选B．
22．
【详解】解：∵的角平分线与的外角平分线相交于点，
∴，，
∴，
∵，∴，
∴，∴，故答案为：；
23．①②③
【详解】解：为外角的角平分线，平分，，，
又是的外角，，故①正确；
，分别平分，，∴，
则，∴，故②是正确的．
连接，如图所示：
，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点，
∴点在的角平分线上，故③是正确的．
∵，平分， ∴
平分， ∴∴故④是错误的，
∵，分别平分，，∴点到的距离点到的距离点到的距离，
∴，
故⑤是错误的，故答案为：①②③．
24．（1）解：如图2，是等边三角形，，，
∵BD平分，平分．，，
，；
如图3，是等腰三角形，，，，
∵BD平分，平分．，，
，；故答案为，，；
（2）解：成立，如图1，在中，，
在中，，（1）
平分，平分，，，
又，，（2）
由（1）（2），，．
25．
【详解】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A，
∵∠A=，∴∠A1=，同理可得：∠An=，∴∠A2021=，故答案为：，．
题型六：三角形的两条外角平分线形成的夹角
26．
【详解】解：根据题意得：，
，，
，即，
,故答案为：．
27．①②③④
【详解】解：①平分，，，，
，，，故①正确，
②，，平分，，
，故②正确；
③，，，
，，，
，，，故③正确；
④∵BD平分，，，，，
平分，，，，
，，
，，故④正确；
⑤由④得，，，，
，故⑤不正确．故答案为：①②③④．
28.
【详解】解：作，垂足分别为点，
平分，，，
∵BD平分，，，，平分，
，，，，
，，
，故答案为：
29.（1）解：∵平分，平分，∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴；故答案为：
（2）∵平分，平分，∴，，
∴，∴，
∵，∵，∴，∴；
（3） 如图2，过点D作于点H，于点K，于点I，
∵平分，平分，∴，，∴，
∵于点K，于点I，∴平分．
30.（1）∵，∴.
∵是 ABC的内角与的平分线和的交点，
∴，∴
∵，∴.故答案为：
（2）.理由：∵是 ABC的外角与外角的平分线和的交点，
∴在中，.
（3）如图，①，延长交于点Q，
由（2）可知，，∴，
∴.∴.
②当时，则，则是钝角三角形;
当时，则，则是直角三角形;
当时，则，
∵是四边形的外角与的平分线和的交点，
∴∴是锐角三角形.
31.解：（1）．
证明：∵平分，平分，∴，，
∴
．即．
（2）；．如图2所示：
∵平分，平分，∴，，
∴．
∵∴．即．
如图3所示：∵平分，平分，∴，，
∴
．
∵∴．即．故答案为：；．