人教版八年级数学上册第14章全等三角形14.3角的平分线第2课时角的平分线的判定 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
1.理解角的平分线判定定理.
2.掌握角的平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.
3.会判断一个点是否在一个角的平分线上.
角的平分线判定定理内容的证明及应用.
角的平分线判定定理的理解.
难点
重点
O
D
P
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
几何语言描述：
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE.
A
C
B
角的平分线上的点到角两边的距离相等.
1.叙述角的平分线的性质定理
不必再证全等
E
P
A
O
B
C
D
E
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角两边的距离相等.
猜想:
思考：这个结论正确吗？如何证明？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
证明猜想
判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用时所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边距离相等.
定理的作用：判断点是否在角的平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，
∴点P 在∠AOB的平分线上.
知识点1 角的平分线的判定
1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.
2. 角的平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等) 得到一个结论( 角平分线).
3. 角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据， 它比利用三角形全等证两角相等更快捷.
例1 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ，D即为所求.
O
知识点2 三角形的角平分线
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
如何证明这个结论？
例2 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
求证：
（1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
（2）△ABC的三条角平分线交于一点.
A
B
C
P
N
M
D
E
F
证明：（1）过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
（2）由（1）得，点P到边AB，CA的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上.
∴△ABC的三条角平分线交于一点.
A
B
C
P
N
M
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
这个交点叫作三角形的内心.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
变式1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
温馨提示：不存在垂线段———构造应用
12
解：如图，连接OC.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
角平分线
的判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交于内部一点
1.如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法：
①点P在∠DBC的平分线上；
②点P在∠BCE的平分线上；
③点P在∠BAC的平分线上.
其中说法正确的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
D
C
A
E
B
D
F
P
┐
┐
2．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等， 则点P是(　　)
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上均不对
C
3．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，
50，60，其三条角平分线交于点O，则
S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ ______________.
4 ∶5 ∶6
4. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
P
A
O
B
M
N
5. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
6.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
E
D