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1.定义
对 和 的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义.
2.命题及其构成
(1)判断一件事情的 ,叫作命题.
过教材 要点概览
第2课时 定义与命题
名称
术语
句子
(2)一般地,每个命题都由 和 两部分组成. 是已知的事项, 是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成“ ”的形式,其中“ ”引出的部分是条件,“ ”引出的部分是结论.
3.真命题、假命题与反例
(1)真命题: 的命题称为真命题.
(2)假命题: 的命题称为假命题.
(3)反例:要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具
备命题的 ,而不具有命题的 ,这种例子称为反例.
条件
结论
条件
结论
如果……,那么……
如果
那么
正确
不正确
条件
结论
探究点一 定义与命题的概念
例1 下列语句属于定义的是( )
A.两点之间线段最短
B.25的平方根是±5
C.全等图形的形状和大小都相同
D.含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程是二元一次方程
精讲练 新知探究
D
例2 下列句子中,哪些是命题
(1)今天的天气真好!
(2)这本书你看完了吗
(3)如果a=-b,那么a2=b2.
(4)奇数不能被2整除.
解:(1)不是命题.(2)不是命题.(3)是命题.(4)是命题.
巩固训练
1.下列语句不是命题的是( )
A.明天有可能下雨
B.同位角相等
C.负数都小于零
D.如果x2>0,那么x>0
A
探究点二 命题的构成
例3 将下列命题改写成“如果……,那么……”的形式,并指出它们的条件和结论.
(1)有理数一定是自然数;
解:(1)如果一个数是有理数,那么这个数一定是自然数.
条件:一个数是有理数.
结论:这个数一定是自然数.
(2)负数之和仍为负数.
解:(2)如果一个数是几个负数之和,那么这个数是负数.
条件:一个数是几个负数之和.
结论:这个数是负数.
巩固训练
2.如果a=b,那么|a|=|b|,这个命题的条件是 ,结论是 .
a=b
|a|=|b|
探究点三 真命题和假命题
例4 判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,举出一个反例.
(1)一个角的补角必是钝角;
(2)过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交
直线.
解:(1)假命题.
反例:若一个角等于100°,则它的补角等于80°,而80°的角不是钝角,故是假命题.
(2)真命题.
基础巩固练 01
知识点一 定义与命题的概念
第2课时 定义与命题
1.下列句子中,不是命题的是( )
A.三角形的内角和等于180°
B.对顶角相等
C.过一点作已知直线的平行线
D.两点确定一条直线
C
2.下列属于定义的是( )
A.延长线段AB至点C
B.线段是直线上的两点和两点间的部分
C.同角或等角的补角相等
D.内错角相等,两直线平行
3.下列语句定义“两点之间的距离”正确的是( )
A.连接两点之间的线段,叫两点之间的距离
B.连接两点之间的直线,叫两点之间的距离
C.连接两点之间的线段的长度,叫两点之间的距离
D.连接两点之间的直线的长度,叫两点之间的距离
B
C
4.有下列句子:①直角三角形中的两个锐角互余;②正数都小于0;③在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线;④太阳不是行星;⑤对顶角相等吗 ⑥画一个角等于已知角.其中是定义的是 ,是命题的是 .
,既不是定义也不是命题的是 .(填写序号)
③
①②
④
⑤⑥
知识点二 命题的构成
5.命题“对顶角相等”的条件是 ,结论是 .
,将它改写成“如果……,那么……”的形式是 .
.
6.命题“同角的余角相等”的条件是 .
两个角是对顶角
这两个
角相等
如果两个角
是对顶角,那么这两个角相等
两个角是同一个角的余角
知识点三 真命题和假命题
7.下列命题中的假命题是( )
A.互补的两个角不能都是锐角
B.有理数和数轴上的点一一对应
C.乘积是1的两个数互为倒数
D.全等三角形的对应角相等
B
C
9.下列命题属于真命题的是( )
A.在△ABC中,若a2=(b+c)(b-c),则△ABC是直角三角形
B.1的平方根是它本身
C.无限小数都是无理数
D.若|x|=|y|,则x=y
A
10.请判断下列命题的真假,若是假命题,请举反例说明.
(1)若a>b,则a2>b2;
(2)两个无理数的和仍是无理数;
解:(1)若a>b,则a2>b2,是假命题.
反例:0>-1,但02<(-1)2.
(3)若一个三角形的三边长a,b,c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0,则此三角形是等边三角形.
解:(3)若一个三角形的三边长a,b,c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0,则此三角形是等边三角形,是假命题.
反例:当a=b,b≠c时,(a-b)(b-c)(c-a)=0,此三角形是等腰三角形.
能力提升练 02
11.(2025郑州期末改编)下列命题是假命题的是( )
A.正比例函数的图象一定经过原点
B.直角三角形的两锐角互余
C.x轴上的点的横坐标均为0
D.二元一次方程组可能无解
C
12.有下列命题:①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;②平方根与立方根相等的数有1和0;③在同一平面内,如果a⊥b,b⊥c,则a⊥c;④直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中,最短线段的长是
5 cm,则点A到直线c的距离是5 cm;⑤无理数包括正无理数、零和负无理数.其中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
A
13.如图所示,直线a,b,c在同一平面内,现有以下三句话:①a⊥c;②b⊥
c;③a∥b.请以其中两句话为条件,另一句话为结论构造命题.
(1)你构造的是哪几个命题
(2)你构造的命题是真命题还是假命题
解:(1)由①②,推出③;由①③,推出②;由②③,推出①.
(2)构造的命题都是真命题.
14.新定义 对于任意有理数a,b,规定一种特别的运算“ ”:a b=a-b+ab.
例如,2 5=2-5+2×5=7.
(1)求3 (-1)的值.
(2)若(-4) x=6,求x的值.
解:(1)3 (-1)=3-(-1)+3×(-1)=3+1-3=1.
(2)(-4) x=6,
则-4-x-4x=6,
解得x=-2.
(3)试探究这种特别的运算“ ”是否具有交换律 若具有,请说明理由;若不具有,请举一个反例说明.
解:(3)这种特别的运算“ ”不具有交换律.
反例:2 5=2-5+2×5=7,
5 2=5-2+5×2=13,
∴2 5≠5 2,
∴这种特别的运算“ ”不具有交换律.
素养培优练 03
15.如图所示,若△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,则称点P为△ABC的布洛卡点.某数学兴趣小组研究一些特殊三角形的布洛卡点时,得到下列两个命题:
①若∠BAC=90°,则∠APC=90°;
②若AB=AC,则∠APB=∠BPC.
下列说法正确的是( )
A.①为真命题,②为假命题
B.①为假命题,②为真命题
C.①②均为假命题
D.①②均为真命题
D
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公理、定理与证明
(1)公认的 称为公理.
(2)演绎推理的 称为证明.
(3)经过证明的 称为定理.
过教材 要点概览
第3课时 定理与证明
真命题
过程
真命题
探究点一 公理、定理
例1 下面关于公理和定理的联系中说法不正确的是( )
A.公理和定理都是真命题
B.公理就是定理,定理也是公理
C.公理和定理都可以作为推理论证的依据
D.公理的正确性不需证明,定理的正确性需证明
精讲练 新知探究
B
巩固训练
1.下列语句中,属于定理的是( )
A.在直线AB上取一点E B.如果两个角相等,那么这两个角是对顶角
C.同位角相等 D.同角的补角相等
2.下列所学过的真命题中,不是公理的是( )
A.对顶角相等
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.同位角相等,两直线平行
D.三边分别相等的两个三角形全等
D
A
探究点二 证明
例2 请你完成命题“邻补角的平分线互相垂直”的证明(画出图形,写出已知、求证,并完成证明).
巩固训练
3.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,下列结论不一定正确的是( )
A.∠A>∠C
B.AB+BC>AC
C.∠A+∠C=90°
D.BC2=AC2-AB2
A
4.如图所示,直线EF,CD相交于点O,OA⊥OB,且OC平分∠AOF.求证:∠AOE
=2∠BOD.
基础巩固练 01
知识点一 公理、定理
第3课时 定理与证明
1.下列命题不是基本事实的是( )
A.两点确定一条直线
B.两直线平行,内错角相等
C.两点之间线段最短
D.三边分别相等的两个三角形全等
B
2.下列说法正确的是( )
A.“对顶角相等”是定义
B.“在直线AB上取一点C”是命题
C.同角的补角相等
D.“同位角相等”是定理
3.下列说法正确的是( )
A.命题是定理,定理是命题
B.命题不一定是定理,定理不一定是命题
C.真命题有可能是定理,假命题不可能是定理
D.定理可能是真命题,也可能是假命题
C
C
4.有下列命题:①能被3整除的数也能被6整除;②等式两边除以同一个
数,结果仍是等式;③x=2是一元一次方程x-2=0的根;④对顶角相等.其中是定理的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
A
知识点二 证明
5.下列问题中,用到推理证明的是( )
A.根据a=c,b=c,得a=b
B.通过观察得到了三角形有三个角
C.生物老师告诉我们很多关于人体的奥秘
D.由公理知道过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
A
6.下列命题属于基本事实(或公理),不需要证明的是( )
A.三角形的内角和等于180°
B.同角的补角相等
C.邻补角的平分线互相垂直
D.两点确定一条直线
7.如图所示,∠AOB=∠COD=90°,那么∠AOC= ,依据是 .
.
D
∠BOD
同角
的余角相等
9.如图所示,已知直线AB,CD相交于点O,OE,OF分别是∠AOC,∠BOD的平
分线.
求证:射线OE,OF在同一条直线上.
能力提升练 02
10.下列说法正确的是( )
A.真命题都可以作为定理 B.公理不需要证明
C.定理不一定都要证明 D.证明只能根据定义、公理进行
11.如图所示,AD=BC,要使△ABC≌△BAD,若根据三角形全等的判定公理
(基本事实)判定,则需添加的一个条件可以是 .
B
AC=BD(答案不唯一)
12.如图所示,在△ABC中,D是AB边上的一点,有下列三个关系:①∠ACB=
90°;②AC=CD;③∠ACD=2∠B.取两个作为条件,另一个作为结论,组成一个真命题,并写出证明过程.
解:答案不唯一.如果∠ACB=90°,AC=CD,那么∠ACD=2∠B.
证明:∵∠ACB=90°,∴∠A=90°-∠B.
∵AC=CD,∴∠A=∠ADC.
∴∠ACD=180°-2∠A.
∴∠ACD=180°-2(90°-∠B)=2∠B.
13.求证:邻补角的平分线互相垂直.
素养培优练 03
14.如图所示,在△ABC和△DEF中,点B,E,C,F在同一条直线上,下面给出四个论断:①AB=DE;②AC=DF;③∠ABC=∠DEF;④BE=CF.从中选三个作为条件,剩余的一个作为结论,请写出一个真命题(用 的形式表示),并给出证明.
解:答案不唯一.①③④ ②.
证明:∵BE=CF,
∴BE+CE=CF+CE,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∵AB=DE,∠ABC=∠DEF,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF.
∴AC=DF.
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平行线的判定条件
(1)基本事实:同位角相等, .
(2)定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线
.
简述为: ,两直线平行.
(3)定理:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角 ,
那么这两条直线平行.简述为: ,两直线平行.
过教材 要点概览
两直线平行
2 平行线的证明
第1课时 平行线的判定
平行
内错角相等
互补
同旁内角互补
探究点一 平行线的判定(1)
例1 如图所示,BE⊥MN于点B,DF⊥MN于点D,∠1=∠2.求证:AB∥CD.
精讲练 新知探究
证明:∵BE⊥MN,DF⊥MN(已知),
∴∠EBN=∠FDN=90°(垂直的定义).
∵∠1=∠2(已知),
∴∠EBN+∠1=∠FDN+∠2,
即∠ABN=∠CDN(等式的性质).
∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
方法归纳
依据题目条件,准确识别待证明平行的两条直线被第三条直线所截得的同位角相等是解决此类问题的关键.
巩固训练
1.如图所示,将木条a,b与c钉在一起,∠1=85°,∠2=50°,要使木条a与b平行,木条a旋转的度数至少是( )
A.15° B.25° C.35° D.50°
C
探究点二 平行线的判定(2)
例2 如图所示,直线AB,CD,EF被直线GH所截,∠1=70°,∠2=110°,∠2+
∠3=180°.试证明:EF∥AB.
证明:∵∠2+∠3=180°,
∠2=110°(已知),
∴∠3=70°(等式的性质).
又∵∠1=70°(已知),
∴∠1=∠3(等量代换).
∴EF∥AB(内错角相等,两直线平行).
巩固训练
2.教材变式题 过点A作已知直线m的平行线n的作法依据是 .
.
内错角相
等,两直线平行
3.将一副三角板拼成如图所示的图形,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.求证:AB∥CF.
探究点三 平行线的判定(3)
例3 如图所示,已知E,C,D三点共线,∠DCM=40°,∠B=80°,CN平分
∠BCE,CM⊥CN,问:AB与CD有什么位置关系 请写出推理过程.
解:AB∥CD.推理过程如下:
∵CM⊥CN(已知),
∴∠MCN=90°(垂直的定义).
∵∠DCM=40°(已知),
∴∠ECN=180°-∠MCN-∠DCM=50°(平角的定义).
∵CN平分∠BCE(已知),
∴∠BCE=2∠ECN=100°(角平分线的定义).
∵∠B=80°(已知),
∴∠BCE+∠B=100°+80°=180°(等式的性质).
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
归纳总结
平行线的判定是由角之间的数量关系到直线的位置关系的判定.说明两直线平行时,一般要结合对顶角、平角、补角等知识来说明.
巩固训练
4.如图所示是小明探索直线平行的条件时所用的学具,木条a,b,c在同一平面内,经测量,∠2=110°,要使木条a与b平行,则∠1的度数应为( )
A.20° B.70° C.110° D.160°
B
基础巩固练 01
知识点一 平行线的判定(1)
2 平行线的证明
第1课时 平行线的判定
1.如图所示,给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法,其依据是
( )
A.同位角相等,两直线平行
B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角互补,两直线平行
D.对顶角相等,两直线平行
A
2.如图所示,直线a,b被直线c,d所截.下列条件能判定a∥b的是( )
A.∠1=∠3 B.∠2+∠4=180°
C.∠4=∠5 D.∠1=∠2
D
3.如图所示,已知AB⊥BC,若∠1+∠2=90°,且∠2=∠3,求证:BE∥DF.
证明:∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
即∠3+∠4=90°.
又∵∠1+∠2=90°,且∠2=∠3,
∴∠1=∠4,
∴BE∥DF.
知识点二 平行线的判定(2)
4.(2025赤峰月考)如图(1)所示是生活中常见的晾衣架,将其正面抽象成平面图形,如图(2)所示,则使EG∥BH成立的条件是( )
B
图(1) 图(2)
A.∠1=∠5 B.∠1=∠2
C.∠3=∠4 D.∠4=∠5
5.如图所示,AD平分∠BAC,E,F分别是AD,AC上的点,请你填写一个条件:
,使 EF∥AB.
∠AEF=∠BAD(答案不唯一)
知识点三 平行线的判定(3)
6.(2025南京期末)如图所示,有下列条件:①∠1=∠C,②∠2=∠C,③
∠BAC+∠C=180°,④∠ABE+∠2=180°.能判定AB∥CD的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
7.如图所示,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,且∠1+∠2=90°.求证:AD∥BC.
解:∵DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,
∴∠ADC=2∠1,∠BCD=2∠2.
∵∠1+∠2=90°,
∴∠ADC+∠BCD=2(∠1+∠2)=180°.
∴AD∥BC.
能力提升练 02
8.将一副三角尺按如图所示放置,DE,BC交于点F(∠C=45°,∠D=30°),则下列结论不正确的是( )
A.∠1=∠3
B.∠CAD+∠2=180°
C.若∠2=30°,则BC∥AD
D.若∠2=30°,则AC∥DF
C
9.如图所示,已知∠ACB与∠AOE互补.
(1)求证:BC∥DE.
(1)证明:∵∠ACB与∠AOE互补,
∴∠ACB+∠AOE=180°.
∵∠AOE=∠DOC,
∴∠DOC+∠BCA=180°.
∴DE∥BC.
(2)想想看,还有其他证明(1)的方法吗 如果有,请再写出一种.
(2)解:有.
∵∠ACB与∠AOE互补,
∴∠ACB+∠AOE=180°.
∵∠AOE+∠AOD=180°,
∴∠AOD=∠ACB.
∴DE∥BC.(答案不唯一)
10.如图所示,已知AB∥EF,EP⊥EQ,∠1+∠APE=90°,求证:AB∥CD.
证明:∵AB∥EF,∴∠APE=∠2.
∵EP⊥EQ,
∴∠PEQ=90°,即∠2+∠3=90°.
∴∠APE+∠3=90°.
∵∠1+∠APE=90°,
∴∠1=∠3.∴EF∥CD.
又∵AB∥EF,
∴AB∥CD.
素养培优练 03
11.模型观念 如图所示,母球P击中桌边点A,经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B,然后反弹击中球C.(每次撞击桌边时,撞击前后的路线与桌边所夹的角相等)
(1)若∠PAD=32°,求∠PAB的度数.
解:(1)∵∠PAD=32°,∠PAD=∠BAE,
∠PAD+∠PAB+∠BAE=180°,
∴∠PAB=180°-32°-32°=116°.
(2)BC与PA一定平行吗 请说明理由.
解:(2)一定平行.理由如下:
∵∠PAD=∠BAE,∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE,
∴∠PAB=180°-2∠BAE.
同理∠ABC=180°-2∠ABE.
∵∠BAE+∠ABE=90°,
∴∠PAB+∠ABC
=360°-2(∠BAE+∠ABE)
=180°.
∴BC∥PA.
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证明的必要性
观察、实验、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确.因此,要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠 、实验、归纳是不够的,必须进行有理有据的 .
过教材 要点概览
观察
证明
1 认识证明
第1课时 为什么要证明
第七章 命题与证明
探究点 证明的必要性
例1 先观察再验证:
(1)图(1)中黑色实线是直的还是弯曲的
(2)图(2)中的直线a与直线b平行吗
(3)图(3)中的线段m和n一样长吗
精讲练 新知探究
解:观察可能得出的结论是:
(1)图(1)中黑色实线是弯曲的.
(2)图(2)中直线a与直线b不平行.
(3)图(3)中线段m和n不一样长.
用科学的方法验证发现:
(1)图(1)中黑色实线是直的.
(2)图(2)中a∥b.
(3)图(3)中线段m和n一样长.
例2 小路发现当x=-2,-1,0,1,2,3,…时,代数式x2+6x+9的值均大于0,因此小路断定:对于任意一个数x,代数式x2+6x+9的值均大于0,你认为小路的说法正确吗 为什么
解:不正确.理由如下:
当x=-3时,x2+6x+9=0,这与“对于任意一个数x,代数式x2+6x+9的值均大于0”相矛盾,因此,并非对于任意一个数x,代数式x2+6x+9的值均大于0.
巩固训练
1.先观察再验证,左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大
解:将左图中间的圆圈与右图中间的圆圈进行叠合,即可得到中间的圆圈大小相同.
2.已知n为正整数,2n+4-2n一定是30的倍数吗
解:2n+4-2n=2n(24-1)=15×2n,
由n为正整数,得到2n为2的倍数,
则15×2n为30的倍数,即2n+4-2n一定是30的倍数.
基础巩固练 01
知识点 证明的必要性
1 认识证明
第1课时 为什么要证明
1.下列关于判断一个数学结论是否正确的说法中,正确的是( )
A.只需观察得出
B.只需依靠经验得出
C.通过亲自试验得出
D.必须进行有根据的证明
D
第七章 命题与证明
2.关于代数式n2-n+11的值,下列叙述中错误的是( )
A.当n=0,1,2,3时,代数式的值是质数
B.不能肯定n为任意自然数时,代数式的值都是质数
C.当n=11时,代数式的值是合数
D.当n为任意实数时,代数式的值不是质数就是合数
D
3.下列说法正确的是( )
A.通过观察、实验、归纳完全可以判断一个数学结论的正确与否
B.推理是科学家的事,与我们没有多大的关系
C.对于自然数n,n2+n+37一定是质数
D.有10个苹果,将它们放进9个筐中,则至少有一个筐中的苹果不少于2个
4.∠1与∠2的两边分别垂直,小明根据“四边形的内角和等于360°”得出如下结论:当两个角的两边分别垂直时,那么这两个角互补.你认为他的结论正确吗 若正确,请填写“正确”;若不正确,请直接写出正确
的结论: .
D
相等或互补
5.有下列式子:
5+10=15,5+14=19;
7+10=17,7+14=21;
11+10=21,11+14=25;
13+10=23,13+14=27;
….
是否每一个质数分别加上10,14后,所得的结果至少有一个是合数
你的结论是 .
理由是 .
不是
例如3+10=13,3+14=17,结果均为质数
6.如果|a|=3,|b|=5,那么|a+b|=8一定成立吗 为什么
解:如果|a|=3,|b|=5,那么|a+b|=8不一定成立.理由如下:
例如当a=-3,b=5时,|-a|=3,|b|=5,但是|-3+5|=2.
7.请仔细观察如图所示的图形,回答下列问题:
(1)观察:长方形的中间部分比两端宽吗
(2)你对自己的结论有十分的把握吗 经过验证后结论是什么 谈一谈你的体会.
解:(1)观察得长方形中间部分比两端宽.
(2)没有.
用直尺验证后,发现长方形中间部分与两端一样宽.
体会:仅由观察、猜想获得的结论不一定正确.
能力提升练 02
8.妈妈让小明给客人烧水沏茶,洗水壶要用1分钟,烧开水要用15分钟,洗茶壶要用1分钟,洗茶杯要用1分钟,放茶叶要用1分钟,泡茶要用2分钟,给同学打电话要用1分钟.小明最少可用多长时间使客人喝到茶 ( )
A.19分钟 B.18分钟
C.17分钟 D.16分钟
B
9.(淄博中考)甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛(每两个人都要比赛一场),结果甲胜了丁,并且甲、乙、丙胜的场数相同,则丁胜的场数是( )
A.3 B.2
C.1 D.0
10.已知a,b,c是不完全相等的任意实数,若x=a-2b+c,y=a+b-2c,z=-2a+b
+c,则关于x,y,z的值,下列说法正确的是( )
A.都大于0 B.至少有一个大于0
C.都小于0 D.至多有一个大于0
D
B
11.甲、乙、丙、丁四位同学参加数学知识竞赛,分别获得了第一、二、三、四名,大家猜测谁得第几名时,明明说:“甲得第一,乙得第二.”文文说:“甲得第二,丁得第四.”凡凡说:“丙得第二,丁得第三.”名次公布后,他们每人都只猜对了一半,那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为
.(按第一、二、三、四的名次排序)
甲、丙、乙、丁
12.如图所示,两个大小相同的大圆,其中一个大圆内有10个小圆,另一个大圆内有2个小圆,你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大 请你猜一猜,并用学过的知识和数学方法验证你的猜想.
素养培优练 03
13.请仔细观察如图所示的正方形网格中的图形(各顶点均在格点上):
你看出哪里“不对劲”了吗 想必你一定发现了一个匪夷所思的事情:下面的图形是把上面那个图形分割成四块再重新拼合而成的,可是结果却莫名其妙地“缺少了”一个小方格!请问,这是怎么回事呢
解:两个图形乍看起来是全等的直角三角形(第二个图形加上缺少的那个方格),其实这是一种错觉,它们并不是三角形,利用直尺测量,会发现“斜边”并不是一条线段,第一个略“凹陷”,第二个略“鼓”,看起来下面缺少一块,其实它们的面积相等.
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平行线的性质
(1)定理:两条平行直线被第三条直线所截,同位角 .
简述为:两直线平行,同位角 .
(2)定理:两条平行直线被第三条直线所截,内错角 .
简述为:两直线平行,内错角 .
(3)定理:两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角 .
简述为:两直线平行,同旁内角 .
(4)定理:平行于同一条直线的两条直线 .
过教材 要点概览
相等
第2课时 平行线的性质
相等
相等
相等
互补
互补
平行
探究点一 平行线的性质
例1 如图所示,∠A=130°,AB∥CD,CB平分∠ACD.
(1)求∠B的度数;
精讲练 新知探究
(2)过点B作BE∥AC,交CD于点E,在图中作出BE,并求出∠BED的度数.
解:(2)如图所示.
∵BE∥AC,
∴∠BED=∠ACD(两直线平行,同位角相等).
∴∠BED=50°.
归纳总结
求角的关键是分清角与平行线的关系,即一对角(同位角、内错角或同旁内角)是哪两条平行线被哪条直线所截得到的.
巩固训练
1.如图所示,AB和CD相交于点O,AC∥BD,∠C=∠1.求证:∠D=∠2.
证明:∵AC∥BD,
∴∠C=∠D(两直线平行,内错角相等).
∵∠C=∠1,∴∠1=∠D.
∵∠1=∠2,∴∠D=∠2.
探究点二 平行线的判定与性质的综合应用
例2 如图所示,EF∥AB,∠DCB=70°,∠CBF=20°,∠EFB=130°.
(1)试说明直线CD与AB有怎样的位置关系 并说明理由.
解:(1)直线CD和AB的位置关系为平行.
理由如下:∵EF∥AB,∠EFB=130°,
∴∠ABF=180°-∠EFB=180°-130°=50°.
又∵∠CBF=20°,∴∠ABC=∠ABF+∠CBF=50°+20°=70°.
∵∠DCB=70°,∴∠DCB=∠ABC.
∴CD∥AB.
(2)若∠CEF=70°,求∠ACB的度数.
解:(2)∵EF∥AB,CD∥AB,∴EF∥CD.
∵∠CEF=70°,
∴∠ECD=180°-∠CEF=180°-70°=110°.
∵∠DCB=70°,∴∠ACB=∠ECD-∠DCB=110°-70°=40°.
巩固训练
2.如图所示,若∠1=∠2,DE∥BC,则下列结论:①FG∥DC;②∠AED=∠ACB;③CD平分∠ACB;④∠1+∠B=90°.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
3.已知:如图所示,直线FG分别交AB,CD于点F,G,且∠1=∠2.求证:∠A+
∠AEC+∠C=360°.
证明:如图所示,过点E作EH∥AB,
∴∠A+∠3=180°.
∵∠1=∠2,
∴AB∥CD.∴EH∥CD.
∴∠C+∠4=180°.
∴∠A+∠3+∠4+∠C=180°+180°=360°,
即∠A+∠AEC+∠C=360°.
基础巩固练 01
知识点一 平行线的性质
第2课时 平行线的性质
1.(2024湖北)如图所示,一条公路的两侧铺设了AB,CD两条平行管道,并有纵向管道AC连通,若∠1=120°,则∠2的度数是( )
A.50° B.60°
C.70° D.80°
B
2.(2024包头)如图所示,直线AB∥CD,点E在直线AB上,射线EF交直线CD于点G,则图中与∠AEF互补的角有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
3.如图所示,将长方形ABCD沿AC折叠,使点B落在点B′处,B′C交AD于点E.若∠1=25°,则∠2= °.
50
4.如图所示,已知AB∥DF,DE∥BC,∠1=65°,求∠2,∠3,∠4的度数.
解:∵DE∥BC,∠1=65°,
∴∠4=∠1=65°,
∠2+∠1=180°,
∴∠2=180°-∠1=180°-65°=115°.
∵AB∥DF,
∴∠3=∠2=115°.
知识点二 平行线的判定与性质的综合应用
5.如图所示,若AB∥CD,AB∥EF,那么∠BCE等于( )
A.∠1+∠2 B.∠2-∠1
C.180°-∠2+∠1 D.180°-∠1+∠2
C
6.已知:如图所示,∠1+∠2=180°,∠A=∠D.
求证:AB∥CD.
证明:∵∠1=∠3,∠1+∠2=180°,
∴∠3+∠2=180°.
∴AE∥FD.
∴∠AEC=∠D.
∵∠A=∠D,
∴∠A=∠AEC.
∴AB∥CD.
能力提升练 02
题组 几何直观——三角尺中的平行线
7.(2024凉山)一副直角三角尺按如图所示的方式摆放,点E在AB的延长线上,当DF∥AB时,∠EDB的度数为( )
A.10° B.15° C.30° D.45°
B
8.(2024巴中)如图所示,直线m∥n,一块含有30°角的直角三角尺按图中所示放置.若∠1=40°,则∠2的大小为( )
A.70° B.60° C.50° D.40°
A
9.如图所示,将一条两边沿互相平行的纸带折叠,则∠1与∠α之间的关系式是( )
C
10.如图所示,一条公路修到湖边时,需要拐弯绕湖而过,第一次拐的角
∠A=110°,第二次拐的角∠B=145°,则第三次拐的角∠C= °时,
CE才能与AD平行.
145
11.如图所示,已知点E在BD上,EA平分∠BEF且EC平分∠DEF.
(1)求证:AE⊥CE;
(2)若∠1=∠A,AB∥CD,求证:∠4=∠C.
证明:(2)∵EA平分∠BEF,∴∠1=∠2.
∵∠1=∠A,∴∠A=∠2.∴AB∥EF.
∵AB∥CD,∴EF∥CD.∴∠3=∠C.
∵EC平分∠DEF,∴∠3=∠4.
∴∠4=∠C.
素养培优练 03
12.如图所示,已知AB∥CD,∠A=40°.点P是射线AB上一动点(与点A不重合),CE,CF分别平分∠ACP和∠DCP,交射线AB于点E,F.
(1)求∠ECF的度数.
(2)随着点P的运动,∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变 若不改变,请求出此数量关系;若改变,请说明理由.
解:(2)不改变.
∵AB∥CD,
∴∠AFC=∠DCF,∠APC=∠DCP.
∵CF平分∠DCP,
∴∠DCP=2∠DCF.
∴∠APC=2∠AFC.
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