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过教材 要点概览
1.根据已知点的坐标建立平面直角坐标系
根据已知点,先推算出原点的位置,画出横轴和纵轴,再利用所建立的平面直角坐标系,确定出其他位置点的坐标.
2.根据图形特征建立平面直角坐标系的方法
(1)选择特殊点作为坐标原点(如正方形的顶点、等边三角形一边的中点等);
(2)选择特殊边(或线段)所在的直线为坐标轴(如三角形或长方形的边、
等腰三角形的底边等).
第3课时 建立适当的坐标系描述图形的位置
精讲练 新知探究
探究点一 根据已知点的坐标建立平面直角坐标系
例1 如图所示的是小明所在学校的平面示意图,已知宿舍楼的位置是(3,4),艺术楼的位置是(-3,1).
(1)根据题意,画出相应的平面直角坐标系;
解:(1)如图所示.
(2)分别写出教学楼、体育馆的位置;
(3)若行政楼的位置是(-1,-1),在图中标出行政楼的位置.
解:(2)由平面直角坐标系,知教学楼的位置是(1,0),体育馆的位置是(-4,3).
(3)行政楼的位置如图所示.
巩固训练
1.如图所示,如果“仕”所在位置的坐标为(-1,-2),“相”所在位置的坐标为(2,-2),那么“炮”所在位置的坐标为( )
A.(-3,1) B.(1,-1)
C.(-2,1) D.(-3,3)
A
2.如图所示的一枝玫瑰花,将其放在平面直角坐标系中,表示花瓣两侧A,B两点的坐标分别是A(-3,2),B(-1,3),则茎部“底端”点C的坐标是
.
(1,-2)
探究点二 根据图形特征建立平面直角坐标系
例2 如图所示,已知直角梯形上底为3,下底为5,一个底角为45°,请建立适当的平面直角坐标系,写出图形中四个顶点的坐标,并求出梯形的
面积.
巩固训练
3.若以点B为原点建立平面直角坐标系,则点A的坐标为(3,4).若以点A为原点建立平面直角坐标系,则点B的坐标为( )
A.(-3,-4) B.(-3,4)
C.(3,-4) D.(3,4)
4.长方形ABCD的长和宽分别为4和3,其中三个顶点在坐标轴上,第四个顶点在第二象限,并且它的一条长和一条宽在坐标轴上,若平面直角坐标系的单位长度为1,则第四个顶点的坐标可能为 .
A
(-4,3)或(-3,4)
5.在例2中,若以顶点C为坐标原点建立平面直角坐标系,请直接写出直角梯形四个顶点的坐标.
解:A(-3,-2),B(-3,0),C(0,0),D(2,-2).
知识点一 根据已知点的坐标求其他点的坐标
1.如图所示,在长方形ABCD中,A(-3,2),B(3,2),C(3,-1),则D的坐标为
( )
A.(-2,-1) B.(4,-1)
C.(-3,-2) D.(-3,-1)
基础巩固练 01
第3课时 建立适当的坐标系描述图形的位置
D
2.(2025青岛期末)如图所示是一片枫叶标本,其形状呈“掌状五裂形”,裂片具有少数突出的齿.将其放在平面直角坐标系中,表示叶片“顶部”A,B两点的坐标分别为(-2,2),(-3,0),则叶杆“底部”点C的坐标为( )
A.(2,-2) B.(2,-3)
C.(3,-2) D.(3,-3)
B
3.(2024贵州)为培养青少年的科学态度和科学思维,某校创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中,若建立平面直角坐标系,使“创”“新”的坐标分别为(-2,0),(0,0),则“技”所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
A
4.如图所示是一足球场的半场平面示意图,已知球员A的位置为(-1,-1),球员C的位置为(0,1),则球员B的位置为 .
(2,0)
知识点二 根据图形特征建立平面直角坐标系
5.如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC=6,底边BC=4.
(1)建立适当的坐标系,写出各顶点的坐标;
解:(1)如图所示,以底边BC所在直线为x轴,BC上的高所在直线为y轴,BC的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系(答案不唯一).
(2)求△ABC的面积.
能力提升练 02
6.有甲、乙、丙三人,他们所在的位置不同,他们三人都以相同的单位长度建立不同的坐标系,甲说:“如果以我为坐标原点,乙的位置是(4,3);”丙说:“以我为坐标原点,乙的位置是(-3,-4);”如果以乙为坐标原点,甲和丙的位置分别是( )
A.(3,4),(-3,-4) B.(4,-3),(3,-4)
C.(-3,-4),(4,3) D.(-4,-3),(3,4)
D
7.如图所示,在长方形ABCD中,已知AB=6,AD=4,在长方形ABCD外画△ABE,使AE=BE=5,请建立适当的平面直角坐标系,并求出各顶点的坐标.
8.如图所示是某台阶的一部分,各台阶的宽与高均相等,其中点A的坐标为(0,0),点B的坐标为(1,1).
(1)请建立适当的平面直角坐标系,并写出点C,D,E,F的坐标;
解:(1)如图所示,以A点为原点,水平方向为x轴,竖直方向为y轴,建立
平面直角坐标系. C,D,E,F各点的坐标分别为C(2,2),D(3,3),E(4,4),
F(5,5).
(2)如果点A所在平面为地面,台阶有10级,你能求得该台阶的水平长度
(包括点A)和高度吗
解:(2)每级台阶高为1,宽也为1,所以10级台阶的高度为 10,水平长度
为11.
素养培优练 03
9.如图所示,在一次“寻宝”游戏中,已知寻宝图上两个标志点A(-3,0)和点B(5,0),宝藏分别埋在C(3,4)和D(-2,3)两点.请你首先建立平面直角坐标系确定宝藏的位置,然后在图上标出“宝藏”的位置并计算出四边形ABCD的面积.
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过教材 要点概览
1.各象限内点的坐标特征
第一象限内点的坐标符号为 ,第二象限内点的坐标符号为 ,第三象限内点的坐标符号为 ,第四象限内点的坐标符号为 .如图所示.
第2课时 平面直角坐标系中点的坐标特征
(+,+)
(-,+)
(-,-)
(+,-)
2.特殊位置上的点的坐标特征
(1)平行于坐标轴的直线上点的坐标特征:平行于x轴的同一直线上,各点的 坐标相同;平行于y轴的同一直线上,各点的 坐标相同.
(2)坐标轴上点的坐标特征:x轴上的点的 坐标为0;y轴上的点的
坐标为0.
(3)两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征:若点P(x,y)在第 象限的角平分线上,则x与y相等;若点P(x,y)在第 象限的角平分线上,则x与y互为相反数.
纵
横
纵
横
一、三
二、四
精讲练 新知探究
探究点一 特殊位置上的点的坐标特征
例1 在如图所示的平面直角坐标系中(每个小正方形的边长都为1个单位长度),描出下列各点:A(-2,-1),B(2,-1),C(2,2),D(3,2),E(0,3),F
(-3,2),G(-2,2).并依次将各点连接起来,观察所连出的图形,它像什么
根据图形回答下列问题:
(1)图形中哪些点在坐标轴上
(2)线段AB和x轴有什么位置关系 点A和点B的坐标有什么共同特点
解:如图所示,连出的图形像“房子”.
(1)点E(0,3)在y轴上.
(2)线段AB平行于x轴,点A和点B的纵坐标相同.
巩固训练
1.已知点A(3a+5,a-3)在第一、三象限的角平分线上,则a的值为( )
A.-5 B.-4 C.-3 D.-2
2.若点A(-2,n)在x轴上,则点(n+1,n-3)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.在平面直角坐标系中,已知点A(-2,1),B(2,3),C(a,b),若BC∥x轴,AC
∥y轴,则点C的坐标为( )
A.(-2,1) B.(2,-3)
C.(2,1) D.(-2,3)
B
D
D
探究点二 各象限内点的坐标特征
例2 (1)在平面直角坐标系中,点A(-1,-2)在第 象限.
(2)若点A(-a,b)在第一象限,则点B(a,b)在第 象限.
三
二
巩固训练
4.A(5,-3),B(-2,6),C(-3,-6),D(-3,4)四点在第二象限的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
A
三
知识点一 坐标轴上点的坐标特征
1.在平面直角坐标系中,点(0,-4)在( )
A.x轴上 B.y轴上
C.第二象限 D.第三象限
2.若点P(m+3,m+1)在x轴上,则点P的坐标为( )
A.(2,0) B.(0,2)
C.(4,0) D.(0,-4)
基础巩固练 01
第2课时 平面直角坐标系中点的坐标特征
B
A
知识点二 象限内点的坐标特征
3.若点P在第二象限,点P到x轴的距离是7,到y轴的距离是3,则点P的坐标是( )
A.(-7,3) B.(7,-3)
C.(-3,7) D.(3,-7)
4.(2024高青期末)已知点A(m,n),且有mn≤0,则点A一定不在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第四象限 D.坐标轴上
C
A
5.已知点P(0,m)在y轴的负半轴上,则点M(-m,-m+1)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.在平面直角坐标系中,已知点P(a,b),且ab>0,a+b>0,则点P在第 .
象限.
知识点三 平行于坐标轴的直线上点的坐标特征
7.已知点A(a-2,2a+7),点B(1,5),直线AB∥y轴,则a的值是( )
A.1 B.3
C.-1 D.5
A
一
B
8.(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点(小方格的边长为1):
A(1,2),B(-3,3),C(1,3),D(-1,3),E(1,-4),F(3,3).由描出的点你发现了什么规律
解:(1)如图所示,发现的规律:
纵坐标相同的点在平行于x轴的直线上,横坐标相同的点在平行于y轴的直线上.
(2)应用:已知点P(m,-2),Q(3,m-1),且PQ∥x轴,求线段PQ的长.
解:(2)因为PQ∥x轴,所以m-1=-2,
所以m=-1,所以P(-1,-2),Q(3,-2),
所以PQ=|-1-3|=4.
即线段PQ的长为4.
能力提升练 02
9.(2024砀山期中)若点 P(x,y) 的坐标满足 xy=0,则点P( )
A.在x轴上
B.在y轴上
C.是坐标原点
D.在x轴上或在y轴上
D
C
A
12.易错题 若点M(x,y)的坐标满足(x+y)2=x2+y2+2,则点M所在象限是
.
13.易错题 在平面直角坐标系中,已知点 A(-2,4),B(-2,-1),C(a-3,
2a+1),CD⊥AB于点D,且CD=3,则点C的坐标是 .
14.如图所示,在5×4的方格纸中,每个小正方形边长为1,点O,A,B在方格的顶点(格点)上,在第四象限内的格点中找点C,使△ABC的面积为3,则这样的点C共有 个.
第一象限或第三象限
(-5,-3)或(1,9)
3
15.在平面直角坐标系中,已知点A(-a,3a+2),B(1,a-2).
(1)若点B在第一象限的角平分线上,则a= ;
(2)若点A到x轴的距离是到y轴的距离的4倍,则点A的坐标为 .
;
(3)若线段AB∥x轴,则线段AB的长为 .
3
(-2,8)或
1
16.已知点M(3a-8,a-1),分别根据下列条件求出点M的坐标.
(1)点M在x轴上;
(2)点M在第二、四象限的角平分线上;
解:(1)因为点M在x轴上,所以a-1=0.
所以a=1,所以3a-8=3-8=-5.
所以点M的坐标是(-5,0).
(3)点N的坐标为(1,6),并且直线MN∥y轴.
解:(3)因为直线MN∥y轴,N(1,6),
所以3a-8=1,解得a=3.
所以a-1=3-1=2.
所以点M的坐标为(1,2).
素养培优练 03
17.新定义 对于平面直角坐标系xOy中的点 P(a,b),若点P′的坐标为(a+kb,ka+b)(其中k为常数,且k≠0),则称点P′为点P的“k属派生点”.例如:P(1,4)的“2属派生点”为P′(1+2×4,2×1+4),即P′(9,6).
(1)点P(-2,3)的“3属派生点”P′的坐标为 ;
(2)若点P(a,b)在x轴的正半轴上,点P的“k属派生点”为点P′,且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍,则k的值为 .
(7,-3)
±2
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过教材 要点概览
1.平面直角坐标系
在平面内,两条互相垂直且有 的数轴组成平面直角坐标系.通常,两条数轴分别置于 位置与 位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴称为 或横轴,铅直的数轴称为 或纵轴,x轴和y轴统称坐标轴,它们的公共原点O称为平面
直角坐标系的 .
2 平面直角坐标系
第1课时 平面直角坐标系的有关概念
公共原点
水平
铅直
x轴
y轴
原点
2.点的坐标
对于平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a,b分别称为点P的横坐标、纵坐标,有序数对 称为点P的坐标.
3.象限
在平面直角坐标系中,两条坐标轴将坐标平面分成了四个部分, 的部分称为第一象限,其他三部分按逆时针方向依次称为第二象限、第三象限和第四象限.坐标轴上的点不在任何一个象限内.
(a,b)
右上方
4.平面直角坐标系内的点与坐标的关系
在平面直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一个有序实数对,都有平面内唯一的一点与它对应.
精讲练 新知探究
探究点一 平面直角坐标系与点的坐标
例1 如图所示的是一只鸭子的图案,请写出顶点A,B,C,D,E,F的坐标.
解:A(-1,0),B(0,1),C(1,1),D(1,-1),E(5,1),F(4,-2).
重点必记
写点的坐标时,横坐标写在前面,纵坐标写在后面;横、纵坐标的位置不能颠倒.
巩固训练
1.已知点P(3,-2),下列说法正确的是( )
A.在第一象限
B.到x轴的距离为3
C.到y轴的距离为2
D.到x轴的距离为2
D
2.如图所示,点A的坐标是 ,在点A,B,C,D中,横坐标和纵坐标都是负数的点是点 ,坐标是 (-2,2)的点是点 .
(3,3)
C
D
探究点二 由点的坐标确定位置
例2 在如图所示的平面直角坐标系中分别描出点 A(-3,0),B(2,0),C
(1,3),再用线段将这三点首尾顺次连接起来.
解:如图所示.
巩固训练
3.如图所示,在平面直角坐标系中,点P的坐标为( )
A.(3,-2) B.(-2,3)
C.(-3,2) D.(2,-3)
A
知识点一 平面直角坐标系
1.下列关于平面直角坐标系的画法正确的是( )
A B C D
基础巩固练 01
2 平面直角坐标系
第1课时 平面直角坐标系的有关概念
B
2.(2024广西)如图所示,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P的坐标为(2,1),则点Q的坐标为( )
A.(3,0) B.(0,2)
C.(3,2) D.(1,2)
C
3.下列说法正确的有 .(填序号)
①在平面直角坐标系中,两条数轴是互相垂直的;②在指定的平面直角坐标系中,坐标轴上的点没有唯一对应的有序数对;③点(-1,6)和点(6,-1)不是同一点.
4.开放性题 已知点P(x ,y)位于第四象限,则点P的坐标可以是 .
.
①③
(1,-1)
(答案不唯一)
题组 点的坐标与距离
5.易错题 (2025青岛期中)在平面直角坐标系内有一点P,若点P位于第四象限,并且点P到x轴和y轴的距离分别为3,4,则点P的坐标是( )
A.(-3,4) B.(4,-3)
C.(-4,-3) D.(3,-4)
6.已知点P(a,4)到x轴的距离小于到y轴的距离,则a的值可以是( )
A.1 B.-2
C.3 D.-5
B
D
知识点二 由点的坐标确定位置
7.(2023盐城)在平面直角坐标系中,点A(1,2)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8.(2024宿迁)点P(a2+1,-3)在第 象限.
A
四
9.在如图所示的平面直角坐标系中,描出下列各点,并将各点用线段依次连接.
(-5,2),(-1,4),(-5,6),(-3,4),(-5,2).
解:如图所示.
能力提升练 02
10.(2024广元)若单项式-x2my3与单项式2x4y2-n的和仍是一个单项式,则在平面直角坐标系中,点(m,n)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11.(2023大庆)已知a+b>0,ab>0,则在如图所示的平面直角坐标系中,小手盖住的点的坐标可能是( )
A.(a,b) B.(-a,b)
C.(-a,-b) D.(a,-b)
D
D
12.数经历了从自然数到有理数,到实数,再到复数的发展过程,数学中把形如a+bi(a,b为实数)的数叫作复数,用z=a+bi表示,任何一个复数z=a+
bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z(a,b)表示,如:z=1+2i表示为Z(1,2),则z=2-i可表示为( )
A.Z(2,0) B.Z(2,-1)
C.Z(2,1) D.Z(-1,2)
13.新定义 易错题 如果点P(x,y)的坐标满足x+y=xy,那么称点P为“和谐点”.若“和谐点”P到x轴的距离为3,则点P的坐标为
.
B
14.如图所示建立的平面直角坐标系中,标明了小刚家附近的一些地方.
(1)学校和文具店的坐标分别是 , .
(2)某一天早晨,小刚从家里出发,沿(1,-2),(-1,0),
(-2,-1),(-2,2),(1,2),(0,1)的路线转了一圈,又回
到家里,写出他路上经过的地方.
解:(1)(-2,-2) (-1,0)
(2)他路上经过的地方有副食店、汽车站、二姨家、娱乐中心、公园、文具店.
(3)连接他在(2)中路过的地点,你能说出它像什么吗
解:(3)如图所示,此图形像一个箭头.
素养培优练 03
15.已知点A,B都是x轴上的点,若点A的坐标为(4,0),且AB=5,点C的坐标为(2,5),请写出点B的坐标,并在如图所示的平面直角坐标系中画出符合条件的△ABC.
解:点B的坐标为(-1,0)或(9,0),
△ABC有两种情况,如图所示.
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过教材 要点概览
确定位置的方法
(1)行列定位法:把平面分成若干行、列,利用行号和列号表示平面上点的位置的方法.
(2)方位角和距离定位法:利用方位角和距离两个数据来确定平面内物体位置的方法.
1 确定位置
第三章 位置与坐标
(3)经纬定位法:利用经度和纬度来确定物体位置的方法.
(4)区域定位法:将平面划分成横、纵区域,用横、纵区域的编号表述物体的位置的方法,一般用大写英文字母和阿拉伯数字表示.
精讲练 新知探究
探究点一 行列定位法
例1 如图所示,甲处为2街4巷的十字路口,如果用(2,4)表示甲处的位置,那么乙处的位置可以表示为( )
A.(2,4) B.(3,4)
C.(4,3) D.(4,2)
C
归纳总结
在平面内,确定一个物体的位置一般需要两个数据.
巩固训练
1.小明和妈妈去电影院看电影,小明的电影票上写着“3排2座”,小明学了有序数对后,把“3排2座”记作(3,2),那么“5排3座”记作( )
A.(3,5) B.(5,3)
C.(-3,5) D.(3,-5)
B
2.家长会前,四个孩子分别向家长描述了自己在班里的座位,家长能准确找到自己孩子座位的是( )
A.小明说他坐在第1排
B.小白说他坐在第3列
C.小清说她坐在第2排第5列
D.小楚说他的座位靠窗
C
探究点二 方位角和距离定位法
例2 如图所示,一艘船在A处遇险后向相距50 n mile位于B处的救生船报警,用方位角和距离描述遇险船相对于救生船的位置是( )
A.南偏西15°,50 n mile
B.南偏东15°,50 n mile
C.北偏东15°,50 n mile
D.北偏西15°,50 n mile
A
归纳总结
方位角和距离定位法在生活中比较常用,运用此方法必须具备两个数据:①方位角;②距离.一般情况下,方位角写在距离的前面.
巩固训练
3.点A的位置如图所示,则关于点A的位置,下列描述准确的是( )
A.距点O 4 km处
B.北偏东40°方向4 km处
C.在点O北偏东50°方向上4 km处
D.在点O北偏东40°方向上4 km处
D
探究点三 经纬定位法
例3 云南是一个美丽的地方,这里有美丽的城市、美丽的风情,云南的省会城市昆明更有着四季如春的美誉.下列表示昆明市地理位置最合理的是( )
A.在中国西南方
B.在云贵高原的中部
C.距离北京2 600公里
D.东经103°、北纬25°
D
巩固训练
4.若西经20°,南纬30°用有序实数对(20,30)来表示,东经45°,北纬60°用有序实数对(-45,-60)来表示,则有序实数对(-30,20)的含义是
.
5.把一个地点的东经度写在前面,北纬度写在后面,并用括号括起来,就组成一对有序实数对,可以用来表示一个地点的位置.如某地大致位于北纬30°,东经120°,记作(120,30).某地区气象报告,今日将有一股台风来袭,现台风的中心位于北纬30.7°,东经117.5°.用有序实数对
(东经度写在前面)表示该台风中心的位置: .
东经30°,南纬20°
(117.5,30.7)
探究点四 区域定位法
例4 下表所示的是某市地图简图的一部分,则“西青公园”“火车站”所在的区域可表示为( )
D
序号 E F G
6 水上公园
7 西青公园 博物馆
8 老年大学 火车站 师范大学
A.F6,G8 B.E6,F7
C.E7,G7 D.E7,F8
巩固训练
6.如图所示的是某学校的平面示意图,下列表示科技楼位置正确的是
( )
A.A1区 B.B1区 C.C1区 D.C2区
C
7.为提高学生学习数学的兴趣,某校在七年级举行数学文化学习交流展示活动.参加活动的12个班级按照展示的内容被分为3组依次出场,出场顺序如下表.
如果用(B,3)作为4班的出场序号,那么出场序号为(D,2)的班级是
.
9班
出场顺序 A B C D
第1组 2班 7班 1班 10班
第2组 5班 8班 3班 9班
第3组 6班 4班 11班 12班
基础巩固练 01
知识点一 行列定位法
1.如图所示的是在方格纸上画出的小旗图案,若用(c,4)表示点M,(f,4)表示点P,则点N的位置可表示为( )
A.(c,6) B.(6,c)
C.(d,6) D.(6,b)
1 确定位置
第三章 位置与坐标
A
2.第二列第一行用数对(2,1)表示,数对(3,6)和(7,6)表示的位置在( )
A.同一行 B.同一列
C.同行同列 D.不同行不同列
3.一次会操比赛中,某班参赛队员站成方形队伍,莉莉站在正中间,她的前后左右各有两名同学,若左边最前面的队员表示为(1,1),则右边最后面的队员表示为 .
A
(5,5)
知识点二 方位角和距离定位法
4.如图所示,对于点O来说,点A的位置是南偏东30°方向30 km处.
(1)对于点O来说,点B的位置是 ;
(2)对于点O来说,点C的位置是 .
北偏西30°方向35 km处
北偏东45°方向40 km处
知识点三 经纬定位法
5.(2025宁波期末)根据下列表述,能够确定位置的是( )
A.诸暨市在宁波市的正西方向上
B.从学校出发走2千米正好到达小刚家
C.我校位于北纬29.5°,东经121.5°
D.小丽坐在宁波剧院的第二排
C
6.跨学科 地理 (2025于洪期末)A地在地球上的位置如图所示,则A地的位置是( )
A.东经130°,北纬50°
B.东经130°,北纬60°
C.东经150°,北纬50°
D.东经40°,北纬50°
C
知识点四 区域定位法
7.如图所示是小华的集邮册第15,16页,若15-A1表示九寨沟邮票,则黄山邮票应该表示为 .
16-B3
能力提升练 02
8.如图所示,点A在观测点北偏东30°方向,且与观测点的距离为8 km,
将点A的位置记作 A(8,30°).用同样的方法将点B,C的位置分别记作B(8,60°),C(4,60°),则观测点的位置应在( )
A.点O1 B.点O2
C.点O3 D.点O4
A
9.(2024甘孜)如图所示,在一个平面区域内,一台雷达探测器测得在点A,
B,C处有目标出现.按某种规则,点A,B的位置可以分别表示为(1,90°),
(2,240°),则点C的位置可以表示为 .
(3,30°)
10.将正整数按如图所示的规律排列下去,若有序实数对(n,m)表示第n
排,从左到右第m个数,如(4,2)表示实数9,则表示实数17的有序实数对
是 .
(6,5)
11.王明要从甲地赶往丙地参加科技夏令营,他拿出一张地图,图上有甲、乙、丙三地的位置,分别用A,B,C三点表示,但地图被墨迹污染,丙地具体位置看不清楚了,但知道丙地在甲地的南偏西55°方向,在乙地的北偏西70°方向,如图所示.
(1)请帮助王明确定丙地的位置.
解:(1)先以点A为参照点画南偏西55°的方位角,然后以点B为参照点,画北偏西70°的方位角,两条新作的射线的交点就是丙地的位置,如图所示.
(2)若地图的比例尺是1∶10 000 000,则从甲地到丙地的实际距离约是多少千米
素养培优练 03
12.五子棋和象棋、围棋一样,深受广大棋友的喜爱,其规则是:在15×15的正方形棋盘中,由黑方先行,轮流弈子,在任一方向上连成五子者为胜.如图所示是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图的一部分,甲执黑子先行,乙执白子后走,观察棋盘思考:若A点的位置记作(8,4),乙必须在哪个位置上落子,才不会让甲在短时间内获胜 为什么
解:乙必须在(1,7)或(5,3)处落子.因为黑棋已经有三个在一条直线上,若乙不首先截断以上两处之一,而让甲在(1,7)或(5,3)处落子,则不论再截断何处,甲总有一处落子可连成五子,甲必胜无疑.
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过教材 要点概览
轴对称与坐标变化
(1)关于x轴对称的两个点的坐标,横坐标 ,纵坐标互为 ;反过来,横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于 对称.
(2)关于y轴对称的两个点的坐标,纵坐标 ,横坐标互为 ;反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于 对称.
3 轴对称与坐标变化
相同
相反数
x轴
相同
相反数
y轴
精讲练 新知探究
探究点一 平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点
例1 已知点A(a-1,5)和B(2,b-1),试根据下列条件求出a,b的值.
(1)A,B两点关于y轴对称;
(2)A,B两点关于x轴对称.
解:(1)A,B两点关于y轴对称,
则a-1=-2,b-1=5,解得a=-1,b=6.
(2)A,B两点关于x轴对称,
则a-1=2,b-1=-5,解得a=3,b=-4.
重点必记
巩固训练
1.在平面直角坐标系中,已知点A(2,m)和点B(n,-3)关于x轴对称,则m+n的值是( )
A.-1 B.1 C.5 D.-5
C
C
3.若n是任意实数,则点N(-1,n2+1)关于x轴对称的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C
探究点二 平面直角坐标系中关于坐标轴对称的图形
例2 如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A(1,1),
B(4,2),C(3,4)均在网格的格点上.
(1)△ABC的每个顶点的纵坐标保持不变,横坐标分别乘-1,
将所得的点用线段依次连接起来,得到△A1B1C1,画出△A1B1C1,并写出△A1B1C1与△ABC的位置关系;
(2)画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2.
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;△A1B1C1与△ABC
关于y轴对称.
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求.
巩固训练
4.如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(2,1),B(-1,3),
C(-3,2).若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称,则点A1的坐标为 ,点B1的坐标为 .
(2,-1)
(-1,-3)
知识点一 平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点
1.(2023常州)在平面直角坐标系中,若点P的坐标为(2,1),则点P关于y轴对称的点的坐标为( )
A.(-2,-1) B.(2,-1)
C.(-2,1) D.(2,1)
基础巩固练 01
3 轴对称与坐标变化
C
2.在平面直角坐标系中,点A(-2,3)关于x轴对称的点为B,则点B所在象限为( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.如图所示,x轴是△AOB的对称轴,y轴是△BOC的对称轴,点A的坐标为(1,2),则点C的坐标为( )
A.(-1,-2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(-2,-1)
4.(2023宿迁)平面直角坐标系中,点A(2,3)关于x轴对称的点的
坐标是 .
C
A
(2,-3)
5.在平面直角坐标系中,已知点Q(4-2n,n-1).
(1)若点Q在y轴上,请写出点Q关于x轴的对称点P的坐标;
(2)若点Q到两坐标轴的距离相等,求点Q的坐标.
解:(1)因为点Q在y轴上,
所以4-2n=0.所以n=2.
所以Q(0,1).所以点Q关于x轴的对称点P的坐标为(0,-1).
知识点二 平面直角坐标系中关于坐标轴对称的图形
6.蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形,如图所示,将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中,若图中点A的坐标为(-3,2),则其关于y轴对称的点B的坐标为( )
A.(3,2) B.(2,3)
C.(3,-2) D. (-3,-2)
A
7.把△ABC各点的横坐标都乘-1,纵坐标不变,符合上述要求的图是( )
B
8.如图所示,将△ABC的三个顶点的纵坐标都乘-1,并保持横坐标不变,则所得图形与原图形的关系是( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.将原图形沿x轴负方向平移了1个单位长度
D.将原图形沿y轴负方向平移了1个单位长度
A
能力提升练 02
9.点M(3,-4)关于y轴的对称点是M1,则M1关于x轴的对称点M2的坐标为( )
A.(-3,4) B.(-3,-4)
C.(3,4) D.(3,-4)
10.如图所示,将正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后,若顶点A,B,C,D的坐标分别是(0,a),(-3,2),(b,m),(c,m),则点E的坐标是( )
A.(2,-3) B.(2,3)
C.(3,2) D.(3,-2)
A
C
11.如图所示,△ABC的顶点坐标分别为A(-4,-3),B(0,-3),C(-2,1),各点的横坐标不变,将纵坐标分别乘-1,得到A1(-4,3),B1(0,3),C1(-2,-1).若设△ABC的面积为S1,△A1B1C1的面积为S2,则S1与S2的大小关系为( )
A.S1>S2 B.S1=S2
C.S1B
12.点(4,5)关于直线x=1的对称点的坐标是( )
A.(-4,5) B.(4,-5)
C.(-2,5) D.(5,5)
C
13.如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点
的坐标分别为A(1,5),B(1,-2),C(4,0).
(1)请在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′;
(2)求△ABC的面积;
(3)在y轴上作出点P,使PA+PC的值最小,保留作图痕迹.
解:(1)如图所示,△A′B′C′即为所求.
(3)如图所示,点P为所作.
素养培优练 03
14.规律探究 如图所示,在平面直角坐标系中,点A1从原点出发,沿图中箭头所示的方向运动,到达位置的坐标依次为:A2(1,0),A3(1,1),A4(-1,
1),A5(-1,-1),A6(2,-1),A7(2,2),….若到达终点An(506,-505),则n的值为 .
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