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1.一次函数的图象
一次函数y=kx+b的图象是一条 ,它与正比例函数y=kx的图象相互
.因此,画一次函数图象时,只要确定两个点,再过这两个点画直线就可以了.一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.
第2课时 一次函数的图象与性质
直线
平行
2.一次函数的性质
(1)一次函数y=kx+b的图象经过点(0,b),与函数y=kx的图象 .
(2)k值相同的两个一次函数图象 .
(3)在一次函数y=kx+b中,当k>0时,y的值随x值的增大而 ,当k<0时,y的值随x值的增大而 .
平行
平行
增大
减小
精讲练 新知探究
归纳总结
巩固训练
1.如果一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限,那么k,b应满足的条件是( )
A.k>0,且b>0 B.k>0,且b<0
C.k<0,且b>0 D.k<0,且b<0
B
解:(1)令y=0,则x=6,
所以点A的坐标为(6,0).
令x=0,则y=3,
所以点B的坐标为(0,3).
(2)画出该函数图象;
解:(2)函数图象如图所示:
(3)求AB的长.
探究点二 一次函数的性质
例2 关于函数y=-x+1的图象与性质,下列说法错误的是( )
A.图象不经过第三象限
B.当-2≤x≤1时,函数值y有最小值3
C.y随x的增大而减小
D.函数y=-x+1的图象是与y=-x-1平行的一条直线
B
归纳总结
两个一次函数的k相同,则这两个一次函数的图象平行.其中一个函数图象可以由另一个函数图象平移得到.
巩固训练
3.已知P1(-3,y1),P2(2,y2)是一次函数 y=2x+b的图象上的两个点,则y1,
y2的大小关系是( )
A.y1>y2 B.y1
C.y1=y2 D.不能确定
4.在一次函数y=kx+b中,若kb<0,且y随x的增大而减小,则其图象可能是
( )
B
A
基础巩固练 01
第2课时 一次函数的图象与性质
知识点一 一次函数的图象
1.(2024兰州)一次函数y=2x-3的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
A
3.一次函数y=ax+a(a≠0)的图象可能是下列图象中的( )
4.(2024西藏)将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的表达式为 .
D
y=2x+3
5.已知一次函数y=2x+4.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,画出函数的图象;
解:(1)如图所示.
(2)求图象与x轴的交点A的坐标,与y轴的交点B的坐标;
(3)在(2)的条件下,求△AOB的面积.
解:(2)令x=0,则y=4;
令y=0,则x=-2;
所以A(-2,0),B(0,4).
知识点二 一次函数的性质
6.(2024临夏)一次函数y=kx-1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小,它的图象不经过的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
A
A
8.若一次函数y=(m-3)x+5的函数值y随x的增大而增大,则( )
A.m>0 B.m<0 C.m>3 D.m<3
9.开放性题 (2024包头)在平面直角坐标系中,若一次函数的图象经过第一、二、三象限,请写出一个符合该条件的一次函数的表达式: .
.
10.(2024镇江)点A(1,y1),B(2,y2)在一次函数y=3x+1的图象上,则y1
y2(用“<”“=”或“>”填空).
11.已知点(-3,y1),(1,y2),(-1,y3)都在直线y=3x-b上,则y1,y2,y3的
大小关系为 .(用“<”连接)
y=x+1
C
(答案不唯一)
<
y1能力提升练 02
12.一次函数y1=k1x+b1的图象l1如图所示,将直线l1向下平移若干个单位长度后得直线l2,l2的函数表达式为y2=k2x+b2.下列说法中错误的是( )
A.k1=k2
B.b1C.b1>b2
D.当x=5时,y1>y2
B
13.(2024通辽)如图所示,在同一平面直角坐标系中,一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2(其中k1k2≠0,k1,k2,b1,b2为常数)的图象分别为直线l1,l2.下列结论正确的是( )
A.b1+b2>0 B.b1b2>0
C.k1+k2<0 D.k1k2<0
A
14.如图所示,直线y=-2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)求点A,B的坐标;
解:(1)y=-2x+2中,令y=0,
解得x=1,所以A(1,0).
令x=0,则y=2,
所以B(0,2).
(2)若点C在x轴上,且S△ABC=2S△AOB,求点C的坐标.
素养培优练 03
15.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b与y=bx+k(k≠b)的图象分别为直线l1,l2,则下列图象中可能正确的是( )
A B C D
B
解题策略
两个一次函数图象的识别方法
方法1:选定一个函数图象确定k,b的符号,看另一个函数图象的位置是否符合.
方法2:按k,b同号和异号分四种情况讨论,看两个图象是否同时符合,若符合,则正确;若不符合,则错误.
方法3:确定两个一次函数各自的k,b的符号,看结果是否一致,若一致,则正确;若不一致,则错误.
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“均匀”变化
所谓“均匀”变化是指:一个变量增加固定的数值时,另一个变量的改变量是 的.
2 认识一次函数
第1课时 认识一次函数(1)——“均匀”变化
相同
精讲练 新知探究
探究点一 两个变量关系为y=kx的“均匀”变化
例1 (2025兰州期末改编)某水果店销售某种水果,售价为25元/kg.该水果的进货总金额y(单位:元)与进货量x(单位:kg)之间的关系如下表所示.
进货量x/kg 5 10 15 20 …
进货总金额y/元 100 200 300 400 …
(1)在平面直角坐标系中描出(x,y)对应的点,并据此推断,该水果店进货100 kg该种水果需要多少元
(2)分析表格数据,写出进货总金额y与进货量x的函数关系式.
(3)若进货的该种水果全部卖出,则进货多少千克该种水果盈利1 000元
解:(1)描点如图所示.
该水果店进货100 kg该种水果需要2 000元.
(2)y=20x.
(3)根据题意,得
25x-20x=1 000,解得x=200.
答:进货200 kg该种水果盈利1 000元.
巩固训练
1.教材变式题 据测试,某个拧不紧的水龙头每秒会滴下两滴水,每滴水约0.05毫升.小明同学在洗手时,没有把这个水龙头拧紧,当小明离开x小时时,该水龙头滴了y毫升水.
(1)求y与x之间的关系式.
(2)若小明离开11分钟,则这段时间大约浪费多少毫升水
解:(1)y=60×60·x×2×0.05=360x,即y=360x.
探究点二 两个变量关系为y=kx+b的“均匀”变化
例2 (2025扬州期末)“漏壶”是一种古代计时器,在社会实践活动中,某小组同学根据“漏壶”的原理制作了一个如图①所示的液体漏壶,漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的,中间连通,液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中,实验开始时圆柱容器中已有一部分液体.
图①
(1)实验记录的圆柱形容器的液面高度y(厘米)与时间x(小时)的数据如下表:
时间x/小时 0 1 2 3 4
圆柱形容器的液 面高度y/厘米 3 5 7 9 11
在如图②所示的平面直角坐标系中描出以表中数据为坐标的点,并用光滑的线连接;
图②
解:(1)描点并连线如图所示.
(2)请根据(1)中的数据确定y与x之间的关系式;
(3)如果本次实验记录的开始时间是上午8:00,那么当圆柱形容器的液面高度达到15厘米时是几时
解:(2)由表格中数据,可知x每增加1,y“均匀”增加2,x=0时,y=3,
所以y与x之间的关系式为y=2x+3.
(3)当y=15时,2x+3=15,
解得x=6.
所以如果本次实验记录的开始时间是上午8:00,那么当圆柱形容
器的液面高度达到15厘米时是下午2:00.
巩固训练
2.抽象能力 为了了解某种品牌轿车的耗油情况,实验人员将油箱加满后进行了耗油实验,得到了如下数据:
轿车行驶 的路程s/km 0 100 200 300 400 …
油箱剩余 油量Q/L 50 42 34 26 18 …
(1)该轿车油箱的容量为 L,行驶150 km时,油箱剩余油量为 L;
解:(1)50 38
(2)根据上表中的数据,写出油箱剩余油量Q(L)与轿车行驶的路程s(km)之间的关系式;
(3)实验人员再次将油箱加满,并驾驶该汽车从A地前往B地,到达B地时油箱剩余油量为10 L,求A,B两地之间的距离.
解:(2)由表格,可知开始时油箱中的油为50 L,每行驶100 km,油量减少
8 L,据此可得Q与s的关系式为Q=50-0.08s.
(3)令Q=10,则50-0.08s=10,
解得s=500.
所以A,B两地之间的距离为500 km.
基础巩固练 01
2 认识一次函数
第1课时 认识一次函数(1)——“均匀”变化
C
A.y=x B.y=2x
C.y=4x D.y=5x
2.某种大米的单价是5元/千克,当购买x千克大米时,花费为y元,则y与x的函数关系式为 .
y=5x
3.一辆货车从甲地出发驶向乙地,出发后距离甲地的路程y(km)与行驶时间x(h)的关系如下表所示.
行驶时间x/h 1 2 3 4 …
距离甲地的路程y/km 60 120 180 240 …
(1)在坐标系中描出(x,y)对应的点,并据此估计,货车行驶420 km需要多少小时
解:(1)如图所示.
估计货车行驶420 km需要7 h.
(2)分析表格数据,写出y与x的函数关系式.
(3)该货车按这样的速度共行驶9 h,则甲地距离乙地多少千米
解:(2)y=60x.
(3)当x=9时,y=60×9=540(km).
答:甲地距离乙地540 km.
知识点二 两个变量关系为y=kx+b的“均匀”变化
4.某水库的水位在5小时内持续上涨,初始的水位为6米,水位以每小时0.3米的速度匀速上升,则水库的水位y(米)与时间x(小时)(0≤x≤5)的函数关系式为 .
y=0.3x+6
5.(2025郑州期末)某小区的物业公司在日常检查中发现,小区内的一个蓄水池存在漏水问题.为了解漏水情况,物业人员决定进行监测.上午9:00,物业人员开始记录蓄水池的水位,此时蓄水池的水位为6 m,每隔
1 h记录一次蓄水池的水位,相关数据如表:
记录时间 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00
流水时间t/h 0 1 2 3 4
水位h/m 6 5.5 5 4.5 4
(1)根据表中信息发现,蓄水池的水位h(m)与流水时间t(h)具有某种函数关系,求h与t的函数关系式;
(2)请你估算物业人员在第6.5 h测量时,蓄水池的水位是多少米;
(3)请你判断蓄水池中的水完全漏完是几时.
能力提升练 02
6.甲、乙两施工队分别从两端修一段长度为380米的公路.在施工过程中,乙队曾因技术改进而停工一天,之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务.下表是根据每天工程进度制成的.
施工时 间x/天 1 2 3 4 5 6 7 8 9
累计完成施 工量y/米 35 70 105 140 160 215 270 325 380
(1)甲队每天修路多少米
(2)乙队技术改进后每天修路多少米
(3)乙队未停工前y与x的函数关系式为 ;乙队技术改进后y与x的函数关系式为 .
解:(1)由表格数据可知前4天每天施工35米,第5天施工20米,说明乙队第5天停工,所以甲队每天修路160-140=20(米).
(2)乙队技术改进后每天修路215-160-20=35(米).
(3)y=35x y=55x-115[提示:y=(20+35)(x-5)+160=55x-115].
7.张老师计划到超市购买甲种文具100个,他到超市后发现还有乙种文具可供选择.如果调整文具的购买品种,每减少购买1个甲种文具,需增加购买2个乙种文具.设购买x个甲种文具时,需购买y个乙种文具.
(1)①当减少购买一个甲种文具时,x= ,y= ;
②求y与x之间的函数关系式.
解:(1)①99 2
②根据题意,得y=2(100-x)=-2x+200.
(2)已知甲种文具每个5元,乙种文具每个3元,张老师购买这两种文具共用去540元.甲、乙两种文具各购买了多少个
解:(2)根据题意,得5x+3y=540,
即5x+3(-2x+200)=540,
解得x=60,
所以y=-2×60+200=80.
答:甲种文具购买了60个,乙种文具购买了80个.
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一次函数的简单应用
根据实际问题确定一次函数表达式的关键是读懂题意.需要注意的是实际问题中的自变量的取值范围要符合实际意义.
第3课时 认识一次函数(3)—— 一次函数的简单应用
精讲练 新知探究
探究点 方案选择与分段计费问题
例1 甲、乙两个批发店销售同一种苹果,在甲批发店,无论一次购买多少,价格均为6元/千克.在乙批发店,一次购买不超过50千克时,价格为
7元/千克;一次购买超过50千克时,其中50千克的价格仍为7元/千克,超过50千克部分的价格为5元/千克.设小王在同一个批发店一次购买苹果
x千克(x>0).
(1)根据题意填表:
一次购买质量/千克 30 50 150 …
甲批发店花费/元 300 …
乙批发店花费/元 350 …
解:(1)180 900 210 850
(2)设在甲批发店花费y1元,在乙批发店花费 y2元,分别求y1,y2关于x的函数表达式.
(3)根据题意填空:
①若小王在甲批发店和乙批发店一次购买苹果的质量相同,且花费相同,则他在同一个批发店一次购买苹果的质量为 千克;
②若小王在同一个批发店一次购买苹果120千克,则他在 批发店购买花费少(选填“甲”或“乙”);
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元,则他在 批发店购买数量多(选填“甲”或“乙”).
解:(3)①100 ②乙 ③甲
例2 某市通过“互联网”“大数据”等新科技,打造“智慧停车平台”,着力化解城市“停车难”问题.市内某智慧公共停车场的收费标准是:停车不超过30分钟,不收费;超过30分钟,不超过60分钟,计1小时,收费3元;超过1小时后,超过1小时的部分按每小时2元收费(不足1小时,按1小时计).
(1)填空:张先生某次在该停车场停车2小时10分钟,应交停车费 元.李先生也在该停车场停车,支付停车费11元,则停车场按 小时(填整数)计时收费.
解:(1)7 5
(2)当x取整数且x≥1时,求该停车场停车费y(单位:元)关于停车计时x
(单位:小时)的函数关系式.
解:(2)y=3+2(x-1)=2x+1,
即y=2x+1.
巩固训练
1.某地快递公司规定:质量在2 000 g以内的包裹快递邮资标准如下表:
运送距离 x/km 0邮资 y/元 5.00 6.00 7.00 8.00 …
如果某人从该公司快递900 g的包裹到距该地1 300 km的某地,那么他应付的邮资是( )
A.5.00元 B.6.00元
C.7.00元 D.8.00元
C
2.某市出租车的收费标准是:3千米以内(包括3千米)收费5元;超过3千米,每增加1千米加收1.2元,则车费y(元)与路程x(千米,x≥3且x为整数)之间的关系式为 .
y=1.2x+1.4
3.某水果市场销售一种香蕉.甲店的香蕉价格为4元/kg;乙店的香蕉价格为5元/kg,若一次购买6 kg以上,则超过6 kg的部分打7折.
(1)设购买香蕉x kg,付款金额为y元,分别就两店的付款金额写出y关于x的函数表达式;
解:(1)甲商店:y=4x.
乙商店:当x≤6时,y=5x;
当x>6时,y=5×6+0.7×5(x-6),即y=3.5x+9.
(2)到哪家店购买香蕉比较省钱
解:(2)当x<6时,到甲商店购买香蕉比较省钱.
当x≥6时,令4x=3.5x+9,解得x=18,
此时到甲、乙商店购买香蕉的费用一样.
当6≤x<18时,到甲商店购买香蕉比较省钱,
当x>18时,到乙商店购买香蕉比较省钱.
综上,当x<18时,到甲商店购买香蕉比较省钱;
当x=18时,到甲、乙商店购买香蕉的费用一样;
当x>18时,到乙商店购买香蕉比较省钱.
基础巩固练 01
第3课时 认识一次函数(3)—— 一次函数的简单应用
知识点 方案选择与分段计费问题
1.分类讨论 “环境就是民生,青山就是美丽,蓝天也是幸福.”为打造整洁舒适的居住环境,某小区物业打算购买一批垃圾桶.
方案1:买分类垃圾桶,需要费用3 000元,以后每月垃圾处理费用250元;
方案2:买不分类垃圾桶,需要费用1 000元,以后每月的垃圾处理费
用为500元.
设交费时间为x个月,购买费和垃圾处理费共y元.
(1)分别写出两种方案中y与x之间的函数关系式:
方案1:y1= ;
方案2:y2= .
(2)请说明y1中k和b的实际意义.
解:(1)250x+3 000 500x+1 000
(2)在y1中,k表示每月垃圾处理费用250元,b表示买分类垃圾桶需要费用
3 000元.
(3)在垃圾桶的使用寿命相同的情况下,哪种方案更省钱
解:(3)当250x+3 000=500x+1 000时,
解得x=8.
通过计算可知当x>8时,y1y2.所以:
①当使用时间等于8个月时,y1=y2,即方案1与方案2一样省钱;
②当使用时间大于8个月时,y1③当使用时间小于8个月时, y22.某市为了鼓励居民节约用水,采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费,月用水量不超过20 m3时,按2元/m3计费;月用水量超过20 m3时,其中的20 m3仍按2元/m3计费,超过部分按2.6元/m3计费.设每户家庭月用水量为x m3时,应交水费y元.
(1)分别求出0≤x≤20和x>20时y与x的函数关系式;
解:(1)当0≤x≤20时,y与x的函数关系式是y=2x;
当x>20时,y与x的函数关系式是y=2×20+2.6(x—20),
即y=2.6x—12.
(2)小明家第二季度交纳水费的情况如下:
小明家这个季度共用水多少立方米
月份 四 五 六
交费金额 30元 34元 42.6元
解:(2)因为小明家四、五月份的水费都不超过40元,六月份的水费超过40元,
所以把y=30代入y=2x中,解得x=15;
把y=34代入y=2x中,解得x=17;
把y=42.6代入y=2.6x—12中,解得x=21.
15+17+21=53(m3).
即小明家这个季度共用水53 m3.
能力提升练 02
3.为绿化校园,某校计划购进A,B两种树苗共21棵(两种树苗都购买).已知A种树苗每棵90元,B种树苗每棵70元.设购买B种树苗x棵,购买两种树苗所需费用为y元.
(1)y与x的函数关系式为 ;
解:(1)y=-20x+1 890
(2)若购买B种树苗的数量不多于10棵,请给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用.
解:(2)由题意,得1≤x≤10且x为整数,
对于y=-20x+1 890,显然x的值越大,差值(即函数值)越小,即费用越少,
所以当x=10时,y有最小值,为-20×10+1 890=1 690,
所以费用最省方案是购买B种树苗10棵,A种树苗11棵,所需费用为1 690元.
素养培优练 03
4.为缓解油价上涨给出租车行业带来的成本压力,某市调整出租车运价,调整方案见下面表格:
行驶路程 收费标准 调价前 调价后
不超过3 km的部分 起步价6元 起步价7 元
超过3 km不超 过6 km的部分 每千米 2.1元 每千米1.4元
超过6 km的部分 每千米2.1元
设行驶路程为x km时,调价前的运价为y1(元),调价后的运价为y2(元).
(1)写出当x>3时,y1与x的关系式.
(2)当3≤x≤6时,函数y1与y2是否存在相同的值 若存在,求出这一相同的函数值,并说出它的实际意义;若不存在,请说明理由.
解:(1)根据题意,得
x>3时,y1=2.1(x-3)+6=2.1x-0.3.
(3)若出租车行驶50 km,调价前后哪个运价更低
解:(3)x=50时,调价前运价为:y1=2.1x-0.3=2.1×50-0.3=104.7(元);
调价后运价为:y2=(1.4×6+2.8)+(50-6)×2.1=103.6(元).
所以当出租车行驶50 km时,调价后运价更低.
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一次函数与一元一次方程的关系
一般地,当一次函数y=kx+b的函数值是 时,相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解.从图象上看,一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的 坐标就是方程kx+b=0的解.
第2课时 借助单个一次函数图象解决有关问题
0
横
精讲练 新知探究
探究点一 借助单个一次函数图象解决实际问题
例1 王师傅驾车运货物去某地出售,汽车油箱中剩余油量y(L)与汽车行驶时间t(h) 之间的关系如图所示.
请根据此图回答下列问题:
(1)出发前,汽车油箱中剩余油量为 L,汽车持续行驶3 h后,油箱中剩余油量 L.
(2)求出汽车油箱中剩余油量y(L)与行驶时间t(h) 的关系式.
解:(1)50 14
(2)设汽车油箱中剩余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系式为y=kt+b(k≠0).
把(0,50),(3,14)代入y=kt+b,得
b=50,3k+b=14,
所以k=-12.
所以汽车油箱中剩余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系式为y=-12t+50.
(3)若该汽车行驶途中不去加油站加油,则汽车最多持续行驶多长时间
归纳总结
从图象获取信息时,应注意横轴、纵轴表示的实际意义,也应注意特殊点所表示的实际意义.根据图象上的特殊点的坐标求出函数表达式,利用函数表达式进行相关的计算.
巩固训练
1.(2024西安模拟)物理实验课上,小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验,他把得到的拉力F(N)和所悬挂物体的重力G(N)的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象(不计绳重和摩擦),请你根据图象判断以下结论不正确的是( )
A.物体的拉力随着重力的增加而增大
B.当拉力F=1.5 N时,物体的重力G=6 N
C.当物体的重力G=7 N时,拉力F=1.9 N
D.当滑轮组不悬挂物体时,所用拉力为0.5 N
B
探究点二 一次函数与一元一次方程的关系
例2 如图所示,直线y=ax+b过点(0,-2)和(-3,0),则方程ax+b+1=0的解是( )
A.x=-3 B.x=-2
C.x=-1.5 D.x=-1
C
巩固训练
2.若一元一次方程ax-b=0的解为x=3,则函数y=ax-b的图象与x轴的交点坐标为( )
A.(3,0) B.(-3,0)
C.(a,0) D.(-b,0)
3.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与 x轴交于(-5,0),则关于x的一元一次方程kx+b=0的解为 .
A
x=-5
4.一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示,根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=3的解为 ;方程kx+b=0的解为 .
x=2
x=-1
基础巩固练 01
第2课时 借助单个一次函数图象解决有关问题
知识点一 借助单个一次函数图象解决实际问题
1.生产某种产品所需的成本y(万元)与数量x(t)之间的关系如图所示,则生产60 t这种产品,所需的成本为 万元.
50
图(1) 图(2)
(1)求y与x的函数关系式;
(2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面.
知识点二 一次函数与一元一次方程的关系
3.函数y=-kx+1(k≠0)的图象如图所示,则方程kx=1的解是( )
A.x=-2 B.x=-1
C.x=0 D.x=1
A
4.(2024扬州)如图所示,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点.若OA=2,OB=1,则关于x的方程kx+b=0的解为 .
5.(2025滨江期末)函数y=2x和y=kx+3(k是常数,且k≠0)的图象相交于点P(1,2),则关于x的方程kx+3=2x的解是 .
x=-2
x=1
能力提升练 02
6.在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的关系是一次函数,如图所示,此函数的图象经过A(-20,0),B(20,20)两点,则弹簧不挂物体时的长度是( )
A.9 cm B.10 cm
C.10.5 cm D.11 cm
B
7.(2025扬州期末)如图所示,直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m,2),则关于x的方程kx+b=2的解是 .
x=1
8.“五一”期间,李校长一家开车去某地旅游,出发前查看了油箱里有50 L油,下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况,行驶80 km时,油箱里剩余油量为 L.
41
9.某生物小组观察一植物生长,得到植物高度y(单位:cm)与观察时间x(单位:天)的关系,并画出如图所示的图象(AC是线段,直线CD平行于x轴).
(1)该植物从观察时起,多少天以后停止长高
解:(1)因为CD∥x轴,所以从第50天开始植物的高度不变.
所以该植物从观察时起,50天以后停止长高.
(2)求AC的表达式,并求该植物最高可长到多少厘米.
素养培优练 03
(3)通过计算说明在此区间测速路段内,该辆汽车减速前是否超速.(此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时)
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1.函数的图象
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的 坐标和 坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点,所有这些点组成的
叫作该函数的图象.
2.画函数图象的一般步骤
画函数图象常用描点法,一般步骤如下:
(1) ;(2) ;(3)连线.
3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象与性质
横
纵
图形
列表
描点
3.正比例函数的图象
正比例函数y=kx的图象是一条经过原点 的直线.因此,画正比例函数图象时,只要再确定一个点,过这个点与原点画直线就可以了.
4.正比例函数的性质
在正比例函数y=kx中,当k>0时,y的值随着x值的增大而 ;当k<0时,y的值随着x值的增大而 .
(0,0)
增大
减小
精讲练 新知探究
探究点一 正比例函数的图象
例1 在同一个平面直角坐标系中,分别画出y1=3x与y2=-3x的图象,这两个图象有怎样的位置关系
解:列表:
x 0 1
y1 0 3
y2 0 -3
描点、连线如图所示.
y1=3x与y2=-3x的图象关于x轴对称,也关于y轴对称.
重点必记
对于直线y=kx,|k|越大,直线越陡,直线与x轴的夹角(锐角)就越大,直线越靠近y轴.
巩固训练
1.若正比例函数的图象经过点(-1,2),则这个图象必经过点( )
A.(1,2) B.(-1,-2)
C.(2,-1) D.(1,-2)
2.(2024天津)若正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象经过第一、三象限,则k的值可以是 (写出一个即可).
D
1(答案不唯一)
(2)当k为何值时,正比例函数y的值随x值的增大而增大
(3)当k为何值时,正比例函数y的值随x值的增大而减小
解:(2)由(1),得当k=2时,正比例函数y的值随x值的增大而增大.
(3)由(1),得当k=-2时,正比例函数y的值随x值的增大而减小.
巩固训练
3.对于函数y=-4x,下列说法正确的是( )
A.当x>0时,y随x的增大而增大
B.当x<0时,y随x的增大而增大
C.y随x的增大而减小
D.y随x的增大而增大
4.已知直线y=(2-3m)x经过点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1y2,则m
的取值范围是 .
C
基础巩固练 01
3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象与性质
知识点一 正比例函数的图象
1.正比例函数y=-5x的大致图象是( )
C
2.(2024德阳)正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示,则k的值可能是
( )
A
3.(2024陕西)若点A(-2,y1)和点B(2,y2)在同一个正比例函数y=kx(k<0)的图象上,则( )
A.y1=-y2 B.y1=y2
C.y2>0 D.y2>y1
4.函数y=-3x的图象上存在点P,已知点P到x轴的距离为3,则点P的坐标为
.
A
(-1,3)或(1,-3)
知识点二 正比例函数的性质
5.(2024山西)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)都在正比例函数y=3x的图象上.若x1A.y1>y2 B.y1C.y1=y2 D.y1≥y2
6.已知正比例函数y=(2-m)x,若y的值随x值的增大而减小,则点(m-2,2-m)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
D
7.(2024上海)若正比例函数y=kx的图象经过点(7,-13),则y的值随x值的增大而 .(选填“增大”或“减小”)
8.已知点P(a,b)在第三象限,则直线y=(a+b)x 经过第 象限,y的值随x值的增大而 .
减小
二、四
减小
能力提升练 02
9.若y=(m-2)x+m2-4是关于x的正比例函数,点A(m,a)和点B(-m,b)在该函数的图象上,则a和b的大小关系是( )
A.ab C.a≤b D.a≥b
10.如图所示,若直线y=kx与四条直线x=1,x=2,y=1,y=2围成的正方形有
公共点,则k的取值范围是 .
B
11.如图所示,三个正比例函数的图象分别对应表达式①y=ax,②y=bx,③y=cx,将a,b,c从小到大排列并用“<”连接为 .
a12.已知y关于x的函数y=(2m+6)x+m-3,且该函数是正比例函数.
(1)求m的值;
(2)若点(a,y1),(a+1,y2)在该函数的图象上,请直接写出y1,y2的大小
关系.
解:(2)因为m=3,
所以k=2m+6=2×3+6=12>0.
所以y随x的增大而增大.
又因为点(a,y1),(a+1,y2)在该函数的图象上,且a所以y1素养培优练 03
13.综合与实践 (2024北京)小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯).在科技活动中,小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯,并将其制作出来.新水杯(记为2号杯)示意图如图所示.
当1号杯和2号杯中都有V mL水时,小云分别记录了1号杯的水面高度h1(单位:cm)和2号杯的水面高度h2(单位:cm),部分数据如下:
V/mL 0 40 100 200 300 400 500
h1/cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5
h2/cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8
(1)补全表格(结果保留小数点后一位);
解:(1)1.0
(2)通过分析数据,发现可以用函数刻画h1与V,h2与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系中,画出这两个函数的图象.
解:(2)如图所示.
(3)根据以上数据与函数图象,解决下列问题:
①当1号杯和2号杯中都有320 mL水时,2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为 cm(结果保留小数点后一位);
②在①的条件下,将2号杯中的一部分水倒入1号杯中,当两个水杯的水面高度相同时,其水面高度约为 cm(结果保留小数点后一位).
解:(3)①当V=320 mL时,h1=8.0 cm,由图象可知相差约为1.2 cm.故答案为1.2.
②解法一:在①的条件下两杯相差1.2 cm,此时h1大约是8.0,加上0.6约为8.6 cm.
解法二:观察图象可知,当两个水杯的水面高度相同时,估算高度为8.6 cm.
故答案为8.6.
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1.函数的定义
一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有 的值与它对应,那么我们称 是 的函数.其中x是自变量.
1 函 数
第四章 一次函数
唯一
y
x
2.函数的表示方法
法、关系式法和图象法.
3.函数值
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有 确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.
列表
唯一
精讲练 新知探究
探究点一 函数的认识
例1 下列四个关系式:①y=x;②y=x2;③y=x3;④|y|=x.其中y不是x的函数的是( )
A.① B.②
C.③ D.④
D
归纳总结
判断一个关系是不是函数关系的方法
一看是否存在一个变化过程;二看变化过程中是否存在两个变量;三看对于其中一个变量的每一个值,另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应.
巩固训练
1.假期小敏一家自驾游山西,爸爸开车到加油站加油,小敏发现加油机显示牌上的金额随着油量的变化而变化,根据如图所示的信息判断下列说法正确的是( )
A.金额是自变量
B.单价是自变量
C.168.80和20.00是常量
D.金额是油量的函数
D
2.下列各图能表示y是x的函数的是( )
A
探究点二 函数的表示方法及函数值
例2 (2024临汾期末)地表以下岩层的温度x(℃)与所处深度y(km)有如下关系:
深度x/km 1 2 3 4 5
温度y/℃ 55 90 125 160 195
(1)上表中的自变量是 ;
解:(1)深度
(2)请写出y与x之间的关系式;
(3)根据(2)中的关系式,估计地表以下7 km 处岩层的温度.
解:(2)由表格中数据的变化规律,可得当深度每增加1 km时,地表以下岩层的温度就升高 35 ℃,
因此有y=55+(90-55)(x-1),
即y=35x+20.
(3)当x=7时,y=35×7+20=265.
答:估计地表以下7 km处岩层的温度为265 ℃.
巩固训练
3.小明妈妈给小明100元钱去买作业本,已知作业本的单价是1.5元,小明买了x本作业本,剩余y元,则y与x之间的函数关系式为 .
y=100-1.5x
探究点三 自变量的取值范围
例3 学校图书室有360本图书供学生阅读,每人借9本,则余下的图书的数量y(本)与学生数x(人)之间的函数关系式为 ,自变量的取值范围是 .
y=360-9x
0≤x≤40且x为整数
巩固训练
4.某水池的容积为90 m3,水池中已有水10 m3,现按8 m3/h的流量向水池中注水,则水池中水的体积V(m3)与进水时间t(h)之间的函数关系式为
,自变量t的取值范围是 .
V=8t+10
0≤t≤10
基础巩固练 01
1 函 数
第四章 一次函数
B
2.渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位,超声波的振幅h(m)与传输时间t(s)之间的关系如图所示.
(1)根据函数的定义,请判断变量h是不是关于t的函数;
(2)结合图象回答:当t=4时,h的值是多少
解:(1)由所给函数图象可知,对于t的每一个值,总有唯一的h值与之对应,
所以变量h是关于t的函数.
(2)由函数图象可知,当t=4时,h的值为4.
知识点二 函数的表示方法及函数值
3.在某次实验中,测得两个变量m和v之间的4组对应数据如表所示.
则m与v之间的关系最接近下列各关系式中的( )
A.v=2m-2 B.v=m2-1
C.v=3m-3 D.v=m+1
B
m 1 2 3 4
v 0.01 2.9 8.03 15.1
4.(2024湖北)铁的密度为7.9 g/cm3,铁块的质量m(单位:g)与它的体积V(单位:cm3)之间的函数关系式为m=7.9V,当V=10 cm3时,m= g.
5.在登山过程中,海拔每升高1 km,气温下降6 ℃,已知某登山大本营所在位置的气温是2 ℃,登山队员从大本营出发登山,当海拔升高x km时,所在位置的气温是y ℃,那么y与x的函数关系式是 .
79
y=-6x+2
6.小明家开了一个水果店,某天小明根据卖出水果的数量和售价列出下表,试根据表中的数据回答问题:
x/千克 0.5 1 1.5 2 …
y/元 1.2+0.2 2.4+0.2 3.6+0.2 4.8+0.2 …
(1)写出售价y(元)与销售量x(千克)之间的函数关系式;
(2)计算当x=6时y的值.
解:(1)y=2.4x+0.2(x>0).
(2)当x=6时,y=2.4×6+0.2=14.6.
D
y=-x2+20x
0能力提升练 02
9.(2025济南期中)下列不能表示y是x的函数的是( )
A B C D
B
A
-2(答案不唯一)
12.游泳池应定期换水,某游泳池在一次换水前存水936 m3,换水时关闭进水孔打开排水孔,以每小时78 m3的速度将水放完,当放水时间增加时,游泳池的存水量随之减少,它们的变化情况如下表:
放水时间/h 1 2 3 4 5 6 …
游泳池的 存水量/m3 858 780 702 546 …
(1)在这个变化过程中,自变量是 ,因变量是 ;
解:(1)放水时间 游泳池的存水量
(2)请将上述表格补充完整;
(3)设放水时间为t h,游泳池的存水量为Q m3,写出Q与t的关系式(不要求写自变量的取值范围).
解:(2)表格中依次填624,468.
(3)Q与t的函数关系式为Q=936-78t.
素养培优练 03
13.数形结合 A,B两地相距360千米.甲车在A地,乙车在B地,两车同时出发,相向而行,在C地相遇.两车相遇并换货后,均按原路返回出发地.两车换货后,乙车因故障检修过程中甲车立即按原路返回A地.设两车在行驶过程中速度保持不变,两车间的距离y(千米)与时间x(小时)的函数关系如图所示.根据所提供的信息,回答下列问题:
(1)求甲、乙两车的速度;
(2)说明从两车开始出发到5小时这段时间内乙车的运动状态.
解:(1)由题意,知甲、乙两车速度和为360÷2=180(千米/时),160÷(5-3)=80(千米/时),180>80,换货后只有甲车在行驶,所以甲车的速度为80千米/时,乙车的速度为180-80=100(千米/时).
(2)乙车以100千米/时的速度从B地出发2小时到达C地,又在C地停留3
小时.
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过教材 要点概览
一次函数与正比例函数的概念
(1)如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成 (k,b为常数,
k≠0)的形式,那么称y是x的一次函数.特别地,当 时,称y是x的正比例函数.正比例函数是特殊的一次函数.
(2)对一次函数而言,自变量每增加1,函数值就增加k,函数值的变化
是“均匀”的.
第2课时 认识一次函数(2)—— 一次函数与正比例函数的概念
y=kx+b
b=0
精讲练 新知探究
例2 已知函数y=(m-3)x3-|m|+m+2.
(1)当m= 时,y是x的一次函数;
(2)当m= 时,y是x的正比例函数.
①
①②⑤
±2
-2
重点必记
判断两个变量是不是一次函数关系的三步法
(1)看:看所给的函数关系式是否满足y=kx+b的形式;
(2)辨:辨别比例系数k是否等于0;
(3)定:确定是不是一次函数.
巩固训练
B
D
探究点二 实际问题中的一次函数
例3 已知A,B两站相距600千米,甲、乙两列车分别从A,B两站同时相对开出,匀速行驶,甲车每小时行驶60 km,6 h相遇.两车之间的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式为y=kx+b(0≤x≤6).
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)k和b的实际意义分别是什么
(3)4 h两车相距多少千米
解:(2)|k|表示每小时两车之间减少的距离(或|k|表示两车的速度和),b表示A,B两站的距离.
(3)当x=4时,y=-100×4+600=200.
答:4 h时两车相距200 km.
归纳总结
运用一次函数解决实际问题的步骤
(1)从实际问题中获取信息,找出等量关系;
(2)写出一次函数关系式;
(3)代入相关的数据求值.
注意:自变量的取值范围要符合实际意义.
巩固训练
3.(2024佛山月考)一只蜡烛高20 cm,点燃后平均每小时燃掉4 cm,则蜡烛点燃后剩余的高度h(cm)与燃烧时间t(h)之间的关系式是h= .这只蜡烛可燃烧 h.
20-4t
5
4.某药店销售一批外科口罩,如果一次性购买50个以上,那么超过50个的部分按原价打8折优惠出售.上个月小王家一次性买了外科口罩90个,花了41元.
(1)销售一个外科口罩的原价和优惠价分别是多少
解:(1)设销售一个外科口罩的原价是x元,则50x+0.8(90-50)x=41,
解得x=0.5,0.5×0.8=0.4.
答:销售一个外科口罩的原价是0.5元,优惠价是0.4元.
(2)设一次性购买外科口罩x个,花费y元,写出y与x之间的函数关系式.
(3)某学校一次性购买该外科口罩680个,花了多少钱
解:(2)由题意,得
y=50×0.5+0.4(x-50)=0.4x+5,
所以y与x之间的函数关系式为y=0.4x+5.
(3)当x=680时,y=0.4×680+5=277,
所以一次性购买该外科口罩680个,花了277元.
基础巩固练 01
第2课时 认识一次函数(2)——一次函数与正比例函数的概念
B
B
3.设圆的面积为S,半径为R,那么下列说法正确的是( )
A.S是R的一次函数
B.S是R的正比例函数
C.S与R2成正比例关系
D.以上说法都不正确
C
4.传统文化 (2024甘肃)如图(1)所示,“燕几”即宴几,是世界上最早的一套组合桌,由北宋进士黄伯思设计.全套“燕几”一共有七张桌子,包括两张长桌、两张中桌和三张小桌,每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可组合成不同的图形.图(2)给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式.若设每张桌面的宽为x尺,长桌的长为y尺,则y与x的关系可以表示为( )
A.y=3x B.y=4x
C.y=3x+1 D.y=4x+1
5.已知y与x成正比例关系,当x=2时,y=4,则当x=-3时,y= .
B
-6
图(1) 图(2)
知识点二 实际问题中的一次函数
6.李大爷要围成一个长方形菜园,菜园的一边利用足够长的墙,用篱笆
围成的另外三边总长应恰好为24 m,要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD.设BC边的长为x m,AB边的长为y m,则y与x之间的函数关系式是
( )
B
7.(2024淮安)一辆轿车从A地驶向B地,设出发x h后,这辆轿车离B地路程为y km,已知y与x之间的函数关系式为y=200-80x,则轿车从A地到达B地所用时间是 h.
2.5
8.某植物t天后的高度为y cm,它们的函数关系是y=0.7t+3.
(1)求3天后该植物高度.
(2)它对应的一次函数关系式y=kt+b中,k和b的实际意义分别是什么
解:(1)当t=3时,y=0.7×3+3=5.1.
3天后,该植物高度为5.1 cm.
(2)k表示该植物的生长速度;b表示该植物最开始的高度.
能力提升练 02
9.某市出租车计费标准为:路程不超过3 km时收费10元,超过部分每千米收费2元(不足1 km按1 km算).小明周末准备乘出租车到距家超过3 km的图书馆学习,则小明应付车费y(元)与行驶里程数x(km)(x>3且x为整数)之间的函数关系式为 ;若小明家距离图书馆3.5 km,则应付车费 元.
10.已知y和x-2成正比例,当x=3时,y=-4,则y与x的函数关系式为 .
.
y=2(x-3)+10(或y=2x+4)
12
y=
-4x+8
11.已知y=(m+2)x|m+3|+n-2.
(1)当m,n为何值时,y是x的正比例函数
(2)当m,n为何值时,y是x的一次函数
解:(1)由题意,得
|m+3|=1且m+2≠0,n-2=0,
解得m=-4,n=2.
所以当m=-4,n=2时,y是x的正比例函数.
(2)由题意,得|m+3|=1且m+2≠0,n-2为任意实数,解得m=-4,n为任意实数.
所以当m=-4,n为任意实数时,y是x的一次函数.
12.“粮食安全是事关人类生存的根本性问题,减少粮食损耗是保障粮食安全的重要途径.”为积极响应坚决抵制餐饮浪费行为,某送餐公司推出了“半份餐”服务,餐量是整份餐的一半,价格也是整份餐的一半,整份餐单价为20元,某企业每天中午从该送餐公司订100份午餐,其中半份餐订x份(0≤x<100),其余均为整份餐,该企业每天午餐订单总费用为y元.
(1)y与x之间的函数关系式为 .
解:(1)y=-10x+2 000(0≤x<100)
(2)若该企业某天半份餐订了30份,则当天该企业午餐订单的总费用为
元.
(3)已知某天该企业午餐订单的总费用为1 420元,当天订半份餐多少份
解:(2)1 700
(3)当y=1 420时,-10x+2 000=1 420,
解得x=58.
答:当天订半份餐58份.
素养培优练 03
13.为表彰在“世界地球日,一起爱地球”主题活动中表现优秀的同学,某班准备向这些同学奖励礼品,需要购买6个书包和若干个文具盒(不少于6个).某文具超市推出了两种优惠方案:①买一个书包赠送一个文具盒,多于书包数的文具盒按原价收费;②书包和文具盒均按原价的9折收费.已知每个书包定价为30元,每个文具盒定价为5元.
(1)设需要购买x个文具盒,选择方案①购买所需费用为y1元,选择方案②购买所需费用为y2元,请分别写出y1,y2与x之间的函数关系式;
(2)购买 个文具盒时,两种方案所需费用相同.
解:(1)y1=30×6+5(x-6)=150+5x;
y2=(30×6+5x)×90%=162+4.5x.
所以y1与x之间的函数关系式为y1=5x+150.
y2与x之间的函数关系式为y2=4.5x+162.
(2)24
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过教材 要点概览
1.确定一次函数的表达式
确定正比例函数y=kx(k≠0)的表达式,只需要 个关于k的条件;确定一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式,需要 个独立的关于k,b的条件.
2.确定一次函数表达式并解决实际问题
根据实际问题确定一次函数表达式的基本思路是先设出函数表达式
y=kx+b,再将已知条件代入求k,b,进而得到函数表达式,最后
借助函数表达式求解相关的问题.
4 一次函数的应用
第1课时 确定一次函数表达式
一
两
精讲练 新知探究
探究点一 确定一次函数表达式
例1 已知一次函数y=kx+b的图象经过点(3,2),与y轴交点的纵坐标是-4.
(1)求这个一次函数的表达式;
解:(1)因为一次函数y=kx+b的图象与y轴交点的纵坐标是-4,
所以图象过(0,-4).所以b=-4.
因为图象过点(3,2),
所以2=3k-4,解得k=2.
所以这个一次函数的表达式为y=2x-4.
(2)求出这个一次函数图象与x轴的交点坐标.
解:(2)令y=0,则2x-4=0,
解得x=2.
所以一次函数图象与x轴的交点坐标是(2,0).
归纳总结
根据待定系数法,将点的坐标代入表达式y=kx+b中即可求出其中k,b的值,如果k,b中只有一个未知,那么只需一个点的坐标,如果两个都是未知,那么需要两个点的坐标才可求出k,b的值(第五章会学习相关内容).
巩固训练
D
2.如图所示,已知点A(3,0),B(0,2).
(1)求直线AB所对应的函数表达式;
(2)若C为直线AB上一点,则当△OBC的面积为6时,点C
的坐标为 .
(2)(-6,6)或(6,-2)
探究点二 确定一次函数表达式并解决实际问题
例2 在弹性限度范围内,弹簧挂上适当的重物后会按一定的规律伸长,已知一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的关系如下表:
所挂物体的 质量x/kg 0 1 2 3 4 5 6
弹簧的长 度y/cm 14 14.8 15.6 16.4 17.2 18 18.8
(1)在弹性限度范围内,写出y与x之间的关系式;
(2)在弹性限度范围内,当所挂物体的质量为8.5 kg时,求弹簧的长度.
解:(1)设y与x之间的关系式为y=kx+b.将(0,14),(1,14.8)代入,得
b=14,k+b=14.8,
解得k=0.8.
所以y与x之间的关系式为y=0.8x+14.
(2)当x=8.5时,
y=0.8×8.5+14=20.8.
答:当所挂物体的质量为8.5 kg时,弹簧的长度是20.8 cm.
巩固训练
3.学过一次函数的知识后,某数学兴趣小组通过实验估计某液体的沸点,经过几次测量,得到如下数据:
当加热80 s时,该液体沸腾,则其沸点是 ℃.
95
时间t/s 0 10 20 30
液体温度y/℃ 15 25 35 45
4.世界上大部分国家都使用摄氏温度,一小部分国家使用华氏温度.两种计量之间有如下对应关系:
摄氏温度/℃ 0 10 20 30 40
华氏温度/℉ 32 50 68 86 104
(1)已知两种计量之间的关系是一次函数关系,设摄氏温度为x(℃)时对应的华氏温度为y(℉),则华氏温度关于摄氏温度的函数表达式为 .
解:(1)y=1.8x+32
(2)当华氏温度的值与对应的摄氏温度的值相等时,摄氏温度的值是多少
解:(2)由题意,得1.8x+32=x,
解得x=-40.
所以当华氏温度的值与对应的摄氏温度的值相等时,摄氏温度的值是-40.
基础巩固练 01
4 一次函数的应用
第1课时 确定一次函数表达式
知识点一 确定一次函数表达式
1.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(1,-2),则正比例函数的表达式为( )
B
2.(2025绍兴期末)一次函数y=kx+b的图象在直角坐标系中的位置如图所示,这个函数的表达式是( )
A.y=2x+4 B.y=2x-4
C.y=-2x+4 D.y=-2x-4
3.(2025锦江期末)若直线y=-x向上平移4个单位长度后经过点(1,m),则m的值为( )
A.3 B.2 C.-2 D.-3
C
A
4.已知y与x成正比例,且当x=3时,y=4.
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)当x=-1时,求y的值.
知识点二 确定一次函数的表达式并解决实际问题
5.一辆轿车离开某城市的距离y(km)与行驶时间t(h)之间的关系式为y=
kt+30,图象如图所示,在1 h到3 h之间,轿车行驶的路程是 km.
120
6.(2024东营)在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.一根弹簧不挂物体时长12.5 cm,当所挂物体的质量为2 kg时,弹簧长13.5 cm,当所挂物体的质量为5 kg时,弹簧的长度为 cm.
15
7.如图所示,杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器,其秤砣到秤纽的水平距离y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间满足一次函数关系.若不挂重物时秤砣到秤纽的水平距离为2.5 cm,挂1 kg物体时秤砣到秤纽的水平距离为8 cm.求当秤砣到秤纽的水平距离为30 cm时,秤钩所挂物体质量.
解:因为秤砣到秤纽的水平距离y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间满足一次函数关系,且不挂重物时秤砣到秤纽的水平距离为2.5 cm,
所以设一次函数表达式为y=kx+2.5(k≠0).
因为当x=1时,y=8,
所以8=k+2.5,解得k=5.5.
即y与x之间的函数表达式为y=5.5x+2.5.
当y=30时,30=5.5x+2.5,解得x=5.
即当秤砣到秤纽的水平距离为30 cm时,秤钩所挂物体质量是5 kg.
能力提升练 02
8.如图所示,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点,P是线段AB上任意一点(不包括端点),过P分别作两坐标轴的垂线,与两坐标轴围成的长方形的周长为10,则该直线的函数表达式是( )
A.y=x+5 B.y=x+10
C. y=-x+5 D.y=-x+10
C
9.(2024凉山)如图所示,一次函数y=kx+b的图象经过A(3,6),B(0,3)两点,交x轴于点C,则△AOC的面积为 .
9
4
11.如图所示,直线l1:y=2x+1与直线l2:y=mx+4相交于点P(1,b).
(1)求b,m的值;
解:(1)把P(1,b)代入y=2x+1,得b=2+1=3,即P(1,3).
再把P(1,3)代入y=mx+4,得m+4=3,所以m=-1.
(2)垂直于x轴的直线x=a与直线l1,l2分别交于点C,D,若线段CD长为2,求a的值.
素养培优练 03
(2)求S△AOC-S△BOC的值;
(3)一次函数y=kx+1的图象为l3,且l1,l2,l3不能围成三角形,直接写出k
的值.
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过教材 要点概览
两个一次函数图象的应用
如图所示.
(1)两个一次函数,当自变量的值为x0时,函数值都为 ;当函数
值为y0时,自变量的值都为 .
第3课时 借助两个一次函数图象解决有关问题
y0
x0
(2)当自变量的值x>x0时,函数值y1>y2,即对同一自变量x的值,图象在上面的函数值 ;
(3)当自变量的值x大
小
精讲练 新知探究
探究点一 借助两个一次函数图象解决有关问题
例1 甲、乙两辆汽车先后从A地出发到B地,甲车出发1 h后,乙车才出
发,如图所示的l1和l2表示甲、乙两车离出发地的距离y(km)与追赶时间x(h)之间的关系.
(1)哪条线表示乙车离出发地的距离y与追赶时间x之间的关系
(2)甲、乙两车的速度分别是多少
(3)试分别确定甲、乙两车离出发地的距离y(km)与追赶时间x(h)之间的关系式.
解:(1)l2表示乙车离出发地的距离y与追赶时间x之间的关系.
(3)甲车:y=60x+60;
乙车:y=90x.
归纳总结
若在同一平面直角坐标系中,存在两个一次函数的图象,则要通过所给图象的位置关系、交点坐标等来获取信息,进而解决相关的问题.
巩固训练
1.教材变式题 如图所示,l1反映了某公司某种产品的销售收入与销售量的关系,l2反映了该种产品的销售成本与销售量的关系.根据图象提供的信息,知下列说法正确的是( )
A.当销售量为2 t时,销售成本是2 000元
B.销售成本是5 000元时,该公司的该产品盈利
C.当销售量为5 t时,该公司的该产品盈利1 000元
D.l2的函数表达式为y=400x+2 000
B
2.(2024达州期中)如图所示,lA,lB分别表示A步行与B骑车在同一路上前进的路程s(km)与时间t(h)的关系.
(1)B出发时,与A相距 km;B出发后 h与A相遇.
解:(1)10 1
(2)分别求出A,B前进的路程s(km)与时间t(h)之间的函数关系式.
(3)出发2 h,A,B之间的距离是多少
解:(2)设sA=kt+b.
将(0,10),(1,15)代入,得
b=10,k+b=15,解得k=5,
故sA=5t+10.
设sB=at.将(1,15)代入,得a=15,
则sB=15t.
(3)当t=2时,sA=5×2+10=20,
sB=15×2=30,30-20=10(km).
因此,出发2 h,A,B之间的距离是10 km.
探究点二 利用一次函数解决方案设计问题
例2 某校计划在某超市采购一批洗手液.该超市推出以下两种优惠方案:
方案一:一律打8折.
方案二:购买量不超过100瓶时,按原价销售;超过100瓶时,超过的部分打
6折.
学校计划从该超市购买x瓶洗手液,方案一的费用为y1元,方案二的费用为y2元,y1,y2关于x的函数图象如图所示.
(1)该洗手液的原价为 元/瓶.
(2)分别求出y1,y2关于x的函数表达式.
解:(1)30
(3)若该校计划购买220瓶洗手液,则选择哪种方案更省钱 请说明理由.
解:(3)选择方案二更省钱.理由如下:
当x=220时,y1=24×220=5 280,
y2=18×220+1 200=5 160.
5 160<5 280,所以选择方案二更省钱.
归纳总结
由两相交的函数图象可获取的信息
(1)若交点用坐标(x0,y0)表示,则当x=x0时,两函数值相等;
(2)对于同一自变量来说,函数图象在上方,说明该函数的函数值大于另一函数的函数值;反之则小于.
巩固训练
3.某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡,设游泳次数为x时两种消费卡所需费用分别为y甲,y乙,y甲,y乙与x的函数图象如图所示,当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算( )
A.甲种更合算 B.乙种更合算
C.两种一样合算 D.无法确定
B
4.(2024深圳中学期中)某班为加强学生体育锻炼,决定购买羽毛球和羽毛球拍.甲、乙两家体育用品商店出售相同的羽毛球和羽毛球拍,羽毛球每个定价4元,羽毛球拍每副定价50元.现两家商店都搞促销活动:甲店每买一副球拍赠2个羽毛球;乙店按9折优惠.该班需购买球拍4副,羽毛球x个(x≥8).
(1)若在甲店购买需付款y甲元,在乙店购买需付款y乙元,分别写出y甲,y乙关于x的函数关系式.
解:(1)由题意,可得
y甲=4×50+(x-8)×4=4x+168,
y乙=(4×50+4x)×0.9=3.6x+180,
即y甲=4x+168,y乙=3.6x+180.
(2)当x=20时,该班在哪个商店购买更省钱
解:(2)当x=20时,
y甲=4×20+168=248;
y乙=3.6×20+180=252.
因为248<252,
所以到甲商店购买更省钱.
基础巩固练 01
第3课时 借助两个一次函数图象解决有关问题
知识点一 借助两个一次函数图象解决有关问题
1.如图所示是甲、乙两个探测气球所在位置的高度y(单位:m)关于上升时间x(单位:min)的函数图象.有下列结论:①当x=10时,两个探测气球位于同一高度;②当x>10时,乙气球位置高;③当0≤x<10时,甲气球位置高.其中正确结论有( )
A.3个 B.2个
C.1个 D.0个
A
2.某企业有甲、乙两个长方体的蓄水池,将甲池中的水以6 m3/h的速度注入乙池,甲、乙两个蓄水池中水的深度y(m)与注水时间x(h)之间的函数图象如图所示,注水时间为 h时,甲、乙两个蓄水池的水的深度相同.
0.6
3.如图所示,l1反映了某公司的销售收入与销售量的关
系,l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系.
(1)分别求出l1,l2的函数表达式.
解:(1)设l1的函数表达式为y=k1x(k1≠0),由图象,得4 000=4k1,解得k1=1 000.
所以l1的函数表达式为y=1 000x.
设l2的函数表达式为y=k2x+b(k2≠0),由图象,得b=2 000,①
4k2+b=4 000,②
把①代入②,解得k2=500.
所以l2的函数表达式为y=500x+2 000.
(2)若公司要实现10 000元的盈利,需售出多少产品
解:(2)由题意,得1 000x-(500x+2 000)=10 000,解得x=24.
答:若公司要实现10 000元的盈利,需售出24 t产品.
知识点二 一次函数的综合应用
4.电信公司手机的收费标准有A,B两类,已知每月应缴费用S(元)与通话时间t(分)之间的关系如图所示.当通话时间为200分时,按这两类收费标准缴费的差为( )
A.10元 B.15元
C.20元 D.30元
C
5.(2024西宁)西宁市城北客运站是我市“一芯双城”建设规划项目之一,依据规划要按一定比例配套建设新能源汽车充电设施.某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况,对某品牌汽车进行了调查研究,绘制了如图所示的汽车电池电量y(单位:kW·h)与充电时间x(单位:h)之间的函数图象,其中折线ABC表示用快速充电器充电时y1与x的函数关系;线段AD表示用普通充电器充电时y2与x的函数关系.根据相关信息,回答下列问题:
(1)用快速充电器充电时,汽车电池电量从10 kW·h充到70 kW·h需 h;
(2)求y2关于x的函数表达式,并直接写出自变量x的取值范围;
(3)该品牌汽车电池电量从10 kW·h充到100 kW·h,快速充电器比普通充电器少用 h.
(2)设y2关于x的函数表达式为y2=kx+b(k≠0),将A(0,10),E(2,70)代入,得
b=10,2k+b=70,所以k=30,
所以y2关于x的函数表达式为y2=30x+10(0≤x≤3).
能力提升练 02
6.甲、乙两人沿相同路线从学校前往距离学校 10 km 的科技中心参观学习.如图所示,y1与y2分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程y(km)随时间x(min)变化的函数图象.有以下说法:
①乙比甲提前12 min到达;
②甲的平均速度为15 km/h;
③乙走了5.5 km后遇到甲;
④当乙到达时甲距离科技中心4.4 km.
其中正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
C
7.甲、乙两车分别从M,N两地出发,沿同一公路相向匀速行驶,两车分别抵达N,M两地后立即停止行驶.已知乙车比甲车提前出发,设甲、乙两车之间的路程为s(单位:km),乙车行驶的时间为t(单位:h),s与t的函数关系如图所示,则m的值为 .
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素养培优练 03
8.“五一”期间,小明一家乘坐高铁前往某市旅游,计划第二天租用新能源汽车自驾出游.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)设租车时间为x小时,租用甲公司的车所需费用为y1元,租用乙公司的车所需费用为y2元,分别求出y1,y2关于x的函数表达式.
解:(1)由题意可知y1=k1x+80, 且图象过点(1,95),
则有95=k1+80,所以k1=15,
所以y1=15x+80(x≥0).
由题意可设y2=k2x(x≥0),
把(1,30)代入,得k2=30.所以y2=30x(x≥0).
(2)请你帮助小明计算选择哪个方案合算.
谢谢观赏！