(共23张PPT)
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤可概括为“审、找、设、列、解、答”六步.
(1)审:把实际问题抽象成数学问题,明确已知量和未知量及问题中所包含的数量关系;
(2)找:找出能够表达问题全部含义的两个 ;
第2课时 二元一次方程组的应用(2)
等量关系
过教材 要点概览
(3)设:用字母表示题目中的两个未知数;
(4)列:根据所设未知数找出两个等量关系,列出 ;
(5)解:解所列的方程组,求出 的解;
(6)答:检验方程组的解是否符合实际意义,最后写出答案.
二元一次方程组
方程组
探究点一 用方程组解决百分率问题
例1 某工厂去年的总产值比总支出多90万元,今年比去年的总产值增加10 %,总支出节约20 %.如果今年的总产值比总支出多120万,那么今年的总产值和总支出分别是多少万元
精讲练 新知探究
归纳总结
当直接设未知数不利于列方程(组)时,可采用间接设未知数的方法来
求解.
巩固训练
1.某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%,将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%,已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元,调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元.如果设调价前这种碳酸饮料每瓶x元,果汁饮料每瓶y元,根据题意列方程组为( )
C
2.(2023安徽)根据经营情况,公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整:甲地上涨10%,乙地降价5元.已知销售单价调整前甲地比乙地少10元,调整后甲地比乙地少1元,求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.
探究点二 用方程组解决图表信息问题
例2 某服装店用6 200元购进A,B两种新式服装,按标价售出后可获得毛利润3 300元.这两种服装的进价、标价见下表.
单价 A种 B种
进价/元 200 320
标价/元 300 500
(1)这两种服装各购进多少件
(2)如果A种服装按标价的8折售出,B种服装按标价的7.5折售出,那么这批服装全售完后,该服装店比按标价售出收入减少多少元
解:(2)300×(1-0.8)×15+500×(1-0.75)×10=2 150(元).
答:该服装店比按标价售出收入减少2 150元.
巩固训练
3.小明在某商店购买商品A,B共两次,这两次购买商品A,B的数量和费用如下表:
分组 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总
费用/元
第一次购物 4 3 93
第二次购物 6 6 162
若小丽需要购买2个商品A和3个商品B,则她要花费( )
A.67元 B.68元 C.69元 D.70元
C
基础巩固练 01
知识点一 用方程组解决百分率问题
第2课时 二元一次方程组的应用(2)
1.已知A种盐水含盐15%,B种盐水含盐40%,现在要配制500 g含盐25%的盐水,需要A,B两种盐水各多少克 若设需要A种盐水x g,B种盐水y g,根据题意可列方程组为( )
C
2.某公司用30 000元购进甲、乙两种货物,货物卖出后,甲种货物的利润率是10%,乙种货物的利润率是11%,共获得利润3 150元,则甲种货物的进货价为 元,乙种货物的进货价为 元.
3.五一期间,商场搞优惠促销,决定由顾客抽签确定折扣.某顾客购买甲、乙两种商品,分别抽到7折和9折,共付款448元.两种商品原销售价之和为560元,则两种商品的原销售价分别为 元, 元.
15 000
15 000
280
280
4.(2024北京)为防治污染,保护和改善生态环境,自2023年7月1日起,我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段(以下简称“标准”).对某型号汽车,“标准”要求A类物质排放量不超过35 mg/km,A,B两类物质排放量之和不超过50 mg/km.已知该型号某汽车的A,B两类物质排放量之和原为
92 mg/km.经过一次技术改进,该汽车的A类物质排放量降低了50%,B类物质排放量降低了75%,A,B两类物质排放量之和为40 mg/km.判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”,并说明理由.
知识点二 用方程组解决图表信息问题
5.某校开展募捐工作,该校七(1)班40名学生共捐款500元,捐款情况如表:
表格中10元和15元对应的人数被班长不小心刮破了看不到数据,请你根据相关信息帮助他求出捐款10元和15元的人数.
能力提升练 02
6.甲、乙两种商品原来的单价之和为100元,根据市场变化,甲商品降价20%,乙商品提价60%,调整后两种商品的单价之和比原来的单价之和提高了50%,则购买调价后的3件甲商品和2件乙商品共需 元.
310
7.(2024广元改编)近年来,中国传统服饰备受大家的青睐,走上国际时装周舞台,大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售,进货价和销售价如表:
价格 短款 长款
进货价/(元/件) 80 90
销售价/(元/件) 100 120
(1)该服装店第一次用4 300元购进长、短两款服装共50件,求两款服装分别购进的件数;
(2)第一次购进的两款服装售完后,该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件(进货价和销售价都不变),设购进的短款服装为m件,且满足m≥120.问服装店这次应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润,最大销售利润是多少
解:(2)设利润为w元,则w=(100-80)m+(120-90)(200-m)=-10m+6 000.
因为-10<0,所以w随m的增大而减小.
又因为m≥120,
所以当m=120时,利润w最大为-10×120+6 000=4 800(元).
答:当购进120件短款服装,80件长款服装时,能获得最大销售利
润,最大销售利润是4 800元 .
素养培优练 03
8.综合与实践 [项目式学习]
如何设计购买方案
素材1:某班同学暑假要去某景区参加“非遗传承,研学之旅”活动,已知该景区有A,B两场历史演出活动,且购买2张A演出门票比1张B演出门票多10元,购买5张A演出门票和3张B演出门票的费用一样多.
素材2:考虑场地和安全原因,要求A演出、B演出两种门票都要购买,且该班购买A演出的门票要多于B演出的门票.
[问题解决]
(1)确定演出门票价格.请分别求出A演出和B演出的门票单价.
(2)拟定购买方案.若购买门票的总预算为600元(全部花完),且要使购买门票的总数量尽量的多,请你设计一种最佳购买方案.
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用二元一次方程组确定一次函数表达式
(1)先设出 ,再根据所给条件确定表达式中 的系数,从而得到函数表达式的方法,叫作待定系数法.
(2)一次函数的表达式有两个参数k,b,因此要确定一次函数的表达式,需要 个条件.
第2课时 用二元一次方程组确定一次函数表达式
函数表达式
过教材 要点概览
未知
两
探究点一 用二元一次方程组确定一次函数表达式
例1 已知一次函数的图象过点(3,5)与点(-4,-9),求这个一次函数的表达式.
精讲练 新知探究
归纳总结
用待定系数法求一次函数表达式的四个步骤
(1)设:设出一次函数表达式为y=kx+b;
(2)列:将已知点的坐标代入y=kx+b列出二元一次方程组;
(3)求:解二元一次方程组求出k,b的值;
(4)写:写出一次函数表达式.
巩固训练
1.一次函数y=kx+b的图象经过(1,1),(2,-4)两点,则k与b的值分别为
( )
A.3,-2 B.-3,4
C.-5,6 D.6,-5
C
y=x-3
探究点二 利用二元一次方程组与一次函数解决实际问题
例2 甲、乙两人同时从相距90 km的A地前往B地,甲乘汽车,乙骑摩托
车,甲到达B地停留0.5 h后返回A地.如图所示的是他们离A地的距离y
(km)与时间x(h)之间的函数关系图象.
(1)求甲从B地返回A地的过程中,y与x之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
(2)若乙出发后2 h和甲相遇,求乙从A地到B地用了多长时间.
解:(2)当x=2时,y=-60×2+180=60.
所以乙的速度为60÷2=30(km/h),
所以乙从A地到B地用时为90÷30=3(h).
巩固训练
3.某地区山峰的高度每增加1百米,气温大约降低0.6 ℃.气温T(℃)和高度h(百米)的函数关系如图所示.请根据图象解决下列问题:
(1)请直接写出高度为5百米时的气温: ℃;
解:(1)12
(2)求T关于h的函数表达式.
基础巩固练 01
知识点一 用二元一次方程组确定一次函数表达式
第2课时 用二元一次方程组确定一次函数表达式
1.已知一次函数的图象与直线y=-x平行,且过点(8,2),那么此一次函数的表达式为( )
A.y=-x-2 B.y=x-6
C.y=-x+10 D.y=-x-1
2.若一条直线经过点(-1,1)和点(1,5),则这条直线与x轴的交
点坐标为 .
C
知识点二 利用二元一次方程组与一次函数解决实际问题
4.某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图象确定,那么旅客可携带的免费行李的最大质量为( )
A.10 kg B.20 kg C.30 kg D.40 kg
B
5.小明家买了一台充电式自动扫地机,每次完成充电后,使用时,扫地机会自动根据设定的扫地时间来确定扫地的速度(以使每次扫地结束时尽量把所储存的电量用完),如图所示是“设定的扫地时间”与“扫地速
度”之间的函数图象(线段AB),其中设定的扫地时间为x min,扫地速度为y dm2/min.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)现在小明需要扫地机完成扫地任务,他设定的扫地时间为60 min,小明要扫的地面是多少平方米
解:(2)把x=60代入y=-3x+360,得
y=-3×60+360=180.
180×60=10 800(dm2)=108 m2.
因此,小明要扫的地面是108 m2.
能力提升练 02
6.如图所示,小明画了一幅藏宝图,他在方格纸上标出了四个点A,B,C,D
(都在格点上),AC和BD的交点O就是宝藏所在的位置.若每个小正方形的边长表示的实际长度为10 m,则宝藏距离BC的实际长度是( )
B
7.已知一次函数y=kx+b,当-3≤x≤1时,对应y的值为1≤y≤9,
则k+b的值为 .
9或1
8.某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克,销售了部分苹果后,余下的苹果按每千克降价4元销售,全部售完.销售金额y(元)与销售量x(kg)之间的函数关系如图所示.
请根据图象提供的信息回答下列问题:
(1)降价前苹果的销售单价是 元.
解:(1)16
(2)求降价后销售金额y(元)与销售量 x(kg)之间的函数表达式,并写出自变量的取值范围.
(3)该水果店这次销售苹果盈利了多少元
解:(3)该水果店这次销售苹果盈利
760-8×50=360(元).
答:该水果店这次销售苹果盈利了360元.
素养培优练 03
9.综合与实践 如何选择印刷厂更优惠
【情境】某校准备印刷一批《新生手册》,咨询了甲、乙两个印刷厂,他们给出的收费标准如图所示.设印制数量为x(份),甲、乙两印刷厂的收费分别为y甲(元)和y乙(元).
【项目解决】
目标1:确定甲厂收费标准.求y甲关于x的函数表达式.
目标2:初步比较印刷费用.当印刷份数在1 200份以下时,印多少份,两厂费用相同
目标3:给出最终选择方案.根据印制数量的不同,如何选择较优惠的印
刷厂
解:目标3:结合函数图象可知,
当0y乙;
当x=750时,y甲=y乙;
当750当x=3 000时,y甲=y乙;
当x>3 000时,y甲>y乙.
所以当03 000时,选择乙印刷厂较优惠;
当750当x=750或x=3 000时,选择甲或乙印刷厂均可.
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1.三元一次方程
含有 个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 ,这样的方程叫作三元一次方程.
*5 三元一次方程组
过教材 要点概览
三
1
2.三元一次方程组
共含有三个未知数的 个 方程所组成的一组方程,叫作三元一次方程组.
3.三元一次方程组的解
三元一次方程组中各个方程的 解,叫作这个三元一次方程组的解.
三
一次
公共
探究点一 三元一次方程组的定义及其解法
精讲练 新知探究
解:①+③,得5x+5y=25,④
②+③×2,得5x+7y=31,⑤
⑤-④,得2y=6,所以y=3.
把y=3代入④,得5x+5×3=25,
重点必记
解三元一次方程组的基本思路是“消元”,把“三元”化为“二元”,再化为“一元”.
巩固训练
1.下列是三元一次方程组的是( )
D
探究点二 三元一次方程组的应用
例2 我国古代某人用卖2头牛、5头驴的钱买13头羊,剩钱1 000;用卖3头牛、3头羊的钱买9头驴,钱正好;用卖6头驴、8头羊的钱买5头牛,还差钱600.求牛、驴、羊每头的价钱.
巩固训练
2.利用两块完全一样的长方形木板测量一张桌子的高度,首先按如图(1)所示的方式放置,图示距离为110 cm;再交换两木板的位置,按如图(2)所示的方式放置,图示距离为60 cm,则桌子的高度等于 cm.
85
基础巩固练 01
知识点一 三元一次方程组的定义及其解法
*5 三元一次方程组
1.下列方程组是三元一次方程组的是( )
B
C
知识点二 三元一次方程组的应用
4.现有A,B,C三箱橘子,其中A,B两箱共100个橘子,A,C两箱共102个橘子,
B,C两箱共106个橘子.求每箱各有多少个橘子.该问题中,若设A,B,C三箱
分别有x,y,z个橘子,则可列方程组为 .
5.已知关系式y=ax2+bx+c,当x=-1时,y=0,当x=1时,y=-4;当x=2时,y=3.
(1)求a,b,c的值;
(2)当x=-3时,求出y的值.
解:(2)当x=-3时,y=ax2+bx+c=3×9+(-2)×(-3)-5=28.
能力提升练 02
7.为了奖励学习进步的同学,某班准备购买甲、乙、丙三种不同的笔记本作为奖品,其单价分别为2元、3元、4元,购买这些笔记本需要花60元;经过协商,每种笔记本单价下降0.5元,购买这些笔记本只花了49元.那么以下哪个结论是正确的( )
A.乙种笔记本比甲种笔记本少4本
B.甲种笔记本比丙种笔记本多6本
C.乙种笔记本比丙种笔记本多8本
D.甲种笔记本与乙种笔记本共12本
B
B
1
素养培优练 03
(2)某步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别为x,y,z盆,甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成,乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成,丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了2 900朵红花,3 750朵紫花,求黄花一共用了多少朵
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1.二元一次方程
含有 个未知数,并且所含有未知数的项的次数都是 的方程叫作二元一次方程.
2.二元一次方程组
共含有 个未知数的 个一次方程所组成的一组方程,叫作
二元一次方程组.
1 认识二元一次方程组
两
1
两
两
过教材 要点概览
第五章 二元一次方程组
3.二元一次方程的解
使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组 的值,叫作这个二元一次方程的一个解.
4.二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的 解,叫作这个二元一次方程组的解.
未知数
公共
探究点一 二元一次方程(组)的概念
例1 判断下列方程组是否为二元一次方程组,并说明理由.
精讲练 新知探究
解:(2)(5)中含有2个未知数,并且所含有未知数的项的次数都是1,这两个方程组符合二元一次方程组的定义,故它们是二元一次方程组;
(1)中含有3个未知数,所以它不是二元一次方程组;
(3)该方程组中一个方程含有未知数的项的最高次数是2,所以它不是二元一次方程组;
(4)该方程组中的一个方程不是整式方程,所以它不是二元一次方程组.
重点必记
二元一次方程组必须满足三个条件
(1)有且只有两个未知数;
(2)含有未知数的项的次数都是1;
(3)方程的两边都是整式.
巩固训练
A
2.某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费了466元,其中篮球的单价比足球的单价多4元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x
元,足球的单价为y元,依题意,可列方程组: .
探究点二 二元一次方程(组)的解
例2 二元一次方程x+y=1有无数个解,下列各组数值中,不是该方程的解的是( )
B
D
归纳总结
(1)二元一次方程的解都是一对数值,一般情况下,一个二元一次方程有无数个解;
(2)一般情况下,一个二元一次方程组只有一组解,写二元一次方程(组)的解要用大括号括起来.
巩固训练
B
C
10
基础巩固练 01
知识点一 二元一次方程(组)的概念
1 认识二元一次方程组
B
第五章 二元一次方程组
C
3.若xm-2yn-2=2 024是关于x,y的二元一次方程,则m,n的值分别是( )
A.m=1,n=0 B.m=0,n=1
C.m=2,n=2 D.m=1,n=3
D
4.某社区为了美化环境,投入一定资金用于绿化一块闲置空地,购买了甲、乙两种树木共70棵,其中甲种树木每棵85元,乙种树木每棵78元,共用去资金5 740元,求甲、乙两种树木各购买了多少棵 设甲种树木购买了x
棵,乙种树木购买了y棵,则列出的方程组是 .
知识点二 二元一次方程(组)的解
C
B
B
能力提升练 02
D
10.(2024宜宾)某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售,其中每个大箱装4千克荔枝,每个小箱装3千克荔枝.该果农现采摘有32千克荔枝,根据市场销售需求,大小箱都要装满,则所装的箱数最多为( )
A.8箱 B.9箱
C.10箱 D.11箱
C
-2或-3
13.一批机器零件共558个,甲先做3天后,乙再加入,两人共同再做6天刚好完成.设甲每天做x个,乙每天做y个.
(1)列出关于x,y的二元一次方程.
解:(1)根据题意,得(3+6)x+6y=558,
即9x+6y=558,则关于x,y的二元一次方程为9x+6y=558.
(2)用含x的代数式表示y,并求当x=32时,y的值.
(3)若乙每天做48个,则甲每天做多少个
素养培优练 03
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列方程组解决古代问题
列方程组解决古代问题,首先要读懂题意,从中确定相等关系,设两个未知数,根据等量关系列方程组,再解方程组即可.
3 二元一次方程组的应用
第1课时 二元一次方程组的应用(1)
过教材 要点概览
探究点 列方程组解决古代问题
例题 某古代数学专著中记录了“盈不足”问题,原文如下:今有共买
鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数、鸡价各几何 译文为:现有若干人合伙买鸡,如果每人出9钱,就会多11钱;如果每人出6钱,又会缺16钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少 请解答上述问题.
精讲练 新知探究
巩固训练
1.《九章算术》中记载了一道关于方程的题目,其大意为:五只雀、六只燕,共重16两(古代货币单位),雀重燕轻.互换其中一只,恰好一样重.问每只雀、燕的质量各为多少 设雀每只x两,燕每只y两,则可列出方程组为( )
B
2.(2024天津)《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍,其中有一道题:
“今有木,不知长短.引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳度之,不足一尺.木长几何 ”意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺.问木长多少尺 设木长x尺,绳子长y尺,则可以列出的方程组为( )
A
3.《九章算术》中记载:“今有善田一亩,价三百;恶田七亩,价五百.今并买一顷,价钱一万.问善、恶田各几何 ”其大意是:今有好田1亩,价值300钱;坏田7亩,价值500钱.今共买好、坏田1顷(1顷=100亩),价值
10 000钱.问好、坏田各买了多少亩
基础巩固练 01
知识点 列方程组解决古代问题
3 二元一次方程组的应用
第1课时 二元一次方程组的应用(1)
1.数学文化 (2024南充)《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公,众客都来到店中.一房七客多七客,一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间客房.设有客房x间,客人y人,则可列方程组为( )
D
2.(2025郑州期末)《算法统宗》一书中有这样一题:“一支竿子一条索,索比竿子长一托,对折索子来量竿,却比竿子短一托(一托按照5尺计算).”大意是:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;将绳索对折后再去量竿,就比竿短5尺.若要求绳索的长度,设竿长x尺,绳索长y尺,根据题意可列方程组为( )
A
3.《九章算术》中记载:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何 ”题目大意是:今有人合伙购物,每人出八钱,余三
钱;每人出七钱,差四钱.问人数、物价各多少 设有x人,物价为y钱,则可
列方程组为 .
4.(2024淮安)《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著,其中有这样一个问题:“今有客不知其数.两人共盘,少两盘;三人共盘,长三盘.问客及盘各几何 ”意思为:“现有若干名客人.若2个人共用1个盘子,则少2个盘子;若3个人共用1个盘子,则多出来3个盘子.问客人和盘子各有多少 ”请你解答这个问题.
能力提升练 02
D
A.甜果七个用四文钱,苦果九个用十一文钱
B.甜果十一个用九文钱,苦果四个用七文钱
C.甜果四个用七文钱,苦果十一个用九文钱
D.甜果九个用十一文钱,苦果七个用四文钱
6.(2025简阳期末)“昔锦官之地,有匠作弓与箭.作一弓需三日,作一箭需二日.共费四十日,成弓箭十五.”题目大意是:从前在锦官城这个地
方,有工匠制作弓和箭.制作一张弓需要三天时间,制作一支箭需要两天时间.总共花费四十天时间,制成弓和箭共计十五件.设弓有x件,箭有y
件,则可列方程组为 .
(1)求甲、乙两人各带的钱数.
(2)如果小明、小颖去文具店购买作业本,两人带的钱数(单位:元)恰好等于甲、乙两人各带的钱数,已知作业本的单价为2.5元.由于开学之际,文具店搞促销活动,凡消费50元可以打8折,那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本
解:(2)37.5÷2.5+25÷2.5=25(本),
(37.5+25)÷(2.5×0.8)=31.25,取正整数31,31-25=6(本).
答:他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本.
素养培优练 03
8.应用意识 某书中有一题,其译文:“假设5头牛、2只羊,值19两银子;
2头牛、5只羊,值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两 ”根据以上译文,解答以下两个问题:
(1)每头牛、每只羊各值多少两银子
(2)若某商人准备用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊,且银两须全部用完),请问商人有几种购买方法 列出所有的可能.
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加减消元法
在解二元一次方程组时,通过两式相加(或相减)消去其中一个 ,这种解二元一次方程组的方法称为 .
第2课时 加减消元法
未知数
过教材 要点概览
加减消元法
探究点一 用加减消元法解二元一次方程组
例1 解下列二元一次方程组:
精讲练 新知探究
归纳总结
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤
(1)①方程组的两个方程中,若某个未知数系数的绝对值相等,则直接将两式相加或相减,消去这个未知数;
②方程组的两个方程中,如果不存在某个未知数系数的绝对值相等的情况,那么就用适当的数乘方程的两边,使同一个未知数的系数互为相反数或相等,再进行加减消元.
归纳总结
(2)解这个一元一次方程,求得一个未知数的值.
巩固训练
A
A
探究点二 二元一次方程组的同解问题
归纳总结
同解方程组解题思路
(1)利用两个已知的二元一次方程组成方程组;
(2)求出方程组的解;
(3)利用这个解得到关于字母参数的方程组;
(4)求得字母参数的值.
巩固训练
A
(2)求m,n的值.
基础巩固练 01
知识点一 用加减消元法解二元一次方程组
第2课时 加减消元法
B
D
题组 不解方程组,直接用加减法求值
C
A
一
知识点二 二元一次方程组的同解问题
A
D
能力提升练 02
D
D
2
13.对于实数a,b,定义关于“ ”的一种运算:a b=2a+b,例如3 4=2×3+
4=10.
(1)求4 (-3)的值;
(2)若x (-y)=2,(2y) x=-1,求x+y的值.
解:(1)4 (-3)=2×4+(-3)=8-3=5.
素养培优练 03
解题策略
消元方法的综合运用
当方程组中两个方程的两个相同未知数的系数的和或差相同时,可先把两个方程相加减化成未知数的系数的绝对值为1,再求解会更为简捷.
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1.二元一次方程与一次函数的关系
一般地,以一个二元一次方程的解为 的点组成的图象与相应的
的图象相同,是一条直线.一个二元一次方程对应着平面上的一条 .
4 二元一次方程与一次函数
第1课时 二元一次方程与一次函数的关系
坐标
过教材 要点概览
一次函数
直线
2.二元一次方程组与一次函数的关系
一般地,从图形的角度看,确定两条直线交点的 ,相当于求相应的二元一次方程组的 ;解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的 .二元一次方程组的解对应着平面上两条直线的
.
坐标
解
坐标
交点
探究点一 二元一次方程与一次函数的关系
例1 如图所示,过点Q(0,3.5)的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点P,能表示这个一次函数图象的方程是( )
A.3x-2y+3.5=0
B.3x-2y-3.5=0
C.3x-2y+7=0
D.3x+2y-7=0
精讲练 新知探究
D
巩固训练
1.以二元一次方程2x+y=-1的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是( )
D
2.以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 .
的图象相同.
3.若以关于x,y的二元一次方程2x-y+b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线y=2x-b+2上,则常数b的值为 .
y=-2x+5
1
探究点二 二元一次方程组与一次函数的关系
例2 如图所示,直线l1:y=x+2与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b).
(1)b的值为 ;
解:(1)3
(3)当n=4时,求直线l1、直线l2与y轴所围成的三角形的面积.
重点必记
巩固训练
3
(3)求△ABP的面积.
基础巩固练 01
知识点一 二元一次方程与一次函数的关系
4 二元一次方程与一次函数
第1课时 二元一次方程与一次函数的关系
1.直线l是以二元一次方程8x-y=5的解为坐标所构成的直线,则该直线不经过的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
3.以二元一次方程3x-4y=8的解为坐标的所有点组成一次函数y= .
的图象.
知识点二 二元一次方程组与一次函数图象的关系
D
D
(1,2)
能力提升练 02
A
-2
10.如图所示,直线l1过点A(8,0),B(0,-4),直线l2过点C(0,-1),l1,l2相交于点D,且△DCB的面积等于6.
(1)求直线l1的函数表达式.
(2)求点D的坐标.
(3)点D的坐标是哪个二元一次方程组的解
素养培优练 03
(1)求m的值及点A,B的坐标;
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采用“逐步确定”策略解决问题的一般过程
根据题意找出问题的解需要满足的各个条件;按照某个顺序,逐步满足这些条件,最终确定问题的解.
☆ 问题解决策略:逐步确定
过教材 要点概览
探究点 采用“逐步确定”策略解决问题
例题 如图所示,用钉子把木棒AB,BC和CD分别在端点B,C处连接起来,用橡皮筋把AD连接起来.设橡皮筋AD的长是x.
精讲练 新知探究
(1)若AB=5,CD=3,BC=11,试求x的最大值和最小值;
(2)在(1)的条件下要围成一个四边形,请直接写出x的取值范围.
解:(1)要求AD的最大值,即将AB绕点B逆时针方向旋转,使其与BC在一条直线上,将CD绕点C顺时针方向旋转,使其与BC在一条直线上,即四点从左到右依次为A,B,C,D.
因为AB=5,CD=3,BC=11,
所以AD=AB+BC+CD=5+11+3=19.
要求AD的最小值,即将BA绕点B顺时针方向旋转,使其与BC共线,将CD绕点C逆时针方向旋转,使其与BC共线,即四点从左到右依次为B,A,D,C.
所以AD=BC-AB-CD=11-5-3=3.
综上可得,x的最大值是19,最小值是3.
(2)3巩固训练
某种机器工作前需先将空油箱加满,然后立即开始工作,当停止工作时,油箱中油量为5 L,在整个过程中,油箱中的油量y(单位:L)与时间x(单
位:min)之间的关系如图所示.
(1)加油过程中每分钟的加油量为 L,
机器工作的过程中每分钟的耗油量为 L.
解:(1)3 0.5
(2)求机器工作时y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
(3)当油箱中油量为油箱容积的一半时,求x的值.
解:(3)当3x=30÷2时,解得x=5,
当-0.5x+35=30÷2时,解得x=40,
即当油箱中油量为油箱容积的一半时,x的值是5或40.
基础巩固练 01
知识点 运用“逐步确定”策略解决问题
☆ 问题解决策略:逐步确定
1.在长度分别为4厘米、5厘米、9厘米、12厘米的四条线段中,任选三条线段可以组成三角形的个数为( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B
2.(2024宜宾)如图所示是正方体表面展开图.将其折叠成正方体后,距顶点A最远的点是( )
A.B点 B.C点 C.D点 D.E点
B
3.如图所示,若AD⊥BC,垂足为点D,则以AD为高的三角形有 个.
6
4.今有物不知其数,七七数之剩一,八八数之剩二,九九数之剩三.问物至少有 个.
498
5.教材变式题 《孙子算经》是中国古代时期重要的数学专著,其中包含了“鸡兔同笼”“物不知数”等许多有趣的数学问题.《孙子算经》中记载:“有一些物品,不知道有多少个,只知道将它们三个三个地数,会剩下两个;五个五个地数,会剩下三个;七个七个地数,也会剩下两个.这个物品有多少个 ”请用含k(k为自然数)的代数式表示满足条件的所有正整数 .
105k+23
能力提升练 02
D
7.如图所示,有一块三角形菜地,在菜地中有一点E,BC上是否存在点F,使折线A—E—F将△ABC分为面积相等的两部分.若存在,请画出F点的位置,并说明理由.
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1.常见几何图形的面积与周长公式
(1)正方形的面积=边长×边长,周长=边长× ;
(2)长方形的面积=长× ,周长=(长+宽)× ;
第3课时 二元一次方程组的应用(3)
4
过教材 要点概览
宽
2
高
(4)圆的面积=πr2,周长=2πr(r为圆的半径).
2.行程问题中的常见数量关系
(1)基本关系:路程=速度×时间.
(2)相遇问题:总路程=甲走的路程+乙走的路程.
(3)追及问题:①同地不同时: 被追者走的路程=追者走的路程;
②同时不同地:追者走的路程=被追者走的路程+两地间的距离.
(4)航行问题:①v顺水=v静水+v水速;
②v逆水=v静水-v水速.
探究点一 列方程组解决几何图形问题
例1 如图所示,由8个一样的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形,已知大的长方形的周长是92 cm,求大长方形的长和宽.
精讲练 新知探究
巩固训练
1.现有一把无刻度的直尺和四块一样的矩形纸片,已知纸片的长是其宽的2倍,将纸片和直尺按如图所示的方式摆放,则根据图中给出的数据可知直尺的长度是( )
A.18 cm B.17 cm
C.16 cm D.15 cm
D
2.某工厂用如图(1)所示的长方形和正方形纸板(长方形的宽与正方形的边长相等)做成如图(2)所示的A种与B种两种长方体形状的无盖纸盒.现有正方形纸板180张,长方形纸板340张,刚好全部用完.若设能做成x个A种盒子,y个B种盒子,则以下列出的方程组中正确的为( )
B
探究点二 列方程组解决行程问题
例2 小华家到学校有一段平路与一段上坡路,如果骑自行车在平路上每小时行驶15 km,在上坡路上每小时行驶10 km,在下坡路上每小时行驶
18 km,那么从家到学校需要29 min,从学校到家需要25 min.求小华家到学校的距离.
巩固训练
3.甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步,甲的速度是乙的2.5倍,4 min两人首次相遇,此时乙还需要跑300 m才跑完第一圈,求甲、乙二人的速度及环形场地的周长[列方程(组)求解].
基础巩固练 01
知识点一 列方程组解决几何图形问题
第3课时 二元一次方程组的应用(3)
1.如图所示是由同一种墙砖粘贴的部分墙面,该墙砖的横截面为长方形.其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高10 cm,2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低40 cm,则每块墙砖横截面的面积是( )
A.425 cm2 B.525 cm2
C.600 cm2 D.800 cm2
B
2.用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形,4个长方形纸片围成如图(1)所示的正方形,其阴影部分的面积为81,8个长方形纸片围成如图(2)所示的正方形,其阴影部分的面积为64,12个长方形纸片围成如图(3)所示的正方形,求该阴影部分的面积.
知识点二 列方程组解行程问题
3.甲、乙两辆小车同时从A地开出,甲车比乙车每小时快10 km,结果甲车行驶了40 min到达了B地,而乙车比甲车晚5 min到达B地.设甲车和乙车的速度分别为x km/h,y km/h,则下列方程组正确的是( )
B
5.小刚和小亮两人骑自行车从同一地点出发,在400 m环形跑道上用不变的速度行驶,当他们按相反的方向行驶时,每20 s就相遇一次;若按同一方向行驶,那么每100 s相遇一次,问两个人的速度各是多少
能力提升练 02
6.一辆汽车在公路上行驶,看到里程表上是一个两位数,1 h后其里程表还是一个两位数,且刚好它的十位上的数字与个位上的数字是第一次看到的两位数的十位上的数字与个位上的数字颠倒了位置,又过了1 h,看到里程表是一个三位数,它是第一次看到的两位数中间加一个0,则汽车的平均速度是( )
A.35 km/h B.40 km/h
C.45 km/h D.50 km/h
C
7.已知某一铁桥长1 000 m,有一列火车从桥上通过,测得火车开始上桥到完全过桥共有1 min,整列火车在桥上的时间为40 s,则火车的速度和车长分别为 m/s和 m.
20
200
9.小明手中有块长方形的硬纸片如图所示,其中长BC比宽AB多8 cm,长方形的周长是80 cm.
(1)求长方形的面积;
(2)小明想用这块长方形的硬纸片,沿着边的方向裁出一块长与宽的比为5∶4且面积为340 cm2的新纸片,试判断小明能否成功,并说明理由.
素养培优练 03
10.琪琪沿街匀速行走,发现每隔12 min从背后驶过一辆7路公交车,每隔6 min迎面驶来一辆7路公交车.假设每辆7路公交车行驶速度相同,而且7路公交车总站每隔固定时间发一辆车.试问:7路公交车行驶速度是琪琪行走速度的几倍 7路公交车总站每间隔多长时间发一辆车
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1.解二元一次方程组的基本思路
解二元一次方程组的基本思路是“ ”——把“ ”变为“一元”.
2.代入消元法
将二元一次方程组其中一个方程中的某个未知数用含有另一个 .
的代数式表示出来,并代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化
二元一次方程组为 .这种解方程组的方法称为
.
2 二元一次方程组的解法
第1课时 代入消元法
消元
过教材 要点概览
二元
未知数
一元一次方程
代入消元法
探究点一 用代入消元法解二元一次方程组
例1 解方程组:
精讲练 新知探究
归纳总结
用代入消元法解二元一次方程组的步骤
(1)从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来;
(2)将变形后的关系式代入另一个方程,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;
归纳总结
(3)解这个一元一次方程,求出未知数的值;
(4)将求得的未知数的值代入变形后的关系式中,求出另一个未知数
的值;
巩固训练
C
探究点二 用代入消元法解二元一次方程组的应用
巩固训练
3.(2024贵阳期中)若单项式-4a5b2m与3a2m+3bn+3是同类项,则m,n的值分别是( )
A.1,-1 B.1,2 C.1,-2 D.1,1
A
基础巩固练 01
知识点一 用代入消元法解二元一次方程组
2 二元一次方程组的解法
第1课时 代入消元法
D
2.李老师设计了一个解方程组的接力游戏,学习小组的4名成员每人完成一步,如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程,解题过程中开始出现错误的同学是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
C
3.已知方程3x-5y=2,用含x的代数式表示y为 ;用含y的
代数式表示x为 .
解:由②,得 y= . ③
将③代入①,得 ,
3x-8x+20=10,
-5x=-10,x= .
将x= 代入③,得 y= .
所以原方程组的解是 .
2x-5
3x-4(2x-5)=10
2
2
-1
5.(苏州中考)若a+2b=8,3a+4b=18,则a+b的值为 .
5
知识点二 代入消元法解二元一次方程组的应用
7.如果3x2n-1ym与-5xmy3是同类项,那么m和n的值是( )
A.3和-2 B.-3和2
C.3和2 D.-3和-2
C
1或-1
题组 利用非负数的性质列方程组解决问题
9.若实数x,y满足(2x-y+9)2+|x+4|=0,则x2y= .
16
-3
能力提升练 02
11.若(x2+nx+3)(x2-3x+m)的展开式中不含x2和x3项,则m+n= .
9
素养培优练 03
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