2025年安徽省高考数学模拟试卷（含详解）

2025年安徽省高考数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知复数满足，为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是( )
A. 为正相关，为负相关，为不相关 B. 为负相关，为不相关，为正相关
C. 为负相关，为正相关，为不相关 D. 为正相关，为不相关，为负相关
4.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为坐标原点，点在双曲线的右支上，为双曲线的半焦距，直线与双曲线交于另一个点，，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平．他在著作数书九章中叙述了已知三角形的三条边长，，，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为已知的三条边长为，，，其面积为，且，则周长的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则( )
A. B. C. D.
7.某市环保部门准备对分布在该市的，，，，，，，等个不同监测点的环境监测设备进行监测维护．要求在一周内的星期一至星期五检测维修完所有监测点的设备，且每天至少去一个监测点进行检测维护，其中，两个监测点分别安排在星期一和星期二，，，三个监测点必须安排在同一天，监测点不能安排在星期五，则不同的安排方法种数为( )
A. B. C. D.
8.研究发现一种鸟类迁徙的飞行速度单位：与其耗氧量之间的关系式为：其中，是实数，据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为个单位，而其耗氧量为个单位时，其飞行速度为大西洋鲑鱼逆流而上时其游速为单位：，耗氧量单位数为，统计发现：与成正比当时，若这种鸟类与鲑鱼的速度与相同时，则与的关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，，则( )
A. B. 是素数时，
C. D.
10.如图，正方体的棱长为，为棱的中点，为线段的中点，点是线段上不与端点重合的动点，则( )
A. ，，，四点共面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 平面平面
D. 过，，三点的平面截该正方体所得截面的面积为定值
11.已知函数，下列有关结论正确的是( )
A. 对任意，在上恒成立
B. 存在，是上的单调函数
C. 存在，有唯一极值
D. 任意，在上有且只有一个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，则的最小值为______．
13.已知，则 ______．
14.已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，正方体的棱长为，是正方形的中心，，分别是，的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
某品牌汽车店对年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用表示年第月份该店汽车成交量，得到统计表格如表：
求出关于的线性回归方程，并预测该店月份的成交量；精确到整数
该店为增加业绩，决定针对汽车成交客户开展抽奖活动，奖项设“一等奖”、“二等奖”和“祝您平安”三种，若抽中“一等奖”获千元奖金；抽中“二等奖”获千元奖金；抽中“祝您平安”则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，没有获得奖金的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额千元的分布列及数学期望．
参考数据及公式：．
17.本小题分
设函数．
证明：，都有；
若函数有且只有一个零点，求的极值．
18.本小题分
如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”“果圆”与轴、轴的交点分别为、、、．
写出半椭圆所在椭圆的离心率，并计算四边形的面积；
设平行于的直线交于、两点若，求直线的方程；
若封闭曲线在“果圆”的内部含边界，则可用曲线拟合“果圆”，将曲线与“果圆”面积的比值记为“拟合系数”，其中问是否存在圆心在轴上的圆，使得圆的拟合系数比四边形的拟合系数更大？若存在，求出拟合系数最大时圆的圆心坐标和半径；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知数列，的通项公式分别为，，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列，
求，，，及的通项公式；
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
求，的值；
在数列中是否存在项，，其中成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由，得，
则，
，，
，则．
故选：．
2.【答案】
【解析】由，
得，
则，
则．
故选B．
3.【答案】
【解析】根据给定的散点图，可得中的数据分布在左下方到右上方的区域里，为正相关，
中的数据分布在左上方到右下方的区域里，为负相关，
中的数据各点分布不成带状，相关性不明确，不相关．
故选：．
4.【答案】
【解析】，，
，，
令，则，．
由双曲线的定义可得，
，
，．
，
，
，，
，
，，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】由已知：，且，．
由将式代入式得：，
周长．
取等条件，，故周长的最小值为．
故选：．
6.【答案】
【解析】根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，
当时，，则，
则有，
所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】、两个监测点分别安排在星期一和星期二，方法有种；
把、、看作一个整体，这时，还有、、、四个监测站没有安排．
若把排在周一或周二，则把、、分别排在一周剩余的三天中，方法有种．
如果排在周三或者周四：
若剩下的有一个排在周一或者周二，方法有种；
若、、排在周三、四、五：方法有种；
若、、，排在周三、四、五中的天，方法有种；
总数是：，
故选：．
8.【答案】
【解析】由题意得，即，
解得，
所以，
设，
由题意得，即，
解得，
所以，
又，
所以，
则，
即，
所以，
即．
故选：．
9.【答案】
【解析】对选项，由题知，所以选项错误，
对选项，当为素数时，显然成立，所以选项正确，
对选项，的倍数都不与互质，故共有个，所以选项正确，
对选项，在中，的倍数共有个，的倍数共有个，的倍数共有个，
所以，所以，所以 选项正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】对于：点，，平面，且直线平面，点直线，
点平面，，，，四点不共面，故A错误；
对于：直线，又直线平面，且平面，
直线平面，又点是线段上的动点，
点到平面的距离为定值，且的面积为定值，
三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于：由题可知，平面，则，
连接，则，，，且，，面，
直线平面，即直线平面，
又直线平面，平面平面，故C正确；
对于：取的中点，连接，，则，
，且，
，梯形为过点，，三点的平面截该正方体所得的截面，
又梯形四个顶点均为定点，
梯形的面积为定值，故截面面积为定值，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】由题意可得，，
对于，当时，单调递增，且，
故当时，，当时，，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，故A选项正确；
对于，当时，令，则，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，
当时，，此时，即，单调递增，故B选项正确；
对于，由的分析可知，当时，，
若，则当时，单调递增，无极值；
若，当时，，当时，，
故，使得，，使得，故有两个极值点，
综上，不存在，使得有唯一极值点，C错误；
对于，令，得，
令，则，
再令，则，恒成立，
故在上单调递减，在上单调递减，
即，恒成立在上单调递减，
又当时，，，
由洛必达法则，得，
即，即．
所以，任意，在上有且只有一个零点，D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】抛物线：的焦点，准线方程为，
由题意可得直线，的斜率存在且不为，可设直线的方程为，直线的方程设为，
由可得，设，的横坐标为，，
则，
将上式中的换为，可得，
所以，
当且仅当时，取得等号，
即的最小值为．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】因为，
所以
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】令，，
是定义在上的奇函数，为奇函数，
是定义在上的偶函数，
又当时，，
当时，，
偶函数在上单调递增，又，
当时，可化为，即，
；
当时，可化为，即，
，
综上，或，
故原不等式的解集为．
故答案为：．
15.【答案】证明：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
所以，，则，
因为平面，故D平面．
，，
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
16.【答案】由题意可得，，，
，，
故线性回归方程为，
当时，，
故预计月份的成交量为辆．
获得“一等奖”的概率为，
的所有可能取值为，，，，，，
，，
，，
，，
故的分布列为：


故E．
17.【答案】证明：令，，则，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，
所以，
所以，都有．
由，得，则，所以，
所以的零点个数等价于方程解的个数，
令，则，且，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，且由知，
则当，，
所以时，有且只有一个解，
所以若函数有且只有一个零点，则，此时，
所以，
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，
所以当时，，当时，，当时，，
所以当时，，则，则，
同理可得，当时，，当时，，
所以和分别是函数的极大值点和极小值点，
所以时，的极大值为，极小值为．
18.【答案】；
；
存在，圆心为，半径为．
【解析】易知，
所以半椭圆的离心率，
则四边形的面积为；
易知的斜率，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
因为，
所以，
又
所以，
则直线的方程为；
依题意，只需要比较在“果圆”内部的圆的面积最大值与四边形面积即可，
设圆的圆心，半径为，
此时圆的方程为，
易有以原点为圆心的单位圆在“果圆”内部，
需满足
设上有任意一点，
此时，
当时，时，；
当时，时，，
同理，设上有任意一点，
此时，
记，
当时，，
此时圆面积，
则该圆的圆心为，半径为的圆．
故存在圆心在轴上的圆，使得圆的拟合系数比四边形的拟合系数更大．
19.【答案】，，，，．
，；不存在，理由见解析．
【解析】由，，
可得数列中的每一项都能被整除，而数列中的项都是偶数，
又数列，都是递增数列，
则由，的公共项从小到大排列构成的数列为，
则，，，，．
由可得，
当时，，，
可得；
当时，，，
可得．
不存在，理由如下：
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
可得，
即，所以．
假设在数列中存在三项，，其中成等比数列，
则，即化简得．
又因为，所以，
得，所以，
又因为，所以，
即，所以，即，这与题设矛盾．
所以在中不存在三项，，其中成等比数列．
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