2025年甘肃省高考数学模拟试卷（含详解）

2025年甘肃省高考数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.在等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
3.根据某教育研究机构的统计资料，在校学生近视的概率为，某眼镜商要到一中学给学生配眼镜，若已知该校学生总人数为，则该眼镜商应准备眼镜的数目为( )
A. B. C. 不少于 D. 不多于
4.已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为( )
A. B. C. D.
5.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则双曲线的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
6.下列图象中，函数的部分图象有可能是( )
A. B.
C. D.
7.如果一个位十进制数的数位上的数字满足“小大小大小大”的顺序，即满足：，我们称这种数为“波浪数”；从，，，，组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数，这个数为“波浪数”的概率是( )
A. B. C. D.
8.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为，点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，，则( )
A. B. 面积的最小值是
C. D. 存在最小值
10.近些年食品安全问题日益突出，为了达到宣传食品安全防范意识的目的，某市组织全市中学生食品安全知识竞赛活动，某高中采用分层抽样的方式从该校的高一，二，三年级中抽取名同学作为代表队参赛已知该校高一，高二，高三年级人数比例约为：：，统计并记录该校名同学的成绩得到一组数据：，，，，，，，，，，则( )
A. 中位数为 B. 分位数为
C. 方差为 D. 代表队中高三的同学有人
11.已知函数，则( )
A. 函数的图象关于原点对称
B. 当时，函数在定义域上单调递增
C. 当时，函数的最小值为
D. 若对，都有，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，的系数为______请用数字作答．
13.函数的最小值是
14.已知复数，为虚数单位，是的共轭复数，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，且，．
求实数的值和数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，．
求证：面．
若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．
17.本小题分
为让“双减”工作落实到位，某中学积极响应上级号召，全面推进中小学生课后延时服务，推行课后服务“”模式，开展了内容丰富、形式多样、有利于学生身心成长的活动．该中学初一共有名学生其中男生名、女生名．为让课后服务更受欢迎，该校准备推行体育类与艺术类两大类活动于年月在初一学生中进行了问卷调查．
调查结果显示：有的男学生和的女学生愿意参加体育类活动，其他男学生与女学生都不愿意参加体育类活动，请完成下边列联表．并判断是否有的把握认为愿意参加体育类活动与学生的性别相关？
愿意参加体育活动情况
性别 愿意参加体育类活动 不愿意参加体育类活动 合计
男学生
女学生
合计
在开展了两个月活动课后，为了了解学生的活动课情况，在初一年级学生中按男女比例分层抽取名学生调查情况，并从这名学生中随机选择名学生进行展示，用表示选出进行展示的名学生中女学生的人数，求随机变量的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
18.本小题分
已知椭圆的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为
求椭圆和双曲线的方程
直线与椭圆有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于不同的两点，，当点运动时，求点的轨迹的方程
已知点，又有不同的两点，，直线，分别与曲线交于点，，过作直线的垂线，垂足探究的最小值，若存在则求出该最小值若不存在则说明理由．
19.本小题分
已知函数．
若，求在处的切线方程；
讨论的单调性；
若时，，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由，得，
则，
，，
，则．
故选：．
2.【答案】
【解析】等差数列中，，
，
可得，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】根据题意可知，该校近视的学生人数约为人，结合实际情况，该眼镜商应准备眼镜的数目不少于．
故选：．
4.【答案】
【解析】如图，
以所在直线为轴，为坐标原点，为轴，建立坐标系，
由题意可得，，
，
则，，，，
可得，
，
则．
故选：．
5.【答案】
【解析】依题意，直线的斜率为，所以，
又，所以为等边三角形，
故，
在中，为锐角，
，
所以，
根据正弦定理可得，
解得，，
所以，即，
所以的离心率为．
故选：．
6.【答案】
【解析】因为，所以定义域为，
又，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除、；
时，，故B错误，A正确．
故选：．
7.【答案】
【解析】根据题意，分析可得在“波浪数”中，十位数字，千位数字中必有一个是、另一数是或；
另一数是时，将与放在千位、十位上，有种情况，剩余的、、放在其余三个数位上，有种情况，
则此时的“波浪数”有个；
另一数时，、必须相邻，有；；；四个“波浪数”．
则由，，，，可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为；
可得：这个数为“波浪数”的概率是．
故选：．
8.【答案】
【解析】函数的最小正周期，
故选：．
9.【答案】
【解析】，
所以，选项A正确；
过点作，交直线于点，交直线于点，
因为点到、的距离分别为、，所以，
设，则因为，所以，
从而，
，
，
，
当且仅当时取等号，因此选项C正确；
因为，所以为重心，因此，
，
当且仅当时取等号，即，因此选项B错误；
以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，
则可设，所以，
，
，
，
因为，所以，
因为在上单调递减，所以不存在最小值，因此选项D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】该校名同学的成绩得到一组数据：，，，，，，，，，，
将名同学的成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，，
对于，中位数为，故A正确；
对于，由，得分位数为，故B错误；
对于，平均数为，
方差，故C正确；
对于，由分层抽样，得高三年级的同学有人，故D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：对于，函数的定义域为，且，
故为奇函数，图象关于原点对称，A正确；
对于，时，在，和上单调递增，故B错误，
对于，时，若，则，故C错误，
对于，对，都有，
故，
由于对，，故，D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】在的展开式中，的系数为．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】根据题意，由于
则可知，结合二次函数的性质可知，当时，函数值最小为。
14.【答案】
【解析】复数，
所以，
故．
故答案为：．
15.解：当时，，
，，
当时，，
整理得，，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
．
得
．
16.【解析】证明：如图所示：
取中点，连接，
因为是等边三角形，所以，
因为面面，面面，面，
所以面，而面，
所以，
又因为，，
可得面；
解：连接，，过点作，
因为面，所以直线在底面上的射影为直线，
可得直线与面所成的角为，
设，，则，，
可得，
所以，，，
因为面，而平面，
所以，且，，
可得面，面，所以，
所以为二面角的平面角，
在中，，
解得，
在中，，
所以，
所以二面角的余弦值为．
17.解：由题意可得，
愿意参加体育活动情况
性别 愿意参加体育类活动 不愿意参加体育活动 合计
男学生
女学生
合计
，
有的把握认为愿意参加体育类活动与学生的性别相关．
在初一年级学生中按男女比例分层抽取名学生调查情况，其中男生占 人，
女生占 人，
由题意可得，所有可能取值为，，，，
，，
，，
故的分布列为：


故E．
18.解：对于椭圆，已知焦点坐标为，
则，，
对于双曲线，渐近线方程为，
所以，即，联立，将代入得，
解得，，所以椭圆的方程为，
双曲线的方程为．
联立，消去得，
因为直线与椭圆有唯一公共点，所以，
化简得，
设，由韦达定理，则，
当时，无不同的两点，，与题意不符
当时，过点且与垂直的直线方程为，
可得，，即
代入得：，
故点的轨迹方程．
设直线方程：，，，
联立，
其中，
由韦达定理得：，，
由，
即，
由于直线不过点，故化简得，
故
，
此时直线，恒过定点，
由于，故点在以为直径的圆上，圆心，半径，
所以等号成立时，，
经过点，而点不在曲线上，故的最小值不存在．
19.【解析】当时，，，故，
又因为，所以在处的切线方程为，即；
，
，
当时，，，在，上单调递增，
时，，在单调递减；
当时，，，在，上单调递增，
时，在单调递减；
当时，时恒成立，在单调递增，
综上所述，当时，在，上单调递增，单调递减；
当时，在，上单调递增，单调递减；
当时，在单调递增，
由题意得对于任意的恒成立，且当时，等号成立．
令，则，，
若，则．
令，则，显然在上恒成立，
在，十上单调递增，即在，十上单调递增．
当，即时，．
又，易证
，
使，
时，，即在上单调递减，
对，，不符合题意；
当，即时，，
在上单调递增，
，，，符合题意，
所以；
当时，只需证明当时，即可．
，
令，则，
，
，，
易得，即在上单调递增，故时，，
则，即，在上单调递增，
所以，即时，恒成立，
故的范围为．
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