2025年安徽省滁州市高考数学模拟试卷（含详解）

2025年安徽省滁州市高考数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.研究发现一种鸟类迁徙的飞行速度单位：与其耗氧量之间的关系式为：其中，是实数，据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为个单位，而其耗氧量为个单位时，其飞行速度为大西洋鲑鱼逆流而上时其游速为单位：，耗氧量单位数为，统计发现：与成正比当时，若这种鸟类与鲑鱼的速度与相同时，则与的关系是( )
A. B. C. D.
4.人生因阅读而气象万千，人生因阅读而精彩纷呈腹有诗书气自华，读书有益于开拓眼界、提升格局；最是书香能致远，书海中深蕴着灼热的理想信仰、炽热的国家情怀对某校高中学生的读书情况进行了调查，结果如下：
喜欢读书 不喜欢读书 合计
男生
女生
合计
附：，其中．
根据小概率值的独立性检验，推断是否喜欢阅读与性别有关，则的值可以为( )
A. B. C. D.
5.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作圆的一条切线分别交双曲线的左、右两支于点、，与双曲线的渐近线在第二象限内交于点，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.在中，若，则的大小为( )
A. B. 或 C. D. ．
8.若存在，，使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究下列结论正确的是( )
A.
B. 第行的第个数和第个数相等
C. 记杨辉三角中第行的第个数为，则
D. 在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
10.如图，在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点，则( )
A. ，，，四点共面
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 平面截正方体所得截面为等腰梯形
D. 三棱锥的体积为
11.已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是( )
A. 函数在上为单调递增函数 B. 是函数的极大值点
C. 函数至多有两个零点 D. 时，不等式恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点是抛物线的焦点，，是该抛物线上两点，，，，三点不共线，则的重心到准线距离为______．
13.已知，，为正实数且，则的最大值为______．
14.设向量若，则的值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在三棱柱中，、、分别是、、的中点．
证明：平面；
底面是边长为的正三角形，点在底面上的投影为，且，求到平面的距离．
16.本小题分
某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜两个市场的销售互不影响，已知该蔬菜每售出吨获利元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损元．现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如图：
以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以单位：吨表示下个销售周期两个市场的总需求量，单位：元表示下个销售周期两个市场的销售总利润．
Ⅰ求变量概率分布列；
Ⅱ当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于元的概率；
Ⅲ以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个．
17.本小题分
已知函数．
当时，函数在上有极小值，求实数的取值范围；
当时，设是函数的极值点，证明：其中是自然对数的底数
18.本小题分
已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点．
求抛物线的标准方程；
已知是上一点，且的焦点为的重心，设的横坐标为，求的取值范围；
已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上．
19.本小题分
已知数列，的通项公式分别为，，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列，
求，，，及的通项公式；
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
求，的值；
在数列中是否存在项，，其中成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
由，或，
知．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，
则，
故，，
所以，其虚部为．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由题意得，即，
解得，
所以，
设，
由题意得，即，
解得，
所以，
又，
所以，
则，
即，
所以，
即．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：根据小概率值的独立性检验，推断是否喜欢阅读与性别有关，可得，
根据列联表中各数据之间的关系得：，
即，
将，，，，分别代入验证，可得只有成立，
故的可能性为．
故选：．
5.【答案】
【解析】根据题意，按甲的选择不同分成种情况讨论：
第一类：甲同学选择牛，乙有种选法，丙有种选法，有种，
第二类：甲同学选择马，乙有种，丙有种，有种，
不同的选法有种．
故选：．
6.【答案】
【解析】过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点、，且，
，
由题意，切线的斜率为，切线方程为，与垂直，
，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】由正弦定理，，所以，
，所以是锐角，所以．
故选：．
8.【答案】
【解析】设，，则．
点在直线上运动，点在曲线上运动．
由得，令得
令，则到直线的距离就是的最小值．
，
，，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，由组合数的性质可得
，所以项正确；
对于，第行的第个数为，第个数为，
根据组合数的性质可得，所以项正确；
对于，由二项式定理得
，
可知不成立，故C项不正确；
对于，根据，
可知是展开式中项的系数，
结合，展开式中项的系数为，
可知，
即第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字，故D项正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：对选项，如图，连接，
根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，选项错误；
对选项，如图，取的中点，连接，，，
则易证四边形为平行四边形，，
又易知，，
异面直线与所成角即为的补角，
又根据题意可知，，，
，
异面直线与所成角的余弦值为，选项正确；
对选项，如图，连接，，，
，分别是，的中点，
，且，
又易知，且，
，且，，
平面截正方体所得截面为等腰梯形，选项正确；
对选项，由选项分析可知，
到平面的距离定义到平面的距离，
三棱锥的体积为：
，选项错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】，
，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，故A错误；
在上可导，故在上可导，
当时，取得极大值，故B正确；
在上单调递增，在上单调递减，的极大值为，
至多有两个零点，故C正确；
当时，，即，
恒成立，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】是抛物线的焦点，
，准线方程，
设，，
，
解得，
，
的重心的横坐标为，
的重心到准线距离为．
故答案为：．
13.【解析】因为，
所以即，
且，
所以，
所以
，
所以，
当且仅当即时等号成立，
此时，即等号不成立．
所以无最大值．
故答案为：无解．
先由题设得，再由展开，结合基本不等式即可求解．
本题考查了基本不等式的应用，属于难题．
14.【答案】
【解析】因为，所以，
所以，所以，
所以，
故答案为：．
15. 证明：连接，、分别是、的中点，
，
连接，交于，连接，由为的中点，为的中点，可得，
则，
平面，平面，
平面；
在底面的投影为，
平面，是三棱锥的高，
，因为是边长为的正三角形，
，，，
又所以三角形，，为等腰三角形，
，
设到平面的距离为，由，
得，
到平面的距离为．
16.【解析】Ⅰ设甲市场需求量为的概率为，乙市场需求量为的概率为，
由题意可得，，，；
，，，
设两个市场总需求量为的概率为，
由题意可得，的可能取值为，，，，，
所以，
，
，
，
，
所以的分布列为：


Ⅱ由题意可得，当时，，
当时，，
所以，
设”销售利润不少于元“，
当时，则；
当时，，解得，所以．
由Ⅰ中的分布列可知，．
Ⅲ由Ⅰ可知，，，
当时，的分布列为：



所以
；
当时，的分布列为：


所以，
因为，
所以应该选．
17.【解析】由题意知在上有极小值，
则在有解，
故，设，
因为在上单调递增，在上单调递减，，，
故在单调递增，
又，，所以．
当时，在单调递增，
又，，由零点存在定理可知，且，
此时当时，，当时，，
所以在上单调递减，
在上单调递增，故在上有极小值点．
因此实数的取值范围．
证明：由题意知，故．
．
设，
则，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
因此成立．
18.【解析】设抛物线方程为，代入点，
得，得，
所以抛物线的标准方程为；
设，，，
则重心坐标公式可知，，，
得，，，
且，，，
所以，
且，
所以，得且，
综上可知，的取值范围是；
证明：直线的斜率，直线的方程为，
设，，，
两边求导，，得，
设，，
抛物线在点处的切线方程为，
即，
因为切线过点，即，
整理得，
同理，抛物线在点处的切线方程为，
所以，是方程的两个根，
则，，
切线：，
令，得，得，同理，
直线的方程为，即，
同理，直线的方程为，
设直线与直线的交点为，
联立直线与直线的方程为，
，
得，
且，代入上式化简为，
代入直线得，，
得
，
即，
由可得，
所以直线与直线的交点在定直线上上．
代入点的坐标，即可求解抛物线方程；
首先设点，，，再根据点在抛物线上以及重心坐标公式，转化为，再结合基本不等式即可求解；
首先利用导数求切线和的斜率，并表示切点，坐标的关系，以及利用坐标表示直线和直线的方程，并联立求交点的坐标，即可证明．
本题考查抛物线方程的应用，属于难题．
19.【解析】由，，
可得数列中的每一项都能被整除，而数列中的项都是偶数，
又数列，都是递增数列，
则由，的公共项从小到大排列构成的数列为，
则，，，，．
由可得，
当时，，，
可得；
当时，，，
可得．
不存在，理由如下：
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
可得，
即，所以．
假设在数列中存在三项，，其中成等比数列，
则，即化简得．
又因为，所以，
得，所以，
又因为，所以，
即，所以，即，这与题设矛盾．
所以在中不存在三项，，其中成等比数列．
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