2.2.2 函数的奇偶性 学案（含答案解析） (2)

2.2.2
函数的奇偶性
学案
明目标、知重点　1.理解函数的奇偶性及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.3.掌握判断函数奇偶性的方法与步骤．
1．函数奇偶性的概念
(1)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．
(2)如果对于函数y＝f(x)的定义域内的任意的一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．
2．奇、偶函数图象的对称性
(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数．
(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．
3．判断函数奇偶性的原则
判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．
[情境导学]
美丽的蝴蝶，盛开的鲜花，六角形的雪花晶体，中国的古建筑，我们学校的综合大楼，它们都具有对称美．这种“对称美”在数学中也有大量的反映．今天，让我们开启知识的大门，进入更精彩纷呈的函数奇偶性的学习．
探究点一　偶函数的概念
思考1　观察下列函数的图象，你能通过函数的图象，归纳出三个函数的共同特征吗？
答　三个函数的定义域关于原点对称，三个函数的图象关于y轴对称．
思考2　关于y轴对称的点的坐标有什么关系？
答　横坐标互为相反数，纵坐标相等．
思考3　怎样说明函数y＝x2的图象关于y轴对称？
答　对于R上任意的一个x，都有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，即函数y＝x2的图象上任意一点(x，f(x))关于y轴对称的点(－x，f(x))也在函数y＝x2的图象上．所以y＝x2的图象关于y轴对称．
思考4　如果函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，我们就说这个函数是偶函数，那么如何从代数的角度定义偶函数？
答　一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．
思考5　通过前面的探究，你能得出偶函数的图象有怎样的对称性质吗？
答　如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数为偶函数．
例1　判断下列函数哪些是偶函数．
(1)f(x)＝x2＋1；
(2)f(x)＝x2，x∈[－1,3]；
(3)f(x)＝0.
解　(1)由解析式可知函数的定义域为R，由于f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，所以函数为偶函数．
(2)由于函数的定义域不关于原点对称，故函数不是偶函数．
(3)函数的定义域为R，由于f(－x)＝0＝f(x)，所以函数为偶函数．
反思与感悟　利用定义法判断函数是不是偶函数时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量．
跟踪训练1　判断下列函数是否为偶函数．
(1)f(x)＝(x＋1)(x－1)；
(2)f(x)＝.
解　(1)函数的定义域为R，因函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又因f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数．
(2)函数f(x)＝不是偶函数，因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，并不关于原点对称．
探究点二　奇函数的概念
思考1　观察函数f(x)＝x和f(x)＝的图象(如图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？
答　容易得到定义域关于原点对称，图象关于原点对称．
思考2　求出当x分别取－3，－2，－1,1,2,3时，函数f(x)＝x的值，及当x分别取－3，－2，－1,1,2,3时函数f(x)＝的值，从中你能发现什么规律吗？
答　对函数f(x)＝x有：
f(－3)＝－3＝－f(3)，f(－2)＝－2＝－f(2)，
f(－1)＝－1＝－f(1)；
对函数f(x)＝有：
f(－3)＝－＝－f(3)，f(－2)＝－＝－f(2)，
f(－1)＝－1＝－f(1)．
存在的规律是：两个关于原点对称的x的值，其函数值互为相反数．
思考3　你能把思考2中的由具体的函数值得出的规律抽象成一般形式吗？
答　对于R内任意的一个x，都有f(－x)＝－f(x)．事实上这就是奇函数的概念．
小结　(1)奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数；(2)函数的奇偶性：如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性，而如果一个函数既不是奇函数，也不是偶函数(常说该函数是非奇非偶函数)，则说该函数不具有奇偶性；(3)奇、偶函数的性质：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．
思考4　类比偶函数图象的对称性，奇函数的图象有怎样的对称性质呢？
答　奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．
例2　判断下列各函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x4－1；(2)f(x)＝2x；
(3)f(x)＝2|x|；(4)f(x)＝(x－1)2.
解　(1)因为对于任意的x∈R，都有
f(－x)＝(－x)4－1＝x4－1＝f(x)，
所以函数f(x)＝x4－1是偶函数．
(2)函数f(x)＝2x的定义域是R.
因为对于任意的x∈R，都有
f(－x)＝2(－x)＝－2x＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
(3)函数f(x)＝2|x|的定义域是R.
因为对于任意的x∈R，都有
f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x)，
所以函数f(x)＝2|x|是偶函数．
(4)函数f(x)＝(x－1)2的定义域是R.
因为f(1)＝0，f(－1)＝4，
所以f(1)≠f(－1)，f(1)≠－f(－1)．
因此，根据函数奇偶性定义，可以知道函数f(x)＝(x－1)2既不是奇函数也不是偶函数．
反思与感悟　(1)对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数．(2)用定义判断函数奇偶性的步骤：①先求定义域，看是否关于原点对称；②再判断f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否恒成立．
跟踪训练
判断下列各函数的奇偶性：
(1)f(x)＝(x－2)
；
(2)f(x)＝
解　(1)由≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．
(2)x<－1时，f(x)＝x＋2，－x>1，
∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；
x>1时，f(x)＝－x＋2，－x<－1，
f(－x)＝－x＋2＝f(x)．
－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，
f(－x)＝0＝f(x)．
∴对定义域内的每个x都有f(－x)＝f(x)，
因此f(x)是偶函数．
探究点三　函数奇偶性的应用
例3　如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．
解　∵f(－3)>f(－1)，
又f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)．
∴f(3)>f(1)．
反思与感悟　本题有两种解法，一种是通过图象观察，f(－3)>f(－1)，选用偶函数定义，得f(3)>f(1)；另一种方法是利用偶函数图象的对称性．
跟踪训练3　如图，给出了奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－4)＝________.
答案　－2
解析　f(－4)＝－f(4)＝－2.
1．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是________．(填序号)
①f(－x)＋f(x)＝0；②f(－x)－f(x)＝－2f(x)；
③f(x)·f(－x)≤0；④＝－1.
答案　④
解析　∵f(－x)＝－f(x)，①、②显然正确，
因为f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故③正确．
当x＝0时，由题意知f(0)＝0，故④错误．
2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是________．(填序号)
①y＝－x2＋5(x∈R)；②y＝－x；③y＝x3(x∈R)；④y＝－(x∈R，x≠0)．
答案　③
解析　函数y＝－x2＋5(x∈R)既有增区间又有减区间；y＝－x是减函数；y＝－(x∈R，x≠0)不是定义域内的增函数；只有y＝x3(x∈R)满足条件．
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.
答案　－3
解析　∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.
4．偶函数f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝________.
答案　2
解析　因为偶函数的定义域关于原点对称，所以(t－4)＋t＝0，即t＝2.
5．函数f(x)＝为________(填“奇函数”或“偶函数”)．
答案　奇函数
解析　定义域关于原点对称，且
f(－x)＝
＝
＝－f(x)，
所以是奇函数．
[呈重点、现规律]
1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 f(x)为偶函数．
2．两个性质：函数为奇函数 它的图象关于原点对称；函数为偶函数 它的图象关于y轴对称．
3．函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称.
一、基础过关
1．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝________.
答案　－2
解析　f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.
2．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)的奇偶性为________．
答案　偶函数
解析　F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．
3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是________．(填序号)
①y＝x3；②y＝|x|＋1；③y＝－x2＋1；④y＝－.
答案　②
解析　对于函数y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以y＝|x|＋1是偶函数，当x＞0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增．另外函数y＝x3不是偶函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝－不是偶函数．
4．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是________．(填序号)
①f(x)＋|g(x)|是偶函数；
②f(x)－|g(x)|是奇函数；
③|f(x)|＋g(x)是偶函数；
④|f(x)|－g(x)是奇函数．
答案　①
解析　由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，
由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，
故|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
5.已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．
答案　0
解析　由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
6．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
答案　0
解析　∵函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，
∴|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|，
∴a＝0.
7．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3，x∈R；
(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；
(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
(4)f(x)＝
解　(1)∵f(－x)＝3＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)∵f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(4)当x＞0时，f(x)＝1－x2，此时－x＜0，
∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，
∴f(－x)＝－f(x)；
当x＜0时，f(x)＝x2－1，此时－x＞0，
f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.
综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为R上的奇函数．
二、能力提升
8．给出函数f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是________．(填序号)
①(a，－f(a))；②(a，f(－a))；③(－a，－f(a))；④(－a，－f(－a))．
答案　②
解析　∵f(x)为偶函数，∴f(－a)＝f(a)，
∴(a，f(－a))一定在y＝f(x)的图象上．
9．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
答案　
解析　依题意得b＝0，且2a＝－(a－1)，
∴a＝，则a＋b＝.
10．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
答案　－－1
解析　∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝＋1，
∴当x<0时，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，
即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.
11.已知函数f(x)＝1－.
(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
解　(1)由已知g(x)＝f(x)－a得，g(x)＝1－a－，
∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，
即1－a－＝－，
解得a＝1.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数．
设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)
＝1－－＝.
∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞0，
从而＜0，即f(x1)＜f(x2)．
所以函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数．
12.已知奇函数f(x)＝.
(1)求实数m的值，并画出y＝f(x)的图象；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．
解　(1)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
∴f(x)＝x2＋2x，∴m＝2.
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由(1)知f(x)
＝，
由图象可知，f(x)在[－1,1]上单调递增，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，只需，
解得1三、探究与拓展
13.已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．
解　(1)当a＝0时，f(x)＝x2，f(－x)＝f(x)，函数是偶函数，当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；
f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，这时f(x)＝x2＋.
任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝(x＋)－(x＋)＝(x1＋x2)·(x1－x2)＋＝(x1－x2)(x1＋x2－)．
∵x1≥2，x2≥2，且x1＜x2，
∴x1－x2＜0，x1＋x2＞，∴f(x1)＜f(x2)，
故f(x)在[2，＋∞)上是单调递增函数．