4.3.2等比数列前n项和 课件（16页）

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乐想高中数学
——等比数列前n项和
一、知识回顾
乐想高中数学——等比数列前n项和
等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做公比。公比通常用q（q≠0）表示。
即
首项为a1 ,公比为q的等比数列的通项公式：
等差数列前n 项和公式的推导方法：倒序相加法
乐想高中数学——等比数列前n项和
一、问题思考
我国古代算书《孙子算经》上有这样一道题：某人走出门外，望见前方有9条堤岸，每条堤上有9棵树木，每棵树上有9个树枝，每个树枝上有9个鸟巢，每个鸟巢里有9只大鸟，每只大鸟都孵出了9只小鸟，每只小鸟都长出了9片羽毛，每片羽毛上都有9种颜色。问这个人望见的树、枝、巢、大鸟、小鸟、小鸟羽毛及羽毛上的颜色，一共是多少？
今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问共几何？
即求：
乐想高中数学——等比数列前n项和
二、探究新知
已知等比数列{an},首项为a1公比为q（q≠0），求:
乐想高中数学——等比数列前n项和
知识拓展
自相似性：在数学中，一个自相似的物体与它自身的某一部分完全或近似的相似。例如雪花曲线，分形树等。
乐想高中数学——等比数列前n项和
放大变换：
乘以q
缩小变换：
除以q
我们可以发现，不管是左右两边同时乘以q还是同时除以q，变换前后两式右边有很多相同的项。这时用变换之前的式子减去变换之后的式子就能消去这些相同的项。
即 或者
化简后得到等比数列的前n项和公式
我们回到《孙子算经》的问题，就可以直接带入公式：
乐想高中数学——等比数列前n项和
三、解决问题
乐想高中数学——等比数列前n项和
四、思考
我们刚刚得到等比数列前n项和所用的方法叫做错位相减法。同学们还有没有别的方式得到我们等比数列前n项和的公式？
在几百年之后， 在《兰德纸草书》也有一个类似的问题：有7个人，每人养7只猫，每只猫吃7只老鼠，每只老鼠吃7棵麦穗，每颗麦穗可以长成7个量器的大麦，问人，猫，老鼠，麦穗，大麦共有多少？
《兰德纸草书》问题79的计算方法
古埃及人这样解决的：
古埃及人解决方法本质是提取公因式
乐想高中数学——等比数列前n项和
法一
右边每一项都有a1
提取公因式a1,并将a1移到左边
右边的项还有公因式q
再提取公因式q,并将q移到左边
1
2
和 有相同的项，可以用错位相减法
1
2
2式减1式得
化简得
乐想高中数学——等比数列前n项和
法二：
这里只将后n-1 项的公因式q提取出来，得到了Sn和Sn-1的关系式。
因为
带入上式可得等比数列的前n项和公式：
乐想高中数学——等比数列前n项和
四、巩固新知
例1：已知数列{an}是等比数列。
(1)若 ， 求 S8.
(2)若 ，
,求S8.
（3）若 ，
求n .
解：（1）因为 ， ， 所以
（2）由 可得
即 ，因为 ，可得
所以
乐想高中数学——等比数列前n项和
（3）把 ， ，
带入
得到
解得
思考： 对于等比数列的相关量a1 ,an ,q ,n ,Sn ,已知几个量就可以确定其他量？
等比数列的通项公式为：
前n项和公式为
其实就是解方程组问题，已知其中的三个量，即可求出其他两个量。
乐想高中数学——等比数列前n项和
四、巩固新知
例2：已知等比数列{an}的首项为-1，前n项和为Sn，若
求公比q.
解：若q=1，则 所以q≠1.
当q≠1时，由 ，得
整理得
所以
乐想高中数学——等比数列前n项和
四、巩固新知
例3：已知等比数列{an}的公比q≠-1，前n项和为S，证明Sn , S2n-Sn , S3n-S2n成等比数列，并求这个数列的公比。
解：当q=1时，
所以Sn , S2n-Sn , S3n-S2n成等比数列，公比为1.
当q≠1时，
所以
qn为常数，所以Sn , S2n-Sn , S3n-S2n成等比数列，公比为qn。
乐想高中数学——等比数列前n项和
五、知识小结
1.等比数列的前n项和公式
2.错位相减法
谢谢观看
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