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乐想高中数学
——等比数列前n项和
一、知识回顾
乐想高中数学——等比数列前n项和
等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做公比。公比通常用q(q≠0)表示。
即
首项为a1 ,公比为q的等比数列的通项公式:
等差数列前n 项和公式的推导方法:倒序相加法
乐想高中数学——等比数列前n项和
一、问题思考
我国古代算书《孙子算经》上有这样一道题:某人走出门外,望见前方有9条堤岸,每条堤上有9棵树木,每棵树上有9个树枝,每个树枝上有9个鸟巢,每个鸟巢里有9只大鸟,每只大鸟都孵出了9只小鸟,每只小鸟都长出了9片羽毛,每片羽毛上都有9种颜色。问这个人望见的树、枝、巢、大鸟、小鸟、小鸟羽毛及羽毛上的颜色,一共是多少?
今有出门望九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色。问共几何?
即求:
乐想高中数学——等比数列前n项和
二、探究新知
已知等比数列{an},首项为a1公比为q(q≠0),求:
乐想高中数学——等比数列前n项和
知识拓展
自相似性:在数学中,一个自相似的物体与它自身的某一部分完全或近似的相似。例如雪花曲线,分形树等。
乐想高中数学——等比数列前n项和
放大变换:
乘以q
缩小变换:
除以q
我们可以发现,不管是左右两边同时乘以q还是同时除以q,变换前后两式右边有很多相同的项。这时用变换之前的式子减去变换之后的式子就能消去这些相同的项。
即 或者
化简后得到等比数列的前n项和公式
我们回到《孙子算经》的问题,就可以直接带入公式:
乐想高中数学——等比数列前n项和
三、解决问题
乐想高中数学——等比数列前n项和
四、思考
我们刚刚得到等比数列前n项和所用的方法叫做错位相减法。同学们还有没有别的方式得到我们等比数列前n项和的公式?
在几百年之后, 在《兰德纸草书》也有一个类似的问题:有7个人,每人养7只猫,每只猫吃7只老鼠,每只老鼠吃7棵麦穗,每颗麦穗可以长成7个量器的大麦,问人,猫,老鼠,麦穗,大麦共有多少?
《兰德纸草书》问题79的计算方法
古埃及人这样解决的:
古埃及人解决方法本质是提取公因式
乐想高中数学——等比数列前n项和
法一
右边每一项都有a1
提取公因式a1,并将a1移到左边
右边的项还有公因式q
再提取公因式q,并将q移到左边
1
2
和 有相同的项,可以用错位相减法
1
2
2式减1式得
化简得
乐想高中数学——等比数列前n项和
法二:
这里只将后n-1 项的公因式q提取出来,得到了Sn和Sn-1的关系式。
因为
带入上式可得等比数列的前n项和公式:
乐想高中数学——等比数列前n项和
四、巩固新知
例1:已知数列{an}是等比数列。
(1)若 , 求 S8.
(2)若 ,
,求S8.
(3)若 ,
求n .
解:(1)因为 , , 所以
(2)由 可得
即 ,因为 ,可得
所以
乐想高中数学——等比数列前n项和
(3)把 , ,
带入
得到
解得
思考: 对于等比数列的相关量a1 ,an ,q ,n ,Sn ,已知几个量就可以确定其他量?
等比数列的通项公式为:
前n项和公式为
其实就是解方程组问题,已知其中的三个量,即可求出其他两个量。
乐想高中数学——等比数列前n项和
四、巩固新知
例2:已知等比数列{an}的首项为-1,前n项和为Sn,若
求公比q.
解:若q=1,则 所以q≠1.
当q≠1时,由 ,得
整理得
所以
乐想高中数学——等比数列前n项和
四、巩固新知
例3:已知等比数列{an}的公比q≠-1,前n项和为S,证明Sn , S2n-Sn , S3n-S2n成等比数列,并求这个数列的公比。
解:当q=1时,
所以Sn , S2n-Sn , S3n-S2n成等比数列,公比为1.
当q≠1时,
所以
qn为常数,所以Sn , S2n-Sn , S3n-S2n成等比数列,公比为qn。
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五、知识小结
1.等比数列的前n项和公式
2.错位相减法
谢谢观看
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