2.3 映射的概念 学案（含答案解析） (2)

2.3
映射的概念
学案
【课标要求】
1．了解映射的概念，掌握映射的三要素．
2．会判断给出的两集合，能否构成映射．
【核心扫描】
1．映射与函数的关系．(重点)
2．映射概念的理解．(难点)
自学导引
一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B.
想一想：1.在映射f：A→B中，B中的每个元素，在集合A中是否都有元素与它对应？
提示　B中不是每个元素在集合A中都有元素和它对应，即使有元素和它对应，元素也不一定是唯一的．
2．在映射f：A→B中，若集合A中元素与B中元素的对应是一对一的，这时集合A与集合B元素个数有什么关系？
提示　相等
名师点睛
1．映射包括集合A，B以及从A到B的对应法则f，三者缺一不可．
2．对于映射f：A→B来说，应满足：
①集合A中每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应．
②集合A中的不同元素，在集合B中对应的元素可以是同一个．
③不要求B中的每一个元素在集合A中都有元素与之对应．
3．映射是一种特殊的对应，映射中的集合A，B可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序．从A到B的映射与从B到A的映射是截然不同的，也就是说对应法则f具有方向性.
题型一　映射概念的应用
【例1】
设f：A→B是从A到B的一个映射，其中A＝B＝{(x，y)，x，y∈R}，f：(x，y)→(x＋y，xy)．
(1)求A中元素(1，－2)在f的作用下，对应B中的元素；
(2)若A中的某个元素在f的作用下，在B中与之对应的元素为(1，－2)，求A中的这个元素．
[思路探索]
本题是映射概念的应用，关键是紧扣定义，充分利用对应法则f：(x，y)→(x＋y，xy)．
解　(1)由x＝1，y＝－2，得x＋y＝－1，xy＝－2，
∴所求B中的元素为(－1，－2)．
(2)由得或
∴所求A中的元素为(2，－1)或(－1,2)．
规律方法
由于映射f：A→B是单值对应，所以由A中元素求B中元素时，结果是唯一的，但由B中元素来求A中元素时，结果可能有多个．
【训练1】
已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，求a和k的值．
解　根据f：x→y＝3x＋1可知1,2,3，k的对应元素分别为4,7,10,3k＋1，
那么根据B可知10∈B，
故a4＝10或a2＋3a＝10，
∵a∈N，∴a2＋3a＝10，∴a＝2.
此时B＝{4,7,10,16}，又3k＋1∈B，
∴3k＋1＝4或3k＋1＝7或3k＋1＝10或3k＋1＝16，得k＝1,2,3,5，
注意到集合A中元素的互异性，经检验k＝5，
∴a＝2，k＝5.
题型二　求映射的个数
【例2】
已知A＝{a，b，c}，B＝{d，e}．问：A到B能构成多少个映射？
[思路探索]
给定两个集合，或构成映射的某些条件，要确定映射的个数，如果集合元素比较少时，可以直接列举出所有符合题意的映射．
解　根据映射的概念，可以分为“三对一”和“三对二”两种．
“三对一”型，有两个映射，即f(x)＝d(x＝a，b，c)和g(x)＝e(x＝a，b，c)．
“三对二”型，有如图所示的几种情况：
共有2＋6＝8(个)映射．
规律方法
(1)要特别注意的是：所谓A到B的一个映射是指通过对应法则使A中所有元素找到象，不要理解成一个元素对应一个映射．
(2)一般地，在没有任意限制的条件下，要将一个n元集合映射到一个m元素集合共有mn个映射．
【训练2】
已知集合A＝{1,2}，B＝{a，b}，建立从集合A到集合B的映射，并画图表示．
解　可建立4个映射，它们是：
题型三　映射与函数的关系
【例3】
(14分)判断下列对应是不是A到B的映射，是不是A到B的函数？
(1)A＝{a|a＝n，n∈N
}，B＝{b|b＝，n∈N
}，f：a→b＝；
(2)A＝{x|x≥0}，B＝R，f：x→y2＝x；
(3)A＝{平面M内的矩形}，B＝{平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆．
审题指导
本题考查映射的概念以及映射与函数的关系等知识及其在解题中的应用．
[规范解答]
(1)是映射，也是函数.
4分
(2)当x＞0时，由y2＝x知对于每一个x，有两个y与之对应，故不是映射，也不是函数
9分
(3)由于每一个矩形都有外接圆，故可构成映射，但由于A，B都不是数集，所以不能构成函数.
14分
【题后反思】
(1)判断一个对应是不是映射要紧紧抓住映射的定义的本质．A中任意一个元素在B中都要有唯一的一个元素与之对应，但集合B中的元素可以没有A中的元素与之对应．
即映射是两个非空集合A到B的一种确定的“一对一”或“多对一”的对应关系，“一对多”不能构成映射．所以映射是对应，但对应不一定是映射，即映射是一种特殊的对应．
(2)判断一个对应是否为函数，首先看其是否为映射，在映射的前提下看两个集合是否为非空数集．
【训练3】
下列对应是不是从A到B的映射，是不是A到B的函数？
(1)A＝{x|x≥2，x∈N}，B＝{y|y≥0，y∈Z}，f：x→y＝x2－2x＋2；
(2)A＝R，B＝{0,1}，f：x→y＝
(3)A＝{x|x∈R＋}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝±；
(4)设A＝{矩形}，B＝{实数}，对应法则f为矩形与它的面积的对应；
(5)设A＝{实数}，B＝{正实数}，对应法则f：x→.
解　(1)是映射．因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1，
所以对任意的x，总有y≥1.又当x∈N时，x2－2x＋2必为整数，即y∈Z.所以当x∈A时，x2－2x＋2∈B.
所以对A中每一个元素x，在B中都有惟一的y与之对应．
故(1)是映射．因A、B都是数集，故也是函数．
(2)对于R中任何一个元素x，在B中都有惟一的数0或1对应，故(2)是映射．因A、B都是数集，故也是函数．
(3)任一个x都有两个y与之对应，所以不是映射，也不是函数．
(4)对每一个矩形，它的面积是惟一确定的，所以是映射，但A不是数集，故不是函数．
(5)这不是映射，因为x＝0时，集合B中没有元素与之对应；也不是函数．
误区警示　未正确理解映射中的象和原象
导致错误
【示例】
已知映射f：A→B中，A中的元素(x，y)和B中的元素(x＋y，xy)对应．求(3,2)在f作用下的对应的原象．
[错解]
因为所以所以(3,2)在f作用下所对应的原象为(5,6)．
求(3,2)的原象，说明(3,2)是B中元素，而求的是A中和它对应的元素，错解恰好弄反了．
[正解]
设(3,2)在f作用下所对应的原象为(x，y)，则由题意得解得或
所以(3,2)在f作用下所对应的原象为(1,2)或(2,1)．
正确理解概念是解题的前提条件．象和原象的概念是：映射f：A→B中，与A中的元素a对应的B中的元素b叫作在映射f作用下的象，a叫做b的原象.