第2章 函数 章末复习课 学案（含答案解析）

题型一　分类讨论思想的应用
分类讨论思想的实质是：把整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件，在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏．本章中涉及到分类讨论的知识点为：集合运算中对 的讨论，二次函数在闭区间上的最值问题、函数性质中求参数的取值范围问题等．
例1　设f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1](t∈R)，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式．
解　f(x)＝(x－2)2－8，x∈[t，t＋1]，
当2∈[t，t＋1]，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8.
当t＋1<2，即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4.
综上可知，g(t)＝
跟踪训练1　设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.
(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；
(2)求f(x)的最小值．
解　(1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a>0，
即a<0，由a2≥1知a≤－1，
因此，a的取值范围为(－∞，－1]．
(2)记f(x)的最小值为g(a)，则有
f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|
＝
(ⅰ)当a≥0时，f(－a)＝－2a2，
由①②知f(x)≥－2a2，此时g(a)＝－2a2.
(ⅱ)当a<0时，f＝a2，
若x>a，则由①知f(x)≥a2.
若x≤a，则由②知
f(x)≥2a2>a2.此时g(a)＝a2，
综上，得g(a)＝.
题型二　转化与化归思想的应用
转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法，从一种状况转化为另一种情形，也就是转化到另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．
例2　设奇函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，若不等式f(ax＋6)＋f(2－x2)<0对于任意x∈[2,4]都成立，求实数a的取值范围．
解　由f(ax＋6)＋f(2－x2)<0得
f(ax＋6)<－f(2－x2)．
∵f(x)为奇函数，∴f(ax＋6)又f(x)在R上为增函数，
∴原问题等价于ax＋6即x2－ax－8>0对x∈[2,4]都成立．
令g(x)＝x2－ax－8，
问题又转化为：在x∈[2,4]上，
g(x)min>0
或或
解得a<－2.综上，a∈(－∞，－2)．
跟踪训练2　已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋1＝0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围．
(1)A＝ ；(2)A恰有两个子集；(3)A∩≠ .
解　(1)若A＝ ，则关于x的方程mx2－2x＋1＝0没有实数解，
所以m≠0，且Δ＝4－4m<0，所以m>1.
(2)若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx2－2x＋1＝0恰有一个实数解，讨论：
①当m＝0时，x＝，满足题意；
②当m≠0时，Δ＝4－4m＝0，所以m＝1.
综上所述，m的集合为{0,1}．
(3)若A∩≠ ，
则关于x的方程mx2＝2x－1在区间内有解，
这等价于当x∈时，求m＝－＝1－2的值域，
∴m∈(0,1]．
题型三　数形结合思想在函数中的应用
数形结合是本章最重要的数学思想方法，通过画出函数的图象，使我们所要研究的问题更加清晰，有助于提高解题的速度和正确率．
例3　设函数f(x)＝x2－2|x|－1
(－3≤x≤3)．
(1)证明f(x)是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
(4)求函数的值域．
(1)证明　f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1
＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)解　当x≥0时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1
＝(x＋1)2－2，
即f(x)＝
.
根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．
(3)解　函数f(x)的单调区间为
[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．
f(x)在区间[－3，－1)和[0,1)上为减函数，
在[－1,0)，[1,3]上为增函数．
(4)解　当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；
当x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2.故函数f(x)的值域为[－2,2]．
跟踪训练3　当m为何值时，方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根？
解　令f(x)＝x2－4|x|＋5，
则f(x)＝
作出f(x)的图象，如图所示．
由图象可知，当1题型四　函数性质的综合运用
函数性质的研究包括函数的单调性、奇偶性、对称性，从命题形式上看，抽象函数、具体函数都有，其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点．
例4　已知函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R.
(1)试判断f(x)的奇偶性；
(2)若－≤a≤，求f(x)的最小值．
解　(1)当a＝0时，
函数f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)，
此时，f(x)为偶函数．
当a≠0时，
f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，
f(a)≠f(－a)，f(a)≠－f(－a)，
此时，f(x)为非奇非偶函数．
(2)当x≤a时，f(x)＝x2－x＋a＋1
＝2＋a＋；
∵a≤，故函数f(x)在(－∞，a]上单调递减，
从而函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(a)＝a2＋1.
当x≥a时，
函数f(x)＝x2＋x－a＋1＝2－a＋，
∵a≥－，故函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，
从而函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值为f(a)＝a2＋1.
综上得，当－≤a≤时，函数f(x)的最小值为a2＋1.
跟踪训练4　已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)答案　
解析　当2x－1≥0，即x≥时，
因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，故需满足2x－1<，
即x<，所以≤x<.
当2x－1<0，即x<时，由于f(x)是偶函数，
故f(x)在(－∞，0]上单调递减，f＝f，
此时需满足2x－1>－，
所以综上可得[呈重点、现规律]
1．函数单调性的判定方法
(1)定义法．
(2)直接法：运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数，反比例函数；还可以根据f(x)，g(x)的单调性判断－f(x)，，f(x)＋g(x)的单调性等．
(3)图象法：根据函数的图象判断函数的单调性．
2．二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论：
(1)若h∈[m，n]，则ymin＝f(h)＝k，ymax＝max{f(m)，f(n)}；
(2)若h [m，n]，则ymin＝min{f(m)，f(n)}，
ymax＝max{f(m)，f(n)}(a<0时可仿此讨论)．
3．作函数图象的方法
方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线．
注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．
方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．
(1)平移
y＝f(x)y＝f(x±h)；
y＝f(x)y＝f(x)±k.
(2)对称
y＝f(x)←y＝f(－x)；
y＝f(x)←y＝－f(x)；
y＝f(x)←y＝－f(－x)．