14.2 三角形全等的判定 第5课时 HL 学案（含答案）2025-2026学年数学人教版八年级上册

14.2 三角形全等的判定
第5课时 HL
学习目标
1.探索并理解判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理（“HL”）；
2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等.
自主探索
1.判定三角形全等的方法有哪些
2.如图，已知：Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′.
(1）若∠A=∠A′，AB=A′B′，则△ABC与△A′B′C′ （填“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）.
(2）若AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC与△A′B′C′ （填“全等”或 “不全等”），根据 （用简写法）.
3.如图所示,舞台背景的形状是两个直角三角形,为了美观,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.你能帮工作人员想个办法吗
任务一　探究“斜边、直角边”定理
活动1　如图，已知Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′，若BC=B′C′，AB=A′B′，那么△ABC与△A′B′C′全等吗？
问题1 如果使点C与点C'重合，并且使射线C'A'与射线CA重合，那么点B与点B'重合吗？为什么？
问题2 设点M在直角边AC(不包括端点)上，连接BM.过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M'，你能说出BM,BM',BA的大小关系吗？理由是什么？
问题3 设点N在线段CA的延长线上，连接BN，BN与AB的大小关系是怎样的？你能说出其中的道理吗？
问题4 在射线CA上,与点B的连线长度等于AB的点有多少个？
问题5 点A'与点A重合吗？为什么
问题6 任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°.用尺规再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
归纳总结： 边和一条 边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“ ”或者“ ”).
你能用几何语言叙述这个定理吗？
【例1】如图所示,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD.求证:BC=AD.
任务二 直角三角形的判定方法
活动1 判定两个直角三角形全等有哪些方法？
已知条件 可选择的判定方法 需寻找的条件
一锐角对应相等
斜边对应相等
一直角边对应相等
例2　如图所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠B=∠B'=90°,有如下几个条件:①AC=A'C',∠A=∠A';②AC=A'C',AB=A'B';③AC=A'C',BC=B'C';④AB=A'B',∠A=∠A'.其中能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【即时测评】
如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF，下列结论错误的是（　　）
A．∠C＝∠B B．CD∥AB C．∠A+∠D＝90° D．CF＝BE
当堂达标
1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有( )
A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等
2.如图,已知AC⊥AB,AC⊥CD,要使得△ABC≌△CDA.
(1)若以“SAS”为依据,需添加条件　　　　.
(2)若以“HL”为依据,需添加条件　　　　.
3.如图,小明和小芳以相同的速度分别同时从A,B出发,小明沿AC行走,小芳沿BD行走,并同时到达C,D.若CB⊥AB,DA⊥AB,则CB与DA相等吗 为什么
4.如图所示,B,E,F,C在同一直线上,AF⊥BC于点F,DE⊥BC于点E,AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗 说说你的理由.
课堂小结
1.本节课你学习了哪些新知识？有哪些体会和收获？
2.在做题过程中你出现了哪些错误？错因是什么？
3.本节课你还有哪些疑惑？
参考答案
当堂达标
1.D 2.AB=CD BC=AD
3.解:CB=DA.
理由:由题意易知AC=BD,
∵CB⊥AB,DA⊥AB,
∴∠DAB=∠CBA=90°,
在Rt△DAB和Rt△CBA中,
∴Rt△DAB≌Rt△CBA(HL).
∴DA=CB.
4.解:平行.理由如下:
因为AF⊥BC,DE⊥BC,
所以∠AFB=∠DEC=90°.
又BE=CF,
所以BE+EF=CF+EF,
即BF=CE.
在Rt△ABF和Rt△DCE中,
所以Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).
所以∠B=∠C.
所以AB∥CD.