14.3 角的平分线 第1课时 角平分线的性质 学案（含答案）2025-2026学年数学人教版八年级上册

14.3 角的平分线
第1课时 角平分线的性质
学习目标
1.会用尺规作图法作一个角的平分线,知道作法的理论依据.
2.探究并证明角平分线的性质.
3．能用角的平分线的性质解决简单问题．
自主探索
如图所示的是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道理吗
任务一　探究用尺规作已知角的平分线
活动1　(1)如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，M,N分别是OA,OB上的点，当OM与ON满足什么关系时,PM=PN
(2)如图，M,N分别是∠AOB的的边OA,OB上的点，OM=ON，点P在∠AOB的内部，PM=PN.
连接OP，OP是∠AOB的平分线吗？为什么
从上面的探究过程，你受到哪些启发？你能利用直尺和圆规作一个角的平分线吗？
请你试着做一做，并与同伴交流.
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的角平分线.
任务二 探究角平分线的性质
(1)利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂线，分别记垂足为D，E，观察PD、PE并作比较，你得到什么结论？
(2)思考:如何证明这个猜想？
归纳总结：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 .
追问 你能用几何语言叙述这个定理吗？
(3)由角的平分线的性质的证明过程，思考一下证明一个几何命题的一般步骤是什么？
例1　如图所示,在△ABC中,AD是角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:EB=FC.
【即时测评】
1.如图,已知BG是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,DE=6,则DF的长度是(　　)
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
2.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△BDC的面积是　　.
当堂达标
1.如图所示,OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D.下列结论中错误的是( )
A.PC=PD B.OC=OD C.∠CPO=∠DPO D.OC=PO
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,则下列结论:①AD上任意一点到点C、点B的距离相等;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③BD=CD,AD⊥BC;④∠BDE=∠CDF.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是　　.
4.如图所示,四边形ABCD,在CD上求作一点E，使点E到射线AD与射线AB的距离相等.
5.如图AB=AC,BD=CD,DE⊥BA,点E为垂足,DF⊥AC,点F为垂足,求证:DE=DF.
课堂小结
(1)本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法
(2)本节课还有哪些疑惑 请同学们说一说.
参考答案
当堂达标
1.D 2.D 3.3
4.解:点E即为所求,如图所示.
5.证明:在△ABD和△ACD中,
所以△ABD≌△ACD(SSS).
所以∠BAD=∠CAD.
因为DE⊥BA,DF⊥AC,
所以DE=DF.