14.3 角的平分线 第2课时 角平分线的判定 学案（含答案）2025-2026学年数学人教版八年级上册

14.3 角的平分线
第2课时　角平分线的判定
学习目标
1．探索并证明角平分线的判定定理；
2.会应用角平分线的判定进行简单的计算或证明。
自主探索
1.如何用尺规作已知角的平分线？角的平分线有什么性质？
2.如果把角平分线的性质的题设与结论交换，是否能得到角的平分线的判定呢？
任务一　探究角平分线的判定定理
活动1　我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等.反过来，交换这个性质的题设和结论，你能得到哪一个命题？这个命题还成立吗
命题： .
证明命题：
已知：
求证：
证明:
归纳总结：角的平分线的判定定理:角的内部到角的两边的距离 的点在角的平分线上.
几何语言:
【即时测评】
1.判断以下说法正确吗？
（1）如图1，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( )
（2）如图2，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线； ( )
（3）如图3，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，且QM=QN,则点Q在∠AOB 的平分线上．( )
【例题】如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P.求证：
(1)点P到三边AB,BC,CA的距离相等；
(2)△ABC的三条角平分线交于一点.
当堂达标
1. 如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ的度数为( )
A、20° B、30° C、35° D、40°
2.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
3.如图，点P是∠AOB内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点E，点F，且PE=PF．点Q是OP上的任意一点，QM⊥OA，QN⊥OB，垂足分别为点M和点N，QM与QN相等吗？为什么？
4.如图所示,点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分线的交点.求证:AP平分∠BAC.
课堂小结
1.本节课你学习了哪些新知识？有哪些体会和收获？
2.本节课你还有哪些疑惑？
参考答案
当堂达标
1.C 2.C
3.解：QM=QN.理由如下：
∵PE⊥OA，PF⊥OB，PE=PF，
∴OP平分∠AOB，
∵QM⊥OA，QN⊥OB，
∴QM=QN．
4.证明:如图所示,作PQ⊥BC,PM⊥AE,PN⊥AF,垂足分别为Q,M,N.
因为P点在∠CBE和∠BCF的平分线上,
所以PM=PQ,PN=PQ.
所以PM=PN.
又PM⊥AE,PN⊥AF,
所以AP平分∠BAC.