第15章 轴对称 综合与实践 最短路径问题 学案（含答案）2025-2026学年数学人教版八年级上册

综合与实践 最短路径问题
学习目标
1.能将实际问题抽象为数学问题，并利用轴对称解决最短路径问题；
2．通过将实际问题模型化，体会数学在实际生活中的应用;通过类比将军饮马问题的研究方法对造桥选址问题进行研究，体会类比研究问题的策略;通过将两定两动问题转化为两定一动问题，感受数学转化思想的妙用；通过对几何最值的证明过程，感受数学学习的逻辑性和严谨性.
自主探索
观察图片，生活中你通常如何选择路径，使所走路径最短呢？
1. 类似情境中问题，如图 1，连接 A 、 B 两点的所有连线中，
哪条最短？为什么？
2.如图 2，点 P 是直线 l 外一点，点 P 与该直线 l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
活动一　牧民饮马问题
任务1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
思考 对于这个实际问题，我们能否把它抽象成数学问题呢？
如图，在直线l上，求作一点C，使CA+CB最短.
思考1 你能联系已学的知识，回忆在解决最短问题中，我们是通过什么知识进行解决呢？
思考2
（1）能否通过图形的变换，将左边图形未知的问题转化为我们右边研究过的问题呢？
（2）我们能否把点B移到直线l的另一侧B’呢？并使得点CB’等于CB’呢？
（3）同学们想一想，什么样的图形变换能满足(2)的要求的？
任务2 为什么这样做就是最短路径呢？如何证明CA+CB最短？
任务3 你还能举出类似上述数学模型的其他现实问题吗？请举例并加以解决.
活动二 牧民饮马问题的拓展
任务1 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处，牧民怎样走可使所走的路径最短
思考1 对于这个实际问题，我们能否把它抽象成数学问题呢？
思考2 如何解决这个数学问题呢？
已知直线m、直线n及点A，在直线m上找一点B,在直线n上找一点C，使AB+BC+CA最短.
任务2 如图，牧民从A地出发,先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短 .
思考1 对于这个实际问题，我们怎样把它抽象成数学问题呢？
思考2 如何解决这个数学问题呢？
在直线m上找一点P,在直线n上找一点Q，使AP+PQ+QB最短.
任务3 如图，牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到草地边的B处牧马，再到河边C处饮马，然后回到A处，如何确定A,B，C的位置，使从A处出发，到B处牧马，再到C处饮马，最后回到A处所走的路径最短.
思考1 对于这个实际问题，我们怎样把它抽象成数学问题呢？
思考2 这个问题与任务1中的问题有什么区别？如何把任务3中的问题转化为任务1中的问题？
思考3 如图，连接DA1,DA2，
(1)猜想△DA1A2的形状并说明理由？
(2)猜想∠A1DA2与∠EDF的数量关系并说明理由？
思考4 当点A位于什么地方时，DA1的长度最小？
任务4 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决.
活动三 造桥选址问题
任务1 如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
思考1 如何求AM+MN+NB的最小值呢？
思考2：左图和右图的区别是什么？如何通过图形的变换（轴对称、平移等）转化为右图？
思考3 如何证明你的结论呢？
任务2 你还能举出类似上述数学模型的其他现实问题吗？请举例并加以解决.
当堂达标
1. 如图所示,直线l是一条河,P,Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站,向P,Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需要管道最短的是( )
2.如图所示,牧童在A处放马,其家在B处,A,B到河岸的距离分别为AC和BD,且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500m,则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家,所走的最短距离是　 　m.
3.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
课堂小结
(1)本节课学习了哪些主要内容
(2)怎样解决最短路径问题
(3)本节课你学到了哪些研究问题的方法
参考答案
当堂达标
1.D 2.1000
3.解:如图,将A点向F平移得到点F,B点向右平移得到点G.
连接GF,与河岸相交于点E',D'.
作DD',EE'即为桥.
理由:由作图法可知,AF∥DD',AF=DD',
则四边形AFD'D为平行四边形,
于是AD=FD',同理,BE=GE',
由两点之间线段最短可知,GF最小.