2.1.2
函数的表示方法
第2课时 求函数的解析式
【课标要求】
1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会用解析法表示一些简单情境中的函数；
2．会求一些简单函数的解析式．
【核心扫描】
1．求一些简单函数的解析式．(重点)
2．用解析法表示一些简单情境中的函数．(难点)
自学导引
1．求函数解析式的常用方法有代入法、换元法、待定系数法和配凑法、解方程组法等．
2．函数应用性问题，自变量取值既要使函数解析式有意义，又要注意实际意义的限制．
想一想：1.每一个函数都可以用三种表示法吗？
提示 不是的．每一种函数的表示方法都有一定的适用范围．
2．在什么情况下用待定系数法求函数解析表达式较好？
提示 函数类型已知，设表达式时还要尽可能利用已知条件．
名师点睛
1．求函数解析式的常用方法
(1)“配凑法”关键是从解析式的结构形式入手，把“( )”内的代数式视为一个整体，把表达式配凑成整体的形式，即形如f(g(x))＝F(x)，从F(x)中凑出g(x)，再直接把g(x)换成x即可．
(2)换元法：关键是设“( )”＝t，用t把x表示出来，代入解析式得f(t)，再把t换成x即可．
(3)解方程组法：若所给的解析式中含有形如f(x)与f()，f(x)与f(－x)等形式，可构造另一个方程，通过解方程组消去f()或f(－x)，得到f(x)．
(4)待定系数法：若题中已说明函数的类型，设出相应的解析式，然后根据条件求解．
(5)实际问题求解法：根据实际问题建立函数表达式，定义域要准确写出．
2．列应用型函数解析式，要注意先将实际问题数学模型化，然后结合题设选择合适的函
数类型去拟合，解答过程中要密切关注实际问题中的隐含条件.
题型一 待定系数法求解析式
【例1】
已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．
[思路探索]
已知函数的类型是二次函数，故可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由已知条件确定a、b、c的值．
解 ∵f(x)是二次函数，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝1，得c＝1.
由f(x＋1)－f(x)＝2x，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x.
左端展开整理得2ax＋(a＋b)＝2x,
由恒等式原理知 ，
∴f(x)＝x2－x＋1.
规律方法
求函数解析式，若已知函数的类型，则可用待定系数法求解．
【训练1】
已知f(x)是一次函数，且f(f(f(x)))＝8x＋7，求f(x)的解析式．
解 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b.
∴f(f(f(x)))＝f(k2x＋kb＋b)＝k(k2x＋kb＋b)＋b
＝k3x＋k2b＋kb＋b＝8x＋7，
∴，
解得k＝2，b＝1，∴f(x)＝2x＋1.
题型二 换元法或配凑法求解析式
【例2】
已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
[思路探索]
已知f(g(x))的解析式，要求f(x)的解析式，可考虑用换元法或配凑法求解；但要注意f(x)的定义域，正确标注出其定义域．
解 法一 因为f(＋1)＝x＋2
＝()2＋2＋1－1
＝(＋1)2－1，
所以f(x)＝x2－1.
由于＋1≥1，
所以f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二 令u＝＋1，则u≥1，解得x＝(u－1)2，代入f(＋1)＝x＋2，即得f(u)＝u2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
规律方法
(1)若已知表达式较简单时，可直接用配凑法求解．
(2)已知f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式，用换元法，可令g(x)＝t，反解出x，即用t表示x，然后代入f(g(x))中即求得f(t)，从而求得f(x)．但要注意t的取值范围为所求函数的定义域．
【训练2】
已知f(x＋3)＝x2－2x＋3，求f(x)．
解 法一
∵f(x＋3)＝(x＋3)2－6x－9－2x＋3
＝(x＋3)2－8x－6
＝(x＋3)2－8(x＋3)＋24－6
＝(x＋3)2－8(x＋3)＋18，
∴f(x)＝x2－8x＋18(x∈R)即为所求．
法二
设x＋3＝t，则x＝t－3，
∴f(x＋3)＝x2－2x＋3可化为
f(t)＝(t－3)2－2(t－3)＋3
＝t2－6t＋9－2t＋6＋3＝t2－8t＋18.
∴所求函数f(x)的解析式为
f(x)＝x2－8x＋18(x∈R)．
题型三 解方程组法求解析式
【例3】
(14分)(1)已知f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝x2＋5x＋9，求f(x)；
(2)函数y＝f(x)满足af(x)＋bf()＝cx，其中a，b，c都是非零常数，a≠±b，求此函数y＝f(x)的解析式．
审题指导
因所给的已知等式中具有对称规律，故可构造对称方程组求解．
[规范解答]
(1)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋5x＋9①
∴在上式中用－x代替x得f(－x)＋2f(x)＝x2－5x＋9②
3分
2×②－①消去f(－x)，
得f(x)＝x2－5x＋3，
6分
∴所求函数f(x)的解析式为
f(x)＝x2－5x＋3.
7分
(2)在已知等式中，将x换为，则应换为x，
得af()＋bf(x)＝，
10分
将此式与已知等式联立，消去f()得
(a2－b2)f(x)＝c(ax－).
13分
因为a≠±b，所以f(x)＝(ax－)(x≠0).
14分
【题后反思】
方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律，如：互为倒数(f(x)，f())；互为相反数(f(－x)，f(x))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．
【训练3】
设函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝2x＋1，求f(x)的解析式．
解 ∵f(x)＋2f(－x)＝2x＋1，①
∴f(－x)＋2f(x)＝－2x＋1，②
联立①②组成的方程组可求出f(x)＝－2x＋.
方法技巧 求实际问题中的函数解析式
这类问题属于函数建模问题，解答此类问题的关键在于读懂题意，先将实际问题数学化，然后结合变量间对应关系特点选择合适的函数模型，解答过程中要密切关注实际问题中的隐含条件．
【示例】
甲地到乙地的高速公路长1
500千米，现有一辆汽车以100千米/时的速度从甲地到乙地，写出汽车离开甲地的路程s(千米)与时间t(小时)的函数解析式，并求出定义域．
[思路分析]
由已知可知汽车是匀速运动，所以易求得函数解析式，其定义域由甲、乙两地之间的路程和汽车的速度来决定．
解 ∵汽车在甲、乙两地匀速行驶，
∴s＝100t，
又∵汽车行驶的速度为100千米/时，两地之间的路程为1
500千米．
∴从甲地到乙地所用时间为t＝15小时．
故所求函数的解析式为s＝100t，定义域为{t|0≤t≤15}．
方法点评
由实际问题求解函数解析式时，要能根据实际问题建立函数模型，并根据题意
求出解析式，同时定义域要准确写出.2．1.2 函数的表示方法
第1课时 函数的表示方法
【课标要求】
1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数；
2．了解简单的分段函数；能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象．
【核心扫描】
1．理解函数的三种表示方法．(重点)
2．写出简单情境中的分段函数，并画出分段函数的图象．(难点)
自学导引
1．函数的表示方法有解析法、图象法和列表法．
2．若函数在定义域中，在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数叫做分段函数，分段函数是由几个部分构成的，但它表示的是一个函数．
想一想：1.一个函数的表示方法是唯一的吗？
提示 不一定唯一，根据函数解析式画图象，根据函数图象求解析式，就是图象法与解析式法之间的一种转换．
2．是否每一个函数都可以用解析式表示？
提示 不是的．有些函数只能用列表法表示，有些函数只能用图象法表示．
名师点睛
1．函数的表示法中，解析法简明全面概括了变量间的关系，通过解析式求出任一自变量对应的函数值，为代数法研究自变量变化规律提供了便利条件，而列表法与图象法能形象直观地表示出函数的变化情况．
2．对于分段函数的理解，要注意以下几点：
(1)不能误认为分段函数是“几个函数”，实际上一个分段函数只是一个函数．
(2)对于分段函数中的“段”，不能认为一定是等长的，实际上完全可以不等长．
(3)画分段函数的图象时，一定要考虑区间端点是不是包含在内，若端点包含在内，则用
实点“·”表示，若端点不包含在内，则用空心圆圈“°”表示.
题型一 列表法表示函数
【例1】
已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出.
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f[g(1)]的值为________；当g[f(x)]＝2时，x＝________.
[思路探索]
由已知的表格可知f(1)，f(2)，f(3)及g(1)，g(2)，g(3)的值．
解 因为g(1)＝3，所以f[g(1)]＝f(3)＝1.
因为g(2)＝2，所以应有f(x)＝2，从而x＝1，故填1,1.
答案 1 1
规律方法
列表法表示的函数，自变量与对应的函数值关系明确，但这种对应关系不一定可以用解析式表示．
【训练1】
已知函数f(x)，g(x)由下表给出.
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
1
1
x
1
2
3
4
g(x)
3
4
2
1
则f[g(2)]＝________，若g[f(x)]＝x，则x＝________.
解析 由已知表格，得g(2)＝4，所以f[g(2)]＝f(4)＝1.
对于g[f(x)]＝x是否成立，可将x＝1，x＝2，x＝3，x＝4代入检验．
因为g[f(1)]＝g(3)＝2≠1，g[f(2)]＝g(2)＝4≠2，
g[f(3)]＝g(1)＝3＝3，g[f(4)]＝g(1)＝3≠4.
故满足g[f(x)]＝x的x＝3.
答案 1 3
题型二 图象法表示函数
【例2】
作出下列函数的图象．
(1)y＝x2－2|x|；
(2)y＝|x＋1|＋|x－2|.
[思路探索]
所给函数解析式含绝对值不是最简形式，因此需先化简解析式，再根据基本初等函数图象的画法可画出函数图象．
解 (1)y＝x2－2|x|＝
由于x2－2x＝(x－1)2－1，x2＋2x＝(x＋1)2－1，因此所得函数的图象如图(1)所示．
(2)y＝|x＋1|＋|x－2|＝其图象如图(2)所示．
规律方法
(1)含绝对值符号的函数，先将函数解析式写成分段函数，然后再画出其图象．(2)作图象时，应标出某些关键点．例如：图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点，还是空心圈．
【训练2】
作出f(x)＝|x－1|－|x－2|的图象，并求其值域．
解 f(x)＝作出f(x)的图象，
如下图所示：
观察图象得值域为[－1,1]．
题型三 分段函数求值问题
【例3】
(14分)已知函数f(x)＝
(1)求f(－)；
(2)求f(4)；
(3)求f()；
(4)若f(a)＝3，求a的值．
审题指导
本题考查分段函数的定义及应用分段函数的定义求函数值．
[规范解答]
(1)∵－＜－1，∴f(－)＝－＋2＝.
3分
(2)∵4＞2，∴f(4)＝＝8.
6分
(3)∵－1＜＜2，
∴f()＝2×＝.
9分
(4)∵当x≤－1时，x＋2≤1；
当x≥2时，≥2；
当－1＜x＜2时，－2＜2x＜4，
10分
∴或
12分
∴a＝，或a＝.
∴a的值为或.
14分
【题后反思】
(1)对于分段函数求值问题要注意定义域的区间限制．(2)求分段函数的某一自变量所对应的函数值时，应先判定自变量所属区间，再决定用哪一个对应法则．
【训练3】
已知函数f(x)＝.
(1)求f(5)、f(f(5))、f(f(f(5)))；
(2)作出函数的图象；
(3)求函数的值域．
解 (1)∵5＞4，∴f(5)＝－5＋2＝－3.
∴f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
又∵0＜1≤4，∴f(f(f(5)))＝f(1)＝1－2＝－1.
(2)图出函数图象如图所示．
(3)由(2)画出的图象可知：函数的值域为[－3，－2)∪[－1,8]．
误区警示 对分段函数的概念理解不深刻，造成
解析式错误
【示例】
已知两个函数f(x)＝
g(x)＝
(1)当x≤0时，求f(g(x))的解析式；
(2)当x＜0时，求g(f(x))的解析式．
[错解]
(1)由已知，当x≤0时，有f(g(x))＝f(x2)＝－x2.
(2)当x＜0时，g(f(x))＝g(－x)＝(－x)2＝x2.
本题错误是对分段函数没有理解，而选择了错误的解析式．
[正解]
(1)由已知，当x≤0时，有f(g(x))＝f(x2)＝(x2)2＝x4.
(2)当x＜0时，g(f(x))＝g(－x)＝－.
对于分段函数的解析式，一定要根据自变量的取值范围来选择解析式．
