2.1.2 函数的表示方法 学案（含答案解析） (2)

2.1.2
函数的表示方法
学案
明目标、知重点　1.了解函数的三种表示法的各自优点，掌握用三种不同形式表示函数.2.掌握简单的分段函数，并能简单应用．
1．函数的三种表示法
(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法．
(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法．
(3)图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法．
2．分段函数
(1)分段函数的定义：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数叫做分段函数．
(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．
(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．
[情境导学]
语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy
Birthday！……，那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？
探究点一　函数的表示方法
思考1　在初中学习的函数有哪几种常用的表示法？
答　解析法、图象法、列表法．
思考2　几种常用的函数的表示方法是如何定义的？
答　(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
(2)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系；
(3)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
思考3　函数的三种表示方法各有什么优点？
答　(1)解析法的优点：概括了变量间的关系，利用解析式可求任一函数值．
(2)图象法的优点：直观形象地表示出函数值随自变量的变化趋势，有利于通过图象来研究函数的性质．
(3)列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量对应的函数值．
例1　购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数，并指出该函数的值域．
解　(1)解析法：y＝2x，x∈{1,2,3,4}．
(2)列表法：
x/听
1
2
3
4
y/元
2
4
6
8
(3)图象法：
图象由点(1,2)，(2,4)，(3,6)，(4,8)组成，函数的值域是{2,4,6,8}．
反思与感悟　本例题的两个变量之间的函数关系用解析法、列表法、图象法都能表示，但并不是所有的函数都能用三种方法表示，能用解析法表示的一般也能用另两种方法表示，能用列表法或图象法表示的不一定能用解析法表示，也就是说有些函数的关系找不到一个等式来表示．
跟踪训练1　某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．
解　这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}．用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．
用列表法可将函数y＝f(x)表示为：
笔记本数x
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
用图象法可将函数y＝f(x)表示为下图：
探究点二　换元法求函数的解析式
思考　已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式通常用什么方法？
答　通常用换元法．即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，即求出了f(x)．
例2　已知f(x2－1)＝x4－x2＋1，求f(x)．
解　因为f(x2－1)＝x4－x2＋1＝(x2－1)2＋(x2－1)＋1，所以f(x)＝x2＋x＋1(x≥－1)．
反思与感悟　此法是把所给函数的解析式，通过配方、凑项等方法使之变形为关于“自变量”的表示式，然后以x代替“自变量”，即得所求函数解析式．
跟踪训练2　已知f()＝3－x，求f(x)的解析式．
解　令＝t，则t≥0，且x＝t2＋1，
所以f(t)＝3－(t2＋1)＝2－t2，即f(x)＝2－x2(x≥0)．
探究点三　待定系数法求函数解析式
思考1　若已知函数的类型，求函数的解析式通常用什么方法？
答　若已知函数的类型，可用待定系数法求解．
思考2　用待定系数法求函数解析式的一般思路是怎样的？
答　由函数类型设出函数解析式，再根据条件列出方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定的系数，进而求出函数解析式．
例3　设二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．
解　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(x＋2)＝f(2－x)可知，该函数图象关于直线x＝2对称，
∴－＝2，即b＝－4a①
又图象过点(0,3)，∴c＝3②
由方程f(x)＝0的两实根平方和为10，
得x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝10.
即b2－2ac＝10a2③
由①②③解得a＝1，b＝－4，c＝3.∴f(x)＝x2－4x＋3.
反思与感悟　我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果．类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)＝(k≠0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，③双根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
跟踪训练3　已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式．
解　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0知c＝0.
∴f(x)＝ax2＋bx.
又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.
即：ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1.
故2a＋b＝b＋1且a＋b＝1，解得a＝，b＝，
∴f(x)＝x2＋x.
探究点四　分段函数
例4　某市出租汽车收费标准如下：在3
km以内(含3
km)路程按起步价7元收费，超过3
km以外的路程按2.4
元/km收费．试写出收费额(单位：元)关于路程(单位：km)的函数解析式．
解　设路程为x
km时，收费额为y元，则由题意得：当x≤3时，y＝7；当x>3时，按2.4
元/km所收费用为2.4×(x－3)，那么有y＝7＋2.4×(x－3)．于是，收费额关于路程的函数解析式为
y＝
即y＝
反思与感悟　(1)分段函数的定义：例2、例3中的函数具有共同特点：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数．
(2)分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的解析式；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．
跟踪训练4　某人开汽车以60
km/h的速度从A地到150
km远处的B地，在B地停留1
h后，再以50
km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的路程s(km)表示为时间t(h)(从A地出发是开始)的函数，再把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数．
解　从A地到B地所需时间为＝2.5(h)，从B地到A地所需时间为＝3(h)，
所以，当0当2.5当3.5所以，s＝
v＝
1．设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α＝________.
答案　－4或2
解析　当α≤0时，f(α)＝－α＝4，得α＝－4；
当α>0时，f(α)＝α2＝4，得α＝2.
∴α＝－4或α＝2.
2．如果二次函数f(x)＝(x－a)2＋b的图象关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为________．
答案　f(x)＝(x－1)2－1
解析　由二次函数f(x)＝(x－a)2＋b的图象关于直线x＝1对称，得解析式为y＝(x－1)2＋b；又图象过点(0,0)，则0＝(0－1)2＋b，所以b＝－1，所以解析式为f(x)＝(x－1)2－1.
3．已知f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)＝_______________________________.
答案　2x－1
解析　由已知得：g(x＋2)＝2x＋3，令t＝x＋2，则x＝t－2，代入g(x＋2)＝2x＋3，
则有g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1.所以g(x)＝2x－1.
4．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x－1，求f(x)的解析式．
解　设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b
＝k2x＋kb＋b＝4x－1，
则有
或 或
∴f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
[呈重点、现规律]
1．求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．
2．求函数的解析式的类型比较多，方法也比较多，常用的有拼凑法、换元法、待定系数法、消元法、特殊值法等，要根据题目特点选用不同的方法求解．
3．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.
一、基础过关
1．一个面积为100
cm2的等腰梯形，上底长为x
cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为________________．
答案　y＝(x>0)
解析　由·y＝100，得2xy＝100.
∴y＝(x>0)．
2．函数f(x)＝则f()的值为________．
答案　
解析　∵x>1，∴f(3)＝32－3－3＝3，
∵<1，∴f()＝f()＝1－()2＝.
3．已知f(x)＝则f(3)＝______.
答案　2
解析　∵3<6，
∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.
4．已知x≠0时，函数f(x)满足f(x－)＝x2＋，则f(x)的表达式为________________．
答案　f(x)＝x2＋2(x≠0)
解析　∵f(x－)＝x2＋＝(x－)2＋2，
∴f(x)＝x2＋2(x≠0)．
5．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f{f[f(2)]}＝________.
答案　2
解析　由题意可知f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2.
因此，有f{f[f(2)]}＝f[f(0)]＝f(4)＝2.
6．若g(x＋1)＝2x－2，g(x)＝4，则x的值为________．
答案　4
解析　令x＋1＝t，则x＝t－1，
∴g(t)＝2(t－1)－2＝2t－4，∴g(x)＝2x－4，
令2x－4＝4，则x＝4.
7.(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
(2)已知f(x)满足2f(x)＋f()＝3x，求f(x)的解析式．
解　(1)∵f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1，
且＋1≥1,
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)∵2f(x)＋f()＝3x，①
把①中的x换成，得
2f()＋f(x)＝.②
①×2－②得3f(x)＝6x－，
∴f(x)＝2x－(x≠0)．
二、能力提升
8．如果f()＝，则当x≠0,1时，f(x)＝__________.
答案　
解析　令＝t，则x＝，代入f()＝，
则有f(t)＝＝.
9．已知函数y＝使函数值为5的x的值是________．
答案　－2
解析　若x2＋1＝5，则x2＝4，
又∵x≤0，∴x＝－2，若－2x＝5，
则x＝－，与x＞0矛盾，故答案为－2.
10．已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f()＋x，则f(x)的解析式为____________．
答案　f(x)＝－(x≠0)
解析　∵f(x)＝2f()＋x，①
∴将x换成，
得f()＝2f(x)＋.②
由①②消去f()，得f(x)＝－－，
即f(x)＝－(x≠0)．
11．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．
解　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，
∴解得
∴f(x)＝2x＋7.
12.如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕边界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．
解　当点P在BC上运动，
即0≤x≤4时，y＝×4x＝2x；
当点P在CD上运动，即4当点P在DA上运动，即8y＝×4×(12－x)＝24－2x.
综上可知，f(x)＝
三、探究与拓展
13.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式．
解　由题意，得当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b.
由已知得，解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝.