2.2.1 第二课时 函数单调性的应用学案（含答案解析）

2．2　函数的简单性质
2．2.1　函数的单调性
第2课时　函数单调性的应用
【课标要求】
1．进一步理解函数的单调性；
2．理解函数最大(小)值的概念及其几何意义；
3．能利用函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值．
【核心扫描】
1．理解函数的单调性，理解函数最大(小)值的概念．(重点)
2．利用函数的单调性求函数的最大(小)值、求参数的取值范围．(难点)
自学导引
1．函数y＝f(x)若在区间D上单调递增(减)，且f(x1)x2)．
2．设y＝f(x)的定义域为A，如果存在定值x0∈A，使得对任意x∈A，有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))恒成立，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大(小)值，记为ymax＝f(x0)(ymin＝f(x0))．
3．函数的单调性的主要应用有：(1)比较大小；(2)解不等式；(3)求函数最值；(4)求参数的取值范围；(5)证明不等式等．
试一试：函数f(x)＝x2＋2x＋2在定义域内是否有最大值？在区间的[－2,3]上是否有最大值？
提示　函数f(x)＝x2＋2x＋2在定义域内无最大值，但在区间[－2,3]上有最大值，且最大值为f(3)＝17.
名师点睛
1．函数的最大值与最小值在图象上的体现：函数图象上位置最高的点与位置最低的点即为最大值点和最小值点，其纵坐标分别为函数的最大值和最小值．
2．有的函数既有最大值又有最小值，如y＝x＋(x∈[1,3])；有的函数只有最大值(或最小值)，如y＝x2－2x就只有最小值而无最大值；有的函数既无最大值又无最小值，如y＝x(x∈R)．
3．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则函数的最小值为ymin＝f(a)，最大值为ymax＝f(b)；若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则函数的最小值为ymin＝f(b)，最大值为ymax＝f(a)．
4．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上不存在最值，
但可以说y＝f(x)在区间(a，b)上的值域为(f(a)，f(b)).
题型一　求二次函数在闭区间上的最值
【例1】
求函数f(x)＝x2－2ax－1，x∈[0,2]的最大值和最小值．
[思路探索]
由于二次函数的最值与对称轴有关，而本题中函数的对称轴为直线x＝a，位置不确定，所以应按对称轴与区间[0,2]的相对位置进行分类讨论．
解　f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
①当a＜0时，由草图(1)可知f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
②当0≤a＜1时，由草图(2)可知f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
③当1≤a≤2时，由草图(3)可知f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.
④当a＞2时，由草图(4)可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.
规律方法
对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a＞0)在区间[m，n]上的最值可作如下讨论，
对称轴x＝h与[m，n]的位置关系
最大值
最小值
h＜m
f(n)
f(m)
h＞n
f(m)
f(n)
m≤h≤n
m≤h＜
f(n)
f(h)
h＝
f(m)或f(n)
f(h)
＜h≤n
f(m)
f(h)
【训练1】
求f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．
解　f(x)＝(x－a)2＋2－a2，
当a≤2时，f(x)min＝f(2)＝6－4a；
当2＜a＜4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2；
当a≥4时，f(x)min＝f(4)＝18－8a.
综上可知，
f(x)min＝
题型二　利用函数单调性解不等式
【例2】
已知f(x)是定义在(－1,1)上的增函数，若f(1－a)＜f(2a－1)，求a的取值范围．
[思路探索]
已知函数的单调性求不等式的解，由单调性定义f(1－a)＜f(2a－1)，可得1－a＜2a－1，另外要注意－1＜1－a＜1和－1＜2a－1＜1.
解　∵f(x)是定义在(－1,1)上的增函数，且f(1－a)＜f(2a－1)，
∴解得＜a＜1，
∴a的取值范围是(，1)
规律方法
在利用单调性求解不等式时，一定要注意自变量所在的区间，要在同一单调区间内求解．
【训练2】
函数f(x)是定义在[1,5]上的增函数，且f(1－2a)－f(2－a)>0，求a的取值范围．
解　由f(x)是[1,5]上的增函数，且f(2－a)解得－2≤a<－1.
题型三　利用函数单调性求参数的取值范围
【例3】
(14分)(1)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间为(－∞，4]，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
审题指导
本题考查二次函数的图象与性质，以及函数单调性的特点．
[规范解答]
∵函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的对称轴为直线x＝1－a，∴函数f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]，增区间为[1－a，＋∞).
4分
(1)∵函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调减区间为(－∞，4]，
∴1－a＝4，∴a＝－3.
7分
∴a的取值范围是{－3}.
8分
(2)∵函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，
∴(－∞，4]是(－∞，1－a]的子集，
11分
∴1－a≥4，∴a≤－3.
13分
故实数a的取值范围是(－∞，－3].
14分
【题后反思】
二次函数的单调性问题，可结合二次函数的图象，先将二次函数的单调性讨论出来，再与已知条件构造联系求解．
方法技巧　利用函数的单调性求函数的最值
函数的最大(小)值是对定义域或给定区间而言的．函数的最大(小)值，实际上是函数图象的最高(低)点的纵坐标，因此，借助函数的图象可求得函数最值．若一个函数能准确判断其单调区间及单调性，也可以利用函数单调性求函数的最值．
【示例】
已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若f(x)≥a恒成立，求a的最大值．
[思路分析]
f(x)的图象较难画出，故可考虑判断f(x)的单调性，利用单调性求其最值．
解　(1)f(x)＝x＋＋2.
设x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋＋2－
＝(x1－x2).
因为x2>x1≥1，所以x1－x2<0,1－>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，
(2)因为f(x)min＝3，f(x)≥a恒成立，所以a≤3，
故amax＝3.
方法点评
利用函数的单调性求函数的最值是求函数最值的重要方法之一，此法对直接求解有困难的函数往往有奇效.