2.2.1 函数的单调性 同步练习（含答案）

2.2.1
数的单调性
同步练习
1．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是________．
2．已知函数y＝x＋，下列说法正确的是________．(填序号)
①有最小值，无最大值；
②有最大值，无最小值；
③有最小值，最大值2；
④无最大值，也无最小值．
3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是________．
4．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么f(－2)，f(0)，
f(2)的大小关系为________．
5．函数y＝|x－3|－|x＋1|的________．(填序号)
①最小值是0，最大值是4；
②最小值是－4，最大值是0；
③最小值是－4，最大值是4；
④没有最大值也没有最小值．
6．函数f(x)＝的最大值是________．
7．函数y＝的值域是________．
8．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a9．若y＝－，x∈[－4，－1]，则函数y的最大值为________．
10．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2，4]上是单调函数，求m的取值范围．
11．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1，1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
12．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)_______．(填序号)
①有最大值3，最小值－1；
②有最大值3，无最小值；
③有最大值7－2，无最小值；
④无最大值，也无最小值．
13．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.
(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；
(2)设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
答案
1．(－∞，－3]
解析　由二次函数的性质，可知4≤－(a－1)，
解得a≤－3.
2．①
解析　∵y＝x＋在定义域[，＋∞)上是增函数，
∴y≥f()＝，即函数最小值为，无最大值．
3．[1，2]
解析　由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，
当x＝1时，y的最小值为2，
当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.
由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1，2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.
4．f(0)解析　依题意，由f(1＋x)＝f(－x)知，
二次函数的对称轴为x＝，
因为f(x)＝x2＋bx＋c开口向上，
且f(0)＝f(1)，f(－2)＝f(3)，
由函数f(x)的图象可知，[，＋∞)为f(x)的增区间，
所以f(1)5．③
解析　y＝|x－3|－|x＋1|＝.
因为[－1，3)是函数y＝－2x＋2的减区间，
所以－4≤y≤4，综上可知③正确．
6.
解析　f(x)＝≤.
7．(0，2]
解析　观察可知y>0，当|x|取最小值时，y有最大值，
所以当x＝0时，y的最大值为2，即0故函数y的值域为(0，2]．
8．－2　0
解析　y＝－(x－3)2＋18，∵a∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，
得b＝0(b＝6不合题意，舍去)
－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)．
9．2
解析　函数y＝－在[－4，－1]上是单调递增函数，
故ymax＝－＝2.
10．解　(1)∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[，3]，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，
又f()＝，f(3)＝5，
所以，f(x)的最大值是f(3)＝5，
即f(x)在区间[，3]上的最大值是5，最小值是1.
(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，
∴≤2或≥4，即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
11．解　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1，
∴f(x)＝ax2＋bx＋1.
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴2ax＋a＋b＝2x，
∴，∴，∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立，
即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋1－m＝(x－)2－－m，
其对称轴为x＝，
∴g(x)在区间[－1，1]上是减函数，
∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，
∴m<－1.
12．③
解析　画图得到F(x)的图象：
射线AC、抛物线及射线BD三段，
联立方程组
得xA＝2－，
代入得F(x)的最大值为7－2，
由图可得F(x)无最小值．
13.
解　(1)当a＝1时，f(x)＝x2－|x|＋1
＝.
作图(如右所示)
(2)当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.
若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1，2]上是减函数，
g(a)＝f(2)＝－3.
若a>0，则f(x)＝a(x－)2＋2a－－1，
f(x)图象的对称轴是直线x＝.
当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1，2]上是增函数，
g(a)＝f(1)＝3a－2.
当1≤≤2，即≤a≤时，
g(a)＝f()＝2a－－1，
当>2，即0g(a)＝f(2)＝6a－3.
综上可得g(a)＝