2．2 函数的简单性质
2．2.1 函数的单调性
第1课时 函数的单调性
【课标要求】
1．理解函数的单调性及其几何意义；
2．会判断一些简单函数的单调性；
3．会证明一些简单函数的单调性．
【核心扫描】
1．判断和证明一些简单函数的单调性．(重点)
2．函数单调性及其几何意义的理解．(难点)
自学导引
1．设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)(f(x1)＞f(x2))，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增(减)函数，I称为y＝f(x)的单调增(减)区间．
想一想：函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，其图象有何特点？
提示 函数y＝f(x)在区间I上图象由低(高)到高(低)是上升(下降)的．
2．如果一个函数在某个区间I上是增减函数，就说这个函数在这个区间I上具有单调性，区间I称为单调区间．
试一试：函数单调区间I与其定义域A有何关系，函数的单调性是函数的整体性质还是局部性质？
提示 I A，函数的单调性是函数的局部性质，函数在其定义域未必具有单调性．
名师点睛
1．函数的单调性是函数在某个区间上的整体性质．
①这个区间可以是整个定义域，如y＝2x在整个定义域(－∞，＋∞)上是增函数，y＝－2x在整个定义域(－∞，＋∞)上是减函数；
②这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2＋1在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数.
2．并不是所有的函数都具有单调性，有的函数不具有单调性，还有的函数没有单调区间，或者它的定义域根本就不是区间，如y＝2是常数函数且定义域为R，函数值不随x的变化而变化，因此它不具有单调性，再如y＝x2，x∈{0,1,2}，定义域就不是区间，当然也就没有单调性．
3．x1，x2的三个特征一定要予以重视，函数单调性定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性，即任意取x1，x2中“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1＜x2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．
4．若函数y＝f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增(减)函数，一般不能简单地认为y＝f(x)，在A∪B上是增(减)函数，如f(x)＝，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数，但不能说它在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，因为在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上函数y＝的图象从左向右看不是下降的．事实上，取x1＝－1＜1＝x2，有f(－1)＝－
1＜1＝f(1)．不符合减函数的定义.
题型一 图象法求单调区间
【例1】
求函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调区间．
[思路探索]
含绝对值的函数求其单调性，应先去掉绝对值，然后根据图象或性质求出单调区间．
解 y＝－x2＋2|x|＋3＝
即y＝图象如下图所示．
由图知，在(－∞，－1]和[0,1]上函数是增函数，在[－1,0]和[1，＋∞)上是减函数，即函数的单调增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
规律方法
(1)求函数的单调区间，能画出图象的画出图象，不能画出图象时，再考虑用单调性的定义．(2)在书写增区间(或减区间)时，中间不能用“∪”来连接．
【训练1】
求函数f(x)＝|x＋1|－|2x－4|的单调区间．
解 f(x)＝|x＋1|－|2x－4|＝
画出函数图象如下图所示，由图象可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，2]，单调递减区间为[2，＋∞)．
题型二 证明函数的单调性
【例2】
证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．
[思路探索]
证明函数的单调性，可根据定义进行证明．
解 设0＜x1＜x2＜1，则
f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)(1－)
＝.
已知0＜x1＜x2＜1，则x1x2－1＜0，x1－x2＜0，x1x2>0.
即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．
∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
规律方法
根据定义证明函数的单调性可按如下步骤进行：
(1)取值．即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2；
(2)作差变形．即作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，使其转化为易于判断正负的式子；
(3)定号．即确定f(x1)－f(x2)的符号；
(4)判断．即根据定义得出结论．其中第二步是关键，在变形中一般尽量化成几个最简因式的积或几个完全平方的形式．
【训练2】
求证函数f(x)＝－在定义域上是减函数．
证明 ∵f(x)＝－的定义域为[0，＋∞)，
∴设0≤x1＜x2，则x2－x1＞0.
f(x2)－f(x1)＝(－)－(－)
＝－＝
＝.
∵x1－x2＜0，＋＞0，
∴f(x2)－f(x1)＜0，
即f(x2)＜f(x1)．
∴f(x)＝－在它的定义域[0，＋∞)上是减函数．
题型三 讨论函数的单调性
【例3】
(14分)讨论函数f(x)＝x＋(a＞0)的单调性．
审题指导
本题考查函数单调性的定义以及应用定义讨论函数的单调性．
[规范解答]
f(x)＝x＋(a＞0)．
∵定义域为{x|x∈R，且x≠0}，2分
∴可分开证明，
设x1＞x2＞0，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)·(1－).4分
当0＜x2＜x1≤时，恒有＞1，
则f(x1)－f(x2)＜0，
故f(x)在(0，
]上是减函数；7分
当x1＞x2＞时，恒有0＜＜1，
则f(x1)－f(x2)＞0，
故f(x)在(，＋∞)上是增函数.10分
同理可证f(x)在(－∞，－)上是增函数，在[－，0)上是减函数.12分
综上，f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数，在[－，0)，(0，
]上是减函数.14分
【题后反思】
由函数f(x)＝x＋(a＞0)的单调性及f(x)在其单调区间的端点处取值的趋势，可作出函数y＝f(x)的图象如下图所示，反过来利用图象可以形象地记忆该函数的单调性及其他有关性质．
【训练3】
讨论y＝(－1＜x＜1，a≠0)的单调性．
解 设－1＜x1＜x2＜1，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴x2－x1＞0，x－1＜0，x－1＜0，x1x2＋1＞0.
当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，此时，f(x)为减函数；
当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，此时，f(x)为增函数．
综上可知，当a＞0时，f(a)＝在(－1,1)上为减函数，
当a＜0时，f(x)＝在(－1,1)上为增函数．
方法技巧 复合函数的单调性的判断
对于复合函数单调性的判断，以复合函数y＝f(g(x))为例，可按下列步骤操作：
(1)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)；
(2)分别确定各个函数的定义域；
(3)分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；
(4)若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数，若为一增一减，则y＝f(g(x))为减函数．
【示例】
试判断函数y＝在[－1,1]上的单调性．
[思路分析]
把y＝分解成两个基本初等函数u＝1－x2，y＝，再分别判断它们的单调性．
解 令u＝1－x2，则y＝.
当0≤x≤1时，u关于x递减，而y关于u递增，
∴y关于x递减；
当－1≤x＜0时，u关于x递增，而y关于u递增，
∴y关于x递增．
故函数y＝在[－1,0)上为单调递增函数，在[0,1]上为单调递减函数．
方法点评
复合函数单调性的判断方法可以从下表中得到：
u＝g(x)
y＝f(u)
y＝f
[g(x)]
↑
↑
↑
↑
↓
↓
↓
↓
↑
↓
↑
↓2.2.1 函数的单调性（二）学案
课时目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系.3.会求一些简单函数的最大(小)值．
1．函数的最值
设y＝f(x)的定义域为A.
(1)最大值：如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有__________，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为______＝f(x0)．
(2)最小值：如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为________＝f(x0)．
2．函数最值与单调性的联系
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为______，最小值为______．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为______，最小值为______．
一、填空题
1．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是________．
2．已知函数y＝x＋，下列说法正确的是________．(填序号)
①有最小值，无最大值；
②有最大值，无最小值；
③有最小值，最大值2；
④无最大值，也无最小值．
3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是________．
4．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么f(－2)，f(0)，
f(2)的大小关系为________．
5．函数y＝|x－3|－|x＋1|的________．(填序号)
①最小值是0，最大值是4；
②最小值是－4，最大值是0；
③最小值是－4，最大值是4；
④没有最大值也没有最小值．
6．函数f(x)＝的最大值是________．
7．函数y＝的值域是________．
8．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a
9．若y＝－，x∈[－4，－1]，则函数y的最大值为________．
二、解答题
10．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．
11．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
能力提升
12．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)①有最大值3，最小值－1；
②有最大值3，无最小值；
③有最大值7－2，无最小值；
④无最大值，也无最小值．
13．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.
(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；
(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
1．函数的最大(小)值
(1)定义中M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对“存在”的理解．
(2)对于定义域内任意元素，都有f(x)≤M或f(x)≥M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．
拓展 对于函数y＝f(x)的最值，可简记如下：
最大值：ymax或f(x)max；最小值：ymin或f(x)min.
2．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
3．二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．
第2课时 函数的最大(小)值
知识梳理
1．(1)f(x)≤f(x0) ymax (2)ymin
2．(1)f(b) f(a) (2)f(a) f(b)
作业设计
1．(－∞，－3]
解析 由二次函数的性质，可知4≤－(a－1)，
解得a≤－3.
2．①
解析 ∵y＝x＋在定义域[，＋∞)上是增函数，
∴y≥f()＝，即函数最小值为，无最大值．
3．[1,2]
解析 由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，
当x＝1时，y的最小值为2，
当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.
由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.
4．f(0)解析 依题意，由f(1＋x)＝f(－x)知，
二次函数的对称轴为x＝，
因为f(x)＝x2＋bx＋c开口向上，
且f(0)＝f(1)，f(－2)＝f(3)，
由函数f(x)的图象可知，[，＋∞)为f(x)的增区间，
所以f(1)5．③
解析 y＝|x－3|－|x＋1|＝.
因为[－1,3)是函数y＝－2x＋2的减区间，
所以－4≤y≤4，综上可知③正确．
6.
解析 f(x)＝≤.
7．(0,2]
解析 观察可知y>0，当|x|取最小值时，y有最大值，
所以当x＝0时，y的最大值为2，即0故函数y的值域为(0,2]．
8．－2 0
解析 y＝－(x－3)2＋18，∵a∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，
得b＝0(b＝6不合题意，舍去)
－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)．
9．2
解析 函数y＝－在[－4，－1]上是单调递增函数，
故ymax＝－＝2.
10．解 (1)∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[，3]，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，
又f()＝，f(3)＝5，
所以，f(x)的最大值是f(3)＝5，
即f(x)在区间[，3]上的最大值是5，最小值是1.
(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，
∴≤2或≥4，即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
11．解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1，
∴f(x)＝ax2＋bx＋1.
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴2ax＋a＋b＝2x，
∴，∴，∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，
即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋1－m＝(x－)2－－m，
其对称轴为x＝，
∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，
∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，
∴m<－1.
12．③
解析 画图得到F(x)的图象：
射线AC、抛物线及射线BD三段，
联立方程组
得xA＝2－，
代入得F(x)的最大值为7－2，
由图可得F(x)无最小值．
13.
解 (1)当a＝1时，f(x)＝x2－|x|＋1
＝.
作图(如右所示)
(2)当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.
若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数，
g(a)＝f(2)＝－3.
若a>0，则f(x)＝a(x－)2＋2a－－1，
f(x)图象的对称轴是直线x＝.
当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，
g(a)＝f(1)＝3a－2.
当1≤≤2，即≤a≤时，
g(a)＝f()＝2a－－1，
当>2，即0g(a)＝f(2)＝6a－3.
综上可得g(a)＝