2.2.1 函数的单调性 学案（含答案解析） (2)

2.2.1
函数的单调性
学案
明目标、知重点　1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数，体会求函数最值是函数单调性的应用之一．
1．函数最大值定义
设y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得对任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)．
2．函数最小值定义
如果存在x0∈A，使得对任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．
3．函数最值与单调性的联系
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
[情境导学]
同学们，我们班最高的男生是谁？说他最高的根据是什么？“我们班最高的男生是姚明”对吗？为什么？
答　我们班最高的男生是A同学，根据是班内任选一名男生，都一定比A同学矮；不对，因姚明不是我们班的男生．
探究点一　函数的最大(小)值的概念
思考1　如图，气温θ关于时间t的函数记为θ＝f(t)，观察这个函数的图象，说出函数的最大、最小值在函数图象的什么部位取得？函数的最大、最小值各是什么

答　曲线的最高点对应的纵坐标为函数的最大值，最大值为9；曲线的最低点对应的纵坐标为函数的最小值，最小值为－2.
思考2　根据思考1的讨论，你能给函数的最大值及最小值下个定义吗？
答　一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)．如果存在x0∈A，使得对任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．
例1　下图是函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
解　观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,4)，最低的点是(－1.5，－2)，所以当x＝3时，函数y＝f(x)取得最大值，即ymax＝4；
当x＝－1.5时，函数y＝f(x)取得最小值，即ymin＝－2.函数的单调增区间为[－1.5,3]，[5,6]；单调减区间为[－4，－1.5]，[3,5]，[6,7]．
反思与感悟　求函数的最大值或最小值时，一般都要说明函数值为最大值或最小值时对应的自变量的值．即说明当x取什么值时，函数的最大值或最小值是什么．
跟踪训练1　“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h
m与时间t
s之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1
m)
解　作出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象(如图)．显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．
由二次函数的知识，对于函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，有：
当t＝－＝1.5时，函数有最大值h＝≈29.
于是，烟花冲出后1.5
s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29
m.
例2　求出下列函数的最小值：
(1)y＝x2－2x；(2)y＝，x∈[1,3]．
解　(1)因为y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，且当x＝1时y＝－1，所以函数取得最小值－1，即ymin＝－1.
(2)因为对于任意实数x∈[1,3]，都有≥，且当x＝3时＝，所以函数取得最小值，即ymin＝.
反思与感悟　要熟记常见函数的单调性：一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当k>0时单调递增，当k<0时单调递减；二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a>0时，在(－∞，－]上单调递减，在[－，＋∞)上单调递增，a<0时相反；y＝(k≠0)，当k>0时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，当k<0时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递增．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，求函数的最大值和最小值．
解　设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝＝.
由2≤x10，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以，函数y＝在区间[2,6]上是减函数．因此，函数y＝在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即x＝2时函数的值最大，最大值是2，当x＝6时，函数的最小值是.
探究点二　函数最值与单调性的关系
思考1　已知函数y＝f(x)在定义域[a，b]上单调，如何求函数的最值？
答　如果函数y＝f(x)在定义域[a，b]上单调递增，则f(x)max＝f(b)，f(x)min＝f(a)；如果函数y＝f(x)在定义域[a，b]上单调递减，则f(x)max＝f(a)，f(x)min＝f(b)．
思考2　已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，a答　当x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数；当x∈[c，b]时，f(x)是单调减函数．则f(x)在x＝c时取得最大值．反之，当x∈[a，c]时，f(x)是单调减函数；当x∈[c，b]时，f(x)是单调增函数，则f(x)在x＝c时取得最小值．
例3　已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，a证明　因为当x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数，
所以对于任意x∈[a，c]，都有f(x)≤f(c)．
又因为当x∈[c，b]时，f(x)是单调减函数，
所以对于任意x∈[c，b]，都有f(x)≤f(c)．
因此，对于任意x∈[a，b]都有f(x)≤f(c)，
即f(x)在x＝c时取得最大值．
反思与感悟　要证明函数在给定的闭区间上最大值是M(最小值是N)，就是要证明在给定的区间内任意一点的函数值都小于或等于M(大于或等于N)．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
解　∵f(x)＝(x－a)2＋2－a2，
∴此二次函数图象的对称轴为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
∴f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得a≥－3，即－3≤a<－1.
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2－a2≥a，
解得－2≤a≤1，即－1≤a≤1.
综上所述，实数a的取值范围为[－3,1]．
探究点三　二次函数在闭区间上的最值
例4　求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．
解　∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
∴f(x)min＝.
反思与感悟　此题为二次函数中区间固定对称轴移动的问题，此类问题应注意对称轴的变化对最值的影响．
跟踪训练
已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值．
解　∵对称轴x＝1，
①当1≥t＋2即t≤－1时，
f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.
②当≤1f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
③当t≤1<，即0f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
④当11时，
f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数最大值为g(t)，最小值为φ(t)时，则有
g(t)＝，
φ(t)＝.
1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，
则此函数的最小值、最大值分别是________．
答案　－1、2
解析　观察函数图象知，图象最低点的纵坐标为f(－2)＝－1，最高点的纵坐标为2.
2．下列关于函数f(x)＝在[1，＋∞)上的最值情____________________________．
答案　有最大值1，无最小值
解析　函数f(x)＝是反比例函数，当x∈(0，＋∞)时，函数图象下降，
所以在[1，＋∞)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．
3．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．
答案　1
解析　f(x)＝－(x－2)2＋a＋4，
∴f(x)在[0,1]上单调递增．
∴f(x)min＝f(0)＝a＝－2，
∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
4．判断函数f(x)＝(x≥0)的单调性，并求出值域．
解　f(x)＝＝＝1－，
设0≤x1则f(x1)－f(x2)＝(1－)－(1－)
＝－＝，
∵0≤x10，x2＋1>0，
于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故函数f(x)＝在[0，＋∞)上为增函数．
f(x)min＝f(0)＝－2，无最大值．
画出函数的大致图象，如图所示，
知函数f(x)＝(x≥0)的值域为[－2,1)．
[呈重点、现规律]
1．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
2．二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．
一、基础过关
1．函数y＝－x＋1在区间上的最大值是________．
答案　
解析　∵函数y＝－x＋1在区间上是减函数，
∴f(x)max＝f＝－＋1＝.
2．函数y＝x＋的最小值为________．
答案　
解析　∵y＝x＋在定义域[，＋∞)上是增函数，∴y≥f()＝，即函数最小值为.
3．函数y＝的值域是________．
答案　(0,2]
解析　观察可知y>0，当|x|取最小值时，y有最大值，
所以当x＝0时，y取最大值为2，即0故函数y的值域为(0,2]．
4．函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值、最小值分别为______．
答案　4、－4
解析　y＝|x－3|－|x＋1|＝.
因为[－1,3)是函数y＝－2x＋2的减区间，
所以－45．函数f(x)＝的最大值是________．
答案　
解析　因为f(x)＝，
所以当x＝时，f(x)取得最大值，为.
6．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a答案　－2　0
解析　y＝－(x－3)2＋18，∵a∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，
得b＝0(b＝6不合题意，舍去)
－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)．
7．已知函数f(x)＝x＋＋2，其中x∈[1，＋∞)．
(1)试判断它的单调性；
(2)试求它的最小值．
解　(1)函数f(x)＝x＋＋2，设1≤x1f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋(－)
＝(x1－x2)(1－)＝(x1－x2)，
∵1≤x11，
∴2x1x2－1>0，∴f(x1)－f(x2)<0.
即f(x1)所以f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．
(2)从而当x＝1时，f(x)有最小值.
二、能力提升
8．函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是________．
答案　[2,4]
解析　由f(x)＝(x－2)2＋1知，
当x＝2时，f(x)的最小值为1，
当f(x)＝5时，即x2－4x＋5＝5，
解得x＝0或x＝4.
依据图象，得2≤m≤4.
9．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为________万元．
答案　120
解析　设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，设两地销售的利润之和为y，则
y＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.
由题意知，
∴0≤x≤15，且x∈Z.
当x＝－＝9.5时y值最大，
∵x∈Z，∴取x＝9或10.
当x＝9时，y＝120，当x＝10时，y＝120.
综上可知，公司获得的最大利润为120万元．
10．定义新运算“?”：当a≥b时，a?b＝a；当a答案　6
解析　由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，
当1∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
11.已知函数f(x)＝(x∈[2，＋∞))，
(1)求f(x)的最小值；
(2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围．
解　(1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，
且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)，
∵x1又∵x1≥2，x2>2，
∴x1x2>4,1－>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴当x＝2时，f(x)有最小值，即f(2)＝.
(2)∵f(x)的最小值为f(2)＝，
∴f(x)>a恒成立，只须f(x)min>a，即a<.
12．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．
解　(1)∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[，3]，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，
又f()＝，f(3)＝5，
所以f(x)在区间[，3]上的最大值是5，最小值是1.
(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，
∴≤2或≥4，即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
三、探究与拓展
13.若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝1，∴c＝1，
∴f(x)＝ax2＋bx＋1.
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，
∴，∴，
∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意，得：x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，
即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋1－m＝(x－)2－－m，
其对称轴为x＝，
∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，
∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，
∴m<－1.