2.2.1 函数的单调性 学案（含答案解析）

2.2.1　函数的单调性(一)
明目标、知重点　1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念.2.掌握增(减)函数的证明和判别，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，能利用函数图象划分函数的单调区间．
1．增函数与增区间
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A.如果对于区间I内的任意两个值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y＝f(x)的单调增区间．
2．减函数与减区间
如果对于区间I内的任意两个值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的单调减区间．
3．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．单调增区间与单调减区间统称为单调区间．
[情境导学]
函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就把握了相应事物的变化规律．因此研究函数的性质是非常重要的．日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降．很多函数也具有类似性质，这就是我们要研究的函数的重要性质——函数的单调性．
探究点一　增函数、减函数、单调性、单调区间
思考1　如图，气温θ关于时间t的函数，记为θ＝f(t)，观察这个函数的图象，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的或是降低的？
答　在[0,4]及[14,24]上，随时间的增大气温逐渐降低，在[4,14]上随时间的增大气温逐渐升高．
思考2　怎样用数学语言刻画上述时间段内“随时间的增大气温逐渐升高”这一特征？
答　在区间[4,14]上图中曲线当t的值增大，θ的值也随之增大．
思考3　对于任意的t1、t2∈[4,14]时，当t1答　图象在区间[4,14]上是上升的曲线，所以当t1思考4　如何用x与f(x)来描述当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大？
答　在给定区间上任取x1，x2且x1小结　增函数与增区间：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A.如果对于区间I内的任意两个值x1、x2，当x1思考5　类比单调增函数的概念，你能给出单调减函数的概念吗？
答　如果对于区间I内的任意两个值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，区间I称为y＝f(x)的单调减区间．
思考6　你能找出思考1中气温图中的单调区间吗？
答　单调增区间：[4,14]，单调减区间：[0,4]，[14,24]．
思考7　函数的单调性与单调区间是怎样定义的？
答　如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．
单调增区间与单调减区间统称为单调区间．
例1　画出下列函数的图象，并写出单调区间：
(1)y＝－x2＋2；(2)y＝(x≠0)．
解　(1)函数图象如图(1)，从图中看出函数y＝－x2＋2的增区间为(－∞，0]，减区间为[0，＋∞)．
(2)函数图象如图(2)，从图中看出函数y＝的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
反思与感悟　函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来表示，不能用“∪”；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
跟踪训练1　根据下图说出函数在每一个单调区间上是增函数还是减函数？
解　函数在[－1,0]上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．
探究点二　增函数、减函数的证明或判断
思考1　判断函数单调性的方法有哪些？
答　有定义法，图象法．
思考2　证明函数单调性的方法有哪些？
答　定义法．
思考3　根据增函数或减函数的定义，你认为证明函数f(x)在区间D上单调性的一般步骤有哪些？
答　(1)取值：任取x1，x2∈D，且x1(2)作差：f(x1)－f(x2)；
(3)变形：通常通过因式分解、配方与通分等途径将结果化为积或商的形式；
(4)定号：判断差f(x1)－f(x2)的正负；
(5)小结：指出函数f(x)在给定区间D上的单调性．
例2　求证：函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是单调增函数．
证明　设x1、x2∈(－∞，0)内的任意两个值，且x1则x1－x2<0，x1x2>0.
因为f(x1)－f(x2)＝(－－1)－(－－1)
＝－＝，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是单调增函数．
反思与感悟　运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且在x1跟踪训练2　试讨论函数f(x)＝的单调性．
解　f(x)的定义域为R，在定义域内任取x1有f(x1)－f(x2)＝－
＝，
其中x1－x2<0，x＋1>0，x＋1>0.
①当x1，x2∈(－1,1)，即|x1|<1，|x2|<1时，
∴|x1x2|<1，
则x1x2<1,1－x1x2>0，f(x1)－f(x2)<0，
f(x1)②当x1，x2∈(－∞，－1]或[1，＋∞)时，1－x1x2<0，
f(x1)>f(x2)，∴f(x)为减函数．
综上所述，f(x)在[－1,1]上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数．
探究点三　函数单调性的应用
思考1　如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？
答　先判断函数f(x)在区间D上的单调性，如果函数f(x)在D上是增函数，当x1思考2　已知函数的单调性，能利用函数值的大小关系得出对应自变量的大小关系吗？
答　能．利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去f符号，转化为自变量的大小关系．
例3　已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意的正数d，都有f(x＋d)解　令x1＝x＋d，x2＝x，
∵d>0，∴x1>x2，由f(x＋d)f(x1)所以y＝f(x)在定义域R上是减函数．
∵f(1－a)2a－1，即a<.
所以a的取值范围为(－∞，)．
反思与感悟　如果由函数y＝f(x)在区间M上的任意两个数x1跟踪训练3　已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，判断f(a2－a＋1)与f()的大小关系．
解　由于a2－a＋1＝(a－)2＋≥，
又因函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，
所以f(a2－a＋1)≤f()．
1．若f(x)在R上是增函数，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)______f(－a)＋f(－b)．(填“<”、“>”或“＝”)
答案　>
解析　由a＋b>0，得a>－b，
因为f(x)在R上是增函数，
所以f(a)>f(－b)，同理得f(b)>f(－a)．
所以f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．
2．函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且过点(－3,2)和(1，－2)，则|f(x)|<2的自变量x的取值范围是__________．
答案　(－3,1)
解析　由题意可知：当x∈(－3,1)时，－2即|f(x)|<2.
3．若函数f(x)在实数集R上是增函数，且f(x)＞f(1－x)，则x的取值范围是________．
答案　{x|x＞}
解析　根据增函数的定义有x＞1－x，解得x＞.
4．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解　y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]．其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．
[呈重点、现规律]
1．若f(x)的定义域为D，A D，B D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减．
2．对增函数的判断，当x10或>0来代替．对减函数的判断，当x1f(x2)，相应地也可用不等式：(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0或<0来代替．
3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．
4．若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则有下列结论：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增．②－f(x)单调递减，③单调递减(f(x)≠0)．
5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商与1比较.
一、基础过关
1．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是________．(填序号)
①>0；
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；
③若x1④>0.
答案　③
解析　因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故①②④都正确，而③中应为若x12．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是________．(填序号)
①y＝x2－2；②y＝；③y＝1＋2x；④y＝－(x＋2)2.
答案　③
解析　函数y＝x2－2在(－∞，0]内是减函数；
函数y＝在(－∞，0)内图象是下降的，也不是增函数；
y＝1＋2x在R上都是增函数，
所以在(－∞，0]上是增函数；
y＝－(x＋2)2在(－∞，－2]上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．
3．函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数x1，x2均有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0，则f(x)在(a，b)上是________函数．(填“增”或“减”)
答案　减
解析　∵(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0 或
即当x1f(x2)或当x1>x2时，f(x1)不论哪种情况，都说明f(x)在(a，b)上为减函数．
4.如果f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(3＋t)＝f(3－t)，那么下列各式正确的是________．
①f(3)③f(3)答案　①
解析　由于f(x)是二次函数，其函数图象为开口向上的抛物线，f(3＋t)＝f(3－t)，
∴抛物线的对称轴为x＝3，且[3，＋∞)为函数的增区间，由f(1)＝f(3－2)＝f(3＋2)＝f(5)，
又∵3<5<6，∴f(3)5．函数f(x)＝x2－2mx－3在区间[1,2]上单调，则m的取值范围是________．
答案　(－∞，1]∪[2，＋∞)
解析　二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f(x)＝x2－2mx－3的对称轴为x＝m，函数在区间[1,2]上单调，则m≤1或m≥2.
6．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)答案　[1，)
解析　由题意，得解得1≤x<，
故满足条件的x的取值范围是1≤x<.
7．证明函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
证明　任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).
∵24，x1x2－4>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
二、能力提升
8．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________．
答案　[0，]
解析　当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，解得a≥0，当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤，∴0≤a≤.
9.若定义在R上的二次函数f(x)＝ax2－4ax＋b在区间[0,2]上是增函数，且f(m)≥f(0)，则实数m的取值范围是________．
答案　0≤m≤4
解析　由于f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(2)＞f(0)，解得a＜0.又因f(x)图象的对称轴为x＝－＝2.所以x在[0,2]上的值域与在[2,4]上的值域相同，所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.
10．已知函数y＝f(x)在R上是减函数，A(0，－2)、B(－3，2)在其图象上，则不等式－2答案　(－3,0)
解析　画出草图，数形结合，得不等式的解集为(－3,0)．
11．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
解　y＝－x2＋2|x|＋3
＝＝.
函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，
函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，
单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
12.已知a>0，函数f(x)＝x＋
(x>0)，证明：函数f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
证明　设x1，x2是任意两个正数，且0则f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1x2－a)．
当0所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0，]上是减函数；
当≤x1a，又x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．
三、探究与拓展
13.讨论函数f(x)＝在(－2，＋∞)上的单调性．
解　f(x)＝＝a＋，
设任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝(1－2a)，
∵－20，
又(x2＋2)(x1＋2)>0.
(1)若a<，则1－2a>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
则f(x)在(－2，＋∞)上为减函数．
(2)若a>，则1－2a<0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在(－2，＋∞)上为增函数．
综上，当a<时，f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；
当a>时，f(x)在(－2，＋∞)上为增函数.