1.2 子集、全集、补集 学案（含答案解析） (2)

1.2
子集、全集、补集
学案
明目标、知重点　1.理解集合之间包含关系的意义.2.理解子集和真子集的概念.3.了解全集与空集的意义，理解补集的概念．
1．子集的概念
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集．记为A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．
2．集合相等与真子集的概念
(1)集合相等：如果A B且B A，就说集合A与B相等；
(2)真子集：如果A B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为：A?B或B?A，读作：“A真包含于B”或“B真包含A”．
3．子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
(3)规定空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集．
4．补集与全集的概念
设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集．记作 SA(读作“A在S中的补集”)，即 SA＝{x|x∈S，且x
A}．如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看作一个全集，全集通常记作U.
5．补集与全集的性质
(1) UU＝ ；(2) U ＝U；
(3) U( UA)＝A.
[情境导学]
已知任意两个实数a，b，则它们的大小关系可能是a＜b或a＝b或a＞b，那么对任意的两个集合A，B，它们之间有什么关系？今天我们就来研究这个问题．
探究点一　集合与集合之间的关系
思考1　观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？
(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}；
(2)设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合；
(3)A＝N，B＝R；
(4)A＝{x|x为中国人}，B＝{x|x为亚洲人}．
答　(1)、(2)、(3)、(4)中，集合A的任何一个元素都是集合B中的元素．
思考2　如何运用数学语言准确表达思考1中两个集合的关系？
答　如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，则称集合A是集合B的子集．记为A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．
思考3　思考1中的集合A，B的“包含”关系能不能用Venn图直观形象的表示出来？
答　用Venn图表示两个集合间的“包含”关系A B(或B A)，如图：
思考4　以下式子成立吗？
(1)A A；(2) A；(3) .
答　根据集合子集的定义，上面三个式子都成立．
小结　任何一个集合是它本身的子集，空集是任何集合的子集．
思考5　A B与B A能否同时成立？你能举出一个例子吗？
答　能同时成立，如：A＝{1,2,3}，B＝{3,2,1}．
小结　集合与集合之间的“相等”关系：若A B且B A，则A＝B.
思考6　对于实数a，b，a≤b含有a答　如果A B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为：A?B或B?A，读作：“A真包含于B”或“B真包含A”．
思考7　由A B，B C，能否推出A C？为什么？
答　能推出，用Venn图表示出A B，B C，从“形”的角度来观察，结论成立．
例1　写出集合{a，b}的所有子集，其中真子集有哪些？
解　集合{a，b}的所有子集是 ，{a}，{b}，{a，b}．
其中真子集是 ，{a}，{b}．
反思与感悟　任何一个集合的子集中都含有 ，同时 也是任何非空集合的真子集，一个非空集合的真子集的个数比它的子集个数少1.
跟踪训练1　写出集合{a，b，c}的所有的子集、真子集．
解　子集： ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}；
真子集： ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}．
思考8　若集合A中有n个元素，A的子集有多少个？真子集又有多少个？
答　子集有2n个，真子集有2n－1个．
例2　下列各组的集合中，哪两个集合之间具有包含关系？
(1)S＝{－2，－1,1,2}，A＝{－1,1}，B＝{－2,2}；
(2)S＝R，A＝{x|x≤0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}；
(3)S＝{x|x为地球人}，A＝{x|x为中国人}，B＝{x|x为外国人}．
解　在(1)(2)(3)中都有A?S，B?S.
可以用图表示为：
反思与感悟　两个集合A、B的关系中，有一个集合是另一个集合的子集或真子集及相等的关系．由A?B可推出A B，但由A B推不出A?B.
跟踪训练2　观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？
(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}；
(2)A＝{x|x>3}，B＝{x|3x－6>0}；
(3)A＝{正方形}，B＝{四边形}；
(4)A＝{育才中学高一(11)班的女生}，
B＝{育才中学高一(11)班的学生}．
解　通过观察就会发现，这四组集合中，集合A都是集合B的一部分，从而有A B.
探究点二　补集与全集
思考1　在上述的例2中，每组的三个集合中还有哪些关系？
答　集合A和集合B的元素合起来就是集合S的全部元素．
思考2　对于例2中的(1)若A＝{1}，那么S中除去元素1得到的集合是什么？
答　得到的是{－2，－1,2}．
思考3　我们把问题2中得到的集合称为集合A在S中的补集，那么如何定义集合S的子集A的补集？
答　设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集．记作 SA(读作“A在S中的补集”)，即 SA＝{x|x∈S，且xD∈/A}．如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看成一个全集，全集通常记作U.
思考4　如何用Venn图来表示集合 UA
答　用Venn图表示集合 UA如下图中的阴影部分．
例3　不等式组的解集为A，U＝R，试求A及 UA，并把它们分别表示在数轴上．
解　A＝{x|2x－1>0，且3x－6≤0}＝{x|2}．在数轴上分别表示如下，
反思与感悟　不等式问题通常借助数轴来研究，但要注意实心点与空心点．
跟踪训练3　已知U＝{x|x是实数}，Q＝{x|x是有理数}，求 UQ.
解　因为实数包括有理数和无理数，由于U＝{x|x是实数}，Q＝{x|x是有理数}，所以 UQ＝{x|x是无理数}．
1．已知集合A＝{－1,0,1}，则在A的子集中，含有元素0的子集共有________个．
答案　4
解析　由题意得，含有元素0的集合A的子集有：{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1,1}共4个．
2．若A＝{x|x≥3，x∈R
}，U＝R，则 UA＝________.
答案　{x|x<3，x∈R}
解析　由U＝R及A＝{x|x≥3，x∈R}，知 UA＝{x|x<3，x∈R}．
3．U＝R，A＝{x|a≤x≤b}， UA＝{x|x>9或x<3}，则a＝________，b＝________.
答案　3　9
解析　全集为R，因为A＝{x|a≤x≤b}，又其补集 UA＝{x|x>9或x<3}，则a＝3，b＝9.
4．设全集U＝R，M＝{x|x<2}，N＝{x|x≤a}，若 UM? UN，则a的取值范围是________．
答案　a<2
解析　因为 UM＝{x|x≥2}， UN＝{x|x>a}，于是由 UM? UN，得a<2，所以a的取值范围是a<2.
[呈重点、现规律]
1．能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为真子集；注意：子集并不是由原来集合中的部分元素组成的集合．(因为“空集是任何集合的子集”，但空集中不含任何元素；“A是A的子集”，但A中含有A的全部元素，而不是部分元素)．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．注意区别“包含于”，“包含”，“真包含”．
4．注意区别“∈”与“ ”的不同涵义.
一、基础过关
1．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为________．
答案　P?T
解析　由x2－1＝0，得x＝±1，∴P＝{－1,1}．因此P?T.
2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则 UM＝______.
答案　{3,5,6}
3．集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是________．
答案　P?Q
解析　∵P＝{x|y＝}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}，∴P?Q.
4．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则 UM＝________.
答案　{x|x<－2或x>2}
解析　∵M＝{x|－2≤x≤2}，
∴ UM＝{x|x<－2或x>2}．
5．已知{0,1}?A {－1,0,1}，则集合A＝________.
答案　{－1,0,1}
解析　由题意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三个元素，又因A {－1,0,1}，∴A＝{－1,0,1}．
6．下列结论中正确的个数为________．
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若 ?A，则A≠ .
答案　1
解析　①错，空集是任何集合的子集，有 ；②错，如 只有一个子集；③错，空集不是空集的真子集；④正确，因为空集是任何非空集合的真子集．
7．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}， UA＝{5}，求实数a，b的值．
解　∵ UA＝{5}，∴5∈U且5 A.
又b∈A，∴b∈U，由此得
解得或经检验都符合题意．
二、能力提升
8．设全集U和集合A、B、P满足A＝ UB，B＝ UP，则A与P的关系是________．
答案　A＝P
解析　由A＝ UB，得 UA＝B.又∵B＝ UP，
∴ UP＝ UA，即P＝A.
9．满足条件{1,2}?M {1,2,3,4,5}的集合M的个数是________．
答案　7
解析　M中含三个元素的个数为3，M中含四个元素的个数也是3，M中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．
10．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________．
答案　S?P＝M
解析　集合M、P表示成被3整除余1的整数集，集合S表示成被6整除余1的整数集．
11．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B A，求实数m的集合．
解　由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.
∴集合A＝{1,3}．
(1)当B＝ 时，此时m＝0，满足B A.
(2)当B≠ 时，则m≠0，B＝{x|mx－3＝0}＝{}．
∵B A，∴＝1或＝3，
解之得m＝3或m＝1.
综上可知，所求实数m的集合为{0,1,3}．
已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．
解　因为B是A的子集，
所以B中元素必是A中的元素，
若x＋2＝3，则x＝1，符合题意．
若x＋2＝－x3，则x3＋x＋2＝0，
所以(x＋1)(x2－x＋2)＝0.
因为x2－x＋2≠0，所以x＋1＝0，所以x＝－1，
此时x＋2＝1，集合B中的元素不满足互异性．
综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，此时A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}．
三、探究与拓展
已知A＝{x||x－a|＝4}，B＝{1,2，b}．
(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b，都有A B？若存在，求出相应的a，若不存在，说明理由；
(2)若A B成立，求出相应的实数对(a，b)．
解　集合A＝{a－4，a＋4}，B＝{1,2，b}，均为有限集．
(1)若对任意的实数b，都有A B，只有当1,2也是A中的元素时，才有可能．
这相当于或
两种情况都不可能，所以这样的实数a不存在．
(2)若A B成立，由(1)可知两种情况不成立，
所以应有或或或
解得或或或
即所有的实数对(a，b)为(5,9)，(6,10)，(－3，－7)，(－2，－6)．