1.2 子集、全集、补集 学案（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 1.2 子集、全集、补集 学案（含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 128.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-07-06 09:22:16 | ||
图片预览
文档简介
1.2
子集、全集、补集
学案
【课标要求】
1．理解集合之间包含关系的意义．
2．理解子集和真子集的概念．
3．了解全集与空集的意义，理解补集的概念．
【核心扫描】
1．能识别给定集合的子集、求给定集合的一个子集的补集．(重点)
2．会求给定集合的一个子集的补集．(难点)
自学导引
1．如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记为A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．如果A B，并且A≠B，则称集合A是集合B的真子集，记为A?B或B?A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．
2．设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为 SA(读作“A在S中的补集”)，即 SA＝{x|x∈S，且x A}．如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.集合A相对于全集U的补集用Venn图表示如右图所示．
试一试：补集有哪些主要性质？
提示 (1)若U是全集，A、B U，则 UU＝ ， U ＝U， U( UA)＝A.
(2)若 UA＝B，则A＝ UB；若A B，则 UA UB等．
名师点睛
1．A B等价于对任意x∈A，都有x∈B；A?B等价于A B，且至少存在一元素y∈B且y A.特别地，若A B，且B A，则A＝B，这是证明两个集合相等的依据．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，因此，在处理A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论A＝ 和A≠ 两种情况．
3．全集是相对于研究的问题而言的，如只在整数范围内研究，则Z为全集，而当问题扩展到实数时，则R为全集．补集是相对于全集而言的，同一集合相对于不同的全集的补集
也不同.
题型一 子集与真子集
【例1】
已知集合A?{1,2,3,4}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有________个．
[思路探索]
求集合的子集或真子集时，可按元素个数，并根据附加条件依次书写．
解析 A是集合{1,2,3,4}的真子集，
若A仅含有一个奇数，则有A＝{1}，{3}，{1,4}，{1,2}，{2,3}，{3,4}，{1,2,4}，{2,3,4}．
若A含有两个奇数，则有A＝{1,2,3}，{1,3}，{1,3,4}．
故这样的集合A共有11个．
答案 11
规律方法
分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分标准，遵循由少到多的原则，可以做到不重不漏．
【训练1】
满足{1}?M {1,2,3,4}时集合M的个数是________个．
解析 M＝{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{1,2,3,4}．故满足条件的集合M的个数为7.
答案 7
题型二 有关全集、补集的问题
【例2】
设U＝{x|2＜|x|≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求 UA， UB.
[思路探索]
首先要确定全集U＝{－5，－4，－3,3,4,5}，由补集定义可求 UA、 UB.
解 ∵2＜|x|≤5，且x∈Z，
∴x的值为－5，－4，－3,3,4,5.
∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
∵x2－2x－15＝0的解为5，－3，
∴A＝{－3,5}．
∵B＝{－3,3,4}，
∴ UA＝{－5，－4,3,4}， UB＝{－5，－4,5}．
规律方法
补集的运算与应用需要紧扣补集的定义，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即是U的子集A在U中的补集，有时借助于Venn图可直观形象地求解，特别是对于集合中元素较少的集合更具有优势．
【训练2】
设全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}， IA＝{5}，求实数a的值．
解 ∵ IA＝{5}，
∴5∈I，且5 A，
故有a2＋2a－3＝5，解得a＝2，或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝|4－1|＝3≠5，且3∈I；
当a＝－4时，|2a－1|＝|－8－1|＝9≠5，且9 I.
故实数a的值为2.
题型三 子集、全集、补集的综合问题
【例3】
(14分)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}．
(1)若A RB，求实数a的取值范围．
(2)若B A，问 RA RB是否成立？
审题指导
综合考查子集、补集的概念，以及用数轴表示不等式解集，考查运算求解能力．
[规范解答]
(1) RB＝{x|x≤1或x≥2}．若A RB，(如图所示)则a≤1.
2分
故实数a的取值范围是{a|a≤1}.
5分
(2)∵B A，B是A的子集，如图所示，∴a≥2
8分
10分
而
RA＝{x|x≥a}， RB＝{x|x≤1或x≥2}．如图所示：
12分
∴
RA RB成立.
14分
【题后反思】
子集、全集、补集的综合问题求解时一般涉及到补集的运算，可先运算再转化为集合间的包含关系问题求解，而有关不等式的解构成集合间包含关系中的参数问题，通常借助于数轴，寻找参数与已知量之间的关系转化为不等式(组)或方程求解．
【训练3】
全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|2＜x≤7}，则
(1)求 UA， UB；
(2)若集合C＝{x|x＞a}，A C，求a的取值范围．
解 (1)∵A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|2＜x≤7}，
∴借助于数轴知 UA＝{x|x＜3或x≥10}，
UB＝{x|x≤2或x＞7}．
(2)要使A C，只需a＜3即可．
∴a的取值范围为{a|a＜3}．
方法技巧 “正难则反”的补集思想的运用
“正难则反”的策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决，这种“正难则反”的策略运用的正是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求 UA，再由 U( UA)＝A求A，这也是转化思想的一种体现．
【示例】
设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4x＋a＝0，a为常数}，若B A，求实数a的取值范围．
解 由已知得A＝{1,2}．假设B A，故集合B有两种情况，B＝ 或B≠ .
当B＝ 时，方程x2－4x＋a＝0无实根，
∴Δ＝16－4a<0，∴a>4.
当B≠ 时，若Δ＝0，则有a＝4，B＝{2} A满足条件；若Δ>0，则1,2是方程x2－4x＋a＝0的根，但由根与系数的关系知矛盾，故Δ>0不成立．∴当B≠ 时，a＝4.
综上所述，满足B A，a的取值范围是a≥4.
∴满足B A的a的取值范围是a<4.
子集、全集、补集
学案
【课标要求】
1．理解集合之间包含关系的意义．
2．理解子集和真子集的概念．
3．了解全集与空集的意义，理解补集的概念．
【核心扫描】
1．能识别给定集合的子集、求给定集合的一个子集的补集．(重点)
2．会求给定集合的一个子集的补集．(难点)
自学导引
1．如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记为A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．如果A B，并且A≠B，则称集合A是集合B的真子集，记为A?B或B?A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．
2．设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为 SA(读作“A在S中的补集”)，即 SA＝{x|x∈S，且x A}．如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.集合A相对于全集U的补集用Venn图表示如右图所示．
试一试：补集有哪些主要性质？
提示 (1)若U是全集，A、B U，则 UU＝ ， U ＝U， U( UA)＝A.
(2)若 UA＝B，则A＝ UB；若A B，则 UA UB等．
名师点睛
1．A B等价于对任意x∈A，都有x∈B；A?B等价于A B，且至少存在一元素y∈B且y A.特别地，若A B，且B A，则A＝B，这是证明两个集合相等的依据．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，因此，在处理A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论A＝ 和A≠ 两种情况．
3．全集是相对于研究的问题而言的，如只在整数范围内研究，则Z为全集，而当问题扩展到实数时，则R为全集．补集是相对于全集而言的，同一集合相对于不同的全集的补集
也不同.
题型一 子集与真子集
【例1】
已知集合A?{1,2,3,4}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有________个．
[思路探索]
求集合的子集或真子集时，可按元素个数，并根据附加条件依次书写．
解析 A是集合{1,2,3,4}的真子集，
若A仅含有一个奇数，则有A＝{1}，{3}，{1,4}，{1,2}，{2,3}，{3,4}，{1,2,4}，{2,3,4}．
若A含有两个奇数，则有A＝{1,2,3}，{1,3}，{1,3,4}．
故这样的集合A共有11个．
答案 11
规律方法
分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分标准，遵循由少到多的原则，可以做到不重不漏．
【训练1】
满足{1}?M {1,2,3,4}时集合M的个数是________个．
解析 M＝{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{1,2,3,4}．故满足条件的集合M的个数为7.
答案 7
题型二 有关全集、补集的问题
【例2】
设U＝{x|2＜|x|≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求 UA， UB.
[思路探索]
首先要确定全集U＝{－5，－4，－3,3,4,5}，由补集定义可求 UA、 UB.
解 ∵2＜|x|≤5，且x∈Z，
∴x的值为－5，－4，－3,3,4,5.
∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
∵x2－2x－15＝0的解为5，－3，
∴A＝{－3,5}．
∵B＝{－3,3,4}，
∴ UA＝{－5，－4,3,4}， UB＝{－5，－4,5}．
规律方法
补集的运算与应用需要紧扣补集的定义，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即是U的子集A在U中的补集，有时借助于Venn图可直观形象地求解，特别是对于集合中元素较少的集合更具有优势．
【训练2】
设全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}， IA＝{5}，求实数a的值．
解 ∵ IA＝{5}，
∴5∈I，且5 A，
故有a2＋2a－3＝5，解得a＝2，或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝|4－1|＝3≠5，且3∈I；
当a＝－4时，|2a－1|＝|－8－1|＝9≠5，且9 I.
故实数a的值为2.
题型三 子集、全集、补集的综合问题
【例3】
(14分)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}．
(1)若A RB，求实数a的取值范围．
(2)若B A，问 RA RB是否成立？
审题指导
综合考查子集、补集的概念，以及用数轴表示不等式解集，考查运算求解能力．
[规范解答]
(1) RB＝{x|x≤1或x≥2}．若A RB，(如图所示)则a≤1.
2分
故实数a的取值范围是{a|a≤1}.
5分
(2)∵B A，B是A的子集，如图所示，∴a≥2
8分
10分
而
RA＝{x|x≥a}， RB＝{x|x≤1或x≥2}．如图所示：
12分
∴
RA RB成立.
14分
【题后反思】
子集、全集、补集的综合问题求解时一般涉及到补集的运算，可先运算再转化为集合间的包含关系问题求解，而有关不等式的解构成集合间包含关系中的参数问题，通常借助于数轴，寻找参数与已知量之间的关系转化为不等式(组)或方程求解．
【训练3】
全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|2＜x≤7}，则
(1)求 UA， UB；
(2)若集合C＝{x|x＞a}，A C，求a的取值范围．
解 (1)∵A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|2＜x≤7}，
∴借助于数轴知 UA＝{x|x＜3或x≥10}，
UB＝{x|x≤2或x＞7}．
(2)要使A C，只需a＜3即可．
∴a的取值范围为{a|a＜3}．
方法技巧 “正难则反”的补集思想的运用
“正难则反”的策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决，这种“正难则反”的策略运用的正是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求 UA，再由 U( UA)＝A求A，这也是转化思想的一种体现．
【示例】
设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4x＋a＝0，a为常数}，若B A，求实数a的取值范围．
解 由已知得A＝{1,2}．假设B A，故集合B有两种情况，B＝ 或B≠ .
当B＝ 时，方程x2－4x＋a＝0无实根，
∴Δ＝16－4a<0，∴a>4.
当B≠ 时，若Δ＝0，则有a＝4，B＝{2} A满足条件；若Δ>0，则1,2是方程x2－4x＋a＝0的根，但由根与系数的关系知矛盾，故Δ>0不成立．∴当B≠ 时，a＝4.
综上所述，满足B A，a的取值范围是a≥4.
∴满足B A的a的取值范围是a<4.