1.3 交集、并集 学案（含答案解析） (2)

明目标、知重点　1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集.2.能使用Venn图表示集合的并集和交集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用.3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算．
1．交集
(1)定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B.
(2)交集的符号语言表示为A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝A A B，A∩B A∪B，A∩B A，A∩B B.
2．并集
(1)定义：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B.
(2)并集的符号语言表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝A B A，A A∪B.
[情境导学]
两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加减法运算，如果把集合与实数相类比，我们会想两个集合是否也可以进行“加减”运算呢？本节就来研究这个问题．
探究点一　交集
思考1　任意两个实数通过某一种运算能得出一个新的实数，类比实数的运算，如何定义集合间的运算？你能举例说明吗？
答　由两个集合(或几个集合)得到一个新集合的过程称为集合的运算．例如：A在S中的补集 SA是由给定的两个集合A，S得到的一个新集合．所以补集就是集合的一种运算．
思考2　用Venn图分别表示下列各组中的三个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？
(1)A＝{－1,1,2,3}，B＝{－1，－2,1}，C＝{－1,1}；
(2)A＝{x|x≤3}，B＝{x|x>0}，C＝{x|0(3)A＝{x|x为高一(4)班语文测验优秀者}，B＝{x|x为高一(4)班英语测验优秀者}，C＝{x|x为高一(4)班语文、英语测验优秀者}．
答　Venn图如图所示，通过观察Venn图，得出集合A和集合B的共同元素就构成了集合C.
(1)
(2)
(3)
思考3　在思考2中，我们称集合C为集合A、B的交集，那么如何定义两个集合的交集？
答　一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
思考4　对于任意两个集合A，B，它们的交集有怎样的性质？
答　A∩B＝B∩A,
A∩ ＝ ，
A∩B A，A∩B B.
思考5　集合A∩B如何用Venn图来表示？
答　A∩B可用如图中的阴影部分来表示：
例1　(1)新华中学开运动会，设A＝{x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}，B＝{x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B.
(2)设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系．
解　(1)A∩B就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合．所以A∩B＝{x|x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}．
(2)平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点，平行或重合．
①直线l1，l2相交于一点P可表示为：L1∩L2＝{点P}；
②直线l1，l2平行可表示为L1∩L2＝ ；
③直线l1，l2重合可表示为L1∩L2＝L1＝L2.
反思与感悟　两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
跟踪训练1　设集合A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x＋2，x∈R}，则A∩B＝________.
答案　
解析　由于集合A表示的是数集，集合B表示的是点集，因此没有公共元素，故答案为 .
探究点二　并集
思考1　考察下列两组中的三个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？
(1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；
(2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}．
答　集合A和集合B的元素并在一起即为集合C的元素．
思考2　在思考1中，我们称集合C为集合A、B的并集，那么如何定义两个集合的并集？
答　一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B
＝
{x|x∈A，或x∈B}．
思考3　A∪B如何用Venn图表示？
答　A∪B用Venn图表示如下图所示的阴影部分：
思考4　集合的并集有什么性质？
答　A∪B＝B∪A，A∪ ＝A，A A∪B，B A∪B.
思考5　A∪B＝A可能成立吗？A∪B＝ 呢？A∪ UA是什么集合？
答　当B A时，A∪B＝A成立；只有当A＝B＝ 时，A∪B＝ ；A∪ UA是全集．
例2　设A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤1}，求A∩B和A∪B.
解　A∩B＝{x|x>0}∩{x|x≤1}＝{x|0A∪B＝{x|x>0}∪{x|x≤1}＝R.
反思与感悟　两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合，它们的公共元素在并集中只能出现一次．对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题．
跟踪训练2　(1)设A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,6,7,8}，求A∪B；
(2)设集合A＝{x|－1解　(1)A∪B＝{4,5,6,8}∪{3,5,6,7,8}＝{3,4,5,6,7,8}；
(2)A∪B＝{x|－1例3　学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？
解　设A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x|x为参加两项比赛的同学}．画出Venn图(如下图)，
可知没有参加过比赛的同学有
45－(12＋20－6)＝19(名)．
答　这个班共有19名同学没有参加过比赛．
反思与感悟　在求有关集合运算的问题过程中要充分利用数轴、Venn图，无论求解交集问题，还是求解并集问题，关键还是寻求元素．
跟踪训练3　学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？
解　如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a，b，x.
根据题意有
解得x＝5，即两项都参加的有5人．
探究点三　几个区间的概念
思考　用集合表示数的范围不是太简洁，有没有比集合更为简洁的办法表示数的范围？
答　设a、b∈R，且a[a，b]＝{x|a≤x≤b}，(a，b)＝{x|a[a，b)＝{x|a≤x(a，＋∞)＝{x|x>a}，(－∞，b)＝{x|x(－∞，＋∞)＝R.
其中[a，b]叫做闭区间；(a，b)叫做开区间；[a，b)，(a，b]叫做半开半闭区间；a，b叫做相应区间的端点．
1．设A＝{x|x≥0}，B＝{x|x≤0}，则A∩B＝________.
答案　{0}
解　A∩B＝{x|x≥0}∩{x|x≤0}＝{0}．
2．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩( UN)＝{2,4}，则N＝________.
答案　{1,3,5}
解析　由M∩( UN)＝{2,4}可得集合N中不含有元素2,4，集合M中含有元素2,4，故N＝{1,3,5}．
3．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围为________．
答案　[－1,1]
解析　由P＝{x|x2≤1}得P＝{x|－1≤x≤1}．
由P∪M＝P得M P.又M＝{a}，∴－1≤a≤1.
4．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝____________.
答案　{x|－2≤x≤1}
解析　易知A＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤1}．
5．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a答案　(－∞，－1]
解析　因为C∩A＝C，所以C A.
①当C＝ 时，满足C A，此时－a≥a＋3，得a≤－；
②当C≠ 时，要使C A，则
解得－[呈重点、现规律]
1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x B；x∈B但x A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝ .
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.、
一、基础过关
1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝________.
答案　{0,1}
解析　∵x2≤x，∴0≤x≤1，
∴N＝{x|0≤x≤1}．
∴M∩N＝{－1,0,1}∩{x|0≤x≤1}＝{0,1}．
2．设A＝{(x，y)|y＝－4x＋6}，B＝{(x，y)|y＝5x－3}，则A∩B＝________.
答案　{(1,2)}
解析　A∩B＝{(x，y)|y＝－4x＋6，且y＝5x－3}
＝{(x，y)|x＝1，y＝2}＝{(1,2)}．
3．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则( UA)∪B＝________.
答案　{0,2,4}
解析　∵ UA＝{0,4}，B＝{2,4}，
∴( UA)∪B＝{0,2,4}．
4．设集合A＝{x|1答案　(3,4)
解析　由于B＝[－1,3]，则 RB＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∴A∩( RB)＝(3,4)．
5．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.
答案　0或1
解析　由A∪B＝A知B A，
∴t2－t＋1＝－3①
或t2－t＋1＝0②
或t2－t＋1＝1③
①无解；②无解；③t＝0或t＝1.
6．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则( UA)∩( UB)＝______.
答案　{7,9}
解析　因为 UA＝{2,4,6,7,9}， UB＝{0,1,3,7,9}，所以( UA)∩( UB)＝{7,9}．
7．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
解　∵A∩B＝B，∴B A.
∵A＝{－2}≠ ，∴B＝ 或B≠ .
当B＝ 时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B≠ 时，此时a≠0，则B＝{－}，
∴－∈A，即有－＝－2，得a＝.
综上，a＝0或a＝.
二、能力提升
8．如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是____________．
答案　(M∩P)∩( US)
解析　依题意，由图知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a∈ US，所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩( US)．
9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1答案　－1　2
解析　∵B∪C＝{x|－3∴A?(B∪C)，∴A∩(B∪C)＝A.
由题意得{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}，
∴a＝－1，b＝2.
10.已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r＝________.
答案　－14
解析　∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A且－2∈B，
将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，
∴A＝{1，－2}，
∵A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，
∴B＝{－2,5}，
∴q＝－[(－2)＋5]＝－3，r＝(－2)×5＝－10，
∴p＋q＋r＝－14.
11．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪( UA)＝R，B∩( UA)＝{x|0解　∵A＝{x|1≤x≤2}，
∴ UA＝{x|x<1或x>2}．
又B∪( UA)＝R，A∪( UA)＝R，
可得A B.
而B∩( UA)＝{x|0∴{x|0借助于数轴
可得B＝A∪{x|012.设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若( UA)∩B＝ ，求m的值．解　A＝{－2，－1}，由( UA)∩B＝ ，得B A，
∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，
∴B≠ .
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，
∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件．
∴m＝1或2.
三、探究与拓展
13.已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．
(1)A∩B＝ ；(2)A (A∩B)．
解　(1)若A＝ ，则A∩B＝ 成立．
此时2a＋1＞3a－5，
即a＜6.
若A≠ ，如图所示，则
解得6≤a≤7.
综上，满足条件A∩B＝ 的实数a的取值范围是
{a|a≤7}．
(2)因为A (A∩B)，且(A∩B) A，
所以A∩B＝A，即A B.
显然A＝ 满足条件，此时a＜6.
若A≠ ，如图所示，则或
由解得a∈ ；
由解得a＞.
综上，满足条件A (A∩B)的实数a的取值范围是
{a|a＜6或a＞}．