人教版八年级数学上册第15章轴对称15.1.2线段的垂直平分线第1课时线段的垂直平分线的性质与判定 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．
2.了解逆命题与逆定理的概念.
3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题.
线段的垂直平分线的性质和判定的探究和运用.
线段的垂直平分线的性质和判定的理解和准确运用.
难点
重点
1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？
2.你能找到线段的对称轴吗？
3.线段的对称轴与这条线段有什么关系？
线段是轴对称图形，线段的对称轴垂直平分这条线段.
轴对称图形的对称轴，是任意一对对称点所连线段的垂直平分线.
探究 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l 上，分别比较点P1，P2，P3，… 与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A与点B的距离之间的数量关系．
A
B
l
P1
P2
P3
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
猜想：
点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
验证结论 　
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
　证明：当点P与点C不重合时，
∵ l⊥AB，
∴∠PCA =∠PCB．
　　又 AC =CB，PC =PC，
　　∴△PCA≌△PCB（SAS）．
　　∴ PA =PB．
A
B
P
C
l
例1 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线 DE交AB，AC于点E，D.
（1）若△BCD的周长为 8，求BC的长；
（2） 若BC＝4，求△BCD的周长．
分析：由DE是AB的垂直平分线，得AD＝BD，所以BD与CD 的长度和等于AC的长，所以由△BCD的周长可求BC的长，同样由BC的长也可求△BCD的周长．
例1 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线 DE交AB，AC于点E，D.
（1）若△BCD的周长为 8，求BC的长；
（2） 若BC＝4，求△BCD的周长．
解： ∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.
（1）∵△BCD的周长为8，
∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.
（2）∵BC＝4，
∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC的长．本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，知其二可求第三者．
1.如图，MN是线段AB的垂直平分线，下列判断正确的有_____ .
①AB⊥MN; ②MD=ND;
③AB是MN的垂直平分线; ④AD=BD.
①④
MN是线段AB的垂直平分线，则①④是正确的；
MN是一条直线，②是错误的；
垂直平分线是直线，③是错误的.
A
B
M
D
N
2．如图，AD垂直平分BC，AC＝CE，点B，D，C，E在同一直线上，则AB＋DB与DE的关系是(　　)
A．AB＋DB>DE
B．AB＋DBC．AB＋DB＝DE
D．不能确定
C
3.如图所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm，则AC的长是 .
A
B
C
D
E
10cm
思考 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
已知：如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
P
A
B
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，
垂足为点C．则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
PA =PB，
PC =PC，
∴ Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
P
A
B
C
线段的垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
应用格式：
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
　这些点能组成什么几何图形？
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
　与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与A、B两点的距离相等的所有点的集合.
P
A
B
C
l
应用格式：
∵ AB =AC，MB =MC，
∴ 直线AM 是线段BC 的
垂直平分线．
A
B
C
D
M
这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法.
例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.
求证：直线AD是CE的垂直平分线．
分析：根据角平分线的性质可得CD＝DE，所以点D
在CE的垂直平分线上，只要再证点A也在CE
的垂直平分线上，就能证明．
例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.
求证：直线AD是CE的垂直平分线．
证明：∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE, ∴点D在CE的垂直平分线上.
在Rt△ADC和Rt△ADE中， AD＝AD，
CD＝ ED，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，
∴点A也在CE的垂直平分线上，
∴直线AD是CE的垂直平分线．
分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？
这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
线段的垂直平分线的性质与判定
性质
判定
内容
作用
内容
作用
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
见垂直平分线，得线段相等
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
互逆命题
1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（　　　）
A．AB垂直平分CD；
B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平分；
D．CD平分∠ ACB ．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
2.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）.
① ② ③
3.下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．如果a=b，那么a2=b2
C．钝角三角形中有两个锐角 D．两直线平行，内错角相等
D
4.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC ( )
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
D
E
P
A
B
C
D
F
PA=PB=PC
解析：∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，∴BD＝AD，AE＝EC.∴△ADE的周长为AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6 cm.
D
5.如图，在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧，BC＝6 cm，则△ADE的周长是(　　)
A．3 cm B．12 cm C．9 cm D．6 cm