人教版八年级数学上册第15章轴对称综合与实践 最短路径问题 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
1.能利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题.
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.
重难点
1.如图，连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
A
B
①
②
③
②最短，因为“两点之间，线段最短”
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
l
A
B
C
D
PC最短，因为“垂线段最短”
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？
三角形三边关系：两边之和大于第三边；
斜边大于直角边.
4.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
A
l
A ′
如图，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？
C
抽象成
A
B
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
实际问题
A
B
l
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
A
l
B
C
根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
连接AB,与直线l相交于一点C.
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想：　对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
A
B
l
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A
B
l
B ′
C
问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴　AC +BC
= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴　AC +BC＜AC′+BC′．
　　即　AC +BC 最短．
A
B
l
B ′
C
C ′
如图,A,B两个小镇在河的同侧,现要在笔直的河边a上修建一个自来水厂分别向两个镇供水,如何选择自来水厂的位置,可使用的水管最短？
解：如图,作点B关于河边a的对称点B′,连接AB′交河边a于点P,则点P所在的位置为所求的自来水厂的位置.
A
B
a
B′
P
问题4 如图3，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处.牧民怎样走可使所走的路径最短？
作图问题：在∠MON的两边OM，ON上各取一点B、C，
组成△ABC，使△ABC周长最小.
作法：
作A关于OM的对称点A′，关于ON的A对称点A′，与OM、ON相交于B、C，连接AB、AC、BC，△ABC即为所求三角形.
证明：
∵A与A′关于OM对称，A与A″关于ON对称，
∴AB=A′B，AC=A″C，
于是AB﹢BC﹢CA=A′B﹢BC﹢A′C=A′A″，
根据两点之间线段最短，A′A″为△ABC的最小值.
故牧民先到点C处牧马，再到点B处饮马，最后回到A处所走的路径最短.
问题5 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短？
作图问题：在∠MON的两边OM、ON上求作点C、D，
使得AC﹢CD﹢DB的长度最小.
作法：
作点A关于OM的对称点E，作点B关于ON的对称点F，连接EF交OM、ON于点C、D，即为所求.
问题6 牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到草地边的B处饮马，再到河边C处饮马，然后回到A处.如何确定A，B，C的位置，使从A处出发，到B处牧马，再到C处饮马，最后回到A处所走的路径最短？
作图问题：在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，
求使△DEF的周长最小时点D、E、F的位置.
作法：
将点D视为定点，先作出△DEF的最小值对应的线段D′D"，而后研究D′D"随着点D的位置变化过程中的最小值即可.无论点D位置在何处，点C对线段D′D"的张角不变，即∠ D′CD"的大小不变，为2∠ACB. 因而，为使得D′D"最小，只需要CD′ = CD" = CD最小即可，显然当CD⊥AB时，有垂线段最小，从而内接三角形△DEF的周长最小.
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
问题7 如图所示，将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？
A
B
a
b


M
N
分析： 由于河宽是固定的，则MN的大小是固定的.
当AM+MN+BN的值最小时，也即AM+BN的值最小.
A
B
a
b


M
N
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
如图，直线a，b满足a//b，点A，点B分别在直线a，b的两侧，MN为直线a，b之间的距离，则点M，N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小.
A
B
a
b


M
N
分析： 将AM沿着与直线a垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.此时问题转化为，当点N在直线b的什么位置时，A′N+ NB的值最小.
A
B
a
b


M
N
A′
如图，连接A′，B，线段A′B最短.因此，线段A′B与直线b的交点即为所求的点N的位置，即在此处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.
A
B
a
b


M
N
A′
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B∴A′N+NB即A′N+NB+MN∴AM+NB+MN即AM+NB+MN的值最小.
A
B
a
b


M
N
A′
M′
N′
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
解决最短路径问题的方法
原理
线段公理和垂线段最短
牧民饮马问题（拓展）
造桥选址问题
关键是将固定线段“桥”平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四形的问题
利用轴对称知识+线段公理
1.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
P
Q
l
A
M
P
Q
l
B
M
P
Q
l
C
M
P
Q
l
D
M
D
2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.
A
C
B
D
河
1000
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是（ ）
A.BC B.CE C.AD D.AC
B
A
D
B
E
P
C
BP+EP的最小值
CP+EP的最小值
CE的长
4.某大学建立分校,本部与分校隔着两条平行的小河.如图,小河甲的两岸为l1,l2,且l1//l2,小河乙的两岸为l3,l4,且l3//l4，A为本部大门,B为分校大门.为了方便两校区人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.为使A,B两点间来往路径最短,试在图中画出
符合条件的路径,并标明桥的位置.
A
B
B1
A1
l1
l2
l3
l4